BÀI TIỂU LUẬN MƠN:GIẢI TÍCH
Tên đề tài: GIỚI HẠN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN’
A MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài:
Trong toán học, khái niệm "giới hạn" được sử dụng để chỉ giá trị mà một
hàm số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến
một giá trị nào đó. Để giải quyết một số bài tốn như:tính thể tích V của
một bình hình trụ phụ thuộc vào bán kính đáy r và chiều cao h.Thực tế ta
biết V=
h .khi đó V là một hàm theo hai biến r và h. Bài tốn tính nhiệt
độ T tại một điểm trên bề mặt trái đất tại một thời điểm t cho trước phụ
thuộc vào kinh độ x và vĩ độ y tại điểm này chúng ta có thể coi T là một
hàm theo hai biến x và y,kí hiệu T=(x,y).Bài tốn về tốc độ phân hủy của
một chất bán rã tỉ tệ thuần với khối lượng của nó tại mỗi thời điểm hay bài
tốn xác định tầm đi xa R của đường bay của viên đạn bắn ra với vận tốc
ban đầu từ nòng súng tạo với đường nằm ngang một góc α được xác
định R=

và rất nhiều bài toán trong thực tế . Trong quá trình tính

tốn để xác định một dữ kiện nào đó ta thường phải sử dụng rất nhiều
thơng số,từ đó để giải quyết một cách có hiệu quả các bài tốn này ta đi
đến sự hình thành nên hàm số với hàm số nhiều biến số.Trong một không
gian đầy đủ khái niệm giới hạn cho phép ta xác định một điểm mới từ một
dãy Cauchy các điểm đã được xác định trước .giới hạn được sử dụng để
định nghĩa về tính liên tục ,đạo hàm và phép tính tích phân và là một nội
dung quan trọng khi nói đến hàm số và ở đây ta nói đến hàm số nhiều
biến .Chúng ta được biết trong hầu hết các bài toán của thực tế đối tượng
nghiên cứu thường là các hàm nhiều biến số chứ không chỉ là hàm một
biến như đã học ở giải tích một. Để nâng cao kiến thức lên một bậc chúng
ta đi đến nghiên cứu giới hạn của hàm nhiều biến số với nhiều ứng dụng

đặc biệt là những sinh viên nghành toán hiểu rõ hơn về vấn đề này nên em
chọ đề tài ‘giới hạn của hàm nhiều biến’ làm đề tài nghiên cứu của mình
2 Khái quát nội dung đề tài
Đưa ra hệ thống lý thuyết và hệ thống bài tập liên quan đến 'giới hạn của
hàm số nhiều biến'
3 Đối tượng ngiên cứu
• Giới hạn hàm số


• Giới hạn hàm số nhiều biến (đối tượng chính)
• Giới hạn lặp
• Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số,giới hạn hàm nhiều biến,giới hạn
lặp

•
•
•
•

4 Mục đích nghiên cứu:
Có hiểu biết đầy đủ về giới hạn của hàm số nhiều biến
Tạo tiền đề vững chắc cho việc giải bài tập đặt biệt là các bài tập liên
quan đến giới hạn của hàm số nhiều biến.Từ đó rèn luyện kỹ năng
kỹ xảo khi giải bài tập về giới hạn hàm nhiều biến
Tạo nền tảng vững chắc cho việc giải quyết các bài tập.Nhìn từ cái
trừu tượng đến tư duy logic giúp chúng ta giải nhanh hơn và dễ dàng
hơn khi giải lại các bài tốn tính giới hạn của hàm 1 biến hai biến..
Xây dựng thành công bài nghiên cứu về giới hạn của hàm số nhiều
biến.tìm hiểu them các dạng bài tập từ nhiều tài liệu tham khảo để
cung cấp một lượng kiến thức cần thiết cho người học toán và những

ai đam mê toán học
Nắm chắc giới hạn của hàm số nhiều biến cũng là tiền đề quan trọng
một bước đệm để nâng cao trình độ của bản thân dễ tiếp cận đến các
bài toán liên quan sau này sẽ học như cực trị của hàm số nhiều biến,
đạo hàm riêng, vi phân vi phân cấp cao…

