Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp quy về một biến trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chứa nhiều biến

<span class='text_page_counter'>(1)</span>S¸ng kiÕn kinh nghiÖm thao giảng cụm. Gi¸o viªn:TrÇn V¨n HuÊn. Phần I: Đặt vấn đề Trong chương trình THPT bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số nhiều biến là một dạng toán khó. Dạng toán này có nhiều trong các đề thi ở các lớp phổ thông và đặc biệt là ở các bài toán hay và khó trong các đề thi đại học.Làm thế nào để học sinh có thể tìm tