<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Chương 4. SỐ PHỨC</b>

<b>§</b>

<b>1</b>

<b>SỐ PHỨC</b>

<b>Đỗ Trung Lai</b>−<b>Trường THPT Tân Châu, An Giang.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>§1 SỐ PHỨC</b>

1

Số

<i>i.</i>

2

Định nghĩa số phức.

3

Số phức bằng nhau.

4

Biểu diễn hình học của số phức.

5

Mơđun của số phức.

6

Số phức liên hợp.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Số</b><i>i</i>

Số tự nhiên: Số tự nhiên bắt nguồn từ các từ dùng để đếm sự vật, và bắt
đầu bằng số một.

Số 0 là chữ số cuối cùng được tạo ra trong hầu hết các hệ thống số.

Phương trình 2₊<i>x</i>=3 có nghiệm trong tập số tự nhiên_Nlà<i>x</i>=1. Nhưng
phương trình 2+<i>x</i>=1 vơ nghiệm trong tập số tự nhiên, để ghi các số dưới
0,... Người ta cần mở rộng thêm tập số nguyênZcoi−1 là nghiệm của
phương trình 1+<i>x</i>=0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Số</b><i>i</i>

Lúc này khơng có số để ghi độ dài của cạnh huyền của tam giác vng cân
có cạnh góc vng bằng 1 hay phương trình<i>x</i>2=2 vô nghiệm trong tập số
hữu tỉ Qnên phát triển thêm tập số vô tỉI.

Hợp của tập số hữu tỉQ và tập số vơ tỉIlà tập số thựcR.
Phương trình<i>x</i>2+1=0 khơng có nghiệm trên tập số thực.

Với mong muốn mở rộng tập số thực để mọi phương trình bậc <i>n đều có</i>

nghiệm. Người ta thêm số<i>i và coi nó là nghiệm của phương trình</i>
<i>x</i>2+1₌0. Vậy

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>1. Định nghĩa số phức</b>

Ta có<i>i là nghiệm của phương trình x</i>2= −1 hay<i>i</i>2= −1 từ đó phương trình
(<i>x</i>−2)2= −1⇔ (<i>x</i>−2)2=<i>i</i>2 nên ta có thể nói <i>x</i>=2+<i>i là nghiệm của phương trình</i>

(<i>x</i>−2)2= −1.
<b>Định nghĩa</b>

<b>Một số phức là một biểu thức dạng</b><i>a</i>+<i>bi, trong đó a và b là những số thực và</i>

số<i>i thỏa mãn i</i>2= −1. Kí hiệu số phức đó là<i>z và viết z</i>=<i>a</i>+<i>bi với a</i>,<i>b</i>∈ R.
<i>i</i>được gọi là<i>đơn vị ảo,</i> <i>a</i>được gọi là<i>phần thực</i>(Re(<i>z</i>)),<i>b</i>được gọi là<i>phần ảo</i>

(Im(<i>z</i>)) của số phức<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi (dạng đại số của số phức).</i>

Tập hợp các số phức được kí hiệu làC.
<b>Ví dụ 1.</b>

Các số sau là các số phức:

<i>z</i>1= −3+5<i>i ; z</i>2=4+
³

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Hoạt động 1</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>2. Số phức bằng nhau</b> <b>Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và</b>
phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.

<i>a</i>+<i>bi</i>=<i>c</i>+<i>di</i>⇔<i>a</i>=<i>c và b</i>=<i>d</i>,¡

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>2. Số phức bằng nhau</b>

<b>Ví dụ 2.</b>

Tìm các số thực<i>x</i>,<i>y, biết</i>

¡

3<i>x</i>−<i>y</i>¢ + ¡2<i>y</i>−1¢

<i>i</i>= (<i>x</i>+1_{) +}¡

<i>y</i>+2¢

<i>i</i>.

<b>Lời giải</b>

Từ định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta có
(

3<i>x</i>−<i>y</i>=<i>x</i>+1
2<i>y</i>−1=<i>y</i>+2 ⇔

(

<i>x</i>=2

<i>y</i>=3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>2. Số phức bằng nhau</b>

<b>Ghi chú</b>

Mỗi số thực<i>a là một số phức với phần ảo bằng 0, tức là a</i>=<i>a</i>+0<i>i.</i>

Như vậy, <i>mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có</i>R ⊂ C.
Ta có quan hệ của các tập số:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ CvàR \ Q = I.

Số phức <i>bi</i>=0+<i>bi được gọi là số thuần ảo.</i>

Đặc biệt<i>i</i>=0+1<i>i</i>.Số<i>i được gọi là đơn vị ảo.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>3. Biểu diễn hình học số phức</b>

Điểm<i>M</i>(<i>a</i>;<i>b</i>)trong hệ trục tọa độ

<i><b>Oxy được gọi là điểm biểu diễn</b></i>

<b>số phức</b><i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi. Điểm biểu diễn</i>

của số phức<i>z cịn được kí hiệu là</i>

<i>Mz</i>. <i>O</i> <i>x</i>

<i>y</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>3. Biểu diễn hình học số phức</b>

<b>Ví dụ 3.</b>

Điểm<i>A biểu diễn số phức 3</i>+2<i>i.</i>

Điểm<i>B biểu diễn số phức 2</i>−3<i>i.</i>

Điểm<i>C biểu diễn số phức</i>−3−2<i>i.</i>

Điểm<i>D biểu diễn số phức</i>

0₊3<i>i</i>=3<i>i.</i>

Các điểm trên trục<i>Ox biểu diển</i>

các số thực nên trục<i>Ox được gọi là</i>

trục thực.

Các điểm trên trục<i>Oy biểu diễn</i>

các số thuần ảo nên trục<i>Oy được</i>

gọi là trục ảo.

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>O</i>

−2 −1 1 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>4. Môđun của số phức</b>

Cho số phức<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi được biểu diễn bởi điểm M</i>¡

<i>a</i>;<i>b</i>¢

trên mặt phẳng<i>Oxy</i>.
Độ dài của vectơ<i>OM được gọi là</i># »

<b>môđun của số phức</b><i>z và kí hiệu là</i>

|<i>z</i>|.
|<i>z</i>_{| =}¯¯

¯
# »

<i>OM</i>¯¯
¯hay

¯
¯<i>a</i>+<i>bi</i>

¯
¯=
¯
¯
¯
# »

<i>OM</i>¯¯
¯.
¯

¯<i>a</i>+<i>bi</i>
¯
¯=

p

<i>a</i>2₊<i>_b</i>2_.

<i>O</i> <i>x</i>

<i>y</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>M</i>

<b>Ví dụ. a)</b>|3−2<i>i</i>_{| =}

q

32_{+ (−}₂₎2

=p13.
b)

¯
¯
¯1+<i>i</i>

p
3
¯
¯
¯ =
r

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>5. Số phức liên hợp</b>

Cho số phức<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi</i>.Ta gọi<i>a</i>−<i><b>bi là số</b></i>

<b>phức liên hợp của</b><i>z và kí hiệu là</i>

<i>z</i>=<i>a</i>−<i>bi</i>.Tức là <i>a</i>+<i>bi</i>=<i>a</i>−<i>bi</i>.

<b>Ví dụ.</b> <i>a</i>). <i>z</i>= −3−2<i>i</i>⇔<i>z</i>= −3+2<i>i</i>

<i>b</i>). <i>z</i>=4−3<i>i</i>⇔<i>z</i>=4+3<i>i</i>

Trên mặt phẳng<i>Oxy</i>,các điểm biểu diễn <i>z</i>

và<i>z đối xứng nhau qua trục Ox</i>.
|<i>z</i>| =¯¯<i>z</i>

¯

¯ và<i>z</i>=<i>z.</i>

<i>O</i> <i>x</i>

<i>y</i>

<i>b</i>

−<i>b</i>

<i>a</i>

<i>Mz</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>CÁC DẠNG TỐN</b>

<b>Dạng 1. Tìm phần thực, phần ảo của số phức</b>
<b>Ví dụ 4.</b>

Xác định phần thực, phần ảo của các số phức:

1 <i>z</i>₌2₊3<i>i.</i>
2 <i>z</i>=2<i>i</i>−4.

3 <i>z</i>₌3.
4 <i>z</i>=15<i>i.</i>

<b>Lời giải</b>

1 Số phức<i>z</i>₌2₊3<i>i có phần thực a</i>₌2 và phần ảo<i>b</i>₌3.

2 Số phức<i>z</i>₌2<i>i</i>₋4_⇔<i>z</i>_{= −}4₊2<i>i có phần thực a</i>_{= −}4 và phần ảo<i>b</i>₌2.
3 Số phức<i>z</i>₌3_⇔<i>z</i>₌3₊0<i>i có phần thực a</i>₌3 và phần ảo<i>b</i>₌0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>Dạng 2. Hai số phức bằng nhau</b>

Hai số phức<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi</i>,<i>z</i>0=<i>a</i>0+<i>b</i>0<i>i được gọi là bằng nhau nếu</i>

½<i>_a</i>
=<i>a</i>0

<i>b</i>=<i>b</i>0.
<b>Ví dụ 5.</b>

Tìm các số thực<i>x, y biết x</i>+2<i>y</i>+3<i>i</i>=4<i>x</i>−5<i>y</i>+ (6−<i>y</i>)<i>i.</i>

<b>Lời giải</b>

<i>x</i>+2<i>y</i>+3<i>i</i>=4<i>x</i>−5<i>y</i>+ (6₋<i>y</i>)<i>i</i>⇔

½<i>_x</i>₊₂<i>_y</i>₌₄<i>_x</i>₋₅<i>_y</i>

3=6−<i>y</i> ⇔

½₋₃<i>_x</i>₊₇<i>_y</i>₌₀

<i>y</i>=3 ⇔
½<i>_x</i>₌₇

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>Dạng 2. Hai số phức bằng nhau</b>
<b>Ví dụ 6.</b>

Cho<i>z</i>= (3<i>a</i>+2) + (<i>b</i>−4)<i>i. Tìm các số a</i>,<i>b để</i>

1 <i>z là số thực.</i> 2 <i>z là số thuần ảo.</i>

<b>Lời giải</b>

1 <i>z là số thực khi b</i>−4=0 hay<i>b</i>=4.

2 <i>z là số thuần ảo khi 3a</i>₊2₌0 hay<i>a</i>_{= −}2

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>Dạng 3. Biểu diễn hình học của số phức</b>

Số phức<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi (a</i>,<i>b</i>∈ R) được biểu diễn bởi điểm<i>M</i>(<i>a</i>;<i>b</i>).
<b>Ví dụ 7.</b>

Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các số phức sau: 4−3<i>i, 3</i>+2<i>i,</i>−5, 5<i>i.</i>

<b>Lời giải</b>

Điểm<i>A</i>(4_{; −}3)biểu diễn số phức 4−3<i>i.</i>

Điểm<i>B</i>(3;2)biểu diễn số phức 3+2<i>i.</i>

Điểm<i>C</i>(−5;0)biểu diễn số phức−5.

Điểm<i>D</i>(0;5)biểu diễn số phức 5<i>i.</i> <i>O</i> <i>x</i>

<i>y</i>

4
3
−5

<i>C</i>

−3
2
5 <i>D</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>Ví dụ 8.</b>

Cho điểm<i>M</i>(−2;5)và điểm<i>N đối xứng với M qua trục tung. Khi đó N biểu diễn</i>

số phức nào?

<b>A.</b><i>z</i>=2₊5<i>i.</i> <b>B.</b><i>z</i>= −2₋5<i>i.</i> <b>C.</b><i>z</i>=2₋5<i>i.</i> <b>D.</b><i>z</i>= −2₊5<i>i.</i>

<b>Lời giải</b>

<i>O</i>

<i>x</i>
<i>y</i>

−2 2

5

<i>M</i> <i>N</i>

Ta có<i>N đối xứng với M</i>(−2;5)qua trục<i>Oy nên</i>
<i>N</i>(2;5). Suy ra<i>N biểu diễn số phức z</i>=2+5<i>i.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>Dạng 3. Biểu diễn hình học của số phức</b>
<b>Ví dụ 9.</b>

Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn điều
kiện:

Phần thực của<i>z bằng 3.</i>

<b>Lời giải</b>

Số phức <i>z có phần thực bằng 3</i>

được biểu diễn bởi điểm<i>M</i>(3;<i>b</i>).
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số
phức<i>z là đường thẳng x</i>=3.

<i>O</i> <i>x</i>

<i>y</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>Dạng 3. Biểu diễn hình học của số phức</b>
<b>Ví dụ 10.</b>

Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn
điều kiện: Phần ảo thuộc đoạn_[−1;6].

<b>Lời giải</b>

Số phức <i>z có phần ảo thuộc khoảng</i>[−1;6]
được biểu diễn bởi điểm<i>M</i>(<i>a</i>;<i>b</i>)với<i>b</i>∈ [−1;6].
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức<i>z là</i>

phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng

<i>y</i>= −1 và<i>y</i>=6, kể cả các điểm nằm trên hai

đường thẳng này. <i>_O</i> <i>_x</i>

<i>y</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>Dạng 4. Tìm mơđun của số phức</b>
<b>Ví dụ 11.</b>

Tìm mơ-đun của các số phức sau:

1 <i>z</i>₌3₋5<i>i.</i>
2 <i>z</i>_{= −}5₊4<i>i.</i>

3 <i>z</i>_{= −}4<i>i.</i>
4 <i>z</i>₌2.

<b>Lời giải</b>

1 Ta có|<i>z</i>| = |3−5<i>i</i>| =

p

32_{+ (−}₅₎2₌p_34.

2 Ta có|<i>z</i>| = | −5+4<i>i</i>| =

p

(−5)2₊₄2₌p_41.

3 Ta có|<i>z</i>| = | −4<i>i</i>| =

p

(−4)2₌_4.

4 Ta có_|<i>z</i>_{| = |}2_{| =}

p

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<b>Ví dụ 12.</b>

Cho các mênh đề:

1 "Mơ-đun của số phức<i>z là số thực".</i>

2 "Mô-đun của số phức<i>z là số thực dương"</i>

3 "Mô-đun của số phức<i>z là số thực không âm "</i>

4 "Mô-đun của số phức<i>z là số phức "</i>

<b>Trong các trên có bao nhiêu mệnh đề sai?</b>

<b>A. 2.</b> <b>B. 1.</b> <b>C. 3.</b> <b>D. 4.</b>

<b>Lời giải</b>

Giả sử<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi</i>¡

<i>a</i>,<i>b</i>∈ R¢ ⇒ |<i>z</i>| =p<i>a</i>2₊<i>_b</i>2_≥_0.

Vậy chỉ có mệnh đề 2 sai.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<b>Ví dụ 13.</b>

Trên mặt phẳng<i>Oxy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện</i>|<i>z</i>| É2.

<b>Lời giải</b>

Gọi<i>z</i>=<i>x</i>+<i>yi</i>;<i>x</i>,<i>y</i>∈ R.
|<i>z</i>| É2⇔

q

<i>x</i>2₊<i>_y</i>2_É₂_⇔<i>_x</i>2₊<i>_y</i>2_É_4.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức<i>z là</i>

hình trịn tâm<i>O bán kính R</i>=2 (kể cả biên).

<i>O</i>

<i>x</i>
<i>y</i>

−2 2

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

<b>Dạng 5. Số phức liên hợp</b>
<b>Ví dụ 14.</b>

Tìm<i>z, biết:</i>

a. <i>z</i>₌3₋<i>i</i>p2;
b. <i>z</i>_{= −}p2₊<i>i</i>p3;

c. <i>z</i>₌3;
d. <i>z</i>_{= −}5<i>i.</i>

<b>Lời giải</b>

a. <i>z</i>₌3₊<i>i</i>p2.
b. <i>z</i>_{= −}p2₋<i>i</i>p3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<b>Ví dụ 15.</b>

(Đề minh họa−2017). Cho số phức<i>z</i>=3−2<i>i. Tìm phần thực và phần ảo của số</i>

phức<i>z.</i>

<b>A. Phần thực là</b>−3 và phần ảo là−2<i><b>i. B. Phần thực là</b></i>−3 và phần ảo là−2.

<b>C. Phần thực là 3 và phần ảo là 2</b><i>i.</i> <b>D. Phần thực là 3 và phần ảo là 2.</b>

<b>Lời giải</b>

Ta có:<i>z</i>=3−2<i>i</i>⇒<i>z</i>=3+2<i>i. Suy ra phần thực bằng 3 và phần ảo là 2.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<b>Tóm tắt</b>

Số phức

Định nghĩa <i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi</i>;<i>a</i>,<i>b</i>∈ R,với<i>i</i>2= −1.

Số phức bằng nhau

Mô đun của số phức
Biểu diễn hình học

<i>a</i>+<i>bi</i>=<i>c</i>+<i>di</i>⇔





<i>a</i>₌<i>c</i>
<i>c</i>=<i>d</i>

với<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>∈ R

Số phức liên hợp

<i>Mz</i>(<i>a</i>;<i>b</i>)là điểm biểu diễn của<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi</i>

Mơđun của<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi là</i>|<i>z</i>| = |<i>a</i>+<i>bi</i>| =p<i>a</i>2₊<i>_b</i>2

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

<b>Hướng dẫn học ở nhà</b>

Giải các bài tập: 1, 2c, 4a, 4d, 6 trang 133, 134 sách giáo khoa Giải tích 12.
Đọc thêm bài: “Phương trình đại số ”trang 141 sách giáo khoa; tìm hiểu

cơng thức Các-đa-nơ để giải phương trình bậc ba.

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

<b>CHÚC CÁC EM ĐẠT NHIỀU THÀNH TÍCH TRONG HỌC</b>

<b>TẬP</b>

</div>

<!--links-->