chan thể dục 6 trần anh mạnh thư viện tư liệu giáo dục

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (96.46 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

I. MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH CHẤT CỦA C ❑nk , Pn , A ❑nk

Trong phần này ta chú ý một số công thức thường sử dụng sau :
 Cn

k = n !

k !(n − k)! ,  A ❑n

k = n !

(n − k)!  Pn = n!
 C ❑nk = C ❑n−k −11 + C ❑kn−1  C ❑nk = C ❑nn− k

BT1 : Chứng minh rằng

a) C ❑n−m −11 = m

n C ❑n

m (1  m  n) b) C

❑mm+n = C ❑mm+n −1 +
C ❑m+n −1

n ( m.n  1 )

HD

a) C ❑n−m −11 =

(n−1)!

(m−1)![(n −1)−(m−1)]! =

(n −1)!
(m−1)!(n− m)!
= mn m !(n − m)!n ! = mn C ❑nm

b) Sử dụng công thức : C ❑nk = C ❑k −1n−1 + C ❑n−k 1 , ta có :
C ❑m+n

m

= C ❑m+n −1
m −1

+ Cmmn1

Lại sử dụng công thức : C ❑nk = C ❑nn− k ta có :
C ❑mm −1+n −1 = C ❑(mm++n −1n−1)−(m−1) = C ❑mn+n −1
 C ❑mm+n = C ❑mm+n −1 + C ❑mn+n −1

BT2 : Cho a1, a2 , a3, a4 là 4 hệ số liên tiếp của khai triển (1 + x)n chứng minh rằng 
a1

a1+a2 +
a3
a3+a4 =

2a2

a2+a3

HD

a1 = Cnk =

n !

k !(n − k)! , a2 = Cnk+1 =

n !

(k+1)!(n − k −1)!
a3 = Cnk+2 =

n !

(k+2)!(n − k −2)! , a4 = Cn

k+3 = n !

(k+3)!(n− k −3)!
 a1

a1+a2 =

n !
k !(n − k)![ n !

k !(n− k)!+

n !

(k+1)!(n− k −1)!]
=

1
1+n − k

k+1

= kn++11
Tương tự : a3

a3+a4 =
k+3
n+1 ,

2a2
a2+a3 =

2(k+2)
n+1

 a1
a1+a2 +

a3
a3+a4 =

k+1
n+1 +

k+3
n+1 =

2k+4
n+1 =

2(k+2)
n+1 =

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

BT3 :

1) Tìm x thoả mãn : Ax

2 = 2 
2) Tìm x thoả mãn : C1

4x -

C5x =

C6x
3) Tìm n, k thoả mãn Pn+5

Pn− k = 240A

❑n+3
k+3 
4) Tìm n thoả mãn An4+4

(n+2)! <

(n −1)!
HD

1) Điều kiện : x  N, x  2
A2x = 2 

x !

(x −2)! = 2 

(x −2)!(x −1)x

(x −2)! = 2  (x - 1)x = 2
 x2 - x - 2 = 0  x = 2

2) ÑK : 0  x  4, x  N
 x = 0 : C1

4
0 -

C50 = 0,

C60 = 1 (loại)
 x = 1 :

C1
4
1 -

C51 =

1
4 -

1
5 =

20 ;

C61 =

6 

C41 -

C51 

C61
(loại)

 x = 2 :
C1

4
2 -

C5

2 = 61 - 101 = 151 ;

C6

2 = 151 

C4
2 -

C5
2 =

C6
2
(nhaän)

 x = 3
C1

4
3 -

C5
3 =

1
4 -

1
10 =

20 ;

C6
3 =

20 

C4
3 -

C5
3 

C6
3
(loại)

 x = 4 :
C1

4
4 -

C54 = 1 -

1
5 =

4
5 ;

C64 =

15 

C44 -

C54 

C64 (loại )
Vậy x = 2

3) Điều kiện : 0  k  n
Pn+5

Pn− k = 240A

❑nk++33  (n+5)!

