Chuyên đề về Nguyên hàm

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM 1.ĐỊNH NGHĨA: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x  (a;b),ta có: F’(x) = f(x) *Nếu thay khoảng (a;b) là đoạn [a;b] thì ta phải thêm F’(a+)=f(a) và F’(b-)=f(b) 2.ĐỊNH LÍ: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) thì F(x) + C là họ nguyên hàm của f(x) trên (a;b) Ta viết :  f ( x)dx  F ( x)  C  f(x)= F’(x) 3.CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM : a).   f ( x)dx   f ( x) '.  d)  c). [f(x)+g(x)]dx=. b)  af ( x)dx  a  f ( x)dx ,(a  0). . f(t)dt= F(t) + C . f(x)dx+  g(x)dx. . f(u)du= F(u) +C. 4.SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM : ĐỊNH LÍ :Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó 5.BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp 1.  dx= x+C 1.  du= u+C 2.. . x dx . x 1 +C  1.  4. . dx = ln x +C x exdx= ex+ C.  6.  7. . axdx. 3.. 5.. ax = +C , (0 < a  1) ln a cosx dx= sinx +C. sinxdx = -cosx +C. 2.. . du = ln u +C u eudu= eu+ C.  6.  7. . audu. 5.. 8. .  13. . 12.. 12.. tgxdx= -ln cos x +C cotgxdx= ln sin x +C. u 1 +C  1.  4.  3.. dx = tgx +C cos 2 x dx 9.  2 =-cotgx+C sin x dx x  ln tg +C 10.  sin x 2 dx x   ln tg (  +C 11.  cos x 2 4. 8. . u du . au = +C , (0 < a  1) ln a cosudu= sinu +C. sinudu = -cosu +C. du = tgu +C cos 2 u du 9.  2 =-cotgu+C sin u du u  ln tg +C 10.  sin u 2 du u   ln tg (  +C 11.  cos u 2 4.  13. . Lop12.net. tgudu= -ln cos u +C cotgudu= ln sin u +C.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 14. 15.  16. . 17. . dx 1 xa  ln +C 2 a 2a x  a dx  ln x  x 2  a 2 +C 2 2 x a x 2 x 2  a 2 dx  x  a2  2 2 a  ln x  x 2  a 2 +C 2 dx x  arcsin  C 2 2 a a x. x. 2. dx 1 x  arctg  C 2 a x a a x a2  x2  19.  a 2  x 2 dx  2 a2 x  arcsin  C 2 a. 18. . 2. 14. 15.  16. . 17. . du 1 ua  ln +C 2 a 2a u  a du  ln u  u 2  a 2 +C 2 2 u a u 2 u 2  a 2 du  u  a2  2 2 a  ln u  u 2  a 2 +C 2 du u  arcsin  C 2 2 a a u. u. 2. du 1 u  arctg  C 2 a u a a u a2  u2  19.  a 2  u 2 du  2 a2 u  arcsin  C 2 a. 18. . 2. Chứng minh một số công thức cơ bản : dx x  ln tg +C 10.  sin x 2 dx x   ln tg (  +C 11.  cos x 2 4 Chứng minh : x x x x sin 2  cos 2 sin cos 1 1 2 2 2  2 10. Ta có :   x x x x sin x 2sin x cos x 2sin cos 2 cos 2sin 2 2 2 2 2 2 x x x x sin cos d (cos ) d (sin ) 1 1 2 dx  2 dx   2  2 I    x x 2 cos x 2  sin x cos sin 2 2 2 2 x x x   ln cos  ln sin  C  ln tg  C 2 2 2  x  x  11.Ta có :cosx= sin(x+ )= 2sin(  ) cos(  )  kết quả 2 2 4 2 4 dx 1 xa  ln 14.  2 +C 2 x a 2a x  a 1 1 1  ( x  a)  ( x  a)  1  1 1  Ta có : 2      2  x  a ( x  a )( x  a ) 2a  ( x  a )( x  a )  2a  x  a x  a  Do đó :I=. 1  d ( x  a) d ( x  a)  1 xa   ln C    2a  x  a x  a  2a x  a. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> dx. 15. . x a Ta đặt : 2.  