<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

———————–

THỐNG KÊ TRONG KHOA HỌC XÃ HỘI
Dùng cho các lớp thuộc ngành xã hội

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

MỞ ĐẦU

"Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê" là tài liệu được biên soạn cho các sinh
viên ngành Khoa học Xã hội như: Công tác Xã hội, Việt Nam học, Thư viện Thơng
tin, Giáo dục Thể chất,...

Mục đích của bài giảng là trang bị cho các sinh viên kiến thức về thống kê trong
khoa học xã hội từ đó nghiên cứu, thu thập và xử lý thông tin kinh tế - xã hội...

Bài giảng bao gồm 4 chương. Chương 1: Khái quát những khái niệm cơ bản về lý
thuyết xác suất để làm nền tảng cho việc nhiên cứu phần thống kê. Bao gồm: xác suất
cổ điển, xác suất theo quan điểm thống kê, tính chất của xác suất, các biến ngẫu nhiên,
hàm phân phối và một số phân phối quan trọng. Chương 2: Mẫu ngẫu ngẫu nhiên và
ước lượng tham số. Chương này mục đích đưa ra các khái niệm về mẫu ngẫu nhiên,
các đặc trưng mẫu và các ước lượng tham số. Chương 3: Kiểm định giả thiết. Chương
này trình bày một số bài tốn kiểm định giả thiết như: kiểm định trung bình, kiểm
định tỷ lệ, kiểm định phương sai, kiểm định tính độc lập, quy luật phân phối và các
bài tốn so sánh.Chương 4 trình bày về tương quan và hồi quy tuyến tính.

Trong tất cả các chương đưa ra đều có những ví dụ minh họa cụ thể cho từng dạng
bài toán, sau cuối của mỗi chương đều có hệ thống bài tập khá đa dạng và phong phú.
Vì nhiều lý do, chắc chắn bài giảng khơng tránh khỏi những sai xót. Chúng tơi
mong được sự đóng góp của đồng nghiệp và các bạn sinh viên.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU. . . 2

MỤC LỤC. . . 3

Chương 1. Các khái niệm cơ bản về xác suất. . . 6

1.1. Bổ túc về giải tích tổ hợp . . . 6

1.1.1. Các nguyên lý cơ bản . . . 6

1.1.2. Hoán vị . . . 6

1.1.3. Chỉnh hợp . . . 6

1.1.4. Chỉnh hợp lặp . . . 7

1.1.5. Tổ hợp . . . 7

1.1.6. Công thức nhị thức Newton . . . 7

1.2. Phép thử ngẫu nhiên và biến cố . . . 7

1.2.1. Phép thử ngẫu nhiên . . . 7

1.2.2. Biến cố . . . 8

1.2.3. Quan hệ và phép toán giữa các biến cố . . . 8

1.3. Các định nghĩa về xác suất . . . 9

1.3.1. Định nghĩa xác suất theo cổ điển . . . 9

1.3.2. Định nghĩa xác suất theo tần suất và thống kê . . . 9

1.3.3. Tính chất của xác suất . . . 10

1.4. Các công thức xác suất . . . 10

1.5. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối . . . 12

1.5.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên và hàm phân phối . . . 12

1.5.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc . . . 13

1.5.3. Biến ngẫu nhiên liên tục . . . 14

1.6. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên . . . 16

1.6.1. Kỳ vọng . . . 16

1.6.2. Phương sai . . . 17

1.6.3. Mod . . . 17

1.6.4. Median . . . 17

1.7. Một số phân phối thường gặp . . . 18

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

1.7.2. Phân phối Poisson . . . 18

1.7.3. Phân phối chuẩn . . . 19

1.7.4. Tính gần đúng phân phối nhị thức . . . 20

1.8. Véc tơ ngẫu nhiên . . . 22

1.8.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc. . . 22

1.8.2. Biến ngẫu nhiên liên tục. . . 24

1.8.3. Các đặc trưng của véctơ ngẫu nhiên . . . 27

Bài tập chương 1.. . . .30

Chương 2. Lý thuyết chọn mẫu và ước lượng tham số. . . 37

2.1. Mẫu ngẫu nhiên và hàm phân phối . . . 37

2.1.1. Mẫu ngẫu nhiên . . . 37

2.1.2. Hàm phân phối - Đa giác tần số và tổ chức đồ. . . 38

2.1.3. Mẫu ngẫu nhiên hai chiều . . . 41

2.1.4. Các đặc trưng mẫu . . . 42

2.2. Ước lượng điểm . . . 45

2.2.1. Ước lượng không chệch . . . 46

2.2.2. Ước lượng vững. . . 46

2.2.3. Ước lượng hiệu quả . . . 47

2.2.4. Ước lượng hợp lý cực đại. . . 47

2.2.5. Ước lượng điểm cho kỳ vọng. . . 49

2.2.6. Ước lượng điểm cho phương sai . . . 49

2.2.4. Ước lượng điểm cho xác suất. . . 49

2.3. Ước lượng khoảng . . . 50

2.3.1. Ước lượng khoảng đối với giá trị trung bình . . . 50

2.3.2. Ước lượng khoảng đối với giá trị tỷ lệ . . . 54

2.3.3. Ước lượng khoảng đối với phương sai . . . 57

Bài tập chương 2.. . . .58

Chương 3. Kiểm định giả thiết. . . .65

3.1. Đặt vấn đề . . . 65

3.2. Kiểm định giả thiết về giá trị trung bình . . . 66

3.2.1. Trường hợp phương sai σ2 _{đã biết. . . 66}

3.2.2. Trường hợp phương sai σ2 _{chưa biết}_n _≥₃₀_{. . . 68}

3.2.3. Trường hợp phương sai σ2 chưa biếtn <30. . . 71

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

3.3.1. Kiểm định hai phía . . . 73

3.3.2. Kiểm định một phía. . . 73

3.4. Kiểm định phương sai . . . 75

3.4.1. Trường hợp chưa biết µ. . . 75

3.4.2. Trường hợp đã biết µ. . . 76

3.5. Kiểm định về tính độc lập . . . 78

3.6. Kiểm định giả thiết về luật phân phối . . . 81

3.7. Bài toán so sánh . . . 83

3.7.1. Bài toán so sánh hai giá trị trung bình. . . 83

3.7.2. Bài tốn so sánh hai giá trị tỷ lệ.. . . .90

Bài tập chương 3.. . . .92

Chương 4. Tương quan và hồi quy tuyến tính. . . 99

4.1. Tương quan tuyến tính . . . 99

4.1.1. Định nghĩa . . . 99

4.1.2. Tính chất . . . 99

4.1.3. Hệ số tương quan mẫu . . . 99

4.1.4. Ý nghĩa của hệ số tương quan mẫu . . . 100

4.2. Hồi quy tuyến tính . . . 101

Bài tập chương 4. . . 104

Các bảng số thông dụng. . . 106

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Chương 1

Các khái niệm cơ bản về xác suất

1.1

Bổ túc về giải tích tổ hợp

1.1.1

Các nguyên lý đếm cơ bản

a) Ngun lý cộng

Giả sửcók cơng việc,việcthứ nhấtcó n1 scách làm,việcthứ hai cón2cách làm,...,

việcthứkcónkcáchlàm,...cáccơngviệcnàykhơnglàmđồngthíi. Khiđótacón1+n2

+...+nkcáchlàmkcơngviệctrổn.

b) Ngun lý nhân.

Giả sử hành động H được thực hiện qua k giai đoạn liên tiếp H1, H2, H3, ..., Hk.

Giai đoạn H1 có n1 cách làm,...,Hk có nk cách làm.

Khi đón1.n2...nk cách làm cơng việc H.

1.1.2

Hốn vị

Định nghĩa 1.1.1. Cho tập M có n phần tử, mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo
một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của tậpM. Gọi số các hoán vị của tập M là:

Pn =n! = 1.2.3...(n−1)n

Ví dụ 1. a) Ta có 3 ngườiA, B, C xếp vào 3 chỗ ngồi. Khi đó ta có 3! = 3.2.1 = 6 cách
xếp như sau:

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
b) Số cách sắp xếp cho 80sinh viên vào 80chỗ ngồi là P80= 80!

1.1.3

Chỉnh hợp

Định nghĩa 1.1.2. Cho tập M cón phần tử,0≤k ≤n, một chỉnh hợp chậpk của n
phần tử là một bộ sắp thứ tự (phân biệt) lấy từ n phần tử đã cho và được ký hiệu là

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Ví dụ 2. a) Cho ba phần tử 2,3,5. Các chỉnh hợp chập 2 của ba phần tử đó là:
23,25,32,35,52,53

b) Mỗi lớp phải học 6 môn, mỗi ngày học 2 môn. Hỏi có bao nhiêu cách xắp xếp
thời khóa biểu cho mỗi ngày.

