Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (244.1 KB, 28 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>Đỗ Trung Lai</b>−<b>Trường THPT Tân Châu, An Giang.</b>
1
2
4
6
<b>Số</b><i>i</i>
Số tự nhiên: Số tự nhiên bắt nguồn từ các từ dùng để đếm sự vật, và bắt
đầu bằng số một.
Số 0 là chữ số cuối cùng được tạo ra trong hầu hết các hệ thống số.
Phương trình 2<sub>+</sub><i>x</i>=3 có nghiệm trong tập số tự nhiên<sub>N</sub>là<i>x</i>=1. Nhưng
phương trình 2+<i>x</i>=1 vơ nghiệm trong tập số tự nhiên, để ghi các số dưới
0,... Người ta cần mở rộng thêm tập số nguyênZcoi−1 là nghiệm của
phương trình 1+<i>x</i>=0.
<b>Số</b><i>i</i>
Lúc này khơng có số để ghi độ dài của cạnh huyền của tam giác vng cân
có cạnh góc vng bằng 1 hay phương trình<i>x</i>2=2 vô nghiệm trong tập số
hữu tỉ Qnên phát triển thêm tập số vô tỉI.
Hợp của tập số hữu tỉQ và tập số vơ tỉIlà tập số thựcR.
Phương trình<i>x</i>2+1=0 khơng có nghiệm trên tập số thực.
Với mong muốn mở rộng tập số thực để mọi phương trình bậc <i>n đều có</i>
nghiệm. Người ta thêm số<i>i và coi nó là nghiệm của phương trình</i>
<i>x</i>2+1<sub>=</sub>0. Vậy
<b>1. Định nghĩa số phức</b>
Ta có<i>i là nghiệm của phương trình x</i>2= −1 hay<i>i</i>2= −1 từ đó phương trình
(<i>x</i>−2)2= −1⇔ (<i>x</i>−2)2=<i>i</i>2 nên ta có thể nói <i>x</i>=2+<i>i là nghiệm của phương trình</i>
(<i>x</i>−2)2= −1.
<b>Định nghĩa</b>
<b>Một số phức là một biểu thức dạng</b><i>a</i>+<i>bi, trong đó a và b là những số thực và</i>
số<i>i thỏa mãn i</i>2= −1. Kí hiệu số phức đó là<i>z và viết z</i>=<i>a</i>+<i>bi với a</i>,<i>b</i>∈ R.
<i>i</i>được gọi là<i>đơn vị ảo,</i> <i>a</i>được gọi là<i>phần thực</i>(Re(<i>z</i>)),<i>b</i>được gọi là<i>phần ảo</i>
(Im(<i>z</i>)) của số phức<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi (dạng đại số của số phức).</i>
Tập hợp các số phức được kí hiệu làC.
<b>Ví dụ 1.</b>
Các số sau là các số phức:
<i>z</i>1= −3+5<i>i ; z</i>2=4+
³
<b>Hoạt động 1</b>
<b>2. Số phức bằng nhau</b> <b>Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và</b>
phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
<i>a</i>+<i>bi</i>=<i>c</i>+<i>di</i>⇔<i>a</i>=<i>c và b</i>=<i>d</i>,¡
<b>2. Số phức bằng nhau</b>
<b>Ví dụ 2.</b>
Tìm các số thực<i>x</i>,<i>y, biết</i>
¡
3<i>x</i>−<i>y</i>¢ + ¡2<i>y</i>−1¢
<i>i</i>= (<i>x</i>+1<sub>) +</sub>¡
<i>y</i>+2¢
<i>i</i>.
<b>Lời giải</b>
Từ định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta có
(
3<i>x</i>−<i>y</i>=<i>x</i>+1
2<i>y</i>−1=<i>y</i>+2 ⇔
(
<i>x</i>=2
<i>y</i>=3.
<b>2. Số phức bằng nhau</b>
<b>Ghi chú</b>
Mỗi số thực<i>a là một số phức với phần ảo bằng 0, tức là a</i>=<i>a</i>+0<i>i.</i>
Như vậy, <i>mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có</i>R ⊂ C.
Ta có quan hệ của các tập số:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ CvàR \ Q = I.