(n − k)!=240

(n+3)!
(n − k)!
 (n + 3)!(n + 4)(n + 5) = 240(n + 3)!

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>



n=−20(loại)
.

¿
¿
¿
¿

Vậy n = 11, k là số nguyên thoả 0  k  11
4) Điều kiện n N* 
An+4

(n+2)! <

(n −1)! 

(n+4)!
(n+4−4)!

(n+2)!

< 15(n −1)!

 n!(n+(n+42)!)! < 15(n −1)!  (n + 3)(n + 4) < 15n
 n2 - 8n + 12 < 0  2 < n < 6

Vaäy n = 3, n = 4, n = 5

BL1 : Giải phương trình:

a) C1

4
x +

C5

x = 154 b)
Ax

10
+Ax9

A8X = 9

c) A ❑x2 C ❑xx −1 = 48 d) C ❑1x + C ❑x2 + C ❑3x
= 72 x

BL2 : Chứng minh rằng

a) Cn2+k+Cn2+k+1 baèng bình phương của một số nguyên
 b) An −1m =Anm−mAn −1m−1

e) Cn
k =

Cn −1
k−1 +

Cn −2

k−1 + ... + 
Ck−1

k−1

II. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON

1) Công thức nhị thức Niutơn :

(a + b)n = C
n

0 an + C
n

1 an-1b +...+ C
n

k an-kbk +...+ C
n
n bn

2) Các tính chất của cơng thức nhị thức Niutơn :

 Số các số hạng của công thức bằng n + 1

 Tổng các số mũ của a và của b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức
 Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (a + b)n là

Tk+1 = Cnk an-kbk 0 k ≤ n
 Cn0 + Cn1 +...+ Cnn = (1 + 1)n = 2n

 Cn0 - Cn1 + ...+ (-1)k Cnk +...+ (-1)n Cnn = (1 - 1)n = 0
 C ❑nk = Cnn − k ; C ❑nk = Cn −k−11 + Cn −k 1 ; k Cnk = n Cn −k−11

BT1 : a) Tìm số hạng chứa x1854 trong khai triển x+ 1

√

x¿
2004

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

b) Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển : ( 3

√

x + 1x )6
HD

a) Số hạng thứ k trong khai triển x+

√

1x¿2004

laø
Tk = C2004k−1 x2004-k+1(

√

x )

k-1 (1  k  2005) 
Giải phương trình 2004 - k + 1 - k −21 = 1854 ta có k = 101
Vậy số hạng chứa x1854 trong khai triển trên là C

2004
100 x1854

b) Số hạng thứ k + 1 trong khai triển trên là :
C ❑6k (

√

3x )6-k(

x )k (0  k  6, k  N)
Để tìm số hạng khơng chứa x ta giải phương trình :

6− k3 - k = 0  6 - k - 3k = 0  6 = 4k  k = 32 (loại )
Khơng có số hạng khơng chứa x trong khai triển trên

BT2 : Tìm số hạng tử chứa x35 trong khai triển (x2 + x + 1)20

HD

(x2 + x + 1)20 = [x(x + 1) + 1]20

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển trên là :

C ❑20k x20-k(x + 1)20-k (0  k  20) (*)
Số hạng thứ s + 1 trong khai triển (*)

C ❑20k x20-kC ❑20− ks x20−k − s = C ❑20k C ❑20− ks x40−2k − s (0  s  20 - k) (**)
Để có số hạng chứa x35 ta phải có

40 - 2k - s = 35  2k + s = 5 với k, s thoả mãn (*) và (**)
 (k = 0, s = 5), (k = 1, s = 3), (k = 2, s = 1)

Vậy số hạng tử chứa x35 trong khai triển (x2 + x + 1)20 là

(C ❑200 C ❑520 + C ❑120 C ❑193 + C ❑202 C ❑181 )x35 = 38304 x35

BT3 : Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển (1 + 6x + x)10

HD

Đặt x + 6x = t, ta co ù:

(1 + 6x + x)10 = (1 + t)10 = C
10

0 + C
10

1 t + C
10

2 t2 + … + C

10k tk + … + C1010 t10
(*)

Với tk = ( 6

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Số hạng thứ s + 1 trong khai triển (**) là Cks ( x )k-sxs = 6k-s Cks

xk − s
(0  k  10; 0  s  k)

Muốn có số hạng khơng chứa x trong khai triển (**) ta phải có:

s = k - s  k = 2s, như vậy các giá trị của k chỉ có thể là 0, 2, 4, 6, 8, 10 giá trị của s
tương ứng là 0, 1, 2, 3, 4, 5

Vậy số hạng cần tìm là
(1 + C10

2
C2

1 6 + 
C10

4
C4

2 62 + C
10
6

C6

3 63 + C
10
8

C8

4 64 + C
10
10

C10
5
65) = 6995053

BT4 : Tìm số hạng chứa x20 trong khai triển : (1 + x + x3 + x4)10

HD

Ta coù :

(1 + x + x3 + x4)10 = (1 + x)10(1 + x3)10 
(1 + x)10 = a0+ a1x+…. + a10x10 (1)
(1 + x3)10 = b0+ b3x3 + … + b30 x30 (2)

Muốn có số hạng chứa x20 trong khai triển tích (1 + x)10(1 + x3)10, ta phải lấy số hạng 
bậc k trong (1) nhân với số hạng bậc 20 - k trong (2). Vì vậy số hạng chứa x20 trong khai
triển đã cho là :

(b12a8 + b15a5 + b18a2)x20 = ( C

104 C108 + C105 C105 + C106 C102 ) x20
BL : 1) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển ( 1

x3 +

√

x

5 )n bieát 
C ❑nn++41 -C ❑nn+3 = 7(n+3)

HD : Từ C ❑n+4
n+1 -C

❑n+3

n =7(n+3) tính được n = 12. ĐS : C

❑128 (ĐH 2003)
2) Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển (2 + x + 2x )12

3) Tìm số hạng tử chứa x30 trong khai triển (x2 + x + 1)20

BT5 : Cho khai trieån : (1 + 2x)13 = a0 + a1x + ….+ a13x13. Tìm Max, Min

{

a

0, a1,.. ., a13

}

HD

P(x) = (1 + 2x)13 = a0 + a1x + … + a13x13
ai = C13

i 2i với i = 0, 1, … , 13

Xét tính đơn điệu của dãy a0, a1, …, a13. Ta có :
ai+1 - ai = C ❑13

i+1 2i+1 - C
13

i 2i = 13!

(i+1)!(12−i)! 2

i+1 - 13!

i !(13−i)! 2i
= 13!

i !(12−i)! 2i (

i+1 -
1

13−i )

= 13i !(!12−i)! 2i 25−3i

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

ai+1 - ai < 0  25 - 3i < 0  i > 253  a9 > a10 > … > a13
Vaäy Maxa0, a1, … , a13 = a9

Vì a13
a0 =

213

1 > 1  a13 > a0

Vaäy Mina0, a1, … , a13 = a0

Chú ý :Vì dãy a0, a1,…, a13 giữ nguyên dấu dương, nên để xét tính đơn điệu ta có thể so
sánh tỉ số ai+1

ai và số 1

BT6 : Cho khai trieån P(x) = (1 + 6x)13 = a0 + a1x + ….+ a13x13. Tính 
Maxa0; a1; … ; a13 ; Mina0 , a1 , … , a13

HD

Ta coù :

ai = C13i 6i i = 0, 1, … , 13 
ai+1 - ai = C ❑13i+1 6i+1 - C13i 6i =

13!