HD: Vì mỗi cách xắp xếp thời khóa biểu trong một ngày là ghép 2 môn trong 6
môn. Các cách này do ít nhất 1 mơn khác nhau hoặc chỉ do thứ tự sắp xếp trước sau
giữa hai môn. Vì thế mỗi cách sắp xếp ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 6.

A2₆ = 30

1.1.4

Chỉnh hợp lặp

Định nghĩa 1.1.3. Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là 1 nhóm thứ tự gồm k phần
tử lấy từ n phần tử đã cho trong đó mỗi phần tử có thể có mặt 1,2, 3,....k lần trong
nhóm tạo thành. Ký hiệuAk_n =nk

Ví dụ 3. a) Cho ba phần tử 2,3,5. Các chỉnh hợp lặp chập 2 của ba phần tử đó là:
22,23,25,32,33,35,52,53,55

b) Để đăng ký mỗi loại máy mới người ta dùng 3 con số trong 9 con số 1,2,....9. Hỏi có
thể đánh số được bao nhiêu máy.

Mỗi số của máy là chỉnh hợp lặp chập 3 của 9 số:Ak_n= 93 _{= 729}

1.1.5

Tổ hợp

Định nghĩa 1.1.4. Tổ hợp chập k của n phần tử, 0 ≤ k ≤ n là một tập con của k
phần tử lấy từ n phần tử đã cho và được ký hiệu là

C_nk= A

k
n

k! =

n!
k!(n−k)!

Ví dụ 4. Có 10 đội bóng đá thi đấu với nhau theo thể thức vòng tròn một lượt. Hỏi
có bao nhiêu trận đấu?

HD: Ta thấy mỗi trận đấu giữa 2 đội đấu với nhau là 1 tổ hợp chập 2 của 10 phần tử
(Vì hai đội đấu với nhau không cần xếp thứ tự) C2

10 = 45

1.2

Phép thử ngẫu nhiên và biến cố

1.2.1

Phép thử ngẫu nhiên

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

năng và ký hiệu làΩ và gọi là không gian biến cố sơ cấp.
Mỗiω ∈Ωgọi là biến cố sơ cấp. Ta ký hiệu phép thử là G
Ví dụ 5. a) Tung đồng tiền thì Ω ={S, N}

b) Tung con xúc xắc: Ω ={1,2,3,4,5,6}

1.2.2

Biến cố

Khi thực hiện một phép thử có rất nhiều câu hỏi liên quan đến kết quả của nó. Một
sự kiện liên quan đến phép thử mà việc nó xảy ra hay khơng xảy ra phụ thuộc hoàn
toàn vào phép thử gọi là một biến cố ngẫu nhiên. Ký hiệuA, B, C, ...

Biến cố sơ cấp ω gọi là thuận lợi cho biến A nếu khi kết quả của phép thử làω thì A
xảy ra

Biến cố không thể là biến cố không thể xảy ra và ký hiệu là:∅

Biến cố chắc chắn: là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phếp thử, ký hiệu là:Ω
Ví dụ 6. Tung con xúc xắc ⇒Ω ={1,2,3,4,5,6}

Biến cố xuất hiện mặt chấm lẻ là A ⇒A={1,3,5}

Biến cố xuất hiện mặt chấm nhỏ hơn 5 làB: ⇒B ={1,2,3,4}

1.2.3

Quan hệ và phép toán giữa các biến cố.

a. Quan hệ kéo theo

Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra. Ký hiệuA⊂B
b. Quan hệ bằng

Hai biến cố A, B gọi là bằng nhau. Ký hiệu A=B nếuA ⊂B,A ⊃B
c. Giao của hai biến cố

Giao của haibiến cố là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi A, B đồng thời xảy ra. Ký
hiệu A∩B hoặc AB

TQ: A1∩A2∩...∩An là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi với mọi Ai xảy ra.

d. Hợp của hai biến cố

Hợp của haibiến cố là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra. Ký hiệu
A∪B

TQ: A1∪A2∪...∪An là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một Ai xảy ra.

e. Hiệu của hai biến cố.

Hiệu của hai biến cố A và B ký hiệu là A\B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi A
xảy ra và B không xảy ra.

g. Biến cố đối

Biến cố đối của biến cố A làA, là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.
h. Biến cố xung khắc

Hai biến cố A và B là xung khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra, tức là AB = ∅.
Biến cố đối thì xung khắc.

h. Nhóm đầy đủ các biến cố

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

i) Chúng xung khắc với nhau đôi một AiAj =∅,(i6=j)

ii) Hợp của chúng là biến cố chắc chắnA1∪A2∪...∪An = Ω

Ví dụ 7. Hai xạ thủ mỗi người bắn một viên đạn vào đích.

Gọi Ai là biến cố người thứ i trúng đích. Hãy viết biến cố sau quaA1, A2

a. Biến cố chỉ người thứ nhất trúng đích:A1A2

b Có 1 người bắn trúng đích:A1A2∪A2A1

c. Có ít nhất một người bắn trúng đích:A1∪A2

d. Khơng có ai bắn trúng:A1 A2

1.3

Các định nghĩa về xác suất

1.3.1

Định nghĩa xác suất theo cổ điển

Giả sử không gian biến cố sơ cấp Ω của phép thử G có n kết quả đồng khả năng
và có m kết quả thuận lợi cho biến cố A. Khi đó xác suất của biến cố A được ký hiệu
và được định nghĩa là

P(A) = m
n

Ví dụ 8. Một hộp có 16 quả cầu đen và 4 quả cầu đỏ lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu. Hãy
tính xác suất

a) Lấy được hai quả cầu đen.

b) Lấy được 1 quả cầu đen, một quả đỏ.
HD:

a) GọiA là biến cố lấy được hai quả cầu đen. Khi đó

n=C₂₀2 , m=C₁₆2 ⇒P(A) = C

2
16

C2
20

b) GọiB là biến cố lấy được 1 quả đen, 1 quả đỏ thì
P(B) = C

1
16C41

C2
20

Ví dụ 9. Một nhóm học tập có 10 hs, trong đó có 7 hs yếu. Kiểm tra ngẫu nhiên 3 em.
Tính xác suất để:

a) Ba em kiểm tra là học sinh yếu

b) Trong 3 em được kiểm tra có 1 em yếu
c) Có ít nhất 1 học sinh yếu được kiểm tra.

1.3.2

Định nghĩa xác suất theo tần suất và thống kê

Một phép thử được thực hiệnn lần mà có m biến cố A xuất hiện thì tỷ sốm/ngọi
là tần suất của biến cố A

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

xác suất của biến cố A theo nghĩa thống kê. Trên thực tế khi n đủ lớn ta xấp xỉP(A)
bởim/n tức là

P(A) = m
n

1.3.3

Tính chất của xác suất

1) 0≤P(A)≤1, P(∅) = 0, P(Ω) = 1
2) P(A) = 1−P(A).

3) Nếu A⊂B thì P(A)≤P(B) với P(B/A) =P(B)−P(A).
4) P(A∪B) = P(A) +P(B)−P(AB)

Ví dụ 10. Một hộp cứa 5 cầu trắng, 3 cầu xanh và 4 cầu đen cùng kích thước, chọn
ngẫu nhiên cùng lúc 3 cầu. Tìm xác suất để.

a) Cả 3 cầu cùng mầu (A)
b) Có đúng 2 cầu cùng mầu(B)
c) Có ít nhất hai cầu cùng mầu(C)
d) Cả 3 cầu khác mầu nhau(D)
HD:

a) GọiA1 ={ 3 quả cầu rút ra đều mầu trắng}

A2 ={ 3 quả cầu rút ra cùng mầu đen}

A3 ={ 3 quả cầu rút ra đều mầu xanh}

Khi đó:A=A1+A2+A3 =⇒P(A1) +P(A2) +P(A3

=⇒P(A) = C

3

5 +C33+C43

C3
12

= 3
44
b) GọiB1 ={ 2 quả cầu rút ra cùng mầu trắng}

B2 ={2 quả cầu rút ra cùng mầu đen}

B3 ={2 quả cầu rút ra cùng mầu xanh}

=⇒P(B) = P(B1) +P(B2) +P(B3) =

C₅2C₇1+C₄2C₈1+C₃2C₉1
C3

12

= 29
44
c)P(C) = P(A) +P(B = 32₄₄

d) Cách1:P(D) = 1−P(C)

Cách2: làm trực tiếp

P(D) = C

1
5C31C41

C3
12

= 3
11

1.4

Dãy phép thử Bernoulli và công thức nhị thức

Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh
hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố khác

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Định nghĩa 1.4.1. Dãyn phép thử gọi là dãy n phép thử Bernoulli đối với biến cốA
nếu thoả mãn các điều kiện sau:

•Chúng là n phép thử lặp.

•Các phép thử đó là độc lập.

