Tải bản đầy đủ (.pdf) (28 trang)

CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (244.1 KB, 28 trang )

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Chương 4. SỐ PHỨC</b>



<b>§</b>

<b>1</b>

<b>SỐ PHỨC</b>



<b>Đỗ Trung Lai</b>−<b>Trường THPT Tân Châu, An Giang.</b>


</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>§1 SỐ PHỨC</b>



1

Số

<i>i.</i>



2

Định nghĩa số phức.


3

Số phức bằng nhau.



4

Biểu diễn hình học của số phức.


5

Mơđun của số phức.



6

Số phức liên hợp.



</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Số</b><i>i</i>


Số tự nhiên: Số tự nhiên bắt nguồn từ các từ dùng để đếm sự vật, và bắt
đầu bằng số một.


Số 0 là chữ số cuối cùng được tạo ra trong hầu hết các hệ thống số.


Phương trình 2<sub>+</sub><i>x</i>=3 có nghiệm trong tập số tự nhiên<sub>N</sub>là<i>x</i>=1. Nhưng
phương trình 2+<i>x</i>=1 vơ nghiệm trong tập số tự nhiên, để ghi các số dưới
0,... Người ta cần mở rộng thêm tập số nguyênZcoi−1 là nghiệm của
phương trình 1+<i>x</i>=0.


</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Số</b><i>i</i>



Lúc này khơng có số để ghi độ dài của cạnh huyền của tam giác vng cân
có cạnh góc vng bằng 1 hay phương trình<i>x</i>2=2 vô nghiệm trong tập số
hữu tỉ Qnên phát triển thêm tập số vô tỉI.


Hợp của tập số hữu tỉQ và tập số vơ tỉIlà tập số thựcR.
Phương trình<i>x</i>2+1=0 khơng có nghiệm trên tập số thực.


Với mong muốn mở rộng tập số thực để mọi phương trình bậc <i>n đều có</i>


nghiệm. Người ta thêm số<i>i và coi nó là nghiệm của phương trình</i>
<i>x</i>2+1<sub>=</sub>0. Vậy


</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>1. Định nghĩa số phức</b>


Ta có<i>i là nghiệm của phương trình x</i>2= −1 hay<i>i</i>2= −1 từ đó phương trình
(<i>x</i>−2)2= −1⇔ (<i>x</i>−2)2=<i>i</i>2 nên ta có thể nói <i>x</i>=2+<i>i là nghiệm của phương trình</i>


(<i>x</i>−2)2= −1.
<b>Định nghĩa</b>


<b>Một số phức là một biểu thức dạng</b><i>a</i>+<i>bi, trong đó a và b là những số thực và</i>


số<i>i thỏa mãn i</i>2= −1. Kí hiệu số phức đó là<i>z và viết z</i>=<i>a</i>+<i>bi với a</i>,<i>b</i>∈ R.
<i>i</i>được gọi là<i>đơn vị ảo,</i> <i>a</i>được gọi là<i>phần thực</i>(Re(<i>z</i>)),<i>b</i>được gọi là<i>phần ảo</i>


(Im(<i>z</i>)) của số phức<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi (dạng đại số của số phức).</i>


Tập hợp các số phức được kí hiệu làC.
<b>Ví dụ 1.</b>



Các số sau là các số phức:


<i>z</i>1= −3+5<i>i ; z</i>2=4+
³


</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Hoạt động 1</b>


</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>2. Số phức bằng nhau</b> <b>Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và</b>
phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.


<i>a</i>+<i>bi</i>=<i>c</i>+<i>di</i>⇔<i>a</i>=<i>c và b</i>=<i>d</i>,¡


</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>2. Số phức bằng nhau</b>


<b>Ví dụ 2.</b>


Tìm các số thực<i>x</i>,<i>y, biết</i>


¡


3<i>x</i>−<i>y</i>¢ + ¡2<i>y</i>−1¢


<i>i</i>= (<i>x</i>+1<sub>) +</sub>¡


<i>y</i>+2¢


<i>i</i>.


<b>Lời giải</b>



Từ định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta có
(


3<i>x</i>−<i>y</i>=<i>x</i>+1
2<i>y</i>−1=<i>y</i>+2 ⇔


(


<i>x</i>=2


<i>y</i>=3.


</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>2. Số phức bằng nhau</b>


<b>Ghi chú</b>


Mỗi số thực<i>a là một số phức với phần ảo bằng 0, tức là a</i>=<i>a</i>+0<i>i.</i>


Như vậy, <i>mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có</i>R ⊂ C.
Ta có quan hệ của các tập số:


N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ CvàR \ Q = I.


Số phức <i>bi</i>=0+<i>bi được gọi là số thuần ảo.</i>


Đặc biệt<i>i</i>=0+1<i>i</i>.Số<i>i được gọi là đơn vị ảo.</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>3. Biểu diễn hình học số phức</b>



Điểm<i>M</i>(<i>a</i>;<i>b</i>)trong hệ trục tọa độ


<i><b>Oxy được gọi là điểm biểu diễn</b></i>


<b>số phức</b><i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi. Điểm biểu diễn</i>


của số phức<i>z cịn được kí hiệu là</i>


<i>Mz</i>. <i>O</i> <i>x</i>


<i>y</i>


<i>b</i>


<i>a</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>3. Biểu diễn hình học số phức</b>


<b>Ví dụ 3.</b>


Điểm<i>A biểu diễn số phức 3</i>+2<i>i.</i>


Điểm<i>B biểu diễn số phức 2</i>−3<i>i.</i>


Điểm<i>C biểu diễn số phức</i>−3−2<i>i.</i>


Điểm<i>D biểu diễn số phức</i>


0<sub>+</sub>3<i>i</i>=3<i>i.</i>



Các điểm trên trục<i>Ox biểu diển</i>


các số thực nên trục<i>Ox được gọi là</i>


trục thực.


Các điểm trên trục<i>Oy biểu diễn</i>


các số thuần ảo nên trục<i>Oy được</i>


gọi là trục ảo.


<i>x</i>
<i>y</i>


<i>O</i>


−2 −1 1 3


</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>4. Môđun của số phức</b>


Cho số phức<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi được biểu diễn bởi điểm M</i>¡


<i>a</i>;<i>b</i>¢


trên mặt phẳng<i>Oxy</i>.
Độ dài của vectơ<i>OM được gọi là</i># »


<b>môđun của số phức</b><i>z và kí hiệu là</i>



|<i>z</i>|.
|<i>z</i><sub>| =</sub>¯¯


¯
# »


<i>OM</i>¯¯
¯hay


¯
¯<i>a</i>+<i>bi</i>


¯
¯=
¯
¯
¯
# »


<i>OM</i>¯¯
¯.
¯


¯<i>a</i>+<i>bi</i>
¯
¯=


p


<i>a</i>2<sub>+</sub><i><sub>b</sub></i>2<sub>.</sub>



<i>O</i> <i>x</i>


<i>y</i>


<i>b</i>


<i>a</i>


<i>M</i>


<b>Ví dụ. a)</b>|3−2<i>i</i><sub>| =</sub>


q


32<sub>+ (−</sub><sub>2)</sub>2


=p13.
b)


¯
¯
¯1+<i>i</i>


p
3
¯
¯
¯ =
r



</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>5. Số phức liên hợp</b>


Cho số phức<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi</i>.Ta gọi<i>a</i>−<i><b>bi là số</b></i>


<b>phức liên hợp của</b><i>z và kí hiệu là</i>


<i>z</i>=<i>a</i>−<i>bi</i>.Tức là <i>a</i>+<i>bi</i>=<i>a</i>−<i>bi</i>.


<b>Ví dụ.</b> <i>a</i>). <i>z</i>= −3−2<i>i</i>⇔<i>z</i>= −3+2<i>i</i>


<i>b</i>). <i>z</i>=4−3<i>i</i>⇔<i>z</i>=4+3<i>i</i>


Trên mặt phẳng<i>Oxy</i>,các điểm biểu diễn <i>z</i>


và<i>z đối xứng nhau qua trục Ox</i>.
|<i>z</i>| =¯¯<i>z</i>


¯


¯ và<i>z</i>=<i>z.</i>


<i>O</i> <i>x</i>


<i>y</i>


<i>b</i>


−<i>b</i>



<i>a</i>


<i>Mz</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>CÁC DẠNG TỐN</b>


<b>Dạng 1. Tìm phần thực, phần ảo của số phức</b>
<b>Ví dụ 4.</b>


Xác định phần thực, phần ảo của các số phức:


1 <i>z</i><sub>=</sub>2<sub>+</sub>3<i>i.</i>
2 <i>z</i>=2<i>i</i>−4.


3 <i>z</i><sub>=</sub>3.
4 <i>z</i>=15<i>i.</i>


<b>Lời giải</b>


1 Số phức<i>z</i><sub>=</sub>2<sub>+</sub>3<i>i có phần thực a</i><sub>=</sub>2 và phần ảo<i>b</i><sub>=</sub>3.


2 Số phức<i>z</i><sub>=</sub>2<i>i</i><sub>−</sub>4<sub>⇔</sub><i>z</i><sub>= −</sub>4<sub>+</sub>2<i>i có phần thực a</i><sub>= −</sub>4 và phần ảo<i>b</i><sub>=</sub>2.
3 Số phức<i>z</i><sub>=</sub>3<sub>⇔</sub><i>z</i><sub>=</sub>3<sub>+</sub>0<i>i có phần thực a</i><sub>=</sub>3 và phần ảo<i>b</i><sub>=</sub>0.


</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>Dạng 2. Hai số phức bằng nhau</b>


Hai số phức<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi</i>,<i>z</i>0=<i>a</i>0+<i>b</i>0<i>i được gọi là bằng nhau nếu</i>


½<i><sub>a</sub></i>
=<i>a</i>0


<i>b</i>=<i>b</i>0.
<b>Ví dụ 5.</b>


Tìm các số thực<i>x, y biết x</i>+2<i>y</i>+3<i>i</i>=4<i>x</i>−5<i>y</i>+ (6−<i>y</i>)<i>i.</i>


<b>Lời giải</b>


<i>x</i>+2<i>y</i>+3<i>i</i>=4<i>x</i>−5<i>y</i>+ (6<sub>−</sub><i>y</i>)<i>i</i>⇔


½<i><sub>x</sub></i><sub>+</sub><sub>2</sub><i><sub>y</sub></i><sub>=</sub><sub>4</sub><i><sub>x</sub></i><sub>−</sub><sub>5</sub><i><sub>y</sub></i>


3=6−<i>y</i> ⇔


½<sub>−</sub><sub>3</sub><i><sub>x</sub></i><sub>+</sub><sub>7</sub><i><sub>y</sub></i><sub>=</sub><sub>0</sub>


<i>y</i>=3 ⇔
½<i><sub>x</sub></i><sub>=</sub><sub>7</sub>


</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>Dạng 2. Hai số phức bằng nhau</b>
<b>Ví dụ 6.</b>


Cho<i>z</i>= (3<i>a</i>+2) + (<i>b</i>−4)<i>i. Tìm các số a</i>,<i>b để</i>


1 <i>z là số thực.</i> 2 <i>z là số thuần ảo.</i>


<b>Lời giải</b>


1 <i>z là số thực khi b</i>−4=0 hay<i>b</i>=4.


2 <i>z là số thuần ảo khi 3a</i><sub>+</sub>2<sub>=</sub>0 hay<i>a</i><sub>= −</sub>2



</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>Dạng 3. Biểu diễn hình học của số phức</b>


Số phức<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi (a</i>,<i>b</i>∈ R) được biểu diễn bởi điểm<i>M</i>(<i>a</i>;<i>b</i>).
<b>Ví dụ 7.</b>


Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các số phức sau: 4−3<i>i, 3</i>+2<i>i,</i>−5, 5<i>i.</i>


<b>Lời giải</b>


Điểm<i>A</i>(4<sub>; −</sub>3)biểu diễn số phức 4−3<i>i.</i>


Điểm<i>B</i>(3;2)biểu diễn số phức 3+2<i>i.</i>


Điểm<i>C</i>(−5;0)biểu diễn số phức−5.


Điểm<i>D</i>(0;5)biểu diễn số phức 5<i>i.</i> <i>O</i> <i>x</i>


<i>y</i>


4
3
−5


<i>C</i>


−3
2
5 <i>D</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>Ví dụ 8.</b>


Cho điểm<i>M</i>(−2;5)và điểm<i>N đối xứng với M qua trục tung. Khi đó N biểu diễn</i>


số phức nào?


<b>A.</b><i>z</i>=2<sub>+</sub>5<i>i.</i> <b>B.</b><i>z</i>= −2<sub>−</sub>5<i>i.</i> <b>C.</b><i>z</i>=2<sub>−</sub>5<i>i.</i> <b>D.</b><i>z</i>= −2<sub>+</sub>5<i>i.</i>


<b>Lời giải</b>


<i>O</i>


<i>x</i>
<i>y</i>


−2 2


5


<i>M</i> <i>N</i>


Ta có<i>N đối xứng với M</i>(−2;5)qua trục<i>Oy nên</i>
<i>N</i>(2;5). Suy ra<i>N biểu diễn số phức z</i>=2+5<i>i.</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>Dạng 3. Biểu diễn hình học của số phức</b>
<b>Ví dụ 9.</b>


Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn điều
kiện:



Phần thực của<i>z bằng 3.</i>


<b>Lời giải</b>


Số phức <i>z có phần thực bằng 3</i>


được biểu diễn bởi điểm<i>M</i>(3;<i>b</i>).
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số
phức<i>z là đường thẳng x</i>=3.


<i>O</i> <i>x</i>


<i>y</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>Dạng 3. Biểu diễn hình học của số phức</b>
<b>Ví dụ 10.</b>


Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn
điều kiện: Phần ảo thuộc đoạn<sub>[−</sub>1;6].


<b>Lời giải</b>


Số phức <i>z có phần ảo thuộc khoảng</i>[−1;6]
được biểu diễn bởi điểm<i>M</i>(<i>a</i>;<i>b</i>)với<i>b</i>∈ [−1;6].
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức<i>z là</i>


phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng


<i>y</i>= −1 và<i>y</i>=6, kể cả các điểm nằm trên hai



đường thẳng này. <i><sub>O</sub></i> <i><sub>x</sub></i>


<i>y</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>Dạng 4. Tìm mơđun của số phức</b>
<b>Ví dụ 11.</b>


Tìm mơ-đun của các số phức sau:


1 <i>z</i><sub>=</sub>3<sub>−</sub>5<i>i.</i>
2 <i>z</i><sub>= −</sub>5<sub>+</sub>4<i>i.</i>


3 <i>z</i><sub>= −</sub>4<i>i.</i>
4 <i>z</i><sub>=</sub>2.


<b>Lời giải</b>


1 Ta có|<i>z</i>| = |3−5<i>i</i>| =


p


32<sub>+ (−</sub><sub>5)</sub>2<sub>=</sub>p<sub>34.</sub>


2 Ta có|<i>z</i>| = | −5+4<i>i</i>| =


p


(−5)2<sub>+</sub><sub>4</sub>2<sub>=</sub>p<sub>41.</sub>


3 Ta có|<i>z</i>| = | −4<i>i</i>| =



p


(−4)2<sub>=</sub><sub>4.</sub>


4 Ta có<sub>|</sub><i>z</i><sub>| = |</sub>2<sub>| =</sub>


p


</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<b>Ví dụ 12.</b>


Cho các mênh đề:


1 "Mơ-đun của số phức<i>z là số thực".</i>


2 "Mô-đun của số phức<i>z là số thực dương"</i>


3 "Mô-đun của số phức<i>z là số thực không âm "</i>


4 "Mô-đun của số phức<i>z là số phức "</i>


<b>Trong các trên có bao nhiêu mệnh đề sai?</b>


<b>A. 2.</b> <b>B. 1.</b> <b>C. 3.</b> <b>D. 4.</b>


<b>Lời giải</b>


Giả sử<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi</i>¡


<i>a</i>,<i>b</i>∈ R¢ ⇒ |<i>z</i>| =p<i>a</i>2<sub>+</sub><i><sub>b</sub></i>2<sub>≥</sub><sub>0.</sub>


Vậy chỉ có mệnh đề 2 sai.