Số phức <i>bi</i>=0+<i>bi được gọi là số thuần ảo.</i>
Đặc biệt<i>i</i>=0+1<i>i</i>.Số<i>i được gọi là đơn vị ảo.</i>
<b>3. Biểu diễn hình học số phức</b>
Điểm<i>M</i>(<i>a</i>;<i>b</i>)trong hệ trục tọa độ
<i><b>Oxy được gọi là điểm biểu diễn</b></i>
<b>số phức</b><i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi. Điểm biểu diễn</i>
của số phức<i>z cịn được kí hiệu là</i>
<i>Mz</i>. <i>O</i> <i>x</i>
<i>y</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<b>3. Biểu diễn hình học số phức</b>
<b>Ví dụ 3.</b>
Điểm<i>A biểu diễn số phức 3</i>+2<i>i.</i>
Điểm<i>B biểu diễn số phức 2</i>−3<i>i.</i>
Điểm<i>C biểu diễn số phức</i>−3−2<i>i.</i>
Điểm<i>D biểu diễn số phức</i>
0<sub>+</sub>3<i>i</i>=3<i>i.</i>
Các điểm trên trục<i>Ox biểu diển</i>
các số thực nên trục<i>Ox được gọi là</i>
trục thực.
Các điểm trên trục<i>Oy biểu diễn</i>
các số thuần ảo nên trục<i>Oy được</i>
gọi là trục ảo.
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>O</i>
−2 −1 1 3
<b>4. Môđun của số phức</b>
Cho số phức<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi được biểu diễn bởi điểm M</i>¡
<i>a</i>;<i>b</i>¢
trên mặt phẳng<i>Oxy</i>.
Độ dài của vectơ<i>OM được gọi là</i># »
<b>môđun của số phức</b><i>z và kí hiệu là</i>
|<i>z</i>|.
|<i>z</i><sub>| =</sub>¯¯
¯
# »
<i>OM</i>¯¯
¯hay
¯
¯<i>a</i>+<i>bi</i>
¯
¯=
¯
¯
¯
# »
<i>OM</i>¯¯
¯.
¯
¯<i>a</i>+<i>bi</i>
¯
¯=
p
<i>a</i>2<sub>+</sub><i><sub>b</sub></i>2<sub>.</sub>
<i>O</i> <i>x</i>
<i>y</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>M</i>
<b>Ví dụ. a)</b>|3−2<i>i</i><sub>| =</sub>
q
32<sub>+ (−</sub><sub>2)</sub>2
=p13.
b)
¯
¯
¯1+<i>i</i>
p
3
¯
¯
¯ =
r
<b>5. Số phức liên hợp</b>
Cho số phức<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi</i>.Ta gọi<i>a</i>−<i><b>bi là số</b></i>
<b>phức liên hợp của</b><i>z và kí hiệu là</i>
<i>z</i>=<i>a</i>−<i>bi</i>.Tức là <i>a</i>+<i>bi</i>=<i>a</i>−<i>bi</i>.
<b>Ví dụ.</b> <i>a</i>). <i>z</i>= −3−2<i>i</i>⇔<i>z</i>= −3+2<i>i</i>
<i>b</i>). <i>z</i>=4−3<i>i</i>⇔<i>z</i>=4+3<i>i</i>
Trên mặt phẳng<i>Oxy</i>,các điểm biểu diễn <i>z</i>
và<i>z đối xứng nhau qua trục Ox</i>.
|<i>z</i>| =¯¯<i>z</i>
¯
¯ và<i>z</i>=<i>z.</i>
<i>O</i> <i>x</i>
<i>y</i>
<i>b</i>
−<i>b</i>
<i>a</i>
<i>Mz</i>
<b>CÁC DẠNG TỐN</b>
<b>Dạng 1. Tìm phần thực, phần ảo của số phức</b>
<b>Ví dụ 4.</b>
Xác định phần thực, phần ảo của các số phức:
1 <i>z</i><sub>=</sub>2<sub>+</sub>3<i>i.</i>
2 <i>z</i>=2<i>i</i>−4.
3 <i>z</i><sub>=</sub>3.
4 <i>z</i>=15<i>i.</i>
<b>Lời giải</b>
1 Số phức<i>z</i><sub>=</sub>2<sub>+</sub>3<i>i có phần thực a</i><sub>=</sub>2 và phần ảo<i>b</i><sub>=</sub>3.
2 Số phức<i>z</i><sub>=</sub>2<i>i</i><sub>−</sub>4<sub>⇔</sub><i>z</i><sub>= −</sub>4<sub>+</sub>2<i>i có phần thực a</i><sub>= −</sub>4 và phần ảo<i>b</i><sub>=</sub>2.
3 Số phức<i>z</i><sub>=</sub>3<sub>⇔</sub><i>z</i><sub>=</sub>3<sub>+</sub>0<i>i có phần thực a</i><sub>=</sub>3 và phần ảo<i>b</i><sub>=</sub>0.
