Chuyên đề Bất phương trình

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bất phương trình. Giải bất phương trình không chứa tham số. Muốn giải một bất phương trình bậc cao, về cơ bản chúng ta vẫn phải tìm cách: a) Đưa vế trái của bất phương trình (vế phải của bất phương trình là 0) về dạng tích, thương của các nhị thức, tam thức bậc hai (cách làm tương tự như ở mụcI). b) Dựa vào cách đặt ẩn phụ ( các dạng tương tự như ở mục I) để đưa về bất phương trình bËc hai quen thuéc. Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau 9 5 a)  x  2 x 5 b) x   6 x. Gi¶i: a ) BPT . XÐt. 9 x2  5 x2  5 9 2 x 2  9 x  10    0  0 (*) 2 x x 2 2x. 2 x 2  9 x  10  0  x  2; x . 5 2. 2x  0  x  0. Ta cã b¶ng xÐt dÊu : 5  2 .............................................................. 2x  0  *  *  ................................................................ . x. 0. 2. 2 x 2  9 x  10  *  0  0  .................................................................. . VT (*). A  0  0 . 5 x  (0; 2)  ( ; ) 2. Xem b¶ng xÐt dÊu ta cã nghiÖm cña bpt lµ: x2  6x  5 0 (**) x x 2  6 x  5  0  x  1; x  5. b) BPT . XÐt MÉu x  0  x  0 Ta cã b¶ng xÐt dÊu: x x x2  5x  6 VT (**). . 0 1 5   0  *  *   *  0  0   A  0  0 . Xem b¶ng xÐt dÊu ,vËy nghiÖm bpt. (**). lµ. x  (;0)  (1;5). Bài tập tương tự : Giải bất phương trình sau x 4  8 x 3  3 x 2  32 x  4  0 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Hướng dẫn: Phân tích vế trái BPT đã cho về dạng tích của các nhị thức , tam thức bậc 2. C¸ch 1: T¸ch nhãm c¸c sè h¹ng sao cho hîp lý Ta cã: x 4  8 x3  3x 2  32 x  4  x 4  4 x 2  8 x3  32 x  x 2  4. . . .  .  . . .  x2 x2  4  8x x2  4  x2  4  x2  4 x2  8x  1. C¸ch 2:XÐt nghiÖm cña ®a thøc. g ( x)  x 4  8 x 3  3 x 2  32 x  4 ,. nÕu cã nghiÖm h÷u tû. x. ­íc (kÓ c¶ ©m ) cña 4; q lµ ­íc cña 1  nghiÖm h÷­ tû nÕu cã cña g ( x) chØ cã thÓ lµ Dùng lược đồ Hoocne ta thấy x  2 , và khi đó chia g ( x) cho x  2 x  2  ta được g ( x)  x  2 x  2 x 2  8 x  1 Cách 3: Dùng phương pháp hệ số bất định VD3  T11 , ta cũng đưa được g ( x)  x 2  4 x 2  8 x  1. VËy BPT  x 2  4 x 2  8 x  1  0 Ta cã b¶ng xÐt dÊu: . x. 2. 4  15. 2. 4  15. . x2  4. . 0 . *.  0 . *. . x2  8x  1 VTBPT.  . *  0 . 0 0.  *   0 . 0 0.  . VËy nghiÖm cña. BPT : x  ; 2  4  15; 2    4  15; . . Ví dụ2: Giải bất phương trình ( x  3) 4  ( x  5) 4  4. (1). Gi¶i: §Æt t  x  3  5  x  4  x  t  4 2.  (1). trë thµnh: t  14  t  14  4  t 4  6t 2  1  0. t 2  3  10 (t   )  t 2  3  10. Tõ. t 2  3  10  x  4   10  3 2.  x 2  8 x  19  10  0  x  4    x  4  . 10  3 10  3. Vậy nghiệm của bpt đã cho là VÝ dô 3:. x  4 . 10  3; x  4 . Giải bất phương trình sau. 2 x 4  21x 3  74 x 2  105 x  50  0. Lop10.com. (2). 10  3. p p q. 2; 4 .. lµ.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Gi¶i: ThÊy. BPT (2)  x 2  0 , chia hai vÕ BPT (2) 25  5   x 2  0  (2)  2  x 2  2   21 x    74  0 , x  x   đặt t  x  5  BPT trở thành x 9 2(t 2  10)  21t  74  0  2t 2  21t  54  0   t  6 2 5 9  2  x  x VD1  x  (0; 2)  ( 5 ; ) 5  x  (1; 2)  ( ;5) VËy ta cã  2   2 x  5  6  x  (;0)  (1;5)  x KÕt luËn nghiÖm cña BPT lµ x  (1; 2)  ( 5 ;5) 2. cho. Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau. (4). x0. kh«ng tho¶ m·n. x 4  14 x 2  24 x  8. Gi¶i:. . m  BPT (4)  x 2  m. XÐt.   14  2m  x 2. 2.  24 x  8  m 2. (4 '). f ( x)  14  2m  x 2  24 x  8  m 2. .  ' f  144  14  2m  8  m 2. . .  144  112  14m 2  16m  2m3. .  32  14m 2  16m  2m3   m  1m  4 . 2. Chän. m. Khi đó. sao cho: (4 ') trë.  ' f  0   14  2m  0. chän. m 1. thµnh: x 2  1  4 x  32 2.   x. . .  x2  1  4x  3 x2  1  4x  3  2. . .  4x  4 x2  4x  2  0. . .  x  2  x 2  4 x  2  0 2. x  2  2 x  4x  2  0  x  2   x  ; 2  6  2  6; . .  . . Vậy nghiệm của BPT đã cho là: x  ; 2  6  2  Bài tập tương tự: Giải BPT sau ( tham số a  0 ) a 3 x 4  6a 2 x 2  x  9a  3  0. Lop10.com. . 6; 2  2;   (4 '').