5 Nhiệm vụ nghiên cứu:
 Tìm hiểu rõ các khái niệm:
Giới hạn hàm số
Giới hạn lặp
Giới hạn hàm nhiều biến
 Tìm tập xác định,tập giá trị ,đồ thị của các hàm số đó,biểu diễn hình
học của các hàm số đó
 Các phương pháp tính giới hạn của hàm 1 biến, 2 biến, 3 biến…,n
biến
 Giải quyết thắc mắc mối quan hệ giữa các giới hạn trên
 Đưa ra bài tập về các dạng
Bài tập về tồn tại giới hạn hàm nhiều biến


Bài tập về không tồn tại giới hạn hàm nhiều biến
Bài tập về tồn tại giới hạn nhưng không tồn tại giới hạn lặp
• Bài tập về tồn tại giới hạn lặp nhưng không tồn tại giới
hạn hàm nhiều biến số hay hàm số
• Bài tập về tồn tại giới hạn lặp khác nhau
• Bài tập về tồn tại giới hạn lặp bang nhau
• Bài tập về tồn tại giới hạn lặp này nhưng không tồn tại
giới hạn lặp kia
 chỉ ra sự khác biệt giữa các hàm số ,hàm nhiều biến số
giới hạn lặp

6 Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi bao trùm chủ yếu ở trong ‘giới hạn hàm số nhiều biến’
7 Kết cấu đề tài gồm 4 phần chính
 A Mở đầu
 B Nội dung kiến thức cần nắm
 C Kết luận
 D Tài liệu tham khảo
B NỘI DUNG:
CHƯƠNG I : Cở sở lý thuyết
1 Hàm số nhiều biến:
 Định nghĩa :
Một hàm n biến là 1 quy tắc f: D Ϲ

→R

Với D là một tập hợp con của không gian n chiều

Cho tương ứng mỗi

điểm M ( , ,…,
D với một và chỉ một giá trị f(M) R .Trong đó
D được gọi là miền xác định của hàm số
Ta sử dụng kí hiệu
U = f ( , ,…, ) nếu ( , ,…, ) D để chỉ hàm số này.
 Trong tập hợp

ta có hàm 2 biến số

Một hàm 2 biến là một quy tắc f : D Ϲ


→R

Với D là một tập hợp con của không gian 2 chiều
Ta nói dãy điểm
→

(

) dần đến điểm

(

) và viết

nếu dãy khoảng cách d(
) dần đến 0 khi n tiến đến
Ta sử dụng kí hiệu
A = f(x,y) . Biểu diễn theo hàm hai biến


 Trong tập hợp

ta có hàm 3 biến số

Một hàm 3 biến là một quy tắc f : D Ϲ

→R

 Với D là một tập hợp con của không gian 3 chiều
 Ta nói dãy điểm

(
) dần đến điểm
(
)
và viết

→
nếu dãy khoảng cách d(
) dần đến 0 khi n
tiến đến

Ta sử dụng kí hiệu
 A = f(x,y,z) . Biểu diễn theo hàm ba biến

2 Giới hạn hàm số
2.1Giới hạn hàm hai biến số:
2.1.1 Định nghĩa 1
Ta nói dãy điểm
dần đến điểm
d(

nếu dãy khoảng cách

, ) dần đến 0 khi n tiến đến
Nhận xét

Vì d (

) =


VD1: (

Nên
(

,

)

khi (n

Các định nghĩa tương đương
- Định nghĩa 2: L là giới hạn của hàm số f(x,y) khi
Cho hàm hai biến số :Z=f(x,y) xác định trên D
) hay M(x,y)

nên

>0 ,

(

δ>0

d(M, )<δ thì ǀf(M)-Lǀ<
- Định nghĩa 3: Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định trong lân cận V
nào đó của điểm
(có thể trừ điểm ) ta nói L là giới
hạn của hàm số f(x,y) khi M(x,y) tiến đến
=L

2.2 Giới hạn hàm số ba biến

ta đều có


-Cho hàm ba biến số :Z=f(x,y,z) xác định trên D

(

D.Hàm f(x,y,z) được gọi là có giới hạn khi (x,y,z) dần (
.Nếu >0 ,
thì d(f(x,y,z),a)<ε.
-Kí hiệu :

δ,

(x,y,z) mà d((x,y,z),(

)
,

,

)
)<δ

=a

2.3 Các tính chất của hàm số
Giả sử f(M),g(M) là hai hàm số có giới hạn khi A


.Khi đó

=
=
=

=
NHẬN XÉT
Các tính chất của tổng, tích, thương của hàm nhiều biến hồn tồn tương
tự như tổng, tích, thương của hàm một biến

