<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>BÀI 2 </b>

<b>CÁC M</b>

<b>Ố</b>

<b>I LIÊN H</b>

<b>Ệ</b>

<b> TUY</b>

<b>Ế</b>

<b>N TÍNH TRONG KHƠNG GIAN </b>

<b>VECT</b>

<b>Ơ</b>

<b> N CHI</b>

<b>Ề</b>

<b>U – C</b>

<b>Ơ</b>

<b> S</b>

<b>Ở</b>

<b> C</b>

<b>Ủ</b>

<b>A KHÔNG GIAN R</b>

<b>n</b>

<b>Hướng dẫn học</b>

Để học tốt bài này, sinh viên cần tham khảo các phương pháp học sau:

 Học đúng lịch trình của mơn học theo tuần, làm các bài luyện tập đầy đủ và tham gia
thảo luận trên diễn đàn.

 Đọc tài liệu:

1. Giáo trình <i>Tốn cao cấp cho các nhà kinh tế</i>, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại
học KTQD, 2012.

2. Bộ mơn toán cơ bản, 2009, <i>Bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế</i>, NXB Thống kê.
3. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, <i>Tốn cao cấp 1</i>, NXB

Giáo dục.

4. Alpha C.Chiang, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third
edition, Mc. Graw-Hill, Inc.

5. Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S,
2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts,
London, England.

 Sinh viên làm việc theo nhóm và trao đổi với giảng viên trực tiếp tại lớp học hoặc
qua email.

 Tham khảo các thông tin từ trang Web môn học.

<b>Nội dung </b>

 Khái niệm tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính;
 Sự phụ thuộc tuyến tính;

 Cơ sở của không gian vectơ n chiều.

<b>Mục tiêu </b>

 Sinh viên nắm được các khái niệm tổ hợp tuyến tính, biểu diễn tuyến tính một vectơ

qua một hệ vectơ.

 Nắm được khái niệm sựđộc lập và phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ, khái niệm
cơ sở của khơng gian.

 Ngồi ra sinh viên biết cách xác định một hệ vectơđộc lập hay phụ thuộc tuyến tính,
một vectơ có biểu diễn tuyến tính qua một hệ vectơ hay khơng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>T</b>

<b>ình huống dẫn nhập </b>

<b>Biểu diễn một vectơ qua một hệ vectơ</b>

Cho các vectơ:

X1 = ( 2, –3, 4 )

X2 = ( 3, 1, –5)

X3 = (–1, 4, 2 )

X = (–1, 0 , 3)

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>2.1. Khái niệm tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính </b>
<b>2.1.1. Khái niệm tổ hợp tuyến tính </b>

Trong khơng gian Rn (n cốđịnh) cho m vectơ

X1, X2, …, Xm (2.1)

Lấy m số bất kỳα1, α2, …, αm và lập tổng:

α1X1 + α2X2 + … + αmXm (2.2)

<b>Định nghĩa:</b> Mỗi tổng (2.2), trong đó α1, α2, …, αm là các số thực cho trước, được gọi
là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ (2.1). Các sốαi (i = 1, 2,…, m) được gọi là các
hệ số của tổ hợp tuyến tính đó.

Từ các vectơ (2.1) ta có thể lập được vơ số các tổ hợp tuyến tính (mỗi bộ hệ số α1,

α2,…, αm cho tương ứng một tổ hợp tuyến tính của chúng) và mỗi tổ hợp tuyến tính
của các vectơ (2.1) là một vectơ n chiều.

<b>2.1.2. Phép biểu diễn tuyến tính </b>

<b>Định nghĩa:</b> Ta nói rằng vectơ X  Rn_bi_ể_{u di}_ễ_{n tuy}_ế_{n tính qua các vect}_ơ_X

1, X2, …,

Xm khi và chỉ khi tồn tại một tổ hợp tuyến tính của các vectơ X1, X2, …, Xm bằng

vectơ X, tức là tồn tại các số thực α1, α2, …, αm sao cho:

X = α1X1 + α2X2 + … + αmXm (2.3)
Đặc biệt, nếu vectơ X biểu diễn tuyến tính qua một vectơ Y (X = αY) thì ta nói vectơ

X tỷ lệ với vectơ Y.

<b>Ví dụ:</b> Với X1, X2, …, Xm là các vectơ n chiều bất kỳ ta ln có:

On = 0X1 + 0X2 + … + 0Xm

Tổ hợp tuyến tính ở vế phải (với tất cả các hệ số bằng không) được gọi là tổ hợp tuyến
tính tầm thường của các vectơ X1, X2,…, Xm. Như vậy, trong khơng gian Rn vectơ

khơng ln biểu diễn tuyến tính qua các vectơ bất kỳ (ít nhất bằng tổ hợp tuyến tính
tầm thường).

Định lý sau đây cho thấy phép biểu diễn tuyến tính có tính chất bắc cầu:

<i><b>Đị</b><b>nh lý: N</b></i>ếu vectơ X biểu diễn tuyến tính qua các vectơ X1, X2, …, Xm và mỗi vectơ

Xi ( i = 1, 2, …, m) biểu diễn tuyến tính qua các vectơ Y1,Y2, …, Yp thì X biểu diễn

tuyến tính qua các vectơ Y1,Y2, …, Yp.

