PHẦN MỞ ĐẦU
1. Nội dung chọn đề tài
Hàm số trong

.

2. Lí do chọn đề tài
Hàm sớ là một khái niệm cơ bản của tốn học giải tích. Các bài tốn về
hàm số rất đa dạng và phong phú, các vấn đề về hàm số được áp dụng vào dạy
học trong chương trình tốn học trung học phổ thơng và thường xuyên xuất
hiện trong các kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng… nhưng trong tốn giải
tích ở trường trung học phổ thông ta chỉ đi nghiên cứu trong phạm vi hàm một

biến ở trong tập số thực

và đồ thị hàm số trong không gian Oxy. Nhưng với

những yêu cầu ngày càng cao của toán học, các nhà toán học dần mở rộng

khái niệm hàm số lên các không gian cao hơn như

. Khi giải quyết các bài toán về hàm sớ trên

,

… và tổng qt trên

có một sớ bài tốn về miền

xác định, miền giá trị rất khó giải hay phải trải qua nhiều giai đoạn khó khăn,
phức tạp và thậm chí mất rất nhiều thời gian nhưng vẫn chưa có kết quả chính

xác. Với mong ḿn tìm hiểu về hàm số trong

quan đến vấn đề hàm số trong

SV. Nguyễn Đình Thành

và các dạng bài tập liên

để phục vụ cho quá trình học tập và giảng

Trang 1


dạy sau này nên em chọn đề tài “Hàm số trong

’’ làm đề tài nghiên cứu

của mình.
3. Mục đích nghiên cứu đề tài
Nắm rõ được khái niệm hàm số trong

.

Nắm được các vấn đề và các dạng bài tập liên quan đến hàm số trong
.
4. Phương pháp nghiên cứu
Dựa trên các kiến thức đã có và tìm kiếm các dạng bài tập ở trên thư
viện, sách, báo, Internet và trên các diễn đàn sinh viên.
5. Đối tượng nghiên cứu

Hàm số và các vấn đề liên quan đến hàm số trong

PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.1. Định nghĩa
1.1.1. Hàm số trong
Cho không gian Euclide n chiều trong
là một bộ n số thực

. Một phần tử

. D là một tập hợp trong

. Ta ánh

xạ:

Xác định bởi:

D

là một hàm số của n biến số xác định trên D. Tập hợp D được gọi là tập xác
SV. Nguyễn Đình Thành

Trang 2


định (hay miền xác định) của hàm số f và (x1, x2, .., xn) được gọi là các biến số
độc lập.
Nếu xem (x1, x2, ..., xn) là các toạ độ của một điểm nào đó

trong một hệ tọa độ nào đó thì ta có thể viết

.

Trong trường hợp n = 2 hay n = 3 ta có hàm hai hay ba biến sớ.
Với n = 2 ta sẽ có định nghĩa hàm hai biến số như sau:
 Cho D

, ánh xạ

được gọi là hàm hai biến số.

Ký hiệu là :
Với n = 3 ta sẽ có định nghĩa hàm ba biến số như sau:
 Cho D

, ánh xạ

được gọi là hàm ba biến số.

Ký hiệu là :
1.1.2. Miền xác định của hàm nhiều biến số
Miền xác định của hàm nhiều biến số là các bộ n số sao cho khi thay
vào biểu thức của hàm sớ thì các phép tốn đều có ý nghĩa.
Miền xác định của hàm sớ n biến
sao cho
Trong trường hợp

là tập hợp
xác định.


hay

ta có miền xác định của hàm hai

hay ba biến sớ.

Với

ta sẽ có định nghĩa miền xác định của hàm hai biến số như

sau:

SV. Nguyễn Đình Thành

Trang 3


 Miền xác định của hàm số hai biến
sao cho

là tập hợp

xác định.

Với n = 3 ta sẽ có định nghĩa miền xác định của hàm ba biến số như
sau:
 Miền xác định của hàm số ba biến
sao cho


là tập hợp

xác định.

Ta quy ước rằng hàm số u được cho bởi biểu thức

mà

khơng nói gì thêm về miền xác định của nó thì miền xác định của u được hiểu
là tập hợp tất cả các điểm M sao cho biểu thức f(M) có nghĩa, và thường đó là
một tập hợp liên thông.
Với các hàm 2 biến số ta thường ký hiệu bởi g(x,y); f(x,y); u(x,y); ... với
.
Tương tự với hàm 3 biến số ta cũng ký hiệu bởi g(x, y, z); f(x, y, z);
u(x, y, z);... với

.

Việc tìm miền xác định của một hàm số thường được quy về việc giải
hệ bất phương trình một hoặc nhiều ẩn và thơng thường ta có thể biểu diễn
miền xác định này qua các hình vẽ trong tọa độ Đề-các.
Ví dụ: Tìm miền xác định của các hàm sớ sau:
a)
b)
c)
Giải
SV. Nguyễn Đình Thành

Trang 4



a)Hàm sớ

có miền xác định là tập

sao

cho
hay

Đó là hình tròn đóng tâm O bán kính bằng 1 được mơ tả qua hình sau:

Ngoài ra ta còn có thể mơ tả hình tròn đóng này bằng hệ phương trình:

b) Hàm sớ

có miền xác định là tập (x, y)

Đó là nửa mặt phẳng có biên là đường

thỏa mãn

được mơ tả qua hình sau:

Ngoài ra ta còn có thể mơ tả nửa mặt phẳng này bằng hệ bất phương trình:

SV. Nguyễn Đình Thành

Trang 5



c) Hàm sớ

có miền xác định là tập hợp (x, y, z)

thỏa mãn

Đó là hình cầu mở tâm O có bán kính bằng 3 được mơ tả qua hình sau:

Ngoài ra ta còn có thể mơ tả hình cầu mở này bằng bất phương trình:

1.1.3. Miền giá trị của hàm nhiều biến số
Miền giá trị của hàm số

là tập hợp tất cả các giá

trị của hàm số khi điểm

biến thiên trong miền xác định D.

Từ đó định nghĩa miền giá trị của hàm sớ n biến thì ta có thể suy ra
định nghĩa của hàm 2 và 3 biến.
Với

ta có định nghĩa miền giá trị hàm hai biến như sau:

 Miền giá trị của hàm số
của hàm số khi điểm
SV. Nguyễn Đình Thành


là tập hợp tất cả các giá trị

biến thiên trong miền xác định D.
Trang 6


Với

ta có định nghĩa miền giá trị hàm ba biến như sau:

 Miền giá trị của hàm số

là tập hợp tất cả các

giá trị của hàm số khi điểm

biến thiên trong miền xác định D.

Ví dụ:
 Hàm sớ

, trong đó D:

,

có miền giá trị của hàm sớ là tất cả các giá trị của trục số thực

bỏ đi các giá

trị nằm trong đoạn (-∞;0).

 Hàm sớ

, trong đó D:

,

, có

miền giá trị của hàm số là tất cả các giá trị của trục số thực

.

1.1.4. Đồ thị của hàm số trong
1.1.4.1. Định nghĩa đồ thị hàm số n biến
Đồ thị của hàm số n biến là một tập hợp điểm trong khơng gian (n+1)
chiều xác định như sau:
Trong đó S là miền xác định của hàm số.
1.1.4.2. Vẽ đồ thị của hàm số trong
Như ta đã biết, trong tọa độ Đề-các Oxyz, hàm
trên miền D. Như vậy với mỗi điểm
một điểm

với

xác định

sẽ cho tương ứng duy nhất
. Khi M chạy trong D thì điểm P di

chuyển trong khơng gian sẽ vạch nên một mặt (S). Mặt (S) được gọi là đồ thị

của hàm hai biến
Ví dụ: Đồ thị của hàm sớ

được

biểu diễn như sau:
SV. Nguyễn Đình Thành

Trang 7


Với mỡi sớ c, phương trình f (x, y) = c cho tập hợp nghiệm là một
đường cong trong mặt phẳng. Đường cong này được gọi là đường mức c và
dễ biểu diễn hơn hẳn các điểm trong không gian 3 chiều đường mức của hàm
f (x, y) nói trên là như hình vẽ bên.

1.1.4.3. Dùng MATLAB để vẽ một số đồ thị hàm hai biến
Trong thực tế việc vẽ đồ thị hàm sớ có nhiều biến bằng tay là rất
khó nên ta thường dung các cơng cụ là các phần mềm máy tính để vẽ
mà cụ thể ở đây em dùng phần mềm MATLAB để vẽ:
Sử dụng hàm ezsurf() hoặc surf() trong MATLAB để vẽ đồ thị
của hàm hai biến

trong miền xác định [a, b]× [c, d].

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm



Dùng hàm ezsurf(): ezsurf(‘sqrt(4-2*x^2-3*y^2)’)

Dùng hàm surf():

meshgrid
Z=sqrt(

*

*

surf
Kết quả ta sẽ thu được đồ thị của hàm

SV. Nguyễn Đình Thành

như sau:

Trang 8


Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm z = cos(xy).