2.4 Giới hạn hàm số nhiều biến:
• Ta nói rằng dãy điểm {
) Trong

và viết

Dần tới điểm

(

Khi n

Nếu
) = 0 Hay
• Giả sử hàm số z =f(M) =f(x,y)
Xác định trong một lân cận V nào đó của điểm
có thể trừ tại điểm


.Ta nói rằng hàm số

f(x,y) có giới hạn là l khi M dần đến
dãy điểm
đều có :

nếu với mọi

thuộc lân cận V dần về
=l

ta


• Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa
tương tự như đối với hàm số một biến
 NHẬN XÉT :
Theo định nghĩa trên, muốn chứng minh sự tồn tại giới
hạn của hàm số nhiều biến là một việc khơng đơn giản
vì phải chỉ ra
= l với mọi dãy số {
}
-Trong thực hành muốn tìm giới hạn của hàm số nhiều
biến phương pháp chứng minh chú ý là đánh giá hàm số
dung nguyên lý giới hạn kẹp để đưa về giới hạn của
hàm số 1 biến
2.5 Miền xác định, miền giá trị, và đồ thị của hàm số nhiều biến
2.5.1 Tập xác định
Miền xác định của hàm số nhiều biến:
-f :D

R
M

z

f(M)

+ Miền xác định D
làm cho z f(M) xác định được gọi
là miền xác định của hàm nhiều biến .
+ Cho hàm số f: →R f(
)=
Miền xác định của hàm số này là
D = {M
:
1}
Iền xác định tự nhiên của hàm số nhiều biến này là các
bộ n số sao cho khi thay vào biểu thức của hàm số thì
các phép tốn đều có nghĩa
-Vd1: f(x,y) ln(xy)Có tập xác định D {(x,y)
/xy>0
-Vd2 : Tìm miền xác định của hàm số sau z= f (x,y)=
Z

khi
1
+


D={(x,y)

}
2.5.2Miền giá trị của hàm số nhiều biến
Miền giá trị của hàm số u=

là tập hợp tất cả

các giá trị của hàm số khi điểm M
trong miền xác định D
Vd2: hàm số

biến thiên

x-y có tập giá trị là T

-VD3 : Arc
Có miền giá trị là MGT= {
2.5.3 Đồ thị của hàm số nhiều biến :
Vd hàm số ba biến
= {(x,y,z) / (x,y) D,z

f(x,y)}

3 Định nghĩa giới hạn lặp :
Cho hàm số z

(

f(x,y)

)


• Cố định y, nếu

D
thì đây là hàm số

theo biến y
Nếu

thì giới hạn này được

gọi là giới hạn lặp của hàm f (x,y)
• Cố định x , , nếu

thì đây là hàm

số theo biến x
Nếu

thì giới hạn này được

gọi là giới hạn lặp của hàm f (x,y)
Vậy

CHƯƠNG 2 BÀI TẬP
 Kiến thức cần nắm bắt khi làm bài tập và các dạng bài
tập


 Nếu bài toán tồn tại giới hạn lặp đồng thời vai trị của các

biến x,y, như nhau thì giới hạn lặp theo biến x hay theo biến y
của bài tốn đó có kết quả như nhau
 Chú ý : Chúng ta phân biệt khái niệm giới hạn nói trên khi
x,y đồng thời tiến đến
với hai giới hạn lặp

Nói chung giới hạn đồng thời và giới hạn lặp không liên
quan với nhau
 Có khi hàm số tồn tại giới hạn đồng thời nhưng
không tồn tại giới hạn lặp (Qua phần bài tập ở
phần B để hiểu đầy đủ hơn )
 Có khi bài tốn có giới hạn lặp nhưng ko tồn tại
giới hạn lặp (Qua phần bài tập ở phần B để hiểu
đầy đủ hơn )
 Và có khi bài toán tồn tại cả giới hạn lặp và giới
hạn đồng thời
 Các dạng toán và phương pháp giải toán ở hàm số
nhiều biến
-Ở phần bài tập về hàm số nhiều biến ta học chủ yếu bốn
dạng tốn vơ định sau
•
•
•
• 0
 Các phương pháp giải
- chia cả tử và mẫu cho biến số có số mũ cao nhất
-nhân lượng liên hợp để rút gon trên tử dưới mẫu để
đưa về bài toán dễ hơn
p
L Hopital để giải …



 Ở hàm số nhiều biến ta cũng sử dụng các phương pháp này
để giải và đa số sử dụng nhiều giới hạn kẹp và phương pháp
nhận xét đánh giá để giải bài toán nhanh và hiệu quả
-Định lý giới hạn kẹp giả sử f(x,y) , g(x,y) , h(x,y)
Cùng xác định trên D và h(x,y) f(x,y) g(x,y)
Lim h(x ;y) = lim g(x,y)=0 khi đó f(x ;y) =0
Dạng 1 : Tính giới hạn bằng định nghĩa
Bài tập 1
a) CMR:
=0

với f(x,y)=x+y

Ta chứng minh như sau :
ε>0

δ= :

(x,y) mà

<δ

Chứng minh được

=ε

Vậy


=0

b) CMR :

=1

Ta chứng minh như sau :
ε>0

δ=

:

(x,y) mà

<δ

ε
ε



=ε

=
Vậy
=1

Ngồi việt tính giới hạn bằng định nghĩa khi gặp một số bài toán hơn rắc
rối khó có thể giải theo cách xác định

hơn chúng ta đến cách giải bài
tập bằng định lý kẹp và phương pháp nhận xét đánh giá
Dạng 2: Bài tập không dùng
mà dùng định lý kẹp và phương pháp
nhận xét đánh giá
Bài tập 2:Tính các giới hạn sau


a)
b
c)
d
e)
f)
BÀI GIẢI
a)
Ta có :
y

=
b
Ta có :
0

ǀ ǀ ǀ

Theo định lý kẹp ta có

c)



Ta có (

-2

Mà 0

ǀ

Theo định lý kẹp ta có :
=0
d
Ta có
0

ǀ

ǀ

ǀ y

Theo định lý kẹp ta có
=0
e)
Xét giới hạn

Ta có 0
ǀ
Theo định lý kẹp suy ra
=0

f)
Ta có 0
Theo định lý kẹp ta suy ra

=0


Thực tế có rất nhiều bài tốn khơng tồn tại giới hạn.Vậy với dạng bài tập
không tồn tại chúng ta phải giải như thế nào chúng ta cùng đến với
Dạng 3 : Bài tập về không tồn tại giới hạn
BÀI TẬP 3
a)
b)

g)

c)

h)

d)

j)

e)

k)
BÀI GIẢI

a)

Ta có
Chọn dãy (

)= { , }→(0,0) khi n →

f(

=1

)=

Chọn dãy (

, ) ={ , }→(0,0) khi n →

Khi đó
f(

)=

=


f(

)

f(

) nên


Do đó khơng tồn tại giới hạn của hàm số đã cho
b)
Ta có

=
Chọn dãy (
Khi đó f(
Chọn dãy (
f(

)= { , }→(0,0) khi n →
)=

=1

, ) ={ , }→(0,0) khi n →

)=

=2
 cho f(
nên

)

f(

)



 Do đó khơng tồn tại giới hạn
của hàm số đã
c)
Ta có
Chọn dãy (

=
)= { , }→(0,0) khi n →


Khi đó f(

)=

Chọn dãy Chọn dãy (

f(
Do f(

)

=0
, ) ={ , }→(0,0) khi n →

)=

=

f(


) nên

Do đó khơng tồn tại giới hạn của hàm số đã
d)
Ta có

=

Chọn dãy Chọn dãy (

)= { ,0 }→(0,0) khi n →

Khi đó f(

)=

Chọn dãy Chọn dãy (
Khi đó f(
Do f(

)=
)

f(

=1

, ) ={


, }→(0,0) khi n →

=2
) nên

Do đó khơng tồn tại giới hạn của hàm số đã
e)


Ta có

=

Chọn dãy (

)= { ,0 }→(0,0) khi n →

Khi đó f (

)=

Chọn dãy (

=1

, ) ={

, }→(0,0) khi n →

Khi đó f (

Do f(

)

f(

)=

=

) nên

Ta có

=

Chọn dãy (

)= { ,0 }→(0,0) khi n →
Khi đó f(

)=

=0

Chọn dãy (

, ) ={ , + }→(0,0) khi n →

Khi đó f(


)=

Do f(

)

f(

=
) nên


Do đó khơng tồn tại giới hạn của hàm số đã
g)

