<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Trêng thcs l¬ng s¬n</b>

<b> </b>

<b> </b>

<b>thi giáo viên giỏi CấP TRƯờNG</b>

Thờng xuân <b>Năm học 2009-2010</b>
<b> Môn thi: To</b>¸n

<i><b>Đề chính thức</b></i> <i> (Thời gian: 150phút - không k thi gian giao )</i>
<b>Bi 1.</b><i>(4 im)</i>

a, Giải phơng tr×nh: x 3  5 x x2  8x 18

b, Cho x, y là các số thoả mÃn:





2 2

x  3 x y  3 y 3
HÃy tính giá trị của biểu thức:

2009 2009

A x y 1

<b>Bài 2</b>( 2 điểm): Cho ba số x, y, z tuỳ ý. Chứng minh rằng

2

2 2 2

3 3

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>  <i>x y z</i>  

 

 

Bài 3( 2 điểm): Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1
Chứng minh rằng:

<i>a b</i>
<i>abc</i>



 16

<b>Bài 4</b>: (4 điểm)

1. Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của hai
chữ số của nó có phân số tối giản là

16

9 _{và hiệu của số cần tìm với số có cùng}

các chữ số với nó nhưng viết theo thứ tự ngược lại bằng 27.

2. Hãy tìm các chữ số <i>a b c d</i>, , , biết rằng các số <i>a ad cd abcd</i>, , , là các số chính
phương.

<b>Bài 5</b>: (3 điểm)
Cho biểu thức:

3
3

6 4 3 1 3 3

3

3 2 3 4 1 3

3 3 8

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>A</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

 

   

_  _{ }  



  



 _{ } 

1. Rút gọn biểu thức <i>A</i>.

2. Tìm các giá trị nguyên của <i>x</i> để biểu thức <i>A</i> nhận giá trị nguyên.
<b>Bài 6</b>: (5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại
hai điểm A và B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O)
vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm).

1. Chứng minh rằng <i>MN</i>2 <i>MP</i>2 <i>MA MB</i>.

2. Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.
3. Chứng minh rằng tâm của đường tròn nội tiếp và tâm của đường tròn ngoại tiếp

tam giác MNP lần lượt chạy trên hai đường cố định khi M di động trên đường
thẳng d.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Bài 1.</b><i>(4 điểm) </i>

a(2), Giải phơng tr×nh: x 3  5 x x2  8x 18

§KX§: 3 x 5  (*) 0.5 đ
áp dụng bđt Bunhiakôpski ta có: x 3 5 x  2. x 3 5 x



  



 4 2 .

DÊu “=” x¶y ra  x-3 = 5 – x  x = 4 0.5 đ
Ta l¹i cã x2_{– 8x + 18 =(x – 4)}2_{+ 2}_{0 víi}_{x.DÊu “=” x¶y ra} _{x= 4 0.5}đ

Suy ra x 3  5 x x2 8x 18  x = 4

Víi x = 4 thoả mÃn ĐK (*), vậy nghiệm của phơng trình là x = 4 0.5 đ

b(2) , Cho x, y là các số thoả mÃn:







2 2

x  3 x y  3 y 3
(*)
HÃy tính giá trị của biểu thức: A x 2009 y2009 1

Tõ







 



2 2 2 2

(*) x  3 x x  3 x y  3 y 3 x  3 x



_x2 _{3 x}2





_y2 _{3 y}

 

₃ _x2 _{3 x}



₃



_y2 _{3 y}

 

₃ _x2 _{3 x}



             

2 2

y 3 y x 3 x

      _{(1) 1}_đ

T¬ng tù ta cã

2 2

x  3 x y  3 y₍₂₎

LÊy (1) céng víi (2) ta cã : x = -y 0.5 đ
Suy ra

2009 2009 2009 2009

A x y  1 x  x  1 1

VËy A = 1 0.5 đ

<b>Bài 2</b> (2 đ) : Áp dụng BĐT Côsi ta có x2_{+ y}2 __{2xy (1)}

y2_{+ z}2 __{2yz (2)}

z2_{+ x}2 __{2zx (3) 1}_đ

Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x2 _{+ y}2_{+ z}2₎__{2( xy + yz + zx )}

 _{2( x}2 _{+ y}2_{+ z}2_{) + ( x}2 _{+ y}2_{+ z}2₎__{( x}2 _{+ y}2_{+ z}2_{) + 2( xy + yz + zx )}

 _{3( x}2 _{+ y}2_{+ z}2₎__{( x + y + z )}2_{chia hai vế cho 9 ta được}

2 2 2 ₍ ₎2

3 9

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x y z</i> 


hay

2

2 2 2

3 9

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>  <i>x y z</i>  

 

  ₁_đ

<b>Bài 3</b>(2 đ): Áp dụng BĐT Côsi x + y  2 <i>xy</i> ta có ( a + b) + c  2 (<i>a b c</i> ) 1 đ
 ₁ 2 (<i>a b c</i> )  ₁ 4( a + b)c nhân hai vế với a + b > 0 ta được:

A + b  4(a + b)2c mà ta chứng minh được (a + b)2  4ab

Do đó a + b  4(4ab)c hay a + b  16abc từ đây suy ra đpcm 1 đ

<b>Bài 4:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Theo giả thiết:





10 16

3
9

90 9 16

10 10 27

<i>x y</i>

<i>x y</i>
<i>xy</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>

<i>x y</i> <i>y x</i>



 _ _ _


 
 

 _{ } _ _


Giải hệ ta có 1 2

3

9;

16

<i>x</i>  <i>x</i> 

(loại). Suy ra <i>y</i>6_.