(i+1)!(12−i)! 6

i+1 - 13!

i !(13−i)! 6i
= 13!

i !(12−i)! 6i (

i+1 -

13−i )

= 13i !(!12−i)! 6i 77−7i

(i+1)(13−i) (i = 0, 1, … , 12)
ai+1 - ai  0  77 - 7i  0  i  11  a0 < a1 < a2 < … < a11 = a12
ai+1 - ai < 0  77 - 7i < 0  i > 11  a12 > a13

Vaäy Maxa0; a1; … ; a13 = a12 = a11

Dễ thấy : a0 < a13  Mina0 , a1 , … , a13  = a0

BL : Cho khai trieån (1 + 12 x)10 = a0 + a1x + ….+ a10x10. Tìm Max, Min

{

a0, a1,.. ., a10

}

ÑS : Maxa0 , a1, … , a10 = a3; Mina0, a1, ..., a13 = a10

III. CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC TỔ HỢP

A. PHƯƠNG PHÁP 1 : Xuất phát từ đẳng thức (nhị thức Newton) :

(a + b)n = C
n

0 an + C
n

1 an-1b +…+ C
n

k an-kbk +…+ C
n
n bn

ta thu được các đẳng thức khác nhau bằng cách cho a, b, n các giá trị khác nhau

BT1 : Chứng minh các đẳng thức

1) C20m + C22m + … + C2m2m = C21m + C23m + … + C22mm−1
2) 4n = C

n

0 + 3 C
n

1 + 32 C
n

2 + … + 3k C

nk + … + 3n Cnn

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

HD

1) Ta co ù: (a + b)2m = C2m0 a2m + C2
m

1 a2m-1b + C2
m

2 a2m-2b2 + ... + C2
m

2m b2m 
Cho a = 1, b = -1, ta coù

0 = C20m - C21m + C22m - …. - C22mm−1 + C22mm

 C20m + C22m + … + C22mm = C21m + C23m + … + C2m2m−1
2) Ta coù : (a + b)n = C

n

0 an + C
n

1 an-1b + … + C

nk an-kbk + … + Cnn bn
Cho a = 1, b = 3, ta coù :

4n = C
n
0 + 3

Cn

1 + 32 C
n

2 + … + 3k C
n

k + … + 3n C
n

n
3) Ta co ù: (a + b)n = C

n

0 an + C
n

1 an-1b + … + C

nk an-kbk + … + Cnn bn
Cho a = b = 1, n = 2p ta co ù:

(1 + 1)2p = 22p = C ❑
2P
0 + C

❑12p + C ❑2p2 + C ❑32p + C ❑24p + ... + C

❑22pp −1 + C ❑22pp (1)

Cho a = 1, b = -1, n = 2p, ta coù :
(1 - 1)2p = 0 = C

❑20P - C ❑12p + C ❑2p2 - C ❑32p + C ❑24p - ... - C ❑22pp −1
+ C ❑22pp (2)

(1) coäng (2) vế theo vế ta có:
22p = 2(C

❑20P + C ❑2p2 + C ❑24p + ... + C ❑22(pp −1) + C ❑22pp )
 C ❑20P + C ❑22p + C ❑42p + ... + C ❑22(pp −1) + C ❑2p2p = 22p-1
(1) trừ (2) vế theo vế ta có:

C ❑12p + C ❑32p + ... + C ❑22pp −3 + C ❑22pp −1 = 22p-1

BT2 : 1) Tính tổng sau : C50 + 2 C51 + 22 C52 + 23 C ❑53 + 24 C ❑54 + 25 C
❑55 (SBT)

2) Tìm số nguyên dương n sao cho Cn
0 + 2

Cn
1 + 4

Cn

2 +…+ 2n C
n

n = 243

HD

1) Ta co ù: (a + b)n = C
n

0 an + C
n

1 an-1b + … + C

nk an-kbk + … + Cnn bn
Cho a = 1, b = 2, n = 5 ta coù :

(1 + 2)5 = C
5
0 +

C5
1 2 +

C5

2 22 + C

❑5

3 23 + C

❑5

4 24 + C

❑5
5 25
 C5

0 + 2
C5

1 + 22 C
5

2 + 23 C
❑5

3 + 24 C
❑5

4 + 25 C
❑5

5 = 35 = 243 
2) Ta coù : (a + b)n = C

n

0 an + C
n

1 an-1b + … + C

nk an-kbk + … + Cnn bn
Cho a = 1, b = 2 ta co ù:

(1 + 2)n = 3n = C
n
0 +

Cn
1 2 +

Cn

2 22 + … + C
n
n 2n
 Cn

0 + 2
Cn

1 + 4
Cn

2 + … + 2n C
n
n = 3n
 3n = 243  n = 5

B. PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT

BT3 : a) Chứng minh : C2nn = Cn0 Cnn + Cn1 Cnn −1 + … + Cnn Cn0 = (

Cn0 )2 + ( C1n )2 +..+ ( Cnn )2

b) Chứng minh : C ❑100 C ❑1520 + C ❑110 C ❑1420 + C ❑102 C ❑1320 +...+ C

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

HD

a) Ta coù : (1 + x)n = Cn0 +

Cn1 x + ….+ Cnn xn (*)
(1 + x)m = C

m
0 +

Cm1 x + … + Cmm xm (**)

Muốn có hạng tử chứa xk trong khai triển tích (1 + x)n(1 + x)m , ta phải lấy hạng tử bậc 
k - s trong (*) nhân với hạng tử bậc s trong (**) với s = 0, 1, ..., k . Vậy hệ số của xk
trong khai triển tích (1 + x)n(1 + x)m là

ck = Cn0 Cmk + Cn1 Cmk−1 +….+ Cnk Cm0 (k  m, k  n)
Theo nhị thức Newton, trong khai triển (1 + x)n+m øhệ số của của xk là C

nk+m
Vì : (1 + x)n(1 + x)m = (1 + x)n+m

 Cn+m
k =

Cn
0

Cm
k +

Cn
1

Cm

k−1 +….+
Cn

k
Cm

0 
Cho k = m = n, ta coù :

C2nn = Cn0 Cnn + Cn1 Cnn −1 + … + Cnn Cn0 = ( Cn0 )2 + ( Cn1 )2 + .. + (
Cnn )2

b) Ta coù :
(1 + x)10 = C

❑10
0 + C

❑10

1 x + C
❑10

2 x2 + ... + C
❑10

10 x10
(1 + x)20 = C

❑200 + C201 x + C202 x2 + ... + C ❑2020 x20

Tương tự như câu a, hệ số của x15 trong khai triển của tích (1 + x)10(1 + x)20 là 
C ❑100 C ❑1520 + C ❑101 C ❑1420 + C ❑102 C ❑1320 + ... + C ❑1010 C

❑20
5

Theo nhị thức Niutơn, trong khai triển (1 + x)30 hệ số của x15 là C

❑3015
Mặt khác ta có : (1 + x)10(1 + x)20 = (1 + x)30

 C ❑100 C ❑1520 + C ❑101 C ❑1420 + C ❑102 C ❑1320 + ... + C ❑1010 C ❑520 =
C ❑3015

BL : 1) Chứng minh : Cm

0
Cn

k
+Cm

1
Cn

k −1
+Cm

2
Cn

k −2

+.. .+Cm
m

Cn
k −m

=Cm+n

k (Với m  k  n)
2) Chứng minh : C2n

+ C2n
2

+ C2n
4

+...+ C2n
2n

= C2n
1

+ C2n
3

+...+ C

❑2n2n −1

HD : Khai triển (1 - x)2n và cho x = 1

3) Tìm số hạng chứa x20 trong khai triển(1 + x2 + x3 + x5)10 
4) Tìm số hạng chứa x10 trong khai triển (1 + x + x3 + x4)4 
ĐS : ( C14C43+C44C42 )x10

5) Hãy tính hệ số a12 trong khai triển (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + … + a15x15
6) Đa thức P(x)=(1 + x + x2)10 được viết lại dưới dạng a0 + a1x +…+ a20x20.Tìm a4 (ĐH 
2002)

</div>