Ta có

=

Chọn dãy (

)= { ,

Khi đó f(

)=

Chọn dãy (


, ) ={ ,

Khi đó f (

) =

Do f (

)

f(

}→(0,0) khi n →
=

}→(0,0) khi n →

) nên

Do đó khơng tồn tại giới hạn của hàm số đã cho
h)

Ta có

Chọn dãy (

=

)= { ,


}→(0,0) khi n →


Khi đó f(

)=

=

=

Chọn dãy (

, ) ={ , }→(0,0) khi n →

Khi đó f(

)=

=

Do đó khơng tồn tại giới hạn của hàm số đã cho
j)
=
=
Với f(x,y) =

Ta có

=


Chọn dãy (
Khi đó f(
(Vì n

)= { , }→(0,0) khi n →
)=

nên

Chọn dãy (

=

=3

1)
, ) ={ , }→(0,0) khi n →


Khi đó f(

)=

(Vì n

nên

Do f(


)

=

=2

1)
f(

) nên khơng tồn tại

Do đó không tồn tại giới hạn của hàm số đã cho
k)

=
=

+

=0+

Ta xét :

=

Chọn dãy (

)= {

, }→(0,0) khi n →


Khi đó f(

)=

Chọn dãy (

, ) ={ ,0 }→(0,0) khi n →

(

)=

= 1

= -1


Do f(

)

f(

) nên

Do đó khơng tồn tại giới hạn của hàm số cho
Dạng 4: bài tập về giới hạn lặp
4.1 bài tập về tồn tại giới hạn lặp này nhưng khơng tồn tại giới hạn
lặp kia

• Cho hàm số f(x,y) = x
+ ta có

=

+ xét

)

) =

Chọn

=
=

=0

Chọn

=
=

= -1


Vậy bài tốn tồi tại

=


)
 Nhưng không




4.2 Bài tập về tồn tại giới hạn nhưng không tồn tại giới hạn lặp
a)

Xet giới hạn

Ta có 0
ǀ
Theo định lý kẹp suy ra
=0
Tuy nhiên từng giới hạn lặp không tồn tại
Thậy vậy :
-Vai trò của x,y là như nhau nên ta có thể xét giới
hạn lặp theo x trước y sau
Với y
=
Vì vai trị của x,y như nhau nên ta chỉ cần chứng
minh theo biến x không tồn tại thì suy ra theo biến y
cũng khơng tồn tại

Chọn

=
=


=0

Chọn

=
=

= -1


do x y có



vai trị như nhau nên cũng
khơng tồn tại
Vậy bài tốn tồn tại giới hạn nhưng khơng tồn tại giới
hạn lặp

Và
4.3 bài tập về tồn tại giới hạn lặp khác nhau
BÀI TẬP 6
Tính giới hạn lặp của các hàm số sau :
a)
b)

c)

d)
BÀI GIẢI

a)

Ta có
=

=1
= -1

Vậy hàm số có giá trị của giới hạn lặp khác nhau


b)
Ta có
=

=1

=

= -1

Vậy

hàm số có giá trị của giới hạn lặp khác nhau
c)

Ta có :
•

=

=

=1

•

=

=

= -1

Vậy hàm số có giá trị của giới hạn lặp khác nhau
d)
Ta có
=

=1


=

=

1Vậy hàm số có giá trị của giới hạn lặp khác nhau
4.4 Bài tập về tồn tại giới hạn lặp bằng nhau
BÀI TẬP 7
Tính giới hạn lặp của hàm số
7.1
7.2

7.3
7.4
7.5

BÀI GIẢI
7.1
Ta có
=

=1

=

=1


Do

=

=

=

=1

Nên hàm số đã cho có giới hạn lặp bằng nha
7.2

Ta có

=

=
=
=

Do

Nên hàm số đã cho có giới hạn lặp bằng nhau
7.3

Ta có
=

=0


=

Do

=
=0

Nên hàm số đã cho có giới hạn lặp bằng nhau
7.4
Ta có

=


=

=

=
Nên hàm số đã cho có giới hạn lặp bằng nhau

7.5

Ta có
=

=0

=

=0

Vậy hàm số có giới hạn lặp bằng nhau

Ta có :
=

=0