</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<b>Ví dụ 13.</b>


Trên mặt phẳng<i>Oxy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện</i>|<i>z</i>| É2.


<b>Lời giải</b>


Gọi<i>z</i>=<i>x</i>+<i>yi</i>;<i>x</i>,<i>y</i>∈ R.
|<i>z</i>| É2⇔


q


<i>x</i>2<sub>+</sub><i><sub>y</sub></i>2<sub>É</sub><sub>2</sub><sub>⇔</sub><i><sub>x</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>y</sub></i>2<sub>É</sub><sub>4.</sub>


Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức<i>z là</i>


hình trịn tâm<i>O bán kính R</i>=2 (kể cả biên).


<i>O</i>


<i>x</i>
<i>y</i>


−2 2


2


</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

<b>Dạng 5. Số phức liên hợp</b>
<b>Ví dụ 14.</b>



Tìm<i>z, biết:</i>


a. <i>z</i><sub>=</sub>3<sub>−</sub><i>i</i>p2;
b. <i>z</i><sub>= −</sub>p2<sub>+</sub><i>i</i>p3;


c. <i>z</i><sub>=</sub>3;
d. <i>z</i><sub>= −</sub>5<i>i.</i>


<b>Lời giải</b>


a. <i>z</i><sub>=</sub>3<sub>+</sub><i>i</i>p2.
b. <i>z</i><sub>= −</sub>p2<sub>−</sub><i>i</i>p3.


</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<b>Ví dụ 15.</b>


(Đề minh họa−2017). Cho số phức<i>z</i>=3−2<i>i. Tìm phần thực và phần ảo của số</i>


phức<i>z.</i>


<b>A. Phần thực là</b>−3 và phần ảo là−2<i><b>i. B. Phần thực là</b></i>−3 và phần ảo là−2.


<b>C. Phần thực là 3 và phần ảo là 2</b><i>i.</i> <b>D. Phần thực là 3 và phần ảo là 2.</b>


<b>Lời giải</b>


Ta có:<i>z</i>=3−2<i>i</i>⇒<i>z</i>=3+2<i>i. Suy ra phần thực bằng 3 và phần ảo là 2.</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<b>Tóm tắt</b>



Số phức


Định nghĩa <i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi</i>;<i>a</i>,<i>b</i>∈ R,với<i>i</i>2= −1.


Số phức bằng nhau


Mô đun của số phức
Biểu diễn hình học


<i>a</i>+<i>bi</i>=<i>c</i>+<i>di</i>⇔





<i>a</i><sub>=</sub><i>c</i>
<i>c</i>=<i>d</i>


với<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>∈ R


Số phức liên hợp


<i>Mz</i>(<i>a</i>;<i>b</i>)là điểm biểu diễn của<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi</i>


Mơđun của<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi là</i>|<i>z</i>| = |<i>a</i>+<i>bi</i>| =p<i>a</i>2<sub>+</sub><i><sub>b</sub></i>2


</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

<b>Hướng dẫn học ở nhà</b>


Giải các bài tập: 1, 2c, 4a, 4d, 6 trang 133, 134 sách giáo khoa Giải tích 12.
Đọc thêm bài: “Phương trình đại số ”trang 141 sách giáo khoa; tìm hiểu


cơng thức Các-đa-nơ để giải phương trình bậc ba.


</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

<b>CHÚC CÁC EM ĐẠT NHIỀU THÀNH TÍCH TRONG HỌC</b>


<b>TẬP</b>



</div>

<!--links-->

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×