ln x  x 2  a 2 +C. 2.  x  x2  a  t  x  x  a  dt  (1  )dx    dx  x2  a x 2  a   x. 2.  dx . x2  a dt  t. 16.  x 2  a 2 dx . dx x a 2. . dt dt  I    ln t  C  ln x  x 2  a  C t t. a2 x 2 ln x  x 2  a 2 +C x  a2  2 2. Ta đặt: xdx  u  x 2  a 2 du   x2  a2  v  x dv  dx  x 2 dx ( x 2  a 2  a 2 )dx  I  x x2  a2   x x 2  a 2   x2  a2 x2  a2 dx  x x 2  a 2   x 2  a 2 dx  a 2  x2  a2  x x 2  a 2  I  a 2 ln x  x 2  a 2 I. x 2 a2 x  a 2  ln x  x 2  a 2  C 2 2. VẤN ĐỀ 1 :TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH DẠNG 1 :  I=  x  ax  b  dx;(a  0) K . x 2 dx.  ax  b . . , (a  0). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 1 *Sử dụng đồng nhất thức :x= ax   (ax  b)  b  a a Hoặc : 1 1 1 2 * x 2  2 a 2 x 2  2  (ax  b)  b   2 (ax  b) 2  2b(ax  b)  b 2  a a a 2002 VD1 :Tính I=  x 1  x  dx. Cách 1 :Sử dụng cách đồng nhất thức :x=1-(1-x)  x(1  x) 2002 (1  x) 2002  1  (1  x)  (1  x) 2002  (1  x) 2002  (1  x) 2003.  I   1  x . 2002. dx   1  x . 2003. dx    1  x . 2002. d (1  x)   1  x . 2003. dx. 1 1 2003 2004 1  x   1  x   C 2003 2004 Cách 2 :Đổi biến số : Đặt t=1-x  x  1  t  dx  dt .  I    (1  t )t 2002 dt    t 2002 dt   t 2003 dt 1 2003 1 2004 1 1 2003 2004 t  t C   1  x   1  x   C 2003 2004 2003 2004 2005 VD2 :Tính J=  x 1  x  dx . Tương tự : VD3 : Tính K=. x. 2. dx  4x  3. HD :. 1 1 1  ( x  1)  ( x  3)  1  1 1         x  4 x  3 ( x  1)( x  3) 2  ( x  1)( x  3)  2  x  3 x  1  Ta có : 1 d ( x  3) 1 d ( x  1) 1 1 1 x 3 K     ln x  3  ln x  1  ln C 2 x 3 2 x 1 2 2 2 x 1 Cách 2 : Ta có : dx dx 1 x 3 K  2   ln C 2 x  4x  3  x  2 1 2 x 1 2. VD4 : Tính J = . xdx. 1  3x . 3. HD :. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Sử dụng đồng nhất thức : x=. 1 x 1  1  3 x  1     1  3x  1  3 3 3 1  3x  3  1  3x  .  1 1 1   2 2 3  (1  3 x) (1  3 x)  1 d (1  3 x) 1 d (1  3 x) 1 1     (1  3 x) 2 d (1  3 x)   (1  3 x) 3 d (1  3 x) 2 3  9 (1  3 x) 9 (1  3 x) 9 9 1 1   (1  3 x) 1  (1  3 x) 2  C 9 18 dx VD 5 :Tính K=  2 x x2 HD : Sử dụng đồng nhất thức : 1 1 1  ( x  1)  ( x  2)  1  1 1         2 x  x  2 ( x  1)( x  2) 3  ( x  1)( x  2)  3  x  2 x  1  I. 1 1 1 1 1 x2 dx   dx  ln C  3 x2 3 x 1 3 x 1 dx VD 6 : Tính H =  4 x  4x2  3 HD : Sử dụng đồng nhất thức : 1 1  ( x 2  3)  ( x 2  1)  1  1 1    2  2   2 2 2 2 ( x  1)( x  3) 2  ( x  1)( x  3)  2  ( x  1) ( x  3)  K. 1 dx 1 dx   2 2  2 x 1 2 x  3 ( đã về dạng công thức ; nếu tích phân xác định thì ta đặt x= tgt với x thoả đk ...) x3 dx VD 7 : Tính A=  ( x  1)10 HD : Cách 1 :Sử dụng đồng nhất thức :x3= ((x-1)+1)3=(x-1)3-3(x-1)2+3(x-1)-1 x3 1 3 3 1      10 7 8 9 ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)10 dx dx dx dx  A  3  3  7 8 9 ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)10 1 1 3 1 3 1 1 1     C 6 7 8 6 ( x  1) 7 ( x  1) 8 ( x  1) 9 ( x  1)9 Cách 2 : Dặt t= x-1 ta có : x= t+1 nên dx= dt 3 t  1 dt  (t 3  3t 2  3t  1)dt A    t 7 dt 3 t 8 dt 3 t 9 dt   t 10 dt  t10 t10 1 1 3 1 3 1 1 1     C 6 7 8 6 ( x  1) 7 ( x  1) 8 ( x  1) 9 ( x  1)9 H . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> VD8 : Tính B=. x 2 dx.  1  x . 39. HD : Cách 1 :Sử dụng đông nhất thức : x2= [(1-x)-1]2=(1-x)2-2(1-x)+1 2 1  x   2(1  x)  1  x2 1 2 1      39 39 37 38 39 1  x  1  x  1  x  1  x  1  x . B . 1. 1  x . dx  2 . 37. 1. 1  x . 38. dx  . 1. 1  x . 39. dx. 1 1 2 1 1 1   C 36 37 36 1  x  37 1  x  38 1  x 38. Cách 2 : Đặt : t= 1-x  x  1  t  dx  dt  B  . 1  t  t. 2. dt. 39.  . 1 1 1 dt  2  38 dt   37 dt 39 t t t. 1 1 2 1 1 1   C 38 37 38 t 37 t 36 t 36 dx VD 9 :Tính C =  5 x  x3 HD : Cách 1 :Sử dụng dồng nhất thức :1= x2+1-x2 1 x2  1  x2 1 1 1 x2  1  x2 1 1 x  3 2  3 2  3  3  3  2 2 2 x ( x  1) x x( x  1) x x( x  1) x x x 1 x x 1 . . . 1 1 x 1 1 1 dx   dx   2 dx    ln x  ln x 2  1  C 3 2 x x x 1 2x 2 dx VD 10 : Tính D=  7 x  x5 HD : Sử dụng dồng nhất thức :1= x2+1-x2 1 x2  1  x2 1 1 1 x2  1  x2 1 1 1  5 2  5 2  5 3 2  5 3 2  5 3 2 x ( x  1) x x ( x  1) x x ( x  1) x x x( x  1) x x 1 C. . . 1 1 x2  1  x2 1 1 1 x  3  5 3  2 5 2 x x x( x  1) x x x ( x  1) 1 1 1 x 1 1 1 1  D   5 dx   3 dx   dx   2 dx    2  ln x  ln x 2  1  C 4 x x x x 1 4x 2x 2 2001 x VD 11 : Tính E =  dx 1002 2 x 1 . . . HD : Ta phân tích :. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> x 2001. x. 2. . 1. Đặt : t=  dt . 1002. . x 2000. x. 2. x2 x2  1 2x. x. 2. . 1. 2.  x. 1. 1000. x. 1000. 2. . 1. 2.  x2   2   x 1 . x. x. 2. . 1. 2. dx 1000. 1  x2   E   2  2  x 1 . 1001.  x2  1  x2  d 2   2   x  1  2002  x  1 . C. VẤN ĐỀ 2 :NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC DẠNG 1 : dx sin( x  a ) sin( x  b) Cách giải : Bước 1 :Đồng nhất thức : sin(a  b) sin  ( x  a )  ( x  b)  1 1   sin(a  x) cos(b  x)  cos(a  x) sin(b  x) sin(a  b) sin(a  b) sin(a  b) Bước 2 :Biến đổi đưa về kết quả °Lưu ý :Dạng 1 I  dx cos( x  a ) cos( x  b) I . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Ta sử dụng : sin(a  b) sin  ( x  a )  ( x  b)  1 1   sin(a  x) cos(b  x)  cos(a  x) sin(b  x) sin(a  b) sin(a  b) sin(a  b) 1 K  dx sin( x  a ) cos( x  b) Ta sử dụng : cos(a  b) cos  ( x  a )  ( x  b)  1 1   cos(a  x) cos(b  x)  sin(a  x) sin(b  x) cos(a  b) cos(a  b) cos(a  b) dx VD 1 : Tính I    sin x cos( x  ) 4 HD : Cách 1 : Ta có  cos  x     x   cos  4          4 1   2 cos  x    x   2[cos( x  ) cos x  sin( x  ) sin x]  4  4 4 2  cos 4 2     cos x sin( x  4 )  1   2     sin x  sin x cos( x  ) cos( x  ) 4 4      d  cos( x  )  d (sin x)  sin x 4   I  2  2   2 ln sin x  2 ln cos( x  )  2 ln C   sin x 4 cos( x  ) cos( x  ) 4 4 Cách 2 : Dựa vào đặt thù của hàm số đã cho ta có : dx dx d (cot gx  1) I  2  2 2  2   2 ln cot gx  1  C sin x(cos x  sin x) sin x(cot gx  1) cot gx  1 DẠNG 2 : dx I  sin x  sin  x  x  cos Cách giải :-Sử dụng công thức :sinx +sin  = 2sin 2 2 -Đưa về dạng 1 để giải °Lưu ý :Dạng dx I1   ;( m  1) sin x  m dx dx I2   ; I3   ;( m  1) cos x  cos  cos x  m Làm tương tự. dx VD 1 : Tính A   2sin x  1 HD :. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 1 1 1 1    2sin x  1 2(sin x  1 ) 2(sin x  sin  ) 4sin 6 x   cos 6 x   ) 2 6 12 12 Sử dụng đồng nhất thức :. Ta có :. 1. cos. . 6  2 cos  6 x    12  3  cos 6.   6x      12.  2   6 x     cos  3   12 .   6x    cos    12.   6x     sin    12.   6x    sin    12.  6x     6x    cos  sin    1  12  dx  1  12  dx  A 2 3  sin  6 x    2 3  cos  6 x         12   12    6x       6x     d  sin  d  cos    1  6x    1  6x     12   1   12    1    ln sin   ln cos    C   12  12   6x     6x    3 3 3 3   sin  cos     12   12  dx VD 2 : Tính K=  2 cos x  1 HD : Ta có : 1 1 1 1    2 cos x  1 2(cos x  1 ) 2(cos x  cos  ) 4(cos 3 x   cos 3 x   ) 2 3 6 6 Do : 1. sin. . 3  2 sin   2 sin  3 x    3 x     2 sin 3 x   cos 3 x    cos 3 x   sin 3 x     6  3 6  6 6 6 6  3 3 3  sin 3. 1 1 1  3x     3x     cot g  tg   2 cos x 2 3  6  2 3  6  1 1 1  3x     3x    K  dx  cot g  tg dx  dx   2 cos x  1 2 3 2 3  6   6  3x   sin 1 3x   1 3x   1 6 K ln sin  ln cos C  ln C 3 x 6 6 3 3 3 cos   6 DẠNG 3 : . Lop12.net.   .

<span class='text_page_counter'>(10)</span> I   tgxtg ( x   )dx K   tg ( x   )cotg ( x   )dx H   cotg ( x   )cotg ( x   )dx. Cách giải : Ta biến đổi : tgxtg ( x   ) . sin x sin( x   ) cos x cos( x   )  sin x sin( x   )  1 cos x cos( x   ) cos x cos( x   ). Đưa về dạng 1 để giải.. . VD 1 : Tính I   tgxtg ( x  ) 4 HD : Cách 1 : Ta có :. . . . . sin x sin( x  ) cos x cos( x  )  sin x sin( x  ) cos( )  4  4 4 1  4 tgxtg ( x  )  1    4 cos x cos( x  ) cos x cos( x  ) cos x cos( x  ) 4 4 4 2 1  1 2 cos x cos( x   ) 4 Khi đó xét : dx K   cos x cos( x  ) 4 Sử dụng đồng nhất thức : sin. . 4  2 sin ( x   )  x   2 sin( x   ) cos x  cos( x   ) sin x       4 4 4     sin 4 1    2tg ( x  )  2tg ( x)  4 cos x cos( x  ) 4. 1. . . K  2  tg ( x  )dx  2  tgxdx   2 ln cos( x  )  2 ln cos x  C 4 4  I  2 ln. cos x. .  xC. cos( x  ) 4. Cách 2 :. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> dx. K . .  2. dx dx  2 2 cos x(cos x  sin x) cos x(1  tgx). cos x cos( x  ) 4 d (1  tgx)   2   2 ln 1  tgx  C 1  tgx  I   2 ln 1  tgx  x  C DẠNG 4 : dx I=  a sin x  b cos x Cách giải :. Sử dụng công thức : asinx +bcosx= a 2  b 2 sin( x   )  2 a 2  b 2 sin(. I. 1 2 a b 2. 2. . dx. tg (. x  x  ) cos 2 ( ) 2 2. Cách 2 : Ta có 1 dx 1 I   2 a 2  b 2 sin( x   ) 2 a 2  b 2. . . 