<b>2.1.3. Dạng vectơ của hệ phương trình tuyến tính </b>
Cho hệ phương trình tuyến tính:

11 1 12 1n n 1

21 1 22 2n n 2

m1 1 m2 mn n m

a x a ... a x b
a x a ... a x b
...

a x a ... a x b

   


 _ _ _ _





 _ _ _ _


</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Ma trận mở rộng của hệ phương trình này là:

11 12 1n 1

21 22 2n 2

m1 m2 mn m

a a ... a b

a a ... a b

A

... ... ... ... ...

a a ... a b

 

 

 



 

 

 

Ma trận mở rộng có n + 1 cột, trong đó cột thứ j (j = 1, 2,…, n) là cột hệ số của ẩn xj,

còn cột cuối cùng là cột số hạng tự do. Ta gọi Acj là cột hệ số của ẩn xj (cột thứ j của

mạ trận hệ số) và B là cột số hạng tự do:

1j ₁

2j 2

c
j

m
mj

a _b

a b

A = (j = 1, 2,..., n); B =
b
a

  _ _

  _ _

  _ _

  _ _

  _ _

  _ _

 




Nếu xem mỗi cột trên là một vectơ m chiều, thơng qua phép tốn vectơ, ta có thể biểu
diễn hệ phương trình (2.4) dưới dạng tương đương như sau:

11 12 1n 1

22 22 2n 2

1 2 n

m1 m2 mn m

a a a b

a a a b

x + x + ... + x =

... ... ... ...

a a a b

       

       
       
       
       
       

(2.5)

C C C

1A1 2A2 nAn B

x



x

 

x



Ở dạng (2.5) vấn đề tìm nghiệm của hệ phương trình (2.4) tương đương với việc tìm
bộ hệ số biểu diễn tuyến tính cột số hạng tự do qua các cột của ma trận hệ số. Mỗi
nghiệm của hệ phương trình (2.5) là một bộ số thực (α1, α2, …, αn) mà khi gán x1 = α1,

x2 = α2, …, xn = αn, tổ hợp tuyến tính ở vế trái của phương trình (2.5) đúng bằng vectơ B.

Như vậy:

 Hệ phương trình tuyến tính (2.4) có nghiệm khi và chỉ khi cột số hạng tự do.
B biểu diễn tuyến tính qua các cột C C C

1 2 n

A , A , , A của ma trận hệ số.

 Mỗi bộ hệ số biểu diễn tuyến tính cột số hạng tự do qua các cột của ma trận hệ số

là một nghiệm của hệ phương trình (2.4).

Để biểu diễn tuyến tính một vectơ n chiều X qua các vectơ n chiều X1, X2, …, Xm cho

trước, ta phải tìm bộ số (α1, α2, …, αm) sao cho:
X = α1X1 + α2X2 + … + αmXm

Điều này có thể thực hiện thơng qua việc giải hệ phương trình tuyến tính có cột số

hạng tự do là vectơ X và các cột của ma trận hệ số là các vectơ X1, X2, …, Xm. Ma

trận mở rộng của hệ phương trình đó là (ta viết mỗi vectơ thành một cột):
A = [ X1 X2 … Xm X]

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Giải:</b> Bộ hệ số (α1, α2, α3) biểu diễn tuyến tính vectơ X qua các vectơ X1, X2, X3 đã

cho là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng như sau:

1 2 5 16

A = 1 1 3 7

3 1 1 1

 
 
 
 
 



 

Chú ý rằng ma trận A có cột thứ nhất là vectơ X1, cột thứ hai là vectơ X2, cột thứ ba

là vectơ X3 và cột số hạng tự do là vectơ X. Quá trình khửẩn được thực hiện trên ma

trận mở rộng như sau:
A

1

1 2 5 16 1 2 5 16

= 1 1 3 7 0 3 8 23

3 1 1 1 0 5 16 49

2 5 16 1 2 5 16

0 3 8 23 0 3 8 23

0 15 48 147 0 0 8 32

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 

    

 

    

Quá trình khửẩn kết thúc ở dạng tam giác

1 2 3

2 3

3

α + 2α + 5α = 16
3α + 8α = 23
8α = 32





 _ _


Giải hệ phương trình này ta tìm được:

α1 = 2, α2 = –3 ,α3 = 4.

Như vậy, vectơ X biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua các vectơ X1, X2, X3:

X = 2X1 –3X2 + 4X3.
<b>2.2. Sự phụ thuộc tuyến tính </b>

<b>2.2.1. Khái niệm phụ thuộc tuyến tính </b>
Cho m vectơ n chiều:

X1, X2, …, Xm (2.6)

Khi xem xét quan hệ giữa các vectơ (2.6) ta gọi các vectơđó là một hệ vectơ.