Dùng hàm ezsurf(): ezsurf(‘cos(xy)’,[-3 3 -3 3])
Dùng hàm surf():
meshgrid
Z= cos(X.*Y);
surf

Kết quả ta sẽ thu được đồ thị của hàm


như sau:

1.1.4.4. Khó khăn khi vẽ đồ thị của hàm số trong
Khi ta xét những bài tốn hàm sớ nhiều biến có

thì sẽ trở nên

khó khăn hơn bởi ta khơng có phương tiện biểu diễn đồ thị một cách trực tiếp.
Ta không biết được hình dạng của hàm 3 biến trong khơng gian, nhưng
ta có thể dùng các đường mức để biểu diễn hình học hàm 3 biến. Thay cho

SV. Nguyễn Đình Thành

Trang 9


các đường mức

ta có các mặt mức. Mặt mức sẽ là cơng cụ để ta có thể

biểu diễn đồ thị của hàm sớ nhiều biến có

.

1.1.4.5. Một số đờ thị trong không gian
a) Mặt phẳng
Mặt phẳng là đồ thị của hàm hai biến tuyến tính, nói cách khác phương
trình


mặt

phẳng

có

dạng:

Chẳng hạn
định trên

trong

có

đó

, hàm sớ xác

.

Ta có ví dụ về mặt phẳng qua hình vẽ sau đây:

b) Ellipsoid
Ellipsoid là mặt cong, phương trình chính tắc có dạng

Đây là hàm hai biến cho dưới dạng ẩn. Hàm số là đa trị. Chẳng hạn coi
z là biến phụ thuộc và x và y thì miền xác định là hình Ellipsoid có các bán
trục a và b:


Khi

ta có mặt cầu tâm gớc tọa đồ và bán kính là

R:
SV. Nguyễn Đình Thành

Trang 10


Ta có thể mơ tả Ellipsoid qua hình vẽ sau:

c) Paraboloid elliptic
Phương trình chính tắc của Paraboloid elliptic có dạng
Miền xác định của hàm số là trên
dạng

.

. Khi a = b tức là phương trình có

đó được gọi là Paraboloid hình tròn xoay.

SV. Nguyễn Đình Thành

Trang 11


Ta có thể mơ tả Paraboloid elliptic qua hình vẽ sau:


d) Mặt trụ
Mặt

bậc 2
trụ ellipticcó phương trình chính

tắc là:

Mặt trụ hyperbolic có phương trình chính tắc là:

SV. Nguyễn Đình Thành

Trang 12


Mặt trụ parabolic có phương trình chính tắc là:

e) Mặt nón bậc 2
Phương trình chính tắc của mặt nón có dạng:

Phương trình mặt nón được mơ tả qua hình sau:

Chương 2: HỆ THỐNG BÀI TẬP

SV. Nguyễn Đình Thành

Trang 13


Trong bài tiểu luận này ta chỉ xét những bài tập trong

và từ đó có thể suy rộng lên các dạng bài tập ở

và trong

.

2.1 Bài tập trong
Tìm miền xác định và miền giá trị của các hàm số sau:
a)

;

b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)

j)
k)
l)
Giải
a)Hàm số

xác định khi

Vậy miền xác định của hàm số đã cho là tập hợp

Miền xác định của hàm số là miền mở được nằm phía trên bên trục Ox
phải trục Oy và miền mở nằm phía bên dưới trục Ox và bên trái trục Oy.
SV. Nguyễn Đình Thành

Trang 14


Ta có thể biễu diễn qua hình sau:

Miền giá trị của hàm số
số thực

là là tất cả các giá trị của trục

.

b) Hàm số

xác định khi

Miền xác định của hàm sớ đã cho là tập hợp
Ta có thể biểu diễn miền xác định này qua miền mở nằm giữa hai
đường thẳng

,

SV. Nguyễn Đình Thành

nằm ở bên phải trục Oy.


Trang 15


Miền giá trị của hàm số
của trục số thực

là là tất cả các giá trị

bỏ đi các giá trị trong nửa khoảng (-∞;0].

c) Hàm số f(x,y)=

xác định khi

Miền xác định của hàm sớ

là

tập hợp
}
Miền xác định của nó là vành khun đóng giới hạn bởi các đường tròn
,

SV. Nguyễn Đình Thành

Ta có thể biểu diễn miền xác định bằng hình sau:

Trang 16



Miền giá trị của hàm số f(x,y)=
các giá trị của trục số thực

là tất cả

bỏ đi các giá trị trong đoạn (-∞;0).

d) Hàm số

xác định khi
-1

Miền xác định của hàm sớ

là tập hợp

Miền xác định của nó là miền mở nằm đối xứng hai bên của trục Oy và
bị giới hạn bởi hai đường thẳng

.
y

1-x<=y<=1+x; x>0
1+x<=y<=1-x; x<0

8

y=1+x
y=1-x


6
4
2

x
-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

-2
-4
-6
-8

Miền giá trị của hàm số
trục số thực

là tất cả các giá trị trên


.

e) Hàm số

xác định khi

Miền xác định của hàm số đã cho là tập hợp
SV. Nguyễn Đình Thành

Trang 17


y

0
8
6
4
2

x
-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-2

-4
-6
-8

Miền giá trị của hàm số f(x,y)=
thực

là là tất cả các giá trị của trục số

bỏ đi các giá trị trong đoạn (-∞;0).

f) Hàm số

xác định khi

Miền xác định của hàm sớ đã cho là tập hợp
Ta có thể biễu diễn miền xác định là mặt phẳng Oxy bỏ đi phần đồ thị
của đường cong

SV. Nguyễn Đình Thành

.

