<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i><b> CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ</b></i>
<b>I- Các phương pháp cơ bản: </b>

<b>1) Phương pháp đặt nhân tử chung:</b>

Dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung.
A.B + A.C = A ( B + C).

Cách làm:

+ Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
+ Tìm nhân tử chung của các biến (lấy với số mũ nhỏ nhất).

+ Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử.
<i><b>VD1: Phân tích đa thức 14x</b></i>2_{y – 21 xy}2_{+ 28 x}2_y2_{thành nhân tử.}

Gv: Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên?
Hs: 7 vì ƯCLN (14, 21, 28) = 7.

Gv: Tìm nhân tử chung của các biến x2_{y, xy}2_{, x}2_y2 _?
Hs: xy

Gv: Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là gì?
Hs: 7xy

<i><b>Giaûi:</b></i>

14x2_{y – 21 xy}2_{+ 28 x}2_y2_{= 7xy. 2x – 7xy. 3y + 7xy. 4xy}
= 7xy. (2x – 3y + 4xy).

<i><b>VD2: Phân tích đa thức 10x( x – y) – 8y( y – x) thành nhân tử.</b></i>

Gv: Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ?

Hs: 2

Gv: Tìm nhân tử chung của x( x – y) và y( y – x)?
Hs: ( x – y) hoặc ( y – x).

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Hs: Đổi dấu tích 10x( x – y) = - 10x( y – x)
Hoặc đổi dấu tích – 8y( y – x) = 8y( x – y).
<i><b>Giải:</b></i>

10x( x – y) – 8y( y – x) = 10x( x – y) + 8y( x – y)
= 2( x – y).5x + 2( x – y).4y
= 2( x – y)( 5x + 4y).

<i><b>VD3: Phân tích đa thức 9x( x – y) – 10( y – x)</b></i>2_{thành nhân tử.}
Cách giải sai:

9x( x – y) – 10( y – x)2_{= 9x( x – y) + 10( x - y)}2
= ( x – y) [9x + 10( x – y)]
= ( x – y)(19x – 10y).
<i>Sai laàm:</i>

- Thực hiện đổi dấu sai: 9x( x – y) – 10( y – x)2_{= 9x( x – y) + 10( x - y)}2
- Sai lầm là do đổi dấu ba nhân tử: - 10 và ( y – x)2_{của tích – 10( y – x)}2
Vì – 10( y – x)2_{= - 10( y – x)( y –x).}

<i>Cách giải đúng:</i>

9x( x – y) – 10( y – x)2_{= 9x( x – y) - 10( x - y)}2

= ( x – y) [9x - 10( x – y)]
= ( x – y)(10y – x).

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử.

- Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích.
<b>2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

1.( A + B )2_{= A}2_{+ 2AB + B}2
2.( A - B )2_{= A}2_{- 2AB + B}2
3.A2_{- B}2_{= ( A + B )( A - B )}

4.( A + B )3_{= A}3_{+ 3A}2 _{B + 3AB}2_{+ B}3
5.( A - B )3_{= A}3_{– 3A}2_{B + 3AB}2_{- B}3
6.A3_{- B}3_{= ( A - B )( A}2_{+ AB + B}2₎
7.A3_{+ B}3_{= ( A + B )( A}2_{- AB + B}2₎

<i><b>VD4: Phân tích đa thức ( x + y )</b></i>2_{– ( x – y )}2_{thành nhân tử.}
Gv: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?

Hs: Có dạng A2_{- B}2
<i>Cách giải sai: </i>

( x + y )2_{– ( x – y )}2_{= ( x + y + x – y ) – ( x + y – x – y ) = 2x.0 = 0.}
<i>Sai lầm: Thực hiện thiếu dấu ngoặc.</i>

<i>Cách giải đúng:</i>

( x + y )2_{– ( x – y )}2_{= [( x + y ) + ( x – y )].[( x + y ) - ( x – y )]}

= ( x + y + x – y ).( x + y – x + y )

= 2x.2y = 4xy.

<i>Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể cho bài tập dưới </i>
dạng phức tạp hơn.

+ Phân tích đa thức ( x + y )3_{– ( x – y )}3_{thành nhân tử.}
+ Phân tích đa thức a6_{– b}6_{thành nhân tử.}

<i><b>VD5: Phân tích đa thức a</b></i>6_{– b}6_{thành nhân tử.}
<i><b>Giải:</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

= ( a + b )( a2_{+ ab + b}2_{)( a – b )( a}2_{- ab + b}2_).

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Quy tắc dấu ngoặc.

- Kỹ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán dựa vào các hạng tử, số mũ
của các hạng tử để sử dụng hằng đẳng thức thích hợp, chính xác.

<b>3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:</b>

Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử chung
hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức.

Cách làm:

+ Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.

+ Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
+ Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.