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Hướng dẫn: * NÕu a  0  (4 '')  x  3 *NÕu a  0 , nh©n hai vÕ cña (4 '') víi a  (4 '')  a 4 x 4  6a3 x 2  ax  9a 2  3a  0 §Æt t  ax  BPT trë thµnh: t 4  6at 2  t  9a 2  3a  0. . (4 ''')   9 2t  1  4.9 t  t   9 4t  4t  1 9 2t  1 , vậy VT (4 ''') có hai nghiệm đối với ẩn a là:  9a 2  3 2t 2  1 a  t 4  t  0. XÐt. a. 2. 2. 2. 2. 4. t2  t 1 t 2  t a ; a 3 3 2 t  t 1 t 2  t  VT (4 ''')  9(a  )(a  )  t 2  t  1  3a t 2  t  3a 3 3  Thay t  ax , ta cã (4 ''') trë thµnh: ax 2  x  3 a 2 x 2  ax  3a  1  0. . MÆt kh¸c ta cã §¸p sè :. a x 2. 2. . .  . . .  ax  3a  1  0x  (4 '')  ax 2  x  3  0. *a  0  (4 '')  x  3 *0  a . *a . 1 1  1  12a 1  1  12a  (4 '')  x  ;x  12 2 2. 1  (4 '')  x  R 12. II.Bất phương trình chứa tham số, vấn đề tập nghiệm của bất phương trình C¬ së lý thuyÕt: * ax 2  bx  c  0 (a  0) v« nghiÖm * ax 2  bx  c  0. (a  0). v«.  ax 2  bx  c  0, x  R   0  a  0 nghiÖm  ax 2  bx  c  0, x  R   0  a  0. *Cho bất phương trình: ax 2  bx  c  0 (1) . Điều kiện cần và đủ để BPT (1) được thoả mãn với x  E là: E  X , với X là tập nghiệm của BPT (1) ,( Tập E cho trước có thể là:  ;  ;  ;  ; ; ;  ;  ... ) VÝ dô1: Cho tam thøc: f ( x)  m  1 x 2  2 m  1 x  2m  1 Xác định m sao cho: a ) Bất phương trình f ( x)  0 vô nghiệm; b) Bất phương trình f ( x)  0 có nghiệm. Gi¶i: a ) * m  1: f ( x)   4 x  1  0  x . 1 4. Vậy m  1 không thoả mãn đều kiện bài toán. * m  1:  '  m  12  m  12m  1  m2  5m f ( x)  0 v« nghiÖm  f ( x)  0, x  R   m 2  5m  0  '  0   m5 a  0 m  1  0 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> b) §Ó m. xác định m sao cho bất phương trình sao cho f ( x)  0 v« nghiÖm''. f ( x)  0. có nghiệm , ta giải bài toán:''Xác định. * m  1: f ( x)  0  4 x  1  0  x  1. 4. VËy m  1 kh«ng thÝch hîp. * m  1: Ta cã: f ( x)  0 v«nghiÖm  f ( x)  0, x  R   m 2  5m  0  '  o   m0 a  0 m  1  0. Tóm lại, điều kiện để f ( x)  0 vô nghiệm là m  0 . Vậy, điều kiện để f ( x)  0 có nghiệm là m  0 Bài tập tương tự: Với những giá trị nào của m thì : 3 x 2  mx  5 1  6, x  R 2x2  x  1. (1). Hướng dẫn: a  2  0 2 x 2  x  1  0 do    9  0 2 2 (1)  2 x  x  1  3 x  mx  5  6 2 x 2  x  1. §Ó ý thÊy VËy. . .  f ( x)  x 2  1  m  x  4  0  (1') 2  g ( x)  9 x  6  m  x  1  0 1  0,  f  0 HÖ (1') cã nghiÖm víi x  R   9  0,  g  0 §¸p sè: 0  m  5. Ví dụ 2:Cho bất phương trình: mx 2  3x  m  4  0 a ) Tìm m để bất phương trình (2) được thoả mãn với x  0 . b) Tìm m để bất phương trình (1) có nghiệm x  0 Gi¶i: a ) Cách giải1: Phương pháp tam thức bậc hai. Gäi X lµ tËp nghiÖm cña BPT (1) .Ta t×m m : 0;    X (*) + m  0 kh«ng thÝch hîp. + m  0 : (2)  3x  4  0  x  4  X   4 ;   , kh«ng tho¶ m·n 3 + m  0 :   9  4m m  4    2m  12m  9 . 3. . XÐt dÊu.  vµ a : 9   0 TH1 : m    X  R  (*) tho¶ m·n 2 a  0 9 1 m  0  2 2   0  A 0  a  *  0 *    0 9 TH 2 : 00  X  ; x2  x1 ;   2 a  0. Lop10.com. (2). (*).