<b>Dạng 2. Hai số phức bằng nhau</b>
Hai số phức<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi</i>,<i>z</i>0=<i>a</i>0+<i>b</i>0<i>i được gọi là bằng nhau nếu</i>
½<i><sub>a</sub></i>
=<i>a</i>0
Tìm các số thực<i>x, y biết x</i>+2<i>y</i>+3<i>i</i>=4<i>x</i>−5<i>y</i>+ (6−<i>y</i>)<i>i.</i>
<b>Lời giải</b>
<i>x</i>+2<i>y</i>+3<i>i</i>=4<i>x</i>−5<i>y</i>+ (6<sub>−</sub><i>y</i>)<i>i</i>⇔
½<i><sub>x</sub></i><sub>+</sub><sub>2</sub><i><sub>y</sub></i><sub>=</sub><sub>4</sub><i><sub>x</sub></i><sub>−</sub><sub>5</sub><i><sub>y</sub></i>
3=6−<i>y</i> ⇔
½<sub>−</sub><sub>3</sub><i><sub>x</sub></i><sub>+</sub><sub>7</sub><i><sub>y</sub></i><sub>=</sub><sub>0</sub>
<i>y</i>=3 ⇔
½<i><sub>x</sub></i><sub>=</sub><sub>7</sub>
<b>Dạng 2. Hai số phức bằng nhau</b>
<b>Ví dụ 6.</b>
Cho<i>z</i>= (3<i>a</i>+2) + (<i>b</i>−4)<i>i. Tìm các số a</i>,<i>b để</i>
1 <i>z là số thực.</i> 2 <i>z là số thuần ảo.</i>
<b>Lời giải</b>
1 <i>z là số thực khi b</i>−4=0 hay<i>b</i>=4.
2 <i>z là số thuần ảo khi 3a</i><sub>+</sub>2<sub>=</sub>0 hay<i>a</i><sub>= −</sub>2
<b>Dạng 3. Biểu diễn hình học của số phức</b>
Số phức<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi (a</i>,<i>b</i>∈ R) được biểu diễn bởi điểm<i>M</i>(<i>a</i>;<i>b</i>).
<b>Ví dụ 7.</b>
Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các số phức sau: 4−3<i>i, 3</i>+2<i>i,</i>−5, 5<i>i.</i>
<b>Lời giải</b>
Điểm<i>A</i>(4<sub>; −</sub>3)biểu diễn số phức 4−3<i>i.</i>
Điểm<i>B</i>(3;2)biểu diễn số phức 3+2<i>i.</i>
Điểm<i>C</i>(−5;0)biểu diễn số phức−5.
Điểm<i>D</i>(0;5)biểu diễn số phức 5<i>i.</i> <i>O</i> <i>x</i>
<i>y</i>
4
3
−5
<i>C</i>
−3
2
5 <i>D</i>
<b>Ví dụ 8.</b>
Cho điểm<i>M</i>(−2;5)và điểm<i>N đối xứng với M qua trục tung. Khi đó N biểu diễn</i>
số phức nào?
<b>A.</b><i>z</i>=2<sub>+</sub>5<i>i.</i> <b>B.</b><i>z</i>= −2<sub>−</sub>5<i>i.</i> <b>C.</b><i>z</i>=2<sub>−</sub>5<i>i.</i> <b>D.</b><i>z</i>= −2<sub>+</sub>5<i>i.</i>
<b>Lời giải</b>
<i>O</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
−2 2
5
<i>M</i> <i>N</i>
Ta có<i>N đối xứng với M</i>(−2;5)qua trục<i>Oy nên</i>
<i>N</i>(2;5). Suy ra<i>N biểu diễn số phức z</i>=2+5<i>i.</i>
<b>Dạng 3. Biểu diễn hình học của số phức</b>
<b>Ví dụ 9.</b>
Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn điều
kiện:
Phần thực của<i>z bằng 3.</i>
<b>Lời giải</b>
Số phức <i>z có phần thực bằng 3</i>
được biểu diễn bởi điểm<i>M</i>(3;<i>b</i>).
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số
phức<i>z là đường thẳng x</i>=3.
<i>O</i> <i>x</i>
<i>y</i>
<b>Dạng 3. Biểu diễn hình học của số phức</b>
<b>Ví dụ 10.</b>
Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn
điều kiện: Phần ảo thuộc đoạn<sub>[−</sub>1;6].
<b>Lời giải</b>
Số phức <i>z có phần ảo thuộc khoảng</i>[−1;6]
được biểu diễn bởi điểm<i>M</i>(<i>a</i>;<i>b</i>)với<i>b</i>∈ [−1;6].
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức<i>z là</i>
phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng
<i>y</i>= −1 và<i>y</i>=6, kể cả các điểm nằm trên hai
đường thẳng này. <i><sub>O</sub></i> <i><sub>x</sub></i>
<i>y</i>
<b>Dạng 4. Tìm mơđun của số phức</b>
<b>Ví dụ 11.</b>
Tìm mơ-đun của các số phức sau:
1 <i>z</i><sub>=</sub>3<sub>−</sub>5<i>i.</i>
2 <i>z</i><sub>= −</sub>5<sub>+</sub>4<i>i.</i>
3 <i>z</i><sub>= −</sub>4<i>i.</i>
4 <i>z</i><sub>=</sub>2.