Vâỵ số cần tìm là 96.

b/ 2,5đ) <i>a</i>_{là số chính phương, nên}<i>a</i>1, 4,9_.

Ta có 92 81; 102 100_{nên không có số}₉<i>_x</i>_{nào là số chính phương. Do đó} <i>_a</i>_{chỉ có}

thể là 1 hoặc 4.

<i>ad</i>_{là số chính phương nên}<i>ad</i>_{chỉ có thể là 16, hoặc 49. Nên}<i>d</i>_{chỉ có thể là 6 hoặc}

9. 1đ

<i>cd</i>_{là số chính phương nên}<i>cd</i>_{chỉ có thể là 16, hoặc 36, hoặc 49. Nên Nên}<i>c</i>_{chỉ có}

thể là 1, hoặc 3, hoặc 4.

Nếu <i>a</i>1_thì <i>d</i> 6_và <i>c</i>1_hoặc<i>c</i>3_{, khi đó} <i>abcd</i> 1 16<i>b</i> <i>hay b</i>1 36_và

 

2

 

2

1 6<i>bc</i>  <i>x</i>4 <i>hay x</i>6

.

Ta có: 262 676; 342 1156; 362 1296; 442 1936; 462 2126_{. Chỉ chọn được 1936.}

Nếu <i>a</i>4_thì<i>d</i> 9_và<i>c</i>4_{, khi đó}

 

 

2 2

4 49 3 7

<i>abcd</i>  <i>b</i>  <i>x</i> <i>hay x</i>
.
Ta có: 632 3969; 672 4489; 732 5329_{. Không chọn được số nào.}

Vậy chỉ có các chữ số <i>a</i>1,<i>b</i>9,<i>c</i>3,<i>d</i> 6_{thỏa mãn điều kiện bài toán. 1.5đ}

<b>Bài 5</b>
a/ (2đ)

3
3

6 4 3 1 3 3

3

3 2 3 4 1 3

3 3 8

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>A</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
 
   
_  _{ }  

  

 _{ } 

Ta có:





2

3<i>x</i>2 3<i>x</i> 4 3<i>x</i>1  3 0;1 3<i>x</i> 0, <i>x</i> 0

, nên điều kiện để A có nghĩa là



3



3 8



3 2 3

 

2 3 4



0, 0 3 2 0 4

3

<i>x</i>   <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>    <i>x</i>

0,75đ









3

3
3

1 3

6 4 3

3

3 2 3 4 1 3

3 2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>A</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
   _ 

   
  
 _ _   _ 

    
   







 







6 4 3 2 3

3 3 1 3

3 2 3 2 3 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>A</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _{ } _ 

 

   

 _ _ _ 

  _0,5đ



 







3 4 2 3

3 2 3 1

3 2 3 2 3 4

<i>x</i> <i>x</i>

<i>A</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

 

 

  

 _ _ _ 

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>



3 1



2

3 2

<i>x</i>
<i>A</i>

<i>x</i>




 ₍

4
0

3

<i>x</i>
 

) 0.25đ
b/1đ:



3 1



2



3 2



2 2



3 2



1 ₁
3

3 2 3 2 3 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>A</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

    

   

   _0.5đ

Với <i>x</i>_{là số nguyên không âm, để A là số nguyên thì}

3 3 3 9

3 2 1 3

3 1

3 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

 _ _ _

     _  



 

 _(vì<i>x</i><b>Z</b>_và<i>x</i>0_).

Khi đó: <i>A</i>4 0.5đ

<b>Bài 6:(</b>5đ)

a/(1.5 đ): Ta có: MN = MP (Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau) 0.5 đ
Chứng minh được 2 tam giác MAN và MNB đồng dạng. 0.5 đ
Suy ra:

2 2

.

<i>MA</i> <i>MN</i>

<i>MN</i> <i>MP</i> <i>MA MB</i>

<i>MN</i> <i>MB</i>    _0.5_đ
b/ (1.5 đ) Để MNOP là hình vuông thì đường chéo <i>OM</i> <i>ON</i> 2<i>R</i> 2_0.25_đ
Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OACD, dựng đường tròn tâm O đi qua điểm D,
cắt (d) tại M. 0.5 đ
Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP. Ta có <i>MN</i>  <i>MO</i>2 <i>ON</i>2 <i>R</i>_{, nên}

Tam giác ONM vuông cân tại N. Tương tự, tam giác OPM cũng vuông cân tại P. Do
đó MNOP là hình vuông. 0.5 đ
Bài toán luôn có 2 nghiệm hình vì <i>OM</i> <i>R</i> 2 <i>R</i>_0.25_đ

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

+ Kẻ <i>OE</i><i>AB</i>_{, thì E là trung điểm của AB (cố định). Kẻ} <i>HL</i>( )<i>d</i> _{thì HL // OE, nên}

HL là đường trung bình của tam giác OEM, suy ra:

1

2

<i>HL</i> <i>OE</i>

</div>

<!--links-->