<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

ĐÁP ÁN KIỂM TRA GIỮA KỲ K58C
Câu 1. (2 điểm)

a) Tìm cực trị địa phương của hàm hai biến sau:

 

2 3 2

2 3

, x y

f x y   xy  x

Giải.

Tập xác định: D  2

ĐHR cấp 1, cấp 2: f_x x y  2; f_y  y x f2  ; _xx 1; f_xy 1; f_yy  2y
Hệ phương trình tìm điểm dừng:

2

2 0 1 4

1 2

0
x

y

f x y x x

y y

f y x

 _ _{ } _  _  _

  

 

  

  

   

 _ _



Vậy có 2 điểm dừng: M₁

_{ }

1 1; M₂

_{ }

4 2;

Tại M1 ta có: A 1;  AC B 2   3 0 vậy hàm số không đạt cực trị địa phương tại
M1.

Tại M2 ta có: A 1;  AC B 2  3 0 vậy hàm số không đạt cực tiểu địa phương tại
M2. Giá trị cực tiểu:

 

4 2 16

3
;

CT

f  f   

b) Dùng quy tắc dây chuyền tìm các đạo hàm riêng của hàm z theo s và t biết rằng:

1



2 2



2ln , sin , cos

z  x y x s t y s t

Giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>









 

 

2 2 2 2

2 2 2 2

0
1

. cos . sin

. sin . cos

dz dz dx dz dy x _s _t y _s _t
dt dx dt dy dt x y x y

dz dz dx dz dy x _t y _t
ds dx ds dy ds _{x y} _{x y} s

     

 

    

 

Câu 2. (1,5 điểm) Bạn đang muốn mua một chiếc xe bán tải Ford Ranger 2019. Giá bán
xe là 25.200$. Có 2 phương án như sau:

i) Trả góp hàng tháng với lãi suất 0% trong vòng 48 tháng

ii) Trả tiền ngay và được giảm giá 3000$. Phần tiền trả ngay này bạn vay với mức lãi suất
6%/năm và trả trong vòng 48 tháng.

Bạn sẽ chọn phương án nào? Hãy giải thích lý do?

Giải.
Cách 1.

Theo phương án 1 thì số tiền trả hàng tháng (trong 48 tháng) là: 25 200 525

 

48

. _$



Theo phương án 2 thì số tiền trả hàng tháng là:

 

 









 

48 48

48 48

1 0 005 1 0 005

22 200

1 1 1 0 00

521 36 6

5 1

7

. , . ,

. . $

, ,

r r
PMT PV

r

 

   

   

Vậy chọn phương án 2 thì lợi thế hơn.

Cách 2.

Giá trị tương lai của khoản vay nợ theo phương án 1:

 

48

 

1 23 500. 1 0 23 500. $

FV    

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>





48

 

2 22 200. 1 0 005, 28 204 86. , $

FV    

Vậy chọn phương án 2 có lợi hơn.

Câu 3. (2 điểm) Một nền kinh tế dựa trên 3 nhóm ngành sau: nơng nghiệp (A), xây dựng
(B) và năng lượng (E). Giả sử ma trận hệ số kỹ thuật và ma trận cầu cuối cùng như sau:

0 3 0 2 0 2 5

0 1 0 1 0 1 10

0 2 0 1 0 1 15

. . .

. . .

. . .

A B E

A

A B B

E

   

   

   

 _ _  _{ }

   

   

   

a) Cần bao nhiêu đầu vào từ A, B và E để tạo ra sản lượng đầu ra trị giá 1$ đô la cho B?
b) Bao nhiêu trong số mỗi đô la đầu ra của B được yêu cầu làm đầu vào cho mỗi trong ba
lĩnh vực?

c) Tìm đầu ra của mỗi ngành để thỏa mãn được nhu cầu cuối cùng

Giải.

a) Cần 0,2$ từ A; 0,1$ từ B và 0,1$ từ E để tạo ra được 1 $ cho ngành B.

b) Trong mỗi $ đầu ra của B có 0,3$ được yêu cầu làm đầu vào cho các ngành khác (chỉ
đúng khi tổng cầu mỗi ngành bằng nhau)

c) Ta có:









1
1

1

0 7 0 2 0 2 1 6 0 4 0 4
0 1 0 9 0 1 0 22 1 18 0 18
0 2 0 1 0 9 0 38 0 22 0 1

1 6 0 4 0 4 5 18
0 22 1 18 0 18 10 15 6
0 38 0 22 0 1 15 22 4

. . . .

. . . .

. . . .

. . .

. . . .

. . . .

I A

X I A B







 _ _   

   

   

  _  _  _ _

_ _   

   

   

     

 

   

 

   

   _ _{  } _{ } _



    _

   

     

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

2
1

x y z
x y z
x y z



 

 

 _{ } _




  




   


Giải.

Ta có:

  



   

 

   

2 2

3 3 2

2 2 2

3 2 1 2 1 1 1 1

2 1 3 1 1

det det

det det

A A

A A

        

  

              

    

Biện luận:

Nếu 1
2




 



 




thì hpt có nghiệm duy nhất

_

_

 

 

2

1 ₁ 1

2 2 2

, , ; ;

x y x _ _ _

 

 

 

 

 

    

 

 

Nếu   2 thì detA  0; detA₂ 0 nên hpt vơ nghiệm
Nếu  1 ta có hệ phương trình:





1 1

1 1

1

,

x y z x t s

x y z x y z y t t s

x y z z s

 _{ } _  _{  }

 

 

         

 

 

   

 

 



Khi này hệ có vơ số nghiệm.

Câu 5. (1,5 điểm) Dự án đầu tư một xe chạy taxi gia đình trị giá 600 triệu đồng mang lại
dòng thu ròng đều nhau 180 triệu đồng hàng năm trong 4 năm. Dự kiến bán thành lý chiếc
xe cũ giá 50 triệu sau 4 năm hoạt động. Nếu cơ hội sinh lời đồng tiền ví dụ đo bằng lãi suất
tiền gửi ngân hàng mà bạn đang hưởng hiện nay là 12% thì dự án taxi trên đây

A) Có đáng giá khơng?

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Giải.

a) Ta có: 600 180 180 180 180 50 21 50

_{ }

1 12 1 12 1 12, , , 1 12, , $

NPV         
Vì NPV âm nên dự án không đáng giá. Đầu tư vào sẽ bị lỗ.

b) Để NPV=0 thì:

 

 

4

4

1 1 ₅₀

600 180 10 35

1 , %

r

r

r _r



 

   



Vậy ta có IRR=10,35% (sinh viên cũng có thể tự tính gần đúng bằng ngoại suy).
Suất sinh lời nội bộ của dự án là 10%.

Câu 6. (2 điểm) Bộ phận nghiên cứu của một công ty sản xuất nhận thấy rằng sản lượng
của một loại sản phẩm có thể áp dụng theo mơ hình hàm Cobb-Doglas như sau:

 

_, ₁₀ 0 6 0 4_, _,

N x y  x y

Trong đó x là số đơn vị lao động và y là số đơn vị vốn. Mỗi đơn vị lao động có giá 30$;
mỗi đơn vị vốn có giá 60$.

A) Nếu ngân sách cho sản xuất là 300.000$ thì phân bổ thế nào để tối đa hóa sản xuất. Hãy
tìm sản lượng tối đa đó?

b) Tìm hiệu suất biên của ngân sách trong trường này. Nếu ngân sách chi cho sản xuất tăng
thêm 80.000 ($) thì lượng sản phẩm tăng thêm khoảng bao nhiêu?

Giải.

a) Hàm sản lượng: N x y

 

, 10x y0 6 0 4, ,

Ngân sách: B  300 000.  30x 60y điều kiện 0 10 000
0 5 000

.
.

x
y

  




 

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Hàm điều kiện ràng buộc: 

_{ }

x y,  300 000 30.  x 60y  0

Hàm Lagrange: L x y

_

, ,

_

N x y

_{  }

,  300 000 30.  x 60y

_

Tọa độ điểm dừng M(x,y) là nghiệm của hệ:

0 4 _{0 4}

0 4 0 4

0 6
0 6 0 6

0 4

5 ₅

6 30 0

4 60 0 15 3

300 000 30 60 0

2 10 000 2 10 000

5
3
. _.
, ,
.
, ,
.
. _. _.

x
y
x _x
y _y

L x y

x x

L x y

y y

L x y _x _y _x _y

x
y
x y

 _

 

 _



_{ } _
_{ } _ 
 _{ }

_{ } _{ } _
 
 _ _ _ _{ }

 _{ } __{ }

 _{ } _{ }
      
 _{ } _{ }
 _{ } _{ }
   
  _ _  _ _
 _ _
 
 _

 
  _
 
 
 

 

0 4

3 5 0 128879

6 000 6 000

2 10 000 2 000 2 000

.

,

. .

. . .

x x

x y y y

 


 _
 _ _  _
 _ 
 
   
  
  
   
  _





Ta có: 1 4 0 4 0 4 0 6

0 4 0 6 0 6 1 6

0 30 60

30 2 4 2 4

60 2 4 2 4

, , , ,

, , , ,

, ,

, ,

D x y x y

x y x y

  

  

 

  

 

Tại M(6000; 2000) ta có:

0 30 60

30 0 00026 0 000773
60 0 00077

5 79954
3 0
6
0
0
0 232
. .
. .
,
D
 
 
 
  

Vậy hàm số đạt cực đại có điều kiện tại M(6000; 2000). Giá trị cực đại: NCĐ=38.663,641

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

 

x y, 30x 60y 300 000. 0

    

b) Ta có: NCD 0 1289,

B 



 



Như vậy khi ngân sách tăng 1$ thì sản lượng cực đại tăng thêm 0,1289 sản phẩm.

Do đó nếu tăng ngân sách thêm 80.000$ thì sản lượng cực đại tương ứng tăng thêm 10.320
sản phẩm. Khi này NCĐ=48.983,641 sản phẩm.

Chú ý. Sinh viên cần chú ý đến dấu và độ lớn của nhân tử Lagrange . Độ lớn của nhân
tử Lagrange sẽ thay đổi nếu ta rút gọn hàm điều kiện dạng:

Hàm điều kiện Hàm Lagrange _LagrangeNhân tử

 

x y, 30x 60y 300 000.

    L x y



, ,



 N x y

  

,  30x 60y 300 000.



-0,1289

 

x y, 300 000 30. x 60y

    L x y



, ,



 N x y

  

,  300 000 30.  x 60y



0,1289

 

x y, x 2y 10 000.

    L x y



, ,



 N x y

  

,  x 2y 10 000.



???

 

x y, 10 000. x 2y

</div>


<!--links-->