<b>Định nghĩa</b>: Ta nói hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại m số

thực k1, k2, …,km, trong đó có ít nhất một số khác 0, sao cho:

k1X1 + k2X2 + … + kmXm = On (2.7)

Ngược lại nếu đẳng thức (2.7) chỉ thỏa mãn khi tất cả các hệ số ở vế trái bằng 0
(k1 = k2 = … = km = 0) thì ta nói hệ vectơ (2.6) độc lập tuyến tính.

Khái niệm phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ có thể nhìn nhận dưới góc độ biểu
diễn tuyến tính vectơ khơng On qua các vectơ của hệđó. Như ta đã biết, vectơ On biểu

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

tầm thường (tổ hợp tuyến tính với tất cả các hệ số bằng 0). Câu hỏi đặt ra là: ngồi tổ

hợp tuyến tính tầm thường của các vectơ (2.6) cịn tổ hợp tuyến tính nào khác bằng
vectơ On hay khơng? Nếu câu trả lời là có thì hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính. Nếu

câu trả lời là khơng, tức là tổ hợp tuyến tính tầm thường là tổ hợp tuyến tính duy nhất
bằng On, thì hệ vectơ (2.6) độc lập tuyến tính.

<b>2.2.2. Xét sự phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ</b>

Để xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ (2.6) ta xem hệ thức (2.7) như một hệ

phương trình tuyến tính thuần nhất viết dưới dạng vectơ, với các ẩn số k1, k2, …, km.

Ma trận hệ số của hệ phương trình đó có các cột theo thứ tự là các vectơ n chiềuX1,

X2, …, Xm viết dưới dạng cột. Đối với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (2.7) chỉ

có hai khả năng xảy ra:

(1) Hệ có nghiệm duy nhất k1 = k2 = … = km = 0. Trong trường hợp này hệ vectơ (2.6)
độc lập tuyến tính.

(2) Hệ có vơ số nghiệm, do đó tồn tại nghiệm khơng tầm thường (k1, k2,…, km). Trong

trường hợp này hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính.

Như vậy, muốn biết hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính ta làm
như sau:

Lập ma trận A với các cột là các vectơ X1, X2, …, Xm viết dưới dạng cột;

Áp dụng thủ tục khửẩn liên tiếp đối với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với ma
trận hệ số là ma trận A. <i>Hệ vectơđộc lập tuyến tính nếu quá trình khử</i> <i>ẩn kết thúc ở</i>

<i>dạng tam giác, phụ thuộc tuyến tính nếu q trình khửẩn kết thúc ở dạng hình thang. </i>

<b>Ví dụ 1</b>: Trong khơng gian Rn xét hệ vectơ:
E1 = (1, 0, …, 0)

E2 = (0, 1, …, 0)

……….
En = (0, 0, …, 1)

Các vectơ E1, E2, …, En được gọi là các vectơ đơn vị của không gian Rn. Xét hệ

phương trình tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số các các cột theo thứ tự các vectơ

E1, E2, …, En ( viết các vectơ dưới dạng cột):

1 0 ... 0

0 1 ... 0

A =

... ... ... ...
0 0 ... 1

 
 
 
 
 
 
 

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất này đã sẵn ở dạng tam giác, do đó hệ vectơđơn
vịđộc lập tuyến tính.

<b>Ví dụ 2</b>: Cho hệ 3 vectơ 4 chiều
X1 = (1, 3, –2, 5),

X2 = ( 3, –2, 1, 4),

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Muốn biết hệ vectơ này phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính ta xét hệ phương
trình tuyến tính thuần nhất 3 ẩn số k1, k2, k3, với ma trận hệ số có cột thứ nhất là vectơ

X1, cột thứ hai là vectơ X2, cột thứ ba là vectơ X3:

1 3 1

3 2 8

A =

2 1 5

5 4 6

 
 
 
 
 
 


 

Phương pháp khửẩn liên tiếp được thực hiện trên ma trận hệ số như sau:

1 3 1 1 3 1

0 11 11 0 1 1

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 3 1

0 11 11

A

0 7 7

0 11 11

 
     
   _   _ 
     
  
     
     
   
 





Quá trình khửẩn kết thúc ở dạng hình thang:

1 2 3

2 3

k + 3k k = 0
k + k = 0




 _


Do đó hệ vectơđã cho phụ thuộc tuyến tính.

<b>Ví dụ 3</b>: Xét hệ 3 vectơ:

X1 = (–2, 2, 3, 4)

X2 = (3, –2, 3, 5)

X3 = (4, 1, 6, –3)

Hệ thức k1X1 + k2X2 + k3X3 = O4 cho tương ứng với một hệ phương trình tuyến tính

thuần nhất có ma trận hệ số là:

2 3 4

2 2 1

A =

3 3 6

4 5 3

 
 
 
 
 
 



Biến đổi khửẩn:

2 3 4 2 3 4

2 2 1 0 1 5

A

6 6 12 0 15 24

4 5 3 0 11 5

2 3 4 2 3 4

0 1 5 0 1 5

0 0 51 0 0 51

0 0 50 0 0 0

 
   
 _   
   
 
   
 _   
   
 
   
   
   
 
     
 _   
   

</div>

<!--links-->