Trang 18


Miền giá trị của hàm số
thực

là tất cả các giá trị của trục số

bỏ đi giá trị 0.

g) Hàm số

xác định khi

Miền xác định của hàm số đã cho là tập hợp
Miền xác định của hàm sớ có thể biểu diễn là miền mở nằm bên phải
trục Oy và được giới hạn bởi hai đường thẳng
với n

và

và n chẵn. Ta có thể biễu diễn qua hình vẽ sau:

Miền giá trị của hàm số
của trục số thực

là tất cả các giá trị

.

h) Hàm số

xác định khi

Miền xác định của hàm số đã cho là tập hợp

SV. Nguyễn Đình Thành

Trang 19


Miền giá trị của hàm số
thực

là tất cả các giá trị của trục số

.

i) Hàm số

xác định khi

Miền xác định của hàm số đã cho là tập hợp
Miền xác định của hàm sớ có thể biểu diễn là miền mở nằm trên trục
Ox và được giới hạn bởi hai đường thẳng

và

. Ta có thể biểu

diễn qua hình vẽ sau:

Miền giá trị của hàm số
trục số thực

là tất cả các giá trị của

.

j) Hàm sớ

xác định khi


SV. Nguyễn Đình Thành

Trang 20


Miền xác định của hàm số đã cho là tập hợp
Miền giá trị của hàm sớ có thể biễu diễn bằng phần giới hạn bên trong
của elip có các bán trục là a và b. Ta có thể biểu diễn qua hình vẽ sau:

Miền giá trị của hàm sớ f(x,y)=
trục số thực

là tất cả các giá trị của

bỏ đi các giá trị từ (-∞;o).

k) Hàm số

xác định khi


Vậy miền xác định của hàm số đã cho là tập hợp
Miền giá trị của hàm sớ có thể biễu diễn bằng phần trong của elip có

các bán trục là a và b. Ta có thể biểu diễn qua hình vẽ sau:

SV. Nguyễn Đình Thành

Trang 21


Miền giá trị của hàm số

là tất cả các giá trị

thực của đoạn [-1; 1].
l) Hàm số

xác định khi


Vậy miền xác định của hàm số đã cho là tập hợp
Ta có thể biểu diễn miền xác định là phần mặt phẳng nằm ngoài
Parabol.

Miền giá trị của hàm số
trị của trục sớ thực

là là tất cả các giá

.

SV. Nguyễn Đình Thành

Trang 22


2.2 Bài tập trong
Tìm miền xác định và miền giá trị của các hàm số sau:
a)
b)
c)
d)
e)

f)
Giải
a) Hàm số

xác định khi


Miền xác định của hàm số đã cho là tập hợp
Tất cả những điểm thuộc mặt phẳng Oxyz nằm ngoài mặt nón
.
Miền giá trị của hàm sớ

nằm trong đoạn

SV. Nguyễn Đình Thành

là tất cả các giá trị thực

.

Trang 23


b) Hàm số

+

xác định khi


Miền xác định của hàm số đã cho là tập hợp

Là phần của không gian nằm trong mặt cầu

(kể cả

mặt cầu đó) và nằm ngoài mặt cầu

.

Miền giá trị của hàm số

+

c) Hàm số

là

xác định khi

Miền xác định của hàm số đã cho là tập hợp
Là tất cả các điểm thuộc hệ trục tọa độ Oxyz trừ điểm điểm
Miền giá trị của hàm số

là tất cả các giá trị

thực nằm trong đoạn [-1;1].
d) Hàm số

xác định khi

Miền xác định của hàm số đã cho là tập hợp

SV. Nguyễn Đình Thành

Trang 24


Miền giá trị của hàm số
trục số thực

là là tất cả các giá trị thực trên

.

e) Hàm số

xác định khi


Miền xác định của hàm số đã cho là tập hợp
Miền giá trị của hàm số đã cho là tất cả các giá trị thực trên trục số thực
.
f) Hàm số

xác định khi


Miền xác định của hàm số đã cho là tập hợp

Là tất cả các điểm nằm trong mặt cầu tâm O bán kính bằng 2. Thỏa

điều kiện

SV. Nguyễn Đình Thành

.

Trang 25