<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ</b>

<b>Dấu hiệu</b> <b>Cách chọn</b>

2 2

<i>a</i>  <i>x</i> Đặt x = |a| sint; với

;
2 2

<i>t</i> _  _

 

hoặc x = |a| cost; với <i>t</i>



0;



2 2

<i>x</i>  <i>a</i> Đặt x =

a

sint_{; với}<i>t</i> 2 2; \ 0

 

 

 

 _ _

 

hoặc x =

<i>a</i>

<i>cost</i>_{; với}<i>t</i>



0;



\ 2



  

 _{ }

 

2 2

<i>a</i> <i>x</i> Đặt x = |a|tant; với

;
2 2

<i>t</i> _   _

 

hoặc x = |a|cost; với <i>t</i>



0;



<i>a x</i>

<i>a x</i>



 _hoặc

<i>a x</i>
<i>a x</i>



 Đặt x = acos2t



<i>x a b x</i>

 





Đặt x = a + (b – a)sin2t

2 2

1

<i>a</i> <i>x</i> _{Đặt x = atant; với}

;
2 2

<i>t</i> _   _

 

<b>Bài 1:</b> Tính

1 2

2
2
2

1 <i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i>





_

Giải:

Đặt x = cost,

;
2 2

<i>t</i> _  _

  _. _{dx = - sint dt}

Đổi cận:

x 2

2 4



t 1 0

Khi đó:

1 2

2
2
2

1 <i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i>





_

=

0 2

2

4

1 <i>c</i>os .<i>t sint</i>
<i>dt</i>
<i>cos t</i>






_

=
4

2
0

sin .sin<i>t</i> <i>t</i>
<i>dt</i>
<i>cos t</i>





=
2
4

2
0

sin <i>t</i>
<i>dt</i>
<i>cos t</i>





=
4

2
0

1

1 <i>dt</i>
<i>cos t</i>



 



 

 



=

=



tan



4
0

<i>t t</i>




= 1 4




. (vì
0;

4

<i>t</i>_{ } _

 _{nên sint} 0 sin<i>t</i> sin<i>t</i>₎

<b>Bài 2:</b> Tính

2 2 2

0
<i>a</i>

<i>I</i> 

_

<i>x</i> <i>a</i>  <i>x dx</i>

Giải:

Đặt x = asint,

;
2 2

<i>t</i> _  _

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Đổi cận:

x 0 a

t 0

2



Khi đó:

2 2 2

0

<i>a</i>

<i>I</i> 

_

<i>x</i> <i>a</i>  <i>x dx</i>

=





2

2 2 2 2

0

sin 1 sin .

<i>a</i> <i>t a</i> <i>t acostdt</i>







=
2

4 2 2

0
sin

<i>a</i> <i>tcos tdt</i>





=
4 2

2
0

sin 2
4

<i>a</i>

<i>tdt</i>





=

=





4 2
0

1 4

8

<i>a</i>

<i>cos t dt</i>







=
4

1

sin 4 2

8 4 ₀

<i>a</i>

<i>t</i> <i>t</i>



 



 

 

=
4
16

<i>a</i>



<b>Bài 3:</b> Tính
1

2 2

0
1

<i>I</i> 

_

<i>x</i>  <i>x dx</i>

Giải:

Đặt x = sint,

;

2 2

<i>t</i> _  _

  _. _{dx = costdt}

Đổi cận:

x 0 1

t 0

2



Khi đó:
1

2 2

0
1

<i>I</i> 

_

<i>x</i>  <i>x dx</i>

=
2

2 2

0

sin <i>t</i> 1 sin .<i>t costdt</i>







=
2

2 2

0
1

sin

4 <i>tcos tdt</i>




=
2

2

0
1

sin 2

4 <i>tdt</i>





=

=





2
0
1

1 4

8 <i>cos t dt</i>






=

1 1

sin 4 2

8 4

0

<i>t</i> <i>t</i>



 



 

 

= 16



<b>Bài 4:</b> Tính
1

3 2

0
1

<i>I</i> 

_

<i>x</i>  <i>x dx</i>

Giải:

Đặt t = 1 <i>x</i>2  _t2_{= 1 – x}2 _ _{xdx = -tdt}

Đổi cận:

x 0 1

t 1 0

Khi đó:
1

3 2

0
1

<i>I</i> 

_

<i>x</i>  <i>x dx</i>

=
1

2 2

0
1

<i>I</i> 

_

<i>x</i>  <i>x xdx</i>

=





1

2
0

1 <i>t</i> . .<i>t tdt</i>



=





1

2 4
0

<i>t</i>  <i>t dt</i>



=

3 5 ₁

0

3 5

<i>t</i> <i>t</i>

 



 

  ₌

2
.
15

<b>Bài 5:</b> Tính

2

5
ln
<i>e</i>

<i>e</i>

<i>dx</i>
<i>I</i>

<i>x</i> <i>x</i>



_

Giải:

Đặt t = lnx  _{dt =}

<i>dx</i>
<i>x</i>

Đổi cận:

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

t 1 2

Khi đó:

2

5
ln
<i>e</i>

<i>e</i>

<i>dx</i>
<i>I</i>

<i>x</i> <i>x</i>



_

=
2

5
1

<i>dt</i>
<i>t</i>



= 4

2

1 15

.
1

4<i>t</i> 64

 

 

 

 

<b>Bài 6:</b> Tính





1

4
3 4
0

1

<i>I</i> 

_

<i>x x</i>  <i>dx</i>

Giải:

Đặt t = x4_{+ 1}_ _{dt = 4x}3_dx

3
4

<i>dt</i>
<i>x dx</i>

 

Đổi cận:

x 0 1

t 1 2

Khi đó:





1

4
3 4
0

1

<i>I</i> 

_

<i>x x</i>  <i>dx</i>

=
2

4 5

1

2

1 1 31

.
1
4 <i>t dt</i> 20<i>t</i> 20

 

_ _ 

 



<b>Bài 7:</b> Tính
2

5
0

sin

<i>I</i> <i>xcoxdx</i>





_

Giải:

Đặt t = sinx ;  <i>dt cosxdx</i>
Đổi cận:

x 0

2



t 0 1

Khi đó:

1
2

5 5

0 0

1
sin

6

<i>I</i> <i>xcoxdx</i> <i>t dt</i>





_



_



.

<b>Bài 8:</b> Tính
12

4

0

tan

<i>I</i> <i>xdx</i>





_

Giải:

Ta có:

12 12

0 0

sin 4
tan 4

4

<i>x</i>
<i>xdx</i> <i>dx</i>

<i>cos x</i>

 







Đặt t = cos4x ; 4s 4 sin 4 4

<i>dt</i>
<i>dt</i> <i>in xdx</i> <i>xdx</i>

   

Đổi cận:

x 0

12



t 1 1

2

Khi đó:

1

1

12 12 2

1

0 0 1

2

1

sin 4 1 1 1 1

tan 4 ln ₁ ln 2.

4 4 4 4 4

2

<i>x</i> <i>dt</i> <i>dt</i>

<i>I</i> <i>xdx</i> <i>dx</i> <i>t</i>

<i>cos x</i> <i>t</i> <i>t</i>

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Bài 9:</b> Tính
2

5
0

<i>I</i> <i>cos xdx</i>





_

Giải:

Ta có:





2 2 2 ₂

5 4 2

0 0 0

1 sin

<i>cos xdx</i> <i>cos xcoxdx</i> <i>x coxdx</i>

  

  







Đặt t = sinx ;  <i>dt cosxdx</i>
Đổi cận:

x 0

2



t 0 1

Khi đó:













3 5

2 2 ₂ 2 ₂ 2

5 2 2 2 4

0 0 0 0

1

2 5

1 sin 1 1 2 .

0

3 5 18

<i>t</i> <i>t</i>
<i>I</i> <i>cos xdx</i> <i>x coxdx</i> <i>t</i> <i>dt</i> <i>t</i> <i>t dt</i> <i>t</i>

   

 

        _   _ 

 









<b>Bài 10:</b> Tính
4

4
0

1

<i>I</i> <i>dx</i>
<i>cos x</i>





_

Giải:

Đặt t = tanx ; 2
1

<i>dt</i> <i>dx</i>
<i>cos x</i>

 

Đổi cận:

x 0

4



t 0 1

Khi đó:









1 3

4 4

2 2

4 2

0 0 0

1

1 1 4

1 tan 1 .

0

3 3

<i>t</i>
<i>I</i> <i>dx</i> <i>x</i> <i>dx</i> <i>t dt</i> <i>t</i>

<i>cos x</i> <i>cos x</i>

 

 

     _  _ 

 







<b>Bài 11:</b> Tính

3
2

2
6

s

<i>cos x</i>
<i>I</i> <i>dx</i>

<i>in x</i>






_

Giải:

Đặt t = sinx ;  <i>dt cosxdx</i>

Đổi cận:

x

6



2



t 1

2 1

Khi đó:

1 1

3 2 2

2 2

2 2 2 2

1 1

6 6 2 2

1

(1 s ) 1 1 1 1

1 ₁ .

s s 2

2

<i>cos x</i> <i>in x</i> <i>t</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>cosxdx</i> <i>dt</i> <i>dt</i> <i>t</i>

<i>in x</i> <i>in x</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

 

 

     

    _  _  _  _ 

   









<b>Bài 12:</b> Tính
2

3 3

0
sin

<i>I</i> <i>xcos xdx</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Giải:

Đặt t = sinx ;  <i>dt cosxdx</i>

Đổi cận:

x 0

2



t 0 1

Khi đó:













1 1 4 6

2 2

3 3 3 2 3 2 3 5

0 0 0 0

1 1

sin sin 1 sin 1 .

0

4 6 12

<i>t</i> <i>t</i>
<i>I</i> <i>xcos xdx</i> <i>x</i> <i>x cosxdx</i> <i>t</i> <i>t dt</i> <i>t</i> <i>t dt</i>

 

 

       _  _ 

 









<b>Bài 13:</b> Tính

2
2

sin
0

sin 2
<i>x</i>

<i>I</i> <i>e</i> <i>xdx</i>





_

Giải:

Đặt t = sin2_{x ;}_ <i>dt</i>_s 2<i>in xdx</i>

Đổi cận:

x 0

2



t 0 1

Khi đó:

2 1

2
sin

0 0

1

sin 2 1.

0

<i>x</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>I</i> <i>e</i> <i>xdx</i> <i>e dt e</i> <i>e</i>





_



_

  

<b>Bài 14:</b> Tính
2

2
0

sin 2
1

<i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>cos x</i>








Giải:

Đặt t = 1 + cos2_{x ;}_ <i>dt</i>_ s 2<i>in xdx</i>_ s 2<i>in xdx</i>_<i>dt</i>

Đổi cận:

x 0

2



t 2 1

Khi đó:





1 2

2

2

0 2 1

2
sin 2

ln ln 2.
1
1

<i>x</i> <i>dt</i> <i>dt</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>t</i>

<i>cos x</i> <i>t</i> <i>t</i>



    









<b>Bài 15:</b> Tính
4

3
0

tan

<i>I</i> <i>xdx</i>





_

Giải:

Đặt t = tanx ;









2 2

2

1 tan 1

1

<i>dt</i>
<i>dt</i> <i>x dx</i> <i>t dt</i> <i>dx</i>

<i>t</i>

      



Đổi cận:

x 0

4



</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Khi đó:













2

1 3 1 1 1 2 1

4
3

2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

2

1
1

1 2 1

tan

0

1 1 2 1 2 2 1

1

1 1 1 1 1

ln 1 ln 2 1 ln 2 .

0

2 2 2 2 2

<i>d t</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>I</i> <i>xdx</i> <i>dt</i> <i>t</i> <i>dt</i> <i>tdt</i> <i>dt</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i>





 

   _  _     

     

      













<b>Bài 16:</b> Tính
1
0

1
1

<i>I</i> <i>dx</i>
<i>x</i>






Giải:

Đặt t = <i>x</i> ;  <i>t</i>2  <i>x</i> <i>dx</i>2<i>tdt</i>

Đổi cận:

x 0 1

t 0 1

Khi đó:









1 1 1

0 0 0

1

1 1

2 2 1 2 ln 1 2 1 ln 2 .

0

1 1

1

<i>t</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>dt</i> <i>dt</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i>

<i>x</i>

 

   _  _     

 

  







<b>Bài 17:</b> Tính
1

3

3 4

0
1

<i>I</i> 

_

<i>x</i>  <i>x dx</i>

Giải:

Đặt t =

3₁ 4 3 ₁ 4 3 3 2

4

<i>x</i> <i>t</i> <i>x</i> <i>x dx</i> <i>t dt</i>

     

Đổi cận:

x 0 1

t 1 0

Khi đó:

1 1

3

3 4 3 4

0 0

1

3 3 3

1 .

0

4 16 16

<i>I</i> 

_

<i>x</i>  <i>x dx</i>

_

<i>t dt</i> <i>t</i> 

<b>Bài 18:</b> Tính
0

2

1

1

2 4

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i> <i>x</i>





 



Giải:

Ta có:





 

0 0

2

2 ₂

1 1

1 1

2 4<i>dx</i> ₁ ₃ <i>dx</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i>

 



  _ _





Đặt <i>x</i> 1 3 tan<i>t</i> với





2

; . 3 1 tan

2 2

<i>t</i> _   _  <i>dx</i>  <i>t dt</i>

 

Đổi cận:

x -1 0

t 0

6



Khi đó:

0 6

2

1 0

1 3 3 3

.
6

2 4 3 3 18

0

<i>I</i> <i>dx</i> <i>dt</i> <i>t</i>

<i>x</i> <i>x</i>








   

 





<b>Bài 19:</b> Tính

1 3

8
01

<i>x</i>
<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i>




</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Ta có:

 

1 3 1 3

2

8 ₄

01 01

<i>x</i> <i>x</i>

<i>dx</i> <i>dx</i>

<i>x</i>  <i>_x</i>

 _





Đặt <i>x</i>4 tan<i>t</i>_với





3 1 2

; . 1 tan

2 2 4

<i>t</i> _  _  <i>x dx</i>  <i>t dt</i>

 

Đổi cận:

x 0 0

t 0

4



Khi đó:

 

1 3 1 3 4 2 4

2

8 ₄ 2

0 0 0 0

1 1 tan 1 1

.
4

1 ₁ 4 1 tan 4 4 ₀ 16

<i>x</i> <i>x</i> <i>t</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>dx</i> <i>dt</i> <i>dt</i> <i>t</i>

<i>x</i> <i>_x</i> <i>t</i>

 





     

 _ 









<b>Bài 20:</b> Tính 1

1 ln
<i>e</i>

<i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i>





_

Giải:
Đặt

2

1 ln 1 ln 2 <i>dx</i>

<i>t</i> <i>x</i> <i>t</i> <i>x</i> <i>tdt</i>
<i>x</i>

      

Đổi cận:

x 1 e

t 1 2

Khi đó:





2 2 3

2

1 1 1

2 2 2 1

1 ln 2

.2 2 2 .

3 1 3

<i>e</i>

<i>x</i> <i>t</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>t tdt</i> <i>t dt</i>
<i>x</i>






_



_



_

 

<b>Bài 21:</b> Tính





1
0

ln 2
2

<i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i>








Giải:

Đặt ln 2





2

<i>dx</i>
<i>t</i> <i>x</i> <i>dt</i>

<i>x</i>



   



Đổi cận:

x 1 1

t ln2 0

Khi đó:





1 0 ln 2 2 2

0 ln 2 0

ln 2

ln 2 ln 2

.
0

2 2 2

<i>x</i> <i>t</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>tdt</i> <i>tdt</i>
<i>x</i>



    









<b>Bài 22:</b> Tính
2

2
01 sin

<i>cosx</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i>








Giải:

Đặt sin<i>x</i>tan<i>t</i>_với





2

; 1 tan

2 2

<i>t</i> _  _ <i>cosxdx</i>  <i>t dt</i>

 

Đổi cận:

x 0

2



t 0

4

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Khi đó:

2

2 4 4

2 2

0 0 0

1 tan

1 sin 1 tan 4

<i>cosx</i> <i>t</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>dt</i> <i>dt</i>

<i>x</i> <i>t</i>

  




   

 







<b>Bài 23:</b> Tính
2
3

1
sin

<i>I</i> <i>dx</i>
<i>x</i>






_

Giải:
Đặt

2

2

1 2

tan 1 tan

2 2 2 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>dt</i>

<i>t</i> <i>dt</i> <i>dx</i> <i>dx</i>

<i>t</i>

 

   _  _  



 

Ta tính:

2
2

1 1 2 1

.
2

sin 1

1

<i>tdt</i>

<i>dx</i> <i>dt</i>

<i>t</i>

<i>x</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i>

 




Đổi cận:

x

3



2



t 3

3 1

Khi đó:





1
2

3

3 3

1

1 1 3 1

ln ₃ ln ln 3.

sin 3 2

3

<i>I</i> <i>dx</i> <i>dt</i> <i>t</i>
<i>x</i> <i>t</i>






_



_

  

<b>Bài 24:</b> Tính 1





1
1 ln
<i>e</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i> <i>x</i>






Giải:

Đặt 1 ln

<i>dx</i>
<i>t</i> <i>x</i> <i>dt</i>

<i>x</i>

   

Đổi cận:

x 1 e

t 1 2

Khi đó:





2

1 1

2
1

ln ln 2.
1
1 ln

<i>e</i>

<i>dt</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>t</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>t</i>

   







<b>Bài 25:</b> Tính

3
1

5
0

<i>x</i>

<i>I</i> 

_

<i>x e dx</i>

Giải:
Đặt

3 ₃ 2 2

3

<i>dt</i>
<i>t</i><i>x</i>  <i>dt</i> <i>x dx</i> <i>x dx</i>

Đổi cận:

x 0 1

t 0 1

Khi đó:

3

1 1 1

5

0 0 0

1 1

1 1 1 1 1

0 0

3 3 3 3 3 3

<i>x</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>e</i> <i>t</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Bài 26:</b> Tính

1 5
2
2

4 2

1

1
1

<i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i> <i>x</i>






 



Giải:

Ta có:

1 5 1 5 1 5

2

2 2 ₂ 2 2

2

4 2

2

1 1 1

2

1

1 ₁

1
1

1

1 ₁ ₁

1

<i>x</i> <i>_dx</i> <i>_x</i> <i>_dx</i> <i>x</i> <i>_dx</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>_x</i>

    



  

 _ _

 

  _{ } _ _

 

 

 







Đặt 2

1 1

1

<i>t</i> <i>x</i> <i>dt</i> <i>dx</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 

   _  _

 

Đổi cận:

x 1 1 5

2



t 0 1

Khi đó:
1

2
01

<i>dt</i>
<i>I</i>

<i>t</i>






Đặt





2

tan 1 tan

<i>t</i> <i>u</i> <i>dt</i>  <i>u du</i>

Đổi cận:

x 0 1

t 0

4



Vậy

1 4 2 4

2 2

0 0 0

1 tan

.
4

1 1 tan ₀ 4

<i>dt</i> <i>u</i>

<i>I</i> <i>du</i> <i>du u</i>

<i>t</i> <i>u</i>

 





    

 







<b>Bài 27:</b> Tính
2

3

1 1

<i>dx</i>
<i>I</i>

<i>x</i> <i>x</i>







Giải:

Ta có:

2 2 2

3 3 3

1 1 1 1

<i>dx</i> <i>x dx</i>
<i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>





Đặt

3 2 3 2 2 2

1 1 2 3

3

<i>tdt</i>
<i>t</i> <i>x</i>  <i>t</i>  <i>x</i>  <i>tdt</i> <i>x dx</i> <i>x dx</i>

Đổi cận:

x 1 2

t 2 3

Khi đó:









_

_

2 2 2 3 3

2

3 3 3

1 1 2 2

2

2 1 1 1

3 1 3 1 1

1 1

3 3

1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1

ln 1 ln 1 ln ln ln ln ln

3 2 3 1 2 3 2 2 1 3 2 2 1 3 _{2 1}

<i>dx</i> <i>x dx</i> <i>dt</i>

<i>I</i> <i>dt</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>t</i>
<i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i>

 

    _  _ 

    

 

 

    

    _ _  _  _ 

 

  

    

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>Bài 28:</b> Tính

2 3

2
0

3

2 1

<i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i> <i>x</i>



 



Giải:

Ta có:





2 3 2 3

2
2

0 0

3 3

2 1 ₁

<i>x</i> <i>x</i>

<i>dx</i> <i>dx</i>
<i>x</i>  <i>x</i>  <i>_x</i>





Đặt <i>t</i>  <i>x</i> 1 <i>dt dx</i>
Đổi cận:

x 0 2

t 2 3

Khi đó:

























3 3 2

2 3 2 3 3 3

2

2 2 2

0 0 1 1

3 2

2 2 2

1

3 3 3 1

3 1

3 3

2 1 ₁

3

9 1 3

3 9 3 3 9 9ln 3 3 1 9 3 1 9 ln 3 ln1 1 3 9ln 3 8

1

2 2

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
<i>t</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>dx</i> <i>dt</i> <i>dt</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>dt</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i>



  



    

  

 

 

 _    _ _    _          

   











<b>Bài 29:</b> Tính

ln 2 2
2

0

3

3 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>e</i> <i>e</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>e</i> <i>e</i>




 



Giải:

Đặt <i>t e</i> <i>x</i> <i>dt e dx</i> <i>x</i>

Đổi cận:

x 0 ln2

t 1 2

Khi đó:



 



ln 2 2 ln 2 2 2

2 2 2

0 0 1 1

2 2

1 1

3 3 3 2 1

3 2 3 2 3 2 1 2

2 2

1 1 3 4 9 4 27

2 2ln 1 ln 2 2 ln 3 ln 2 ln 4 ln 3 2ln ln ln ln ln

1 1

1 2 2 3 4 3 16

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>e</i> <i>e</i> <i>e</i> <i>t</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>e dx</i> <i>dt</i> <i>dt</i>

<i>e</i> <i>e</i> <i>e</i> <i>e</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>dt</i> <i>dt</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i>

    

    _  _ 

         

              

 













<b>Bài 30:</b> Tính





4

1 1

<i>dx</i>
<i>I</i>

<i>x</i> <i>x</i>






Giải:

Đặt <i>x t</i> 2 <i>dx</i>2<i>tdt</i>

Đổi cận:

x 1 4

t 1 2

Khi đó:

















4 2 2 2

2

1 1 1 1

2 1 1

2 2

1 1 1

1

2 2 1 4

2 ln ln 1 2 ln ln 2ln .

1 3 2 3

<i>dx</i> <i>tdt</i> <i>dt</i>

<i>I</i> <i>dt</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
<i>x</i> <i>x</i>

<i>t</i> <i>t</i>

 

    _  _ 

    



 

    _  _

 









<b>Bài 31:</b> Tính





1

3
2
0

1

<i>I</i> 

_

 <i>x</i> <i>dx</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Đặt

sin , 0;
2

<i>x</i> <i>t t</i>_ _  <i>dx costdt</i>

 

Đổi cận:

x 0 1

t 0

2



Khi đó:

















2

1 2 2 2 2

3 3

2 2 3 4

0 0 0 0 0

2 2 2 2 2

2 2

0 0 0 0 0

2
0

1 2

1 1 sin . .

2

1 1 1 1 1 1 sin 2 1

1 2 2 2 2 2 2 . . 2 1 4

4 4 2 8 4 2 2 2 ₀ 8

1 1

8 8 8

<i>cos t</i>
<i>I</i> <i>x</i> <i>dx</i> <i>t costdt</i> <i>cos t costdt</i> <i>cos tdt</i> <i>dt</i>

<i>t</i>

<i>cos t cos t dt</i> <i>dt</i> <i>cos tdt</i> <i>cos tdt</i> <i>cos t dt</i>
<i>dt</i> <i>co</i>

   

    










 

       _ _ 

 

          

  























2
0

1 sin 4 3

4 . 2 .

8 16 8 4 8 16 16

0

<i>t</i>
<i>s tdt</i>





    

     



<b>Bài 32:</b> Tính
2

3

6

<i>I</i> <i>cos xdx</i>






_

Giải:













3

2 2 2 2

3 2 2 2

6 6 6 6

sin 2

. 1 sin 1 sin sin sin

3
6

1 1 1 5

1

3 2 24 24

<i>x</i>
<i>I</i> <i>cos xdx</i> <i>cos x cosxdx</i> <i>x cosxdx</i> <i>x d</i> <i>x</i> <i>x</i>

   

   




 

      _  _ 

 

    









<b>Bài 33:</b> Tính
4

4 4

0

sin 4
sin

<i>x</i>
<i>I</i>

<i>x cos x</i>









Giải:

4 4 4 4

4 4 4 4 2 2

2

0 0 0 0

4

2 2

2
0

sin 4 2sin 2 2 2sin 2 2 2sin 2 2

1

sin sin 1 2sin ₁ _{sin 2}

2

1 1 1 1

1 sin 2 ln 1 sin 2 4 ln ln 2

1 2 2 2

1 sin 2 0

2

<i>x</i> <i>xcos x</i> <i>xcos x</i> <i>xcos x</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>dx</i> <i>dx</i> <i>dx</i>

<i>x cos x</i> <i>x cos x</i> <i>xcos x</i> <i>_x</i>

<i>d</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

   





    

  



  

 _  _   

 













<b>Bài 34:</b> Tính

3
2
4

1 sin

<i>cos x</i>
<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i>







</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>













2

3 2

2 2 2 2

4 4 4 4

2 2 2

4 4 4

1 sin

1 sin

1 sin 1 sin 1 sin

1 1 ₂ 3 2 2

sin s 2 sin sin 2

2 4 4

4

<i>x</i>
<i>cos x</i> <i>cos x</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>cosxdx</i> <i>cosxdx</i> <i>x cosxdx</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>cosx cosx</i> <i>x dx</i> <i>cosxdx</i> <i>in xdx</i> <i>x</i> <i>x</i>

   

   

  

  





     

  



 

    _  _ 

 















<b>Bài 35:</b> Tính
2
4

sin
sin

<i>x cosx</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x cosx</i>






 

  



 



Giải:









2 2

4 4

sin

sin _{ln sin} 2 _{ln 2}

sin sin

4

<i>d</i> <i>x cosx</i>
<i>x cosx</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>x cosx</i>

<i>x cosx</i> <i>x cosx</i>

 

 




 



 

 _ _    

 

 





<b>Bài 36:</b> Tính
2

3
0

sin

<i>I</i> <i>xdx</i>





_

Giải:









3

2 2 2

3 2 2

0 0 0

1 2

sin sin sin 1 2 1

3 ₀ 3 3

<i>cos x</i>
<i>I</i> <i>xdx</i> <i>x</i> <i>xdx</i> <i>cos x d cosx</i> <i>cosx</i>

  



 

     _  _   

 







<b>Bài 37:</b> Tính

3
sin

<i>cos x</i>
<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i>



_

Giải:





















2 2

3 2

0
2

4 3 4 1 sin 3

3 4 3

. . sin

sin sin sin sin

1 1

4sin sin 4. sin ln sin

sin1 2

<i>cos x</i> <i>x</i>

<i>cos x</i> <i>cos x</i> <i>cosx</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>dx</i> <i>cosxdx</i> <i>d</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>d</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>C</i>



  



    

 

 _  _   

 











<b>Bài 38:</b> Tính

s 3
sin

<i>in x</i>
<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i>



_

Giải:









3

2

s 3 3s 4sin 1

3 4sin 3 2 1 2 3 2 2. sin 2

sin sin 2

sin 2

<i>in x</i> <i>inx</i> <i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>dx</i> <i>x dx</i> <i>x</i> <i>cos x dx</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x c</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x C</i>



          

  









<b>Bài 39:</b> Tính
1

4 2

0 1

<i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i> <i>x</i>



 



Giải:

 Đặt <i>t x</i> 2  <i>dt</i>2<i>xdx</i>

Đổi cận:

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

t 0 1

Khi đó:

1 1

2

4 2

0 0

1

1 2 ₁ ₃

2 4

<i>x</i> <i>dt</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>t</i>

 

  _ _

 

 

 





 Đặt

1
2

<i>y t</i>   <i>dy dt</i>

Đổi cận:

t 0 1

y 1

2

3
2

Khi đó:

3

1 2

2 2

1

0 ₂

2

1 1

2 1 3 2 ₃

2 4 ₄

<i>dt</i> <i>dy</i>

<i>I</i>

<i>t</i> <i>_y</i>

 

   

  _

   

  _ _





 Đặt

3 2

4 3

<i>z</i> <i>y</i> <i>dz</i> <i>dy</i>

Đổi cận:

y 1

2

3
2

z 1

3 3

Khi đó:
3

3 3

2

2 2

2

1 ₂ 1 1

2 3 3

1 3 1

3 3

2 ₃ 4 3 1

4 4

4

<i>dy</i> <i>dz</i> <i>dz</i>

<i>I</i>

<i>z</i>
<i>z</i>

<i>y</i>

   



  _

  

 







 Đặt





2

tan 1 tan

<i>z</i> <i>u</i> <i>dz</i>  <i>u du</i>

Đổi cận:

z 1

3 3

u

6



3



Ta được:

3 3 2

2 2

1

6
3

1 1 1 tan 1 3

1 1 tan

3 3 3 6 3

6

<i>dz</i> <i>u</i>

<i>I</i> <i>du</i> <i>u</i>

<i>z</i> <i>u</i>









   

 





<b>Bài 40:</b> Tính





1

2

0 2 1

<i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i>







Giải:

 Đặt

1

2 1

2 2

<i>t</i> <i>dt</i>
<i>t</i> <i>x</i>  <i>x</i>   <i>dx</i>

Đổi cận:

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

t 1 3

Khi đó:





1 3 3

2 2 2

0 1 1

1

3

1 1 1 1 1 1 2

2 . ln ln 3

1

2 4 4 4 3

2 1

<i>t</i>

<i>x</i> <i>dt</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>dt</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>t t</i> <i>t</i>

<i>x</i>



     

   _  _  _  _  _  _

     









<b>Bài 41:</b> Tính





0

9
2

1

1

<i>I</i> <i>x x</i> <i>dx</i>





_



Giải:

 Đặt <i>t</i>   <i>x</i> 1 <i>dt dx</i>

Đổi cận:

x -1 0

t 0 1

Khi đó:

















0 1 1 1

9 2

2 9 2 9 11 10 9

1 0 0 0

12 11 10

1 1 2 1 2

1 1 2 1 1

2

0

12 11 10 12 11 10 660

<i>I</i> <i>x x</i> <i>dx</i> <i>t</i> <i>t dt</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t dt</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t dt</i>
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>



          

 

_   _    

 









<b>Bài 42:</b> Tính
2
01

<i>dx</i>
<i>I</i>

<i>cosx</i>








Giải:

2 2 2

2 2

0 0 0

2

tan 2 1

1 ₂ 2 ₀

2 2

<i>x</i>
<i>d</i>

<i>dx</i> <i>dx</i> <i>x</i>

<i>I</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>cosx</i> <i>_cos</i> <i>_cos</i>

  



 

 

 

    









<b>Bài 43:</b> Tính
1

15 8

0

. 1 3 .

<i>I</i> 

_

<i>x</i>  <i>x dx</i>

Giải:

Ta có:

1 1

15 8 8 8 7

0 0

. 1 3 . . 1 3 .

<i>x</i>  <i>x dx</i> <i>x</i>  <i>x x dx</i>





 Đặt

8 7

1 3 24

24

<i>dt</i>
<i>t</i>  <i>x</i>  <i>dt</i> <i>x dx</i> <i>dx</i>

Đổi cận:

x 0 1

t 1 4

Khi đó:





5 3

1 1 4 4 ₂ ₂

3 1

15 8 8 8 7 2 2

0 0 1 1

4

1 1 1 1 29

. 1 3 . . 1 3 . . .

5 3 1

3 24 72 72 270

2 2

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>I</i> <i>x</i> <i>x dx</i> <i>x</i> <i>x x dx</i> <i>t</i> <i>dt</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>dt</i>

 

 



        _  _ 

 

 









<b>Bài 44:</b> Tính

1 3

2

0 1

<i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i> <i>x</i>



 

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>























3 2 3 2

1 3 1 1 1

3 2 4

2 2

2 2 2

0 0 0 0

1 1 1 5 1

3 2 4 2 2 2 2

0 0 0 0

1 1

1
1

1 1 1

1 1

1 1. 1.

0

5 5

<i>J</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>dx</i> <i>dx</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x dx</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>dx</i> <i>x dx</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>xdx</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>xdx</i>

   

      

 

     

        

















      

 Đặt <i>t</i><i>x</i>2 1 <i>dt</i>2<i>xdx</i>

Đổi cận:

x 0 1

t 1 2

Khi đó:









2 2 2 2

3 1 3 1 5 3

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

5 3

2 2

2 2

1 1 1 1 1 2

1 .

1 1

2 2 2 2 5 3

2 1 2 1 4 2 2 2 2 2 2 2

5 5 3 3 5 3 15 15 15

<i>J</i>  <i>t</i> <i>t</i> <i>dt</i>  <i>t</i>  <i>t</i> <i>dt</i> <i>t dt</i> <i>t dt</i> <i>t</i>  <i>t</i> 

        









Vậy

2 2 1
15 15

<i>I</i>  

<b>Bài 45:</b> Tính
4

2
0

sin 4
1

<i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>cos x</i>








Giải:

Ta có:

4 4

2 2

0 0

sin 4 2sin 2 2

1 1

<i>x</i> <i>xcos x</i>

<i>dx</i> <i>dx</i>

<i>cos x</i> <i>cos x</i>

 



 





 Đặt <i>t</i> 1 <i>cos x</i>2  <i>dt</i>2sin<i>xcosxdx</i> sin 2<i>xdx</i>







2 ₁ ₂ ₂ 2 _{1 2} _{1 1 2} ₃

<i>cos x t</i>   <i>cos x</i> <i>cos x</i>  <i>t</i>   <i>t</i>
Đổi cận:

x 0

4



t 2 3

2

Khi đó:









3 3

2

2 2

3

2 2

2

2

2 2 3 6 6

4 4 4 6ln ₃

2

3 3 4

4 2 6 ln 2 ln 2 6ln

2 2 3

<i>t</i> <i>dt</i>

<i>I</i> <i>dt</i> <i>dt</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

  _ _ _ _

  _  _  _  _   

   

   

 _  _ _  _ 

   







<b>Bài 46:</b> Tính

2
4

1 sin 2

<i>dx</i>
<i>I</i>

<i>x</i>







</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>





2 2 2 2

2 2

2

4 4 4 4

1 1_tan 2 1

1 sin 2 sin 2 2 4 2

2 ₄

4
4

<i>dx</i> <i>dx</i> <i>dx</i> <i>dx</i>

<i>I</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x cosx</i> <i>_cos</i> <i>_x</i>

<i>cos x</i>

   

   




 



 

     _  _ 

      _   

 



 

  _ _

 

 









<b>Bài 47:</b> Tính





4

3
0

s 2

sin 2

<i>co</i> <i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x cosx</i>





 



Giải:

Ta có:







 







4 4

3 3

0 0

sin sin

s 2

sin 2 sin 2

<i>cosx</i> <i>x cosx</i> <i>x</i>
<i>co</i> <i>x</i>

<i>dx</i> <i>dx</i>

<i>x cosx</i> <i>x cosx</i>

 

 



   





 Đặt <i>t cosx</i> sin<i>x</i> 2 <i>dt</i>



<i>cosx</i> sin<i>x dx</i>



Đổi cận:

x 0

4



t 2 2 2

Khi đó:





















2 2 2 2

3 2 3 2

0 0

2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1

3 9

2 2 6 4 2

0

1 2 2 2 2 1 2 2 1 4 2 4 9 4 2 5

9 9 9

6 4 2 2 3 2 2 2 2 1 18 2 1 18 2 1

<i>t</i>

<i>I</i> <i>dt</i> <i>dt</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t t</i>

 

     

  _  _  _  _     

 

   

     

       

    





<b>Bài 48:</b> Tính
4
0

s 2

sin 2

<i>co</i> <i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x cosx</i>





 



Giải:

Ta có:



 



4 4

0 0

sin sin

s 2

sin 2 sin 2

<i>cosx</i> <i>x cosx</i> <i>x</i>
<i>co</i> <i>x</i>

<i>dx</i> <i>dx</i>

<i>x cosx</i> <i>x cosx</i>

 

 



   





 Đặt <i>t cosx</i> sin<i>x</i> 2 <i>dt</i>



<i>cosx</i> sin<i>x dx</i>



Đổi cận:

x 0

4



t 2 2 2

Khi đó:









_

_





2 2 2 2

0 0

2 2 2 2

1 2 ln 2 2 2ln 2 2 3 2ln 3

0
3
2 1 2 ln 3 ln 2 2 2 1 2 ln

2 2

<i>t</i>

<i>I</i> <i>dt</i> <i>dt</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i>

 

   

  _  _         

 

 

       

  _





<b>Bài 49:</b> Tính





2 ₃

2
0

sin 2 1 sin

<i>I</i> <i>x</i> <i>x dx</i>





_



</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

 Đặt <i>t</i> 1 sin2<i>x</i> 2 <i>dt</i>2sin<i>xcosxdx</i>sin 2<i>xdx</i>

Đổi cận:

x 0

2



t 1 2

Khi đó:





2 4

2

3

2 3

0 1

2 1 15

sin 2 1 sin 4

1

4 4 4

<i>t</i>
<i>I</i> <i>x</i> <i>x dx</i> <i>t dt</i>





_

 

_

   

<b>Bài 50:</b> Tính





2

2
0

sin 1

<i>I</i> <i>xcosx</i> <i>cosx dx</i>





_



Giải:

Ta có:





_

_

_

_

2 2 2

2 ₂ ₂ ₃

0 0 0

sin 1 sin 1 2 2 .sin

<i>I</i> <i>xcosx</i> <i>cosx dx</i> <i>xcosx</i> <i>cosx cos x dx</i> <i>cosx</i> <i>cos x cos x</i> <i>xdx</i>

  



_

 

_

  

_

 

 Đặt <i>t cosx</i>  <i>dt</i> sin<i>xdx</i>

Đổi cận:

x 0

2



t 1 0

Khi đó:









0 1 2 3 4

2 3 2 3

1 0

1

2 17

2 2

0

2 3 4 12

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>I</i>  <i>t</i> <i>t</i> <i>t dt</i>  <i>t</i> <i>t</i> <i>t dt</i> _   _ 

 





<b>Bài 51:</b> Tính
2

2 2 2 2

0

sin

sin

<i>xcosx</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>a cos x b</i> <i>x</i>









Giải:

Ta có:









2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

sin sin sin

sin 1 sin sin sin

<i>xcosx</i> <i>xcosx</i> <i>xcosx</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>dx</i> <i>dx</i>

<i>a cos x b</i> <i>x</i> <i>a</i> <i>x</i> <i>b</i> <i>x</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>x a</i>

  

  

    







 Đặt













2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 sin

sin sin

sin

<i>tdt</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>xcosxdx</i>
<i>t</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>x a</i> <i>t</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>x a</i> <i>_tdt</i>

<i>xcosxdx</i>

<i>b</i> <i>a</i>

  



       _{ }







Đổi cận:

x 0

2



t |a| |b|

Khi đó:





2 2

2 2

2 2

1 1

.
<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i> <i>b</i> <i>a</i>
<i>tdt</i>

<i>I</i> <i>t</i>

<i>b</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>t b</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i>



   

 

 



<b>Bài 52:</b> Tính

2
3
0

1

3 2

<i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i>








</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

 Đặt

3

3 2

3₃ ₂ ₃ ₂ ₃ _{3 ;} 2

3

<i>t</i>
<i>t</i> <i>x</i>  <i>t</i>  <i>x</i>  <i>t dt</i> <i>dx x</i> 
Đổi cận:

x 0 2

t 3 ₂ ₂

Khi đó:





3 3

3

2 2 5 2

2 4

3

2 2

2

2

1 1 1 42 4 2 37 4 2

3 . 1

3 3 5 2 2 3 5 5 15

<i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i>
<i>I</i> <i>t dt</i> <i>t</i> <i>t dt</i>

<i>t</i>



 

  

    _  _  _   _

 

   





<b>Bài 53:</b> Tính

4

2

7 9

<i>dx</i>
<i>I</i>

<i>x x</i>







Giải:

 Đặt





2 2 2

2 2

9 9 0 ;

9

<i>dx</i> <i>tdt</i> <i>tdt</i>
<i>t</i> <i>x</i> <i>t</i> <i>x</i> <i>t</i> <i>tdt</i> <i>xdx</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>t</i>

         



Đổi cận:

x 7 4

t 4 5

Khi đó:
5

2
4

5

1 3 1 7

ln ln

4

9 6 3 6 4

<i>dt</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i>



 

 



<b>Bài 54:</b> Tính
4
01 tan

<i>dx</i>
<i>I</i>

<i>x</i>








Giải:

 Đặt





2

2 2 2

1

tan 1 tan

1 tan 1

<i>dt</i> <i>dt</i>
<i>t</i> <i>x</i> <i>dt</i> <i>dx</i> <i>x dx</i> <i>dx</i>

<i>cos x</i> <i>x</i> <i>t</i>

       

 

Đổi cận:

x 0

4



t 0 1

Khi đó:













_

_

1 2 3

1 1

2 2

2 2

0 0

1 1 1

1 1 1 1 1

2 1 2 1 2 1 2 1

1 1 2 1 ₀ ₀ ₀

<i>J</i> <i>J</i> <i>J</i>

<i>dt</i> <i>t</i> <i>dt</i> <i>tdt</i> <i>dt</i>

<i>I</i> <i>dt</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

 _ 

 

        

   

  _  _





          

 Tính:

1
1

0

1

1 1 ln 2

ln 1
0

2 1 2 2

<i>dt</i>

<i>J</i> <i>t</i>

<i>t</i>

   





 Tính:



2



1 1

2

2 2 2

0 0

1 1

1 1 1 ln 2

ln 1

0

2 1 4 1 4 4

<i>d t</i>
<i>tdt</i>

<i>J</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i>



    

 





 Tính:

1 4

3 2

0 0

1 1

2 1 2 8

<i>dt</i>

<i>J</i> <i>du</i>

<i>t</i>





  







(với t = tanu)
Vậy

ln 2 ln 2 ln 2

2 4 8 8 4

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>Bài 55:</b> Tính
2
3

sin

<i>dx</i>
<i>I</i>

<i>x</i>






_

Giải:

Ta có:

2 2 2

2 2

3 3 3

sin sin

sin sin 1 s

<i>dx</i> <i>xdx</i> <i>xdx</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>co</i> <i>x</i>

  

  

 









 Đặt <i>t cosx</i>  <i>dt</i> sin<i>xdx</i>

Đổi cận:

x

3



2



t 1

2 0

Khi đó:





1 1 1 1

0 2 2 2 2

2 2

1 0 0 0 0

2

1

1 1 1 1 1 1 1 1 3

ln 1 ln 1 2 ln ln

1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ₀ 2 2 2

<i>dt</i> <i>dt</i> <i>dt</i> <i>dt</i>

<i>I</i> <i>dt</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

    

   _  _        _  _

         











1 1 1

ln ln 3

2 3 2

 

<b>Bài 56:</b> Tính
1

2
0

sin

<i>x</i> <i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>cos x</i>





_

Giải:

Ta có: 1 2

1 1 1

2 2 2

0 0 0

sin sin

<i>I</i> <i>I</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>xdx</i> <i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>dx</i>

<i>cos x</i> <i>cos x</i> <i>cos x</i>





_



_



_

      

 Tính

3

1 2

0

<i>xdx</i>
<i>I</i>

<i>cos x</i>





_

Đặt 2

1

tan

<i>u x</i>

<i>du dx</i>
<i>v</i> <i>x</i>
<i>dv</i> <i>dx</i>

<i>cos x</i>











 



 _




Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:









3 3 3 3

1 2

0 0 0 0

3 sin 3 3

tan 3 tan ln 3

3 3 3

0 0

3 1

ln

3 2

<i>d cosx</i>

<i>xdx</i> <i>x</i>

<i>I</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>xdx</i> <i>dx</i> <i>cosx</i>

<i>cos x</i> <i>cosx</i> <i>cosx</i>

   

 

  



         

 









 Tính





3 3

2 2 2

0 0

sin 1

2 1 1
3

0

<i>d cosx</i>
<i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>cos x</i> <i>cos x</i> <i>cosx</i>

 




</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Vậy

3

ln 2 1
3

<i>I</i>   

<b>Bài 57:</b> Tính

1 3

2

0 1

<i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i> <i>x</i>



 



Giải:

Ta có:







 











3 2 3 2

1 3 1 1 1

3 2 4

2 2

2 2 2

0 0 0 0

1 1 1 5 1

3 2 4 2 2 2 2

0 0 0 0

1 1

1
1

1 1 1

1 1

1. 1. 1.

0

5 5

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>dx</i> <i>dx</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x dx</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>dx</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>xdx</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>xdx</i>

   

      

 

     

        

















 Đặt <i>t</i><i>x</i>2 1 <i>dt</i>2<i>xdx</i>

Đổi cận:

x 0 1

t 1 2

Khi đó:









2 2 2 2

3 1 3 1

2 2 2 2

1 1 1 1

5 3

2 2

5 3

2 2

1 1 1 1 1 1 1

1 .

2 5 2 5 5 2 2

2

1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 4 2 2 2 1 2 2

. .

1

5 2 5 2 3 5 5 5 5 3 3 5 5 3 15 15

<i>I</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>dt</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>dt</i> <i>t dt</i> <i>t dt</i>
<i>t</i> <i>t</i>

        

 

 _  _           

 









<b>Bài 58:</b> Tính
1

1 5 4

<i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i>








Giải:

 Đặt <i>t</i> 5 4<i>x</i> <i>dt</i>4<i>dx</i>

Đổi cận:

x -1 1

t 9 1

Khi đó:









1 1 9 9 9

1 9 1 1 1

3

5 1

1 5 5 1 1

4 4

16 8 16

5 4 2

9 9

5 1 2 5 1 5 13 1

. 3 1 27 1

1 1

8 16 3 8 24 4 12 6

<i>t</i>

<i>dt</i>

<i>x</i> <i>t</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>dt</i> <i>dt</i> <i>tdt</i>

<i>x</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i>



  



  _

 

     



        











<b>Bài 59:</b> Tính
9

3
1

1

<i>I</i> 

_

<i>x</i>  <i>xdx</i>

Giải:

 Đặt <i>t</i> 1 <i>x</i> <i>dt</i><i>dx</i>

Đổi cận:

x 1 9

t 0 -8

Khi đó:





















9 8 0

7

4 ₄ ₇

3 4

3 3 3 3 3

1 0 8

0

3 3 3 3 468

1 1 2 2

8

4 7 4 7 7

<i>I</i> <i>x</i> <i>xdx</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>dt</i> <i>t</i> <i>t dt</i> <i>t</i> <i>t</i>





 

       _  _     



 

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>Bài 60:</b> Tính
3

6sin sin ₆

<i>dx</i>
<i>I</i>

<i>x</i> <i>x</i>



 



 



 

 



Giải:





3 3 3

2

6 6 6

2

3 sin sin

3 1

sin sin _sin _sin

6 ₂ ₂

<i>dx</i> <i>dx</i> <i>dx</i>

<i>I</i>

<i>x</i> <i>xcosx</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i> <i>_cosx</i>

  

   

   

 _    



  _ _

  _ _

































 







3 3 3

2 2

6 6 6

3
6

2 tan tan

2

2 3

s 3 tan tan tan 3 tan 1 3 tan 3 tan 1

1 1

2 3 tan

3 tan 3 tan 1

<i>d</i> <i>x</i> <i>d</i> <i>x</i>

<i>dx</i>

<i>co x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>d</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

  

  




   

  

 

 _  _ 



 





























3 3

6 6

3 tan 1

tan 3 3 1

2 2 2 ln tan 2 ln 3 tan 1 2 ln 3 ln 2 ln 4 ln 2

tan 3 tan 1 3

6 6

3
2ln 3 2ln 2 ln

2

<i>d</i> <i>x</i>
<i>d</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 

 

 

 

 _ _

      _  _  

  

 

  _{  }

 





<b>Bài 61:</b> Tính
1

2

0 3

<i>x</i>

<i>dx</i>
<i>I</i>

<i>e</i>






Giải:

 Đặt <i>t e</i> <i>x</i> <i>dt e dx</i> <i>x</i>

Đổi cận:

x 0 1

t 1 e

Khi đó:













 





 





2
1

2 2 2 2 2 2 2 2

0 1 1 1 1

2

2 2 2

2 2

1

1 2 1

3 3 3 2 3 2 3

1 1 1 1 1 1 3

. ln ln 3 2 ln

1

2 3 3 6 6 4

<i>e</i> <i>e</i> <i>e</i> <i>e</i>

<i>x</i>

<i>e</i>

<i>d t</i>
<i>dx</i> <i>dt</i> <i>tdt</i> <i>tdt</i>

<i>I</i>

<i>e</i> <i>t t</i> <i>t t</i> <i>t t</i> <i>t t</i>

<i>e</i> <i>e</i>

<i>d t</i> <i>t</i> <i>t</i>
<i>t</i> <i>t</i>

    

    

  

  _ _

 _  _  _   _  _  _



   













<b>Bài 62:</b> Tính





1

2
2 11 5

<i>dx</i>
<i>I</i>

<i>x</i>








Giải:

 Đặt <i>t</i>11 5 <i>x</i> <i>dt</i>5<i>dx</i>

Đổi cận:

x -2 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Khi đó:





1 6

2 2

2 1

6

1 1 1 1 1

1

5 5 30 5 6

11 5

<i>dx</i> <i>dt</i>
<i>I</i>

<i>t</i> <i>t</i>
<i>x</i>





     







<b>Bài 63:</b> Tính





1

sin ln

<i>e</i> <i>_x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i>



_

Giải:

 Đặt

ln <i>dx</i>

<i>t</i> <i>x</i> <i>dt</i>
<i>x</i>

  

Đổi cận:

x 1 e

t 0 1

Khi đó:





1

1 0

1
sin ln

sin 1 0 1 1

0

<i>e</i> <i>_x</i>

<i>I</i> <i>dx</i> <i>tdt</i> <i>cost</i> <i>cos</i> <i>cos</i> <i>cos</i>
<i>x</i>



_



_

    

<b>Bài 64:</b> Tính
5

2
3

9

<i>I</i> 

_

<i>x</i>  <i>dx</i>

Giải:

 Đặt

2
2

2 2 2

2

2
9

9

2

9 9 9

9

2 2 2

<i>t</i>
<i>t</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>x</i> <i>t x t</i> <i>dx</i> <i>dt</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>



    

  

       

Đổi cận:

x 3 5

t 3 9

Khi đó:

5 9 2 2 9 2

2

2 3 2

3 3 3

9

9 9 9 81 9 81

9 . ln ...

3

2 2 4 2 4 8 2 6

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>I</i> <i>x</i> <i>dx</i> <i>dt</i> <i>dt</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

 

   

    _   _ _   _ 

   







<b>Bài 65:</b> Tính





4

2
12

1
sin

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x cosx</i>











Giải:





4 4

2

2

12 12

1 1 1 1_cot 4 3

2 2 4 2

sin _sin

4 12

<i>I</i> <i>dx</i> <i>dx</i> <i>x</i>

<i>x cosx</i> <i>_x</i>

 

 




 

 

 

   _  _ 

   

 _



 

 





<b>Bài 66:</b> Tính
1
0

sin

<i>I</i> 

_

<i>xdx</i>

 Đặt <i>t</i> <i>x</i>  <i>dx</i>2<i>td</i>

Đổi cận:

x 0 1

t 0 1

Khi đó:
1
0
2 sin

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Đặt sin

<i>u t</i> <i>du dt</i>
<i>dv</i> <i>tdt</i> <i>v</i> <i>cosx</i>

 

 



 

 

 

Áp dụng cơng thức tính tích phân từng phần ta được:

















1
0

1 1 1

2 2 2 2 sin 2 sin1 1

0 0 0

<i>I</i>  <i>tcost</i> 

_

<i>costdt</i> <i>tcost</i>  <i>t</i>   <i>cos</i>

<b>PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN</b>

 Tích phân các hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)eax trong đó P(x) là một đa thức Đặt

 

...

<i>u P x</i>
<i>dv</i>










 Tích phân các hàm số dạng P(x)lnx trong đó P(x) là một đa thức Đặt

ln
...

<i>u</i> <i>x</i>
<i>dv</i>








<b>Bài 1:</b> Tính
1

2
0

<i>x</i>

<i>I</i> 

_

<i>xe dx</i>

Đặt

2

2 1

2
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>du dx</i>
<i>u x</i>

<i>v</i> <i>e</i>
<i>dv e dx</i>





 _



 




 



Áp dụng cơng thức tính tích phân từng phần:









1 1 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1

0 0

2 2 2 4 2 4 2 4 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>e</i>

<i>I</i> 

_

<i>xe dx</i> <i>xe</i> 

_

<i>e dx</i> <i>e</i> 

_

<i>e d</i> <i>x</i>  <i>e</i>  <i>e</i>  <i>e</i>  <i>e</i>   

<b>Bài 2:</b> Tính
3

2
0

<i>x</i>
<i>I</i> <i>dx</i>

<i>cos x</i>





_

Đặt co 2 tan

<i>u x</i>

<i>du dx</i>
<i>dx</i>

<i>v</i> <i>x</i>
<i>dv</i>

<i>s x</i>










 



 _




Áp dụng cơng thức tính tích phân từng phần:

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>





3 4 3 3

2

0 0 0 0

3 sin 3 3 3

tan 3 tan ln 3 ln 2

3 3 3 3

0 0

<i>d cosx</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>I</i> <i>dx x</i> <i>x</i> <i>xdx</i> <i>dx</i> <i>cosx</i>

<i>cos x</i> <i>cosx</i> <i>cosx</i>

   

 

   



_

 

_

 

_

 

_

   

<b>Bài 3:</b> Tính
1

2
0

<i>x</i>

<i>I</i> 

_

<i>x e dx</i>

Đặt

2 ₂

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>du</i> <i>xdx</i>
<i>u x</i>

<i>v e</i>
<i>dv e dx</i>



  





 




 



Áp dụng cơng thức tính tích phân từng phần:

1 1 1

2 2

0 0 0

1

2 2

0

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>I</i> 

_

<i>x e dx x e</i> 

_

<i>xe dx e</i> 

_

<i>xe dx</i>

Tiếp tục tính:
1
0

<i>x</i>

<i>J</i> 

_

<i>xe dx</i>

Đặt <i>x</i> <i>x</i>

<i>u x</i> <i>du dx</i>
<i>dv e dx</i> <i>v e</i>

 

 



 

 

 

Áp dụng cơng thức tính tích phân từng phần:

1 1

0 0

1

1
0

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>J</i> 

_

<i>xe dx xe</i> 

_

<i>xe dx</i>

Vậy I = e - 2
<b>Bài 4:</b> Tính





1

3
0

3 1 <i>x</i>

<i>I</i> <i>x</i> <i>e dx</i>



_



Đặt

3
3

3

3 1

1
3

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>du</i> <i>dx</i>
<i>u</i> <i>x</i>

<i>v</i> <i>e</i>
<i>dv e dx</i> 




 

 _



 




 



Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:





















1 1 1

3 3 3 3 3 3 3 3

3

0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1 1 2 5

3 1 3 1 3 1 3 1

0 0 0 0

3 3 3 3 3 3

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>I</i> <i>x</i> <i>e dx</i> <i>x</i> <i>e</i> <i>e dx</i> <i>x</i> <i>e</i> <i>e d e</i> <i>x</i> <i>e</i> <i>e</i>

<i>e</i>

       



_

   

_

  

_

    

<b>Bài 5:</b> Tính
2

2
0

sin

<i>I</i> <i>x</i> <i>xdx</i>





_

Ta có:

2 2 2 2

2

0 0 0 0

1 2 1

sin 2

2 2

<i>cos x</i>

<i>I</i> <i>x</i> <i>xdx</i> <i>x</i> <i>dx</i> <i>xdx</i> <i>xcos xdx</i>

  _  _

  

   _  _

 

 











2 2

2
0

2

2 ₀ 8

<i>x</i>
<i>xdx</i>






 



 Tính

2
0

2

<i>xcos xdx</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Đặt

1

2 sin 2

2

<i>du dx</i>
<i>u x</i>

<i>dv cos xdx</i> <i>v</i> <i>x</i>





 



 

 

 



Áp dụng cơng thức tính tích phân từng phần:

2 2

0 0

1 1 2 1

2 sin 2 2 sin 2 0 2

2 ₀ 2 4 ₀ 2

<i>cos x</i>

<i>xcos xdx</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>xdx</i>

 

 

    





Vậy

2
2

2
0

4
sin

16

<i>I</i> <i>x</i> <i>xdx</i>



 



_



<b>Bài 6:</b> Tính
2

sin
0

sin 2
<i>x</i>

<i>I</i> <i>e</i> <i>xdx</i>





_

Giải:

Ta có:

2 2

sin sin

0 0

sin 2 2 sin

<i>x</i> <i>x</i>

<i>I</i> <i>e</i> <i>xdx</i> <i>e</i> <i>xcosxdx</i>

 



_



_

Đặt <i>t</i>sin<i>x</i> <i>dt cosxdx</i>

Đổi cận:

x 0

2



t 0 1

Khi đó:

1
2

sin

0 0

2 <i>x</i>sin 2 <i>t</i>

<i>I</i> <i>e</i> <i>xcosxdx</i> <i>te dt</i>





_



_

Đặt <i>t</i> <i>t</i>

<i>u t</i> <i>du dt</i>
<i>dv e dt</i> <i>v e</i>

 

 



 

 

 

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:

1 1

0 0

1 1 1

1

0 0 0

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>te dt te</i>  <i>e dt te</i>  <i>e</i> 





Vậy I = 2

<b>Bài 7:</b> Tính 1





4 1 ln
<i>e</i>

<i>I</i> 

_

<i>x</i> <i>xdx</i>

Đặt





2

ln

4 1

2

<i>dx</i>

<i>u</i> <i>x</i> <i>du</i>

<i>x</i>
<i>dv</i> <i>x</i> <i>dx</i>

<i>v</i> <i>x</i> <i>x</i>



 



 



 

 



 _{ } _



Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:





_

2

_





2

_

2

_

2

1 1

4 1 ln 2 ln 2 1 2 2

1 1

<i>e</i> <i>_e</i> <i>e</i> <i>_e</i>

<i>I</i> 

_

<i>x</i> <i>xdx</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 

_

<i>x</i> <i>dx</i> <i>e</i>  <i>e</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>e</i> 

<b>Bài 8:</b> Tính





1

2
0

ln 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Đặt <i>t</i><i>x</i>2 1 <i>dt</i>2<i>xdx</i>

Đổi cận:

x 0 1

t 1 2

Khi đó:





1 2

2

0 1

1

ln 1 ln

2

<i>I</i> 

_

<i>x</i> <i>x</i>  <i>dx</i>

_

<i>tdt</i>

Đặt

ln <i>dx</i>

<i>u</i> <i>t</i> <i>du</i>
<i>t</i>
<i>dv dt</i>

<i>v t</i>



 

 



 



 _{ }



Áp dụng cơng thức tính tích phân từng phần:

2 2

1 1

2

ln ln 2ln 2 1

1

<i>tdt t t</i>  <i>dt</i>  





Vậy





1

2

0

1

ln 1 ln 2

2

<i>I</i> 

_

<i>x</i> <i>x</i>  <i>dx</i> 

<b>Bài 9:</b> Tính





2
6

ln sin

<i>I</i> <i>cosx</i> <i>x dx</i>






_

Đặt





ln sin

sin

os _sin

<i>cosx</i>
<i>u</i> <i>x</i> <i>du</i> <i>dx</i>

<i>x</i>
<i>dv c dx</i> <i>_v</i> <i>_x</i>




 

 



 




 _{ }



Áp dụng cơng thức tính tích phân từng phần:

















2 2

6 6

1

2 2 2

ln sin sin ln sin in ln sin sin ln 2 1

2

6 6 6

<i>I</i> <i>cosx</i> <i>x dx</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>cosxdx</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

 

  

  



_

 

_

   

<b>Bài 10:</b> Tính
3

2
4

sin

<i>xdx</i>
<i>I</i>

<i>x</i>






_

Đặt 2

cot
sin

<i>u x</i>

<i>du dx</i>
<i>dx</i>

<i>v</i> <i>x</i>
<i>dv</i>

<i>x</i>










 



 _




Áp dụng cơng thức tính tích phân từng phần





3 3

2

4 4

9 4 3

1 1 3

3 3

cot cot . ln sin ln

sin 3 3 36 2 2

4 4

<i>xdx</i>

<i>I</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>xdx</i> <i>x</i>

<i>x</i>

 

 

 




 





_

 

_

   

<b>Bài 11:</b> Tính
2
0

cos
<i>x</i>

<i>I</i> <i>e</i> <i>xdx</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Đặt

os sin

<i>x</i> <i>x</i>

<i>u c x</i> <i>du</i> <i>xdx</i>
<i>dv e dx</i> <i>v e</i>

 

 



 

 

 

Áp dụng cơng thức tính tích phân từng phần

1

2 2

0 0

cos 2 sin

0

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>I</i>

<i>I</i> <i>e</i> <i>xdx e cosx</i> <i>e</i> <i>xdx</i>

 





_

 

_

    

Tính
2
1

0
sin
<i>x</i>

<i>I</i> <i>e</i> <i>xdx</i>





_

Đặt

sin

<i>x</i> <i>x</i>

<i>u</i> <i>x</i> <i>du cosxdx</i>
<i>dv e dx</i> <i>v e</i>

 

 



 

 

 

Áp dụng cơng thức tính tích phân từng phần

2 2

1

0 0

sin sin 2 s sin 2

0 0

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>I</i> <i>e</i> <i>xdx e</i> <i>x</i> <i>e co xdx e</i> <i>x</i> <i>I</i>

 

 



_

 

_

 

Suy ra:

2 ₂

0

1 1

cos 2 sin 2

2 ₀ ₀ 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>e</i>

<i>I</i> <i>e</i> <i>xdx</i> <i>e cosx</i> <i>e</i> <i>x</i>

 _

 

 



 

   

 

 

 



<b>Bài 12:</b> Tính
2
0

1 sin
.
1 osx

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>I</i> <i>e dx</i>

<i>c</i>










Ta có:

2
1

2 2 2 2 2

2

0 0 0 0 0

1 sin sin 1 sin

. . .

1 osx 1 osx 1 osx 2 _cos 1 osx

2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>I</i>
<i>I</i>

<i>x</i> <i>e dx</i> <i>x</i> <i>e dx</i> <i>x</i>

<i>I</i> <i>e dx</i> <i>e dx</i> <i>e dx</i>

<i>x</i>

<i>c</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>c</i>

    



    

   











      
    

Tính:

2
1

2
0
1
2 cos

2
<i>x</i>

<i>e dx</i>

<i>I</i>

<i>x</i>





_

Đặt

2 tan

2
2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>u e</i>

<i>du e dx</i>
<i>dx</i>

<i>x</i>
<i>dv</i>

<i>v</i>
<i>x</i>
<i>cos</i>

 

 



 



  



 






Áp dụng cơng thức tính tích phân từng phần

2 2 2

2
1

2

0 0 0

1

tan 2 tan . tan .

2 _cos 2 2 2

0
2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>e dx</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>I</i> <i>e</i> <i>e dx e</i> <i>e dx</i>

<i>x</i>

  







_

 

_

 

_

Tính:

2 2 2

2

2

0 0 0

2sin co

sin ₂ ₂

. . tan .

1 osx ₂ 2

2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>s</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>I</i> <i>e dx</i> <i>e dx</i> <i>e dx</i>

<i>x</i>

<i>c</i> <i>_cos</i>

  

  



</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Vậy <i>I</i> <i>e</i>2




<b>TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH GIÁN TIẾP</b>

<b>Bài 1:</b> Tính
2
0

sin
sin

<i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x</i> <i>cosx</i>









Giải:

Đặt <i>x</i> 2 <i>t</i> <i>dx</i> <i>dt</i>



   

Đổi cận:

x 0

2



t

2



0

Khi đó:

0 2 2

0 0

2

sin

2 s s

s sint s sin

sin

2 2

<i>t</i>

<i>co t</i> <i>co x</i>

<i>I</i> <i>dt</i> <i>dt</i> <i>dx</i>

<i>co t</i> <i>co x</i> <i>x</i>
<i>t</i> <i>cos</i> <i>t</i>

 





 

 



 

 

  

 

   

  

   

   







Vậy

2 2

0 0

sin

2 2

2 4

sin ₀

<i>x</i> <i>cosx</i>

<i>I I</i> <i>I</i> <i>dx</i> <i>dx x</i> <i>I</i>

<i>x</i> <i>cosx</i>

 



 



       



</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

<b>Bài 2:</b> Tính

3
2

3 3

0

sin
sin

<i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x cos x</i>









Giải:

Đặt <i>x</i> 2 <i>t</i> <i>dx</i> <i>dt</i>



   

Đổi cận:

x 0

2



t

2



0

Khi đó:

3

0 2 3 2 3

3 3 3 3

3 3 ₀ ₀

2

sin

s s

2

s sin s sin

sin s

2 2

<i>t</i>

<i>co t</i> <i>co x</i>

<i>I</i> <i>dt</i> <i>dt</i> <i>dx</i>

<i>co t</i> <i>t</i> <i>co x</i> <i>x</i>
<i>t</i> <i>co</i> <i>t</i>

 





 

 



 

 

  

 

   

  

   

   







Vậy

3 3

2 2

3 3

0 0

sin

2 2

sin 2 4

0

<i>x cos x</i>

<i>I I</i> <i>I</i> <i>dx</i> <i>dx x</i> <i>I</i>
<i>x cos x</i>

 



 



       







<b>Bài 3:</b> Tính các tích phân:
1

0

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>e</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>e</i> <i>e</i>






và
1
0

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>e</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>e</i> <i>e</i>









Ta có:

1
0

1

<i>I J</i> 

_

<i>dx</i>









1 1 2

1

0 0

1 1

ln ln ln 2 ln

0 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>d e</i> <i>e</i>

<i>e</i> <i>e</i> <i>e</i>

<i>I J</i> <i>dx</i> <i>e</i> <i>e</i> <i>e e</i>

<i>e</i> <i>e</i> <i>e</i> <i>e</i> <i>e</i>




 

 



 

        

 





Từ đó suy ra:

2

1 1

1 ln

2 2

<i>e</i>
<i>I</i>

<i>e</i>

  

 _  _

 _và 2

1 2

1 ln

2 1

<i>e</i>
<i>J</i>

<i>e</i>

 

 _  _



 

<b>Bài 4:</b> Tính
2
0

1 sinx
ln

1+cosx

<i>I</i> <i>dx</i>







_

Giải:

Đặt <i>x</i> 2 <i>t</i> <i>dx</i> <i>dt</i>



   

Đổi cận:

x 0

2



t

2



0

Khi đó:

0 2 2

0 0

2

1 sin

1 s t 1 s x

2

ln ln ln

1+sint 1+sinx
1+cos

2

<i>t</i>

<i>co</i> <i>co</i>

<i>I</i> <i>dt</i> <i>dt</i> <i>dx</i>

<i>t</i>

 






 

 _  _

 

 

  

 



 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

Vậy





2 2 2 2

0 0 0 0

1 1 s 1 1 s

2 ln ln ln . ln1 0 0 0

1 sinx 1 s x 1 sinx 1 s x

<i>cosx</i> <i>inx</i> <i>cosx</i> <i>inx</i>

<i>I I</i> <i>I</i> <i>dx</i> <i>dx</i> <i>dx</i> <i>dx</i> <i>I</i>

<i>co</i> <i>co</i>

   

   

   

   _  _  _ _     

   

   









<b>Bài 5:</b> Tính

6
2

6 6

0

sin
sin

<i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x cos x</i>









Giải:

Đặt <i>x</i> 2 <i>t</i> <i>dx</i> <i>dt</i>



   

Đổi cận:

x 0

2



t

2



0

Khi đó:

6

0 2 6 2 6

6 6 6 6

6 6 ₀ ₀

2

sin

s s

2

s sin s sin

sin s

2 2

<i>t</i>

<i>co t</i> <i>co x</i>

<i>I</i> <i>dt</i> <i>dt</i> <i>dx</i>

<i>co t</i> <i>t</i> <i>co x</i> <i>x</i>
<i>t</i> <i>co</i> <i>t</i>

 





 

 



 

 

  

 

   

  

   

   







Vậy

6 6

2 2

6 6

0 0

sin

2 2

sin 2 4

0

<i>x cos x</i>

<i>I I</i> <i>I</i> <i>dx</i> <i>dx x</i> <i>I</i>
<i>x cos x</i>

 



 



       







<b>Bài 6:</b> Tính





2
0

sin sin

<i>I</i> <i>x nx dx</i>





_



Giải:

Đặt <i>t</i>   <i>t</i> <i>dt</i><i>dx</i>
Đổi cận:

x 0 2

t  

Khi đó:

















sin sin sin sin

<i>I</i> <i>t</i> <i>n</i> <i>t dt</i> <i>t n</i> <i>nt dt</i>

 

 

  







_

   

_

 

















sin sin<i>t nt cos n</i> <i>dt</i> sin sin<i>t nt in n</i>s <i>dt</i>

 

 

 

 



_

 

_











sin sin

<i>I</i> <i>t nt cos n</i> <i>dt</i>








 

_



(do sin



<i>n</i>



0)
Đặt <i>y</i> <i>t</i> <i>dy</i><i>dt</i>

Đổi cận:

t  

y  

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

























sin sin sin sin sin sin

<i>I</i> <i>y</i> <i>ny cos n</i> <i>dy</i> <i>y ny cos n</i> <i>dy</i> <i>y ny cos n</i> <i>dy</i>

  

  

  



 



_

_   _ 

_

  

_











sin sin<i>t nt cos n</i> <i>dy</i> <i>I</i>










_

 

0

<i>I</i> <i>I</i> <i>I</i>

   

<b>Bài 7:</b> Tính





2

3
0

4sin
sin

<i>x</i>

<i>I</i> <i>dx</i>

<i>x cosx</i>









Giải:

Đặt <i>x</i> 2 <i>t</i> <i>dx</i> <i>dt</i>



   

Đổi cận:

x 0

2



t

2



0

Khi đó:









0 2 2

3 3 3

0 0

2

4sin

4 s 4 s

2

s sin s sin

sin s

2 2

<i>t</i>

<i>co t</i> <i>co x</i>

<i>I</i> <i>dt</i> <i>dt</i> <i>dx</i>

<i>co t</i> <i>t</i> <i>co x</i> <i>x</i>
<i>t</i> <i>co</i> <i>t</i>

 





 

 



 

 

  

 

    

  

   

 

   

 



















2 2 2 2

3 3 2

2

0 0 0 0

4sin 4 s 4 4

2

sin sin sin ₂

4

<i>x</i> <i>co x</i>

<i>I I</i> <i>I</i> <i>dx</i> <i>dx</i> <i>dx</i> <i>dx</i>

<i>x cosx</i> <i>x cosx</i> <i>x cosx</i> <i>_cos</i> <i>_x</i>

   



      

 

   _

 

 









2 tan 2 2 2 4 2

4 ₀

<i>x</i> <i>I</i>




 

 _  _     

</div>

<!--links-->