1 2 a  b2 2. . x  )) 1 x  2  ln tg ( ) C 2 2 x  2 2 a b tg ( ) 2. d (tg (. sin( x   )dx 1  2 sin ( x   ) 2 a 2  b2. cos( x   )  1 C cos( x   )  1 2 a b Cách 3 : Có thể sử dụng phương pháp đại số hoá đặt :t= tgx/2 2dx VD 1 : Tính I   3 sin x  cos x HD :      x 6   x 6   Ta có : 3 sin x  cos x  2sin( x  )  4sin   cos   6  2   2         x 6  d (tg  )  2    x  1 dx    ln tg 6 I       2 2      x 6  2 x 6   x 6   tg  tg   cos    2 2 2             a sin x  b1 cos x DẠNG 5 : I   1 dx 2  a2 sin x  b2 cos x  . 1. 2. 2. x  x  ) cos( ) 2 2. d (cos( x   )).  cos ( x   )  1 2. ln.    C  . Cách giải : Sử dụng đồng nhất thức :a1sinx+b1cosx= A(a2sinx+b2cosx)+B(a2cosx+b2sinx). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Để ý :a2sinx+b2cosx= a22  b22 sin( x   ) Kết hợp dạng 3-4 để giải. 8cos x dx VD 1: Tính I   2  3 sin 2 x  cos 2 x HD: Biến đổi: 8cos x 8cos x 8cos x   2 2  3 sin 2 x  cos 2 x 1  3 sin 2 x  (1  cos 2 x) 3sin x  2 3 sin x cos x  cos 2 x 8cos x  2 3 sin x  cos x. . . Phân tích : 8cos x  A( 3 sin x  cos x)  B( 3 cos x  sin x)  ( A 3  B) sin x  ( A  B 3) cos x Đồng nhất đẳng thức :  A 3  B  0  A  2    A  B 3  8  B  2 3 8cos x 2 2 3( 3 cos x  sin x)    2 2 3 sin x  cos x 3 sin x  cos x 3 sin x  cos x. . . . . 2dx d ( 3 sin x  cos x) 1 2 3 x    2 3  ln tg     C 2 2 3 sin x  cos x ( 3 sin x  cos x) 3 sin x  cos x  2 12  sin x dx VD 2: Tính K   1  sin 2 x HD: sin x sin x Ta có:  1  sin 2 x  sin x  cos x 2 I . Đồng nhất thức :sinx= A(sinx+cosx)+B(cosx-sinx)= (A-B)sinx+(A+B)cosx 1   A  2 A  B 1    A  B  0 B   1  2 1 1  sin x  (sin x  cos x)  (cos x  sin x) 2 2 sin x 1 1 cos x  sin x    2 2  sin x  cos x  2(sin x  cos x) 2  sin x  cos x . K . sin x.  sin x  cos x . 2. dx . 1 1 1 d (sin x  cos x) dx    2 (sin x  cos x) 2  sin x  cos x 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>   dx  1 1 1 1 4 1 x  1  K   ln tg     C  2 2 sin  x    2 sin x  cos x 2 2  2 8  2 sin x  cos x   4  DẠNG 6 : dx I=  a sin x  b cos x HD : TH1 : c  a 2  b 2 Ta biến đổi : 1 1 1   a sin x  b cos x c 1  cos  x     2c. 1  x   cos 2    2   x   d  1 dx 1  2   1 tg  x   I   2c  c  2  x   c  2  x   cos 2  cos     2   2 . TH2 : c   a 2  b 2 Ta biến đổi : 1 1 1   a sin x  b cos x c 1  cos  x     2c.  C . 1  x   sin 2    2 .  x   d  1 dx 1  2   1 cotg  x     C I    2c  2  x    c  2  x    c  2  sin  sin     2   2  TH3 : c 2  a 2  b 2 x Ta thực hiện phép đặt : t  tg 2 dt 2t 1 t2  dx  2 ;sin x  ;cos x  1 t2 1 t2 1 t2 Sau đó thực hiện tính nguyên hàm bằng các biểu thức đại số 2dx VD 1 : Tính I   2sin x  cos x  1 HD : Ta thấy : c 2  a 2  b 2 (vì : 12  22  12 ) x Đặt : t  tg 2 dt 2t 1 t2  dx  2 ;sin x  ;cos x  1 t2 1 t2 1 t2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> x tg dt d (t  1) t 2 C  I  2 2  2  ln  C  ln 2 x t  2t t  2  