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> (*)  x2  x1  0   0 9   P  0   m  4 . 2 S  0 . Tæng hîp c¸c kÕt qu¶ trªn, ta ®­îc: m  4 . Cách giải 2: Phương pháp hàm số: Đối với học sinh đã được học kiến thức về khảo sát hàm số thì phương pháp giải này là khá hiệu quả ( Nếu như việc cô lập được tham số từ bất phương trình đã cho là đơn giản). C¬ së lý thuyÕt: Gi¶ sö hµm sè y  f ( x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt trªn f ( x)  m . * BPT f ( x)  m cã nghiÖm x  D  Max xD * BPT. f ( x)  m, x  D  Min f ( x)  m .. * BPT. f ( x)  m. * BPT. f ( x)  m, x  D  Max f ( x)  m. liªn tôc trªn. xD. cã nghiÖm. x  D  Min f ( x)  m . xD. xD. Trë l¹i bµi to¸n ta cã: m. 3x  4 x2  1. Yªu cÇu bµi to¸n. XÐt. D, f. y'. 2. . 1. 2. . (do x 2  1  0, x  R ). m y . 3 x 2  8 x  3. x. . (2)  m x 2  1  3 x  4. 3x  4 , x  0 (*) x2  1. 1  x   0;    3 0   x  3  0;  . Ta cã b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè. y. 3   0 . x y'. 0. y. 4A. 3x  4 , x  0;   x2  1. nh­ sau:. 1 A 0 2. Xem b¶ng biÕn thiªn ta cã. 4  y . 1 , x  0;   , 2. vËy. (*). ®­îc tho¶ m·n. b) C¸ch.  m  4. giải1( phương pháp tam thức bâc hai - bạn đọc tự giải) Cách giải2: Phương pháp hàm số Tương tự câu a) Yêu cầu bài toán trở thành : x  0;  : m  y  3x2  4 (***) x 1. Tương tự như câu. a ) ta. cã. 4  y . Bài tập tương tự: Xác định a ) x 2  2 x  1  m 2  0 , x  1; 2. m. 1 1 , x  0;    (***)  m  . 2 2. để bất phương trình :. b)  3 x 2  6 x  m  0, x  0. §¸p sè:. a ) m  1. hoÆc. m 1 Lop10.com. D..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> b) m  0. VÝ dô 3: T×m m : f (m, x)  x 2  px  q ax 2  bx  c  0, x  R (a  0) C¸ch gi¶i: Gäi h( x)  x 2  px  q, g ( x)  ax 2  bx  c . f ( x)  0, x  R  x  R ta cã h( x), g ( x) kh«ng tr¸i dÊu víi nhau.  a  0   f  0    g  o a b c     0 (*)  1 p q. Chó ý: Trong (*) quy ­íc mÉu thøc b»ng 0 th× tö thøc còng b»ng Bài tập áp dụng: Tìm m để f ( x)  x 2  x  1x 2  x  m  0, x  R Gi¶i: Ta cã h( x)  x 2  x  1   h  0, m Bởi thế f ( x)  0, x  R  h( x) và g ( x)  x 2  x  m là tương đương. VËy. 0. 1 1 m    m  1 1 1 1. VÝ dô 4: Cho f ( x)  x 2  a   6 x 2  4 x  2a Tìm a để f ( x)  0, x  R Gi¶i: ViÕt l¹i f ( x)  f1 (a)  a 2  2( x 2  1)a  x 4  6 x 2  4 x 2   'a  .....  2 x  1 2.  f1 (a )  0  a1  x 2  2 x, a2  x 2  2 x  2  f1 (a )  a  a1 a  a2 . . . .  x 2  2 x  2  a x 2  2 x  a  f ( x). Gäi Ta. h ( x )  x  2 x  2  a; g ( x )  x  2 x  a h( x)  0, x  R thÊy 1  2  f ( x)  0, x  R   1 2  g ( x)  0, x  R 2. 2. 3  a  0  'h  0    a  3 1  a  0  'g  0. §¸p sè: a  3 Bài tập tương tự: Tìm a để f ( x)  2 x 4  4 x3  a  5 x 2  a  3 x  a  1a  2   0, x  R Hướng dẫn: ViÕt l¹i f ( x)  f1 (a)  ....  x 2  x  2  a 2 x 2  2 x  1  a  Yªu cÇu bµi to¸n.   h  0 3  7 a    0 7 3 4 2   g   a  1  a 2 4 2  a  5    3  2a 1. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>