•Mỗi phép thử biến cố A xuất hiện với xác suất đều bằngp.
Công thức nhị thức

Xác suất để trong n phép thử Bernoulli biến cốA xuất hiện đúng k lần là:
Pn(k) =Cnkpk(1−p)n

−k₌_Ck
npk(q)n

−k₌_P
n(k, p)

Công thức trên gọi là công thức xác suất nhị thức.
Số khả năng nhất

Giả sửG1, G2, ..., Gn làn phép thử Bernoulli, xác suất xuất hiện A k lần là

Pk=Cnkp

k_qn−k_, ₍₀_≤_k _≤_n)

Khi đó số k0, (0≤k0 ≤n)được gọi là số có khả năng nhất nếu

Pk0 = max

0≤k0≤n
Pk

trong đó k0 được tính theo cơng thức sau:

k0 =

(

np−q và np−q+ 1 nếu np−q ngun
[p(n+ 1)] nếu np−q khơng ngun

Ví dụ 11. Tung đồng tiền 5 lần. Tính xác suất để mặt sấp xuất hiện k lần.
HD: Đây là 5 phép thử Bernoulli đối với biến cố A xuất hiện mặt sấp với p= 1₂.

•Xác suất biến cố A xuất hiện 0 lần là:
P5(0) =C50(

1
2)

0₍1

2)

5 ₌ 1

32

•Xác suất để A xuất hiện1,2,3,4,5lần
P5(1) =C51(

1
2)
1
(1
2)
4
= 5

32; P5(2) =C

2
5(
1
2)
2
(1
2)
3
= 10
32

P5(3) =C53(

1
2)

3₍1

2)

2 ₌ 10

32; P5(4) =C

4
5(

1
2)

4₍1

2)

1 ₌ 5

32

P5(5) =C55(

1
2)
5
(1
2)
0
= 1
32

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Ví dụ 12. Kết quả điều tra về bệnh lao, tỷ lệ người bị lao ở vùng nọ là0,001. Tìm xác
suất để khi khám cho 10 người.

a. Khơng có ai bị lao.
b. 5 người bị lao.

c. Ít nhất một người bị lao.

d. Số người khơng bị lao có khả năng nhất.

HD: Ta có 10 phép thử Bernoulli, với biến cố A là " người được khám bị lao" suy ra
P(A) = 0.001

a.

P10(n, p) =P10(0,0.001)

=C₁₀0 (0.001)0(1−0.001)10 = (0.999)10

b.

P10(5,0.001) =C105 (0.001)

5_(0.999)5

c.

P10(k ≥1,0.001) =
10

X

k=1

C_k10(0.001)k(0.999)10−k
= 1−P10(0,0.001) = 1−(0.999)10

d. Ta có q = 1−p= 1−0.001 = 0.999 mà q(1 +n) = 11.0,999 = 10,989 không phải
là số nguyên do đó số người khơng bi bệnh lao có khả năng cao nhất là 10.

1.5

Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối

1.5.1

Khái niện biến ngẫu nhiên và hàm phân phối

Khái niệm biến ngẫu nhiên

Một đại lượng mà giá trị của nó là ngẫu nhiên, khơng dự đốn trước được gọi là một
đại lượng ngẫu nhiên (biến ngẫu nhiên) và ký hiệu bằng chữ X, Y, Z,...

Hoặc một đại lượng ngẫu nhiên nhận các giá trị của nó với xác suất tương ứng nào đó
gọi là đại lượng ngẫu nhiên hay là biến ngẫu nhiên

Có hai loại biến ngẫu nhiên chính đó là: Biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên
liên tục

Hàm phân phối xác suất

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu và xác định như sau:
FX(x) =P[X < x] ; x∈R

•Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc thì

FX(x) =P(X < x) =

X

xi<x

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

•Nếu biến ngẫu nhiên liên tục thì

FX(x) =

Z x
−∞

p(t)dt

1.5.2

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Định nghĩa 1.5.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là rời rạc nếu tập giá trị của nó là
hữu hạn hoặc đếm được.

Bảng phân phối xác suất

Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trịx1, .., xn, .... Khi đópi =P(X =xi)

thì bảng sau gọi là bảng phân phối xác suất của X.

X x1 x2 ... xn ...

P p1 p2 ... pn ...