t  1  1 tg  2 2 dx VD 2 : Tính K   sin x  cos x  2 HD :. Ta thấy : c  a 2  b 2 (vì : 2  12  12 ) Ta biến đổi : 1 1 1 1      2 2 2  x   sin x  cos x  2  sin    2 1  cos  x    4  2 8   x  d   1 dx 1  2 8    1 cotg  x     C I      2 2 sin 2  x    2 sin 2  x    2 2 8     2 8 2 8 dx VD3 : Tính K   sin x  cos x  2 HD :Tương tự VD2 DẠNG 7 : a sin x  b1 cos x  c1 dx I=  1 a2 sin x  b2 cos x  c2 Cách giải : Biến đổi :a1sinx+b1cosx+c1= A(a2sinx+b2cosx+c2)+B(a2cosx-b2sinx)+c Sau đó đưa về dạng quen thuộc để giải. 5sin x dx VD 1: Tính I   2sin x  cos x  1 HD: Ta phân tích :5sinx= A(2sinx-cosx+1)+B(2cosx+sinx)+C =(2A+B)sinx+(2B-A)cosx+A+C 2 A  B  5  A  2    2b  A  0   B  1 A  C  0 C  2  . 5sin x 2 cos x  sin x 2  2  2sin x  cos x  1 2sin x  cos x  1 2sin x  cos x  1 d (2sin x  cos x  1) dx  I  2  dx    2 2sin x  cos x  1 2sin x  cos x  1  2 x  ln 2sin x  cos x  1  2 K dx Tính : K   2sin x  cos x  1 . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> x 2 dt 2t 1 t2  dx  2 ;sin x  ;cos x  1 t2 1 t2 1 t2. Đặt : t  tg. x tg dt d (t  1) t 2 C  2 K  2 2  2  ln  C  ln 2 x t  2t t  2  t  1  1 tg  2 2 Vậy : x tg 2 C I  2 x  ln 2sin x  cos x  1  ln x tg  2 2 DẠNG 8 : a1 sin 2 x  b1 sin x cos x  c1 cos 2 x I=  dx a2 sin x  b2 cos x HD : Biến đổi :a1sin2x+b1cosxsinx+c1cos2x= (Asinx+Bcosx)(a2sinx+b2cosx)+c(sin2x+cos2x) Đưa về dạng quen thuộc để giải. 4sin 2 x  1 dx VD 1:Tính I   3 sin x  cos x HD: Ta phân tích :4sin2x+1= 5sin2x+cos2x=  ( A sin x  B cos x)( 3 sin x  cos x)  C (sin 2 x  cos 2 x) .  ( A 3  C ) sin 2 x  ( A  B 3) sin x cos x  ( B  C ) cos 2 x A 3  C  5 A  3     A  B 3  0   B  1 B  C  1 C  2  . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 4sin 2 x 2  3 sin x  cos x  3 sin x  cos x 3 sin x  cos x  I   3 cos x  sin x  K 2 1 *K   dx   2 3 sin x  cos x. . 1 2. dx.    x 6 tg   2 .     2 x 6  cos    2  .     . dx      x 6   x 6  sin   cos    2   2            x  6  d  tg       2   x    6    ln tg     2  x 6   tg   2    .    C  .    x 6  I   3 cos x  sin x  ln tg   C 2     2 cos x dx VD2 : Tính I=  sin x  3 cos x HD : Ta phân tích :cos2x= (Asinx+Bcosx)(sinx+ 3 cosx)+C(sin2x+cos2x)= = ( 3 B+C)cos2x+(B+ 3 A)sinxcosx+(A+C)sin2x 1  A   4  3B  C  1   3   B  3A  0  B  4 A  C  0  1   C  4  . cos 2 x 1 3 1   sin x  cos x  4 4 sin x  3 cos x 4(sin x  3 cos x). 1 3 1 dx cos x  sin x   4 4 4 sin x  3 cos x dx Tính : K   sin x  3 cos x I. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 1 dx 1 x   ln tg     C  2 sin( x   ) 2 2 6 3 1 3 1 x   I  cos x  sin x  ln tg     C 4 4 8 2 6 DẠNG 9 : dx I=  2 a sin x  b sin x cos x  c cos 2 x K. Cách giải : Biến đổi : dx x(atg x  btgx  c) 1 dx Đặt : t=tgx  dt  cos 2 x dt I  2 at  bt  c Dạng quen thuộc giải được. I=.  cos. 2. VD1 : Tính I=. 2.  3sin. 2. dx x  2sin x cos x  cos 2 x. HD : Ta có : 3sin2x-2sinxcosx-cos2x = cos2x(3tg2x-2tgx-1) dx I  2 cos x(3tg 2 x  2tgx  1) 1 dx Đặt :t=tgx  dt  cos 2 x 1 1 I  2 dt   dt 1 3t  2t  1 3(t  1)(t  ) 3 1   (t  )  (t  1)   1 1 3  1 1 1 1   Ta phân tích : 1 1 4 (t  1) 4 (t  1 ) 3(t  1)(t  ) 4 (t  1)(t  ) 3 3 3 1 dt 1 dt 1 1 1 1 t 1    ln t  1  ln t   C  ln C  4 t 1 4 t  1 4 4 3 4 t1 3 3 1 3tgx  3 Vậy : I  ln C 4 3tgx  1 DẠNG 10 : sin x cos x I  dx  2 2 2 2 a sin x  b cos x I. . . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Cách giải : Để ý rằng : sin x cos xdx . 1 d (a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x) 2(a  b 2 ) 2. TH 1 :   1 1 d (a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x) 1 I  ln a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x  C 2 2  2 2 2 2 2 2 2(a  b ) a sin x  b cos x 2(a  b ) TH2 :   1 1 d (a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x) 1 I  a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x  2 2  2 2 2(a  b ) a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x 2(a  b )(1   ). . VD 1 :Tính I  . . . sin x cos x dx 2sin 2 x  cos 2 x. HD : Ta phân tích : sin x cos xdx . . 1 d 2sin 2 x  cos 2 x 2. . . . 2 2 1 d 2sin x  cos x 1 I   ln 2sin 2 x  cos 2 x  C 2 2 2 2sin x  cos x 2 sin x cos x dx VD 2 :Tính I   2sin 2 x  3cos 2 x HD : 1 Ta phân tích : sin x cos xdx   d 2sin 2 x  3cos 2 x 2 2 2 1 d 2sin x  3cos x 1 1 I    C 2 2 2 2 2sin x  3cos x 4 2sin x  3cos 2 x 2. . . . . . . DẠNG 11 : SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC NHAU RỒI MỚI ĐỔI BIẾN SỐ sin 3 x sin 4 x dx VD 1 :Tính I   tgx  cot g 2 x. Lop12.net. . 1. C.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> HD : Ta biến đổi :. sin x cos 2 x sin 2 x sin x  cos 2 x cos x cos x 1     cos x sin 2 x sin 2 x cos x sin 2 x cos x sin 2 x sin 4 x sin 3 x 1   sin 4 x sin 3 x sin 2 x   cos x  cos 7 x  sin 2 x tgx  cot g 2 x 2 1 1 1  sin 2 x cos x  sin 2 x cos 7 x   sin 3 x  sin x  sin 9 x  sin 5 x  2 2 4 1 1 1 1 1  I    sin 3 x  sin x  sin 9 x  sin 5 x dx   cos 3 x  cos x  cos 9 x  cos 5 x  C 4 12 4 36 20 cos x  sin x cos x dx VD2 : Tính K   2  sin x HD : cos x  sin x cos x cos x(1  sin x) dx =  dx Ta biến đổi : K   2  sin x 2  sin x Đặt : t=sinx  dt= cosxdx 1 t t  2 1 dt K  dt   dt   dt    t  ln t  2  C  sin x  ln sin x  2  C 2t t2 t2 dx VD3 :Tính A   sin x cos3 x HD : dx dx Ta biến đổi : A   = 3 tgx cos 4 x sin x cos x 1 dx Đặt : t= tgx  dt  cos 2 x t2 1 dt 1 1  A dt   tdt    t 2  ln t  C  tgx 2  ln tgx  C t t 2 2 dx VD3 :Tính B   4 tg 3 x cos8 x HD : dx dx Ta biến đổi : B    4 tg 3 x cos8 x cos 2 x 4 tg 3 x 1 dx Đặt : t= tgx  dt  cos 2 x 3  dt  B   3   t 4 dt  4 4 t  C  4 4 tgx  C t4 tgx  cot g 2 x . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>