<b>Lời giải</b>
1 Ta có|<i>z</i>| = |3−5<i>i</i>| =
p
32<sub>+ (−</sub><sub>5)</sub>2<sub>=</sub>p<sub>34.</sub>
2 Ta có|<i>z</i>| = | −5+4<i>i</i>| =
p
(−5)2<sub>+</sub><sub>4</sub>2<sub>=</sub>p<sub>41.</sub>
3 Ta có|<i>z</i>| = | −4<i>i</i>| =
p
(−4)2<sub>=</sub><sub>4.</sub>
4 Ta có<sub>|</sub><i>z</i><sub>| = |</sub>2<sub>| =</sub>
p
<b>Ví dụ 12.</b>
Cho các mênh đề:
1 "Mơ-đun của số phức<i>z là số thực".</i>
2 "Mô-đun của số phức<i>z là số thực dương"</i>
3 "Mô-đun của số phức<i>z là số thực không âm "</i>
4 "Mô-đun của số phức<i>z là số phức "</i>
<b>Trong các trên có bao nhiêu mệnh đề sai?</b>
<b>A. 2.</b> <b>B. 1.</b> <b>C. 3.</b> <b>D. 4.</b>
<b>Lời giải</b>
Giả sử<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi</i>¡
<i>a</i>,<i>b</i>∈ R¢ ⇒ |<i>z</i>| =p<i>a</i>2<sub>+</sub><i><sub>b</sub></i>2<sub>≥</sub><sub>0.</sub>
<b>Ví dụ 13.</b>
Trên mặt phẳng<i>Oxy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện</i>|<i>z</i>| É2.
<b>Lời giải</b>
Gọi<i>z</i>=<i>x</i>+<i>yi</i>;<i>x</i>,<i>y</i>∈ R.
|<i>z</i>| É2⇔
q
<i>x</i>2<sub>+</sub><i><sub>y</sub></i>2<sub>É</sub><sub>2</sub><sub>⇔</sub><i><sub>x</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>y</sub></i>2<sub>É</sub><sub>4.</sub>
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức<i>z là</i>
hình trịn tâm<i>O bán kính R</i>=2 (kể cả biên).
<i>O</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
−2 2
2
<b>Dạng 5. Số phức liên hợp</b>
<b>Ví dụ 14.</b>
Tìm<i>z, biết:</i>
a. <i>z</i><sub>=</sub>3<sub>−</sub><i>i</i>p2;
b. <i>z</i><sub>= −</sub>p2<sub>+</sub><i>i</i>p3;
c. <i>z</i><sub>=</sub>3;
d. <i>z</i><sub>= −</sub>5<i>i.</i>
<b>Lời giải</b>
a. <i>z</i><sub>=</sub>3<sub>+</sub><i>i</i>p2.
b. <i>z</i><sub>= −</sub>p2<sub>−</sub><i>i</i>p3.
<b>Ví dụ 15.</b>
(Đề minh họa−2017). Cho số phức<i>z</i>=3−2<i>i. Tìm phần thực và phần ảo của số</i>
phức<i>z.</i>
<b>A. Phần thực là</b>−3 và phần ảo là−2<i><b>i. B. Phần thực là</b></i>−3 và phần ảo là−2.
<b>C. Phần thực là 3 và phần ảo là 2</b><i>i.</i> <b>D. Phần thực là 3 và phần ảo là 2.</b>
<b>Lời giải</b>
Ta có:<i>z</i>=3−2<i>i</i>⇒<i>z</i>=3+2<i>i. Suy ra phần thực bằng 3 và phần ảo là 2.</i>
<b>Tóm tắt</b>
Số phức
Định nghĩa <i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi</i>;<i>a</i>,<i>b</i>∈ R,với<i>i</i>2= −1.
Số phức bằng nhau
Mô đun của số phức
Biểu diễn hình học
<i>a</i>+<i>bi</i>=<i>c</i>+<i>di</i>⇔
<i>a</i><sub>=</sub><i>c</i>
<i>c</i>=<i>d</i>
với<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>∈ R
Số phức liên hợp
<i>Mz</i>(<i>a</i>;<i>b</i>)là điểm biểu diễn của<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi</i>
Mơđun của<i>z</i>=<i>a</i>+<i>bi là</i>|<i>z</i>| = |<i>a</i>+<i>bi</i>| =p<i>a</i>2<sub>+</sub><i><sub>b</sub></i>2
<b>Hướng dẫn học ở nhà</b>
Giải các bài tập: 1, 2c, 4a, 4d, 6 trang 133, 134 sách giáo khoa Giải tích 12.
Đọc thêm bài: “Phương trình đại số ”trang 141 sách giáo khoa; tìm hiểu