Chú ý:X

i

pi = 1

Hàm phân phối xác suất

FX(x) =P(X < x) =

X

i:xi<x

pi =




























0 nếu x≤x1

p1 nếu x1 < x≤x2

p1+p2 nếu x2 < x≤x3

...
p1+p2 +...+pk nếu xk < x≤xk+1

...
1 nếu x > xn

Tính chất của hàm phân phối

Giả sửF(x) là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X

i) F(x) là hàm không giảm tức nếu x1 < x2 thì F(x1)≤F(x2)

ii) P(a≤X < b) = F(b)−F(a)
iii) F(−∞) = lim

x→−∞F(x) = 0,F(+∞) = limx→+∞F(x) = 1

iv) F(x)liên tục trái lim

x→x−₀

F(x) =F(x0)

v) P(X ≤x) = F(x+ 0)⇒P(X =x) =F(x+ 0)−F(x)

Ví dụ 13. Một xí nghiệp có hai ơ tơ vận tải. Xác suất bị hỏng trong thời gian t của
hai ô tô tương ứng là:0,1; 0,2.

Gọi X là số ô tô bị hỏng trong thời gian t. Hãy lập bảng phân phối xác suất và tính
hàm phân phối xác suất của X.

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Gọi Ai là biến cố ô tô thứ i hỏng (i=1, 2). Khi đó ta có X nhận 3 giá trị:0, 1, 2.

P(X = 0) =P(A1 A2) = P(A1)P(A2) = 0,9.0,8 = 0,72

P(X = 1) =P(A1A2+A1A2)

=P(A1A2) +P(A1A2)

=P(A1)P(A2) +P(A1)P(A2)

= 0,1.0,8 + 0,9.0,2 = 0,26
P(X = 2) =P(A1A2) = 0,1.0,2 = 0,02

Ta có bảng phân phối xác suất của X là

X 0 1 2

P 0,72 0,26 0,02
Hàm phân phối là:

F(x) =P(X < x) =











0 nếu x≤0
0,72 nếu 0< x≤1
0,98 nếu 1< x≤2
1 nếu x >2

Ví dụ 14. Chọn ngẫu nhiên 3 đứa trẻ từ 1 nhóm gồm 6 bé trai và 4 bé gái. Gọi X là
số bé gái trong nhóm. Lập bảng phân phối xác suất của X.

HD: X nhận các giá trị 0, 1, 2, 3. Khi đó ta có
P{X = 0}= C

3
6
C3
10
= 5
30

P{X = 1}= C

1
4C62

C3
10

= 15
30
P{X = 2}= C

2
4C61

C3
10

= 9
30
P{X = 2}= C

3
4
C3
10
= 1
30

Từ đó suy ra bảng phân phối hàm phân phối.

1.5.3

Biến ngẫu nhiên liên tục

Định nghĩa 1.5.2. Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu:
i)FX(x) là hàm liên tục.

ii) Tồn tại hàm sốp(x)≥0,∀x∈R sao cho
FX(x) =

Z x
−∞

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

p(x) được gọi là hàm mật độ xác suất.
Tính chất hàm mật độ

i)R_−∞+∞p(x)dx= 1

ii)P(a≤X < b) =R_abp(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độp(x).
iii) p(x)≥0,∀x∈R

iv)p(x) =F0(x) tại mọi điểm x mà p(x) liên tục
Chú ý: Nếu X liên tục thì

P(a ≤X < b) =P(a < X < b) =P(a < X ≤b) =F(b)−F(a) =P(a≤X ≤b)
vì P(X =a) =P(X =b) = 0

Ví dụ 15. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ

p(x) =

(

0 nếu x /∈[0, π/2]
asinx nếu x∈[0, π/2]
Tìm hàm phân phối của X

HD

Tìm a ta có 1 =R+∞

−∞ p(x)dx=a
Rπ/2

0 sinxdx=−acosx |

π/2

0 =a suy ra a= 1

Ta có F(x) = Rx

−∞p(t)dt

+) Nếux≤0 thì F(x) = 0

+) Nếu0< x≤π/2→F(x) = R_−∞x p(t)dt =R₀xsintdt= 1−cosx
+) Nếux > π/2→F(x) =R0

−∞p(x)dx+
Rπ/2

0 p(x)dx+

R+∞

π/2 p(x)dx= 1

Vậy

F(x) =








0 nếu x≤0

1−cosx nếu 0< x≤π/2
1 nếu x > π/2

Ví dụ 16. cho biến ngẫu nhiên có hàm phân phốiF(x) = 1/2 + 1/πarctgx
a) Tính xác suất của biến cố{0< x <1}

b) Tìm hàm mật độ của X.
HD:

a) Ta có:

P(0< x <1) = P(0≤x <1)−P(x= 0)
=P(0≤x <1)

=F(1)−F(0)

= 1/π(arctg1−arctg0) = 1/π(π/4−0) = 1/4

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Ví dụ 17. Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ p(x) như sau:

p(x) =








1 +x nếu x∈[−1,0)
1−x nếu x∈[0,1)
0 nếu |x|>1
TínhP{−1

2 < X <1}), tìm hàm phân phối F(x)

1.6

Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

1.6.1

Kỳ vọng

Định nghĩa 1.6.1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu EX và xác định
bởi:

•Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất
X x1 x2 ... xn ...

P p1 p2 ... pn ...

thì EX =X

i

xipi

•Nếu X liên tục với hàm mật độ xác suất p(x)thì
EX =

Z +∞
−∞

xp(x)dx

Tính chất của kỳ vọng.
a) EC=C; (c=const)

b) E(X±Y) = EX±EY, (nếu hai vế có nghĩa)
c) E(aX) =aEX; a là hằng số.

d) EXY =EXEY; nếu X, Y độc lập.
Ý nghĩa của kỳ vọng

Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên là giá trị trung bình theo xác suất, nếu đối với hệ
cơ học thì kỳ vọng là trọng tâm của hệ, nếu nó nhận xác suất như nhau thì kỳ vọng
chính là trung bình số học.

Ví dụ 18. Cho X có bảng phân phối xác suất

X x1 x2 ... xn ...

P _n1 _n1 ... 1_n ...
Khi đó

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Ví dụ 19. Cho X liên tục có hàm mật độ

p(x) =

(

0 nếu x /∈[a, b]

1

b−a nếu x∈[a, b]

Khi đó

EX =

Z +∞
−∞

xp(x)dx=EX =

Z b

a

x 1

b−adx=
1
b−a

x2

2 |

b
a=

a+b
2

1.6.2

Phương sai

Định nghĩa 1.6.2. Phương sai của biến ngẫu nhiên X ký hiệu là DX được xác định
DX =E(X−EX)2

DX =










X

i

(xi−EX)2pi nếu X rời rạc và có bảng phân phối

Z +∞
−∞

(x−EX)2f(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ f(x)

Tính chất của phương sai

• DX =EX2−(EX)2

•D(aX) = a2_{DX, (a=const)}

•D(X+a) =DX

•D(X±Y) =DX+DY, nếu X, Y độc lập.

• DX ≥0

Ý nghĩa của phương sai

Phương sai của biến ngẫu nhiên là độ lệch trung bình của X xung quanh gia trị kỳ
vọng EX nếu DX bé thì giá trị của X tập trung xung quanh kỳ vọng, ngược lại DX
lớn thì giá trị của X phân tán xung quanh kỳ vọng

1.6.3

Mod

Mốt là giá trị của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu làxmod mà tại đó hàm mật độf(x)

đạt cực đại, trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc, xmod là giá trị, mà xác suất để

X =xmod.

1.6.4

Median

Trung vị (Međian) là giá trị của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu xM e hoặc m(X), mà

tại đó

•Nếu X là rời rạc thì

F(xi)≤1/2≤F(xi+1)⇒m(X) = xi

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

1.7

Một số phân phối thường gặp

1.7.1

Phân phối nhị thức

Định nghĩa 1.7.1. Biến ngẫu nhiên X gọi là phân phối nhị thức với tham số n, p ký
hiệu X ∼B(n, p)nếu X nhận các giá trị 0,1, ..., nvới xác suất

Pk =P(X =k) = Cnkpkqn

−k

Các số đặc trưng.
NếuX ∼B(n, p) thì

EX =np, DX =npq,(n+ 1)p−1≤M odX ≤(n+ 1)p

Ví dụ 20. Tỷ lệ phế phẩm của một loại sản phẩm là 1% , người ta lấy ngẫu nhiên có
hồn lại 100 sản phẩm để kiểm tra.

1. Tính xác suất có 2 sản phẩm

2. Hỏi trung bình có bao nhiêu sản phẩm
3. Khả năng có bao nhiêu sản phẩm(Mod)
Có 2-5 sản phẩm

HD

1. Gọi X là số sản phẩm suy ra X ∼(100; 0,01)

P[X = 2] =C₁₀₀2 (0.01)2(0,99)998

2.EX =np= 0,01×100
3.np−q ≤M odX ≤np+q

⇒0,01×100−0,99≤M odX ≤0,01×100 + 0,99⇒M odX =...(∈Z)
4.P[2≤X ≤5] = P[X = 2] +P[X = 3] +P[X = 4] +P[X = 5]

1.7.2

Phân phối Poisson

Định nghĩa 1.7.2. Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối theo quy luật Poisson với
tham số λ > 0. Ký hiệu X ∼ f(λ), nếu X nhận các giá trị 0,1, ... với xác suất tương
ứng

P(X =k) =e−λλ

k

k!
Tức là ta có bảng:

X 0 ... k ... n ....
P e−λ _... _e−λ λk

k! .... e

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Chú ý: Ta có bảng tính sẵn P(X≤k) =

k

X

i=0

e−λλ

i

i!
Các đặc trưng

NếuX ∼f(λ)thì EX =DX =λ;M odX = [λ]

Ví dụ 21. Một ga ra cho thuê ô tô, thấy rằng số người đến thuê ô tô vào ngầy thứ 7 là
một biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham sốλ = 2. Giả sử ga ra có 4 chiếc
ơ tơ. Hãy tính xác suất.

a) Không phải cả 4 chiếc đều được thuê.
b) Tất cả 4 ô tô đều được thuê

c) Ga ra không đáp ứng được nhu cầu
d) Trung bình có bao nhiêu ô tô được thuê?

1.7.3

Phân phối chuẩn

a) Phân phối chuẩn tắc

Định nghĩa 1.7.3. Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối chuẩn tắc, ký hiệu X ∼

N(0,1)nếu X có hàm mật độ

ϕ(x) = √1

2πe

−x2

2 , (x∈R)

Đặc trưng

NếuX ∼N(0,1) thì EX = 0, DX = 1

Hàm phân phối chuẩn tắccủa X được ký hiệu là:
φ(x) =

Z x
−∞

ϕ(t)dt= √1

2π

Z x
−∞

e−t
2
2 dt

Chú ý

i)φ(−x) = 1−φ(x)
ii)φ(x >3,9) = 1

b) Phân phối chuẩn

Định nghĩa 1.7.4. Biến ngẫu nhiên gọi là có phân phối chuẩn với tham số(µ, σ2_{), ký}

hiệu làX ∼N(µ, σ2), nếu X_σ−µ có phân phối chuẩn tắc.
Đặc trưng:

NếuX ∼N(µ, σ2) thì EX =µ, DX =σ2

Xác suất để biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn nhận giá trị trong một
đoạn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

P(a < X < b) = P(a−µ
σ <

X−µ
σ <

b−µ
σ )
=φ(b−µ

σ )−φ(
a−µ

σ )
Hàm mật độ của phân phối chuẩn N(µ, σ2) là:

ϕ(x) = 1
σ√2πe

−(x−µ)2

2σ2

1.7.4

Tính gần đúng phân phối nhị thức

Khi n lớn và p không quá bé (thường xét n >30;np >5)

Ta có thể tính xấp xỉ phân phối nhị thức B(n, p) bằng phân phối chuẩnN(µ;σ2₎ _với

µ=np, σ2 ₌_{npq. Cụ thể là:}

•pk =p(X =k) = Cnkpkqn−k ≈ √npq1 ϕ(z) với z =

(xnp)

npq

ãp(aX < b) = (bà)(aà)

Vớ d 22. Xỏc sut của biến cố A là 0,8. Tìm xác suất khi thực hiện 100 phép thử thì:
a) Số lần xảy ra A> 75

b)Số lần xảy ra A không quá 74

c) số lần xảy ra A trong khoảng 75-90.
HD

Gọi X là số lần xảy ra A:X ∼B(100,0,8)

a) Ta cóµ= 0,8.100 = 80;σ2 _{= 0,}_2.0,_{8.100 = 16}_⇒_σ_{= 4. Khi đó}

P[X >75] =P[75 < X <100] =φ(5)−φ(−1,25) =φ(5)−1 +φ(1,25) = 0,8944
b)

P[0≤X ≤74] =φ[74−80
4 ]−φ[

0−80
4 ]
c)

P[75 ≤X ≤90] =φ[90−80
4 ]−φ[

75−80
4 ]

Ví dụ 23. Chiều cao của của một loại cây lấy gỗ là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
với chiều cao trung bình là 20m, độ lệch chuẩn là 2,5m. Cây đạt tiêu chuẩn khai thác
là cây có chiều cao tối thiểu 15m.

</div>

<!--links-->