<i><b>VD6: Phân tích đa thức x</b></i>2_{– xy + x – y thành nhân tử.}
<i>Cách 1: ( x</i>2_{– xy ) + ( x – y )}

<i>Caùch 2: ( x</i>2_{+ x ) - ( xy + y )}
<i>Cách giải sai: </i>

x2_{– xy + x – y = ( x}2_{– xy ) + ( x – y )}
= x( x – y ) + ( x – y )
= ( x – y )( x + 0)

<i>Sai lầm: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung.</i>
<i>Cách giải đúng:</i>

x2_{– xy + x – y = ( x}2_{– xy ) + ( x – y )}
= x( x – y ) + 1.( x – y )
= ( x – y )( x + 1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i><b>Giaûi:</b></i>

x2_{– 2x + 1 – 4y}2_{= (x}2_{– 2x + 1) – ( 2y )}2
= ( x – 1 )2_{– ( 2y )}2

= ( x – 1 + 2y ) ( x – 1 – 2y )

<i><b>VD8: Phân tích đa thức x</b></i>2_{– 2x – 4y}2_{– 4y thành nhân tử.}
<i>Cách giải sai: </i>

x2_{– 2x – 4y}2_{– 4y = (x}2 _{– 4y}2 _{) – ( 2x – 4y)}

= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x – 2y )
= ( x – 2y )( x + 2y – 2 )

<i>Sai lầm: Đặt dấu sai khi nhóm hạng tử ở nhóm thứ hai.</i>
<i>Cách giải đúng:</i>

x2_{– 2x – 4y}2_{– 4y = (x}2 _{– 4y}2 _{) – ( 2x + 4y)}

= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x + 2y )
= ( x + 2y )( x – 2y – 2 )

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Lựa chọn các hạng tử thích hợp để nhóm hạng tử.

- Kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm các hạng tử của đa thức.
<b>II- Phối hợp các phương pháp cơ bản: Vận dụng và phát triển kỹ năng</b>
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ bản:

+ Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

<i><b>VD9: Phân tích đa thức x</b></i>4_{– 9x}3_{+ x}2_{– 9x thành nhân tử.}
Gv: Xét từng phương pháp

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

° x4_{– 9x}3_{+ x}2_{– 9x = x(x}3_{– 9x}2_{+ x – 9 )}
° x4_{– 9x}3_{+ x}2_{– 9x = ( x}4_{– 9x}3_{) + ( x}2_{– 9x)}
= x3_{( x – 9 ) + x( x – 9 )}

= ( x – 9 )( x3_{+ x )}
<i>Cách giải đúng:</i>

x4_{– 9x}3_{+ x}2_{– 9x = x( x}3_{– 9x}2_{+ x – 9 )}
= x[(x3_{– 9x}2_{) + ( x – 9 )]}

= x[x2_{( x – 9 ) + 1. ( x – 9 )]}
= x( x – 9 )(x2_{+ 1)}

<i><b>VD10: Phân tích đa thức A = ( x + y + z )</b></i>3_{– x}3_{– y}3_{– z}3_{thành nhân tử.}
Gợi ý: Aùp dụng hằng đẳng thức:

( A + B )3_{= A}3_{+ 3A}2 _{B + 3AB}2_{+ B}3
= A3_{+ B}3_{+ 3AB( A + B)}
 A3+ B3 = ( A + B )3 – 3AB( A + B)

<i><b>Giaûi:</b></i>

A = ( x + y + z )3_{– x}3_{– y}3_{– z}3
= [( x + y ) + z]3_{– x}3_{– y}3_{– z}3

= ( x + y )3_{+ z}3_{+ 3z( x + y )( x + y + z ) – x}3_{– y}3_{– z}3
= [( x + y )3_{– x}3_{– y}3_{] + 3z( x + y )( x + y + z )}

= 3xy( x + y ) + 3( x + y)( xz + yz + z2₎
= 3( x + y )( xy + xz + yz + z2₎

= 3( x + y )( y + z )( x + z )
<i>Khai thác bài toán:</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i><b>Hướng dẫn</b><b> :</b><b> </b></i>

x3_{+ y}3_{= ( x + y )}3_{– 3xy( x + y )}
x + y + z = 0 x + y = - z

<b>III- Các phương pháp đặc biệt: Phát triển tư duy</b>

1)Phương pháp tách hạng tử:

Sử dụng cho các bài tập không thể áp dụng ngay được ba phương pháp cơ bản
đã học để giải.

Cách làm:

Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác một cách thích hợp rồi áp dụng các
phương pháp cơ bản để giải.

<i><b>VD11: Phân tích đa thức f(x) = 3x</b></i>2_{– 8x + 4 thành nhân tử.}
<i>Gợi ý: Có nhiều cách phân tích.</i>

<i><b>Giải:</b></i>

- Cách 1: Tách hạng tử 3x2
f(x) = 3x2_{– 8x + 4}

= 4x2_{– 8x + 4 – x}2
= ( 2x – 2 )2_{– x}2

= ( 2x – 2 + x )( 2x – 2 – x )
= ( 3x – 2 )( x – 2 )

- Cách 2: Tách hạng tử - 8x
f(x) = 3x2_{– 8x + 4}

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

= 3x2_{– 12 – 8x + 16}
= 3( x2_{– 2}2_{) – 8( x – 2 )}

= 3( x + 2 )( x – 2 ) – 8( x – 2 )
= ( x – 2 )( 3x + 6 – 8 )

= ( x – 2 )( 3x – 2 )
* Nhận xét:

- Cách 1: Tách hạng tử 3x2_{làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình}
phương.

- Cách 2: Tách hạng tử - 8x làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với
nhau từ đó xuất hiện nhân tử chung ( x – 2 ).

- Cách 3: Tách hạng tử 4 làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung.

Như vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất hiện các
phương pháp đã học như đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng
tử là khâu quan trọng và cần thiết đối vối học sinh trong việc giải bài toán phân tích
đa thức thành nhân tử.

<i>Khai thác cách giải: Tách hạng tử - 8x</i>

Trong đa thức 3x2_{– 6x – 2x + 4 có các hệ số ở các số hạng là: 3, -6, -2, 4 tỉ lệ}
với nhau

6 4

3 2




 hay (-6).(-2) = 3.4 vaø (-6) + (-2) = -8
f(x) = 3x2_{– 8x + 4}

Đặt a = 3, b = -8, c = 4 và phân tích a.c = b1.b2 ( b = b1 + b2 )
Ta coù: a.c = b1.b2 = 3.4 = (-6).(-2) = 12; b1 + b2 = (-6) + (-2) = -8.

<b>Tổng quát:</b>
+ Tìm tích ac.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

+ Chọn hai thừa số có tổng bằng b.

<i><b>VD12: Phân tích đa thức f(x) = - 6x</b></i>2_{+ 7x – 2 thành nhân tử.}
Đặt a = -6, b = 7, c = -2

+ a.c = (-6).(-2) = 12;

+ a.c = 3.4 = (-3).(-4) = (-6).(-2) = 6.2 = 12.1 = (-12).(-1) ;
+ b = 7 = 3 + 4

<i><b>Giaûi:</b></i>

f(x) = - 6x2_{+ 7x – 2}

= (- 6x2_{+ 4x ) + ( 3x – 2 )}
= -2x( 3x – 2 ) + ( 3x – 2 )
= ( 3x – 2 )( -2x + 1 )

<i><b>* Lưu ý:</b></i>

Đối với đa thức từ bậc ba trở lên để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc
điểm của các hệ số mà vận dụng cách tách hạng tử cho phù hợp nhằm vận dụng
được các phương pháp phân tích cơ bản đã học.

<i><b>VD13: Phân tích đa thức f(x) = x</b></i>4_{– 30x}2_{+ 31x – 30 thành nhân tử.}

Gợi ý :

Tách như sau: x4_{– 30x}2_{+ 31x – 30 = x}4_{+ x – 30x}2_{+ 30x – 30}
<i><b>Giaûi:</b></i>

f(x) = x4_{– 30x}2_{+ 31x – 30}
= x4_{+ x – 30x}2_{+ 30x – 30}
= x( x3_{+ 1 ) – 30( x}2_{– x + 1 )}

= x( x + 1 )( x2_{– x + 1 ) – 30( x}2_{– x + 1 )}
= ( x2_{– x + 1 )( x}2_{+ x – 30 )}

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

2)Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:

Sử dụng cho các bài tập không thể áp dụng ngay được ba phương pháp cơ bản
đã học để giải.

Caùch làm:

Phải thêm bớt cùng một hạng tử nào đó để đa thức chuyển về dạng hiệu hai
bình phương hoặc áp dụng phương pháp nhóm.

<i><b>VD14: Phân tích đa thức f(x) = x</b></i>4_{+ 4 thành nhân tử.}
<i><b>Giải:</b></i>

f(x) = x4_{+ 4}

= x4_{+ 4x}2_{+ 4 – 4x}2
= ( x2_{+ 2 )}2_{– ( 2x )}2

= ( x2_{+ 2 + 2x ) ( x}2_{+ 2 – 2x ).}
<i>Khai thác bài toán:</i>

- Thay “ 4 ” thành “ 64y4 _{”, ta có bài tốn mới: f(x) = x}4_{+ 64y}4
<i><b>Hướng dẫn</b><b> :</b><b> </b></i>

f(x) = x4_{+ 64y}4

= (x4_{+ 16x}2_y2_{+ 64y}4_{) - 16 x}2_y2
= ( x2_{+ 8y}2₎2_{– ( 4xy )}2

= ( x2_{+ 8y}2_{+ 4xy )( x}2_{+ 8y}2_{– 4xy ).}

- Thay “ 4 ” thành “ 64”, ta có bài tốn mới: f(x) = x4_{+ 64}
<i><b>Hướng dẫn</b><b> :</b><b> </b></i>

f(x) = x4_{+ 64}

= x4_{+ 16x}2_{+ 64 – 16x}2
= ( x2_{+ 8 )}2_{– ( 4x )}2

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<i><b>VD15: Phân tích đa thức f(x) = x</b></i>4_{+ x}2_{+ 1 thành nhân tử.}
<i><b>Giải:</b></i>

f(x) = x4_{+ x}2_{+ 1}

= x4_{– x + x}2_{+ x + 1}
= ( x4_{– x ) + ( x}2_{+ x + 1 )}
= x( x3_{– 1 ) + ( x}2_{+ x + 1 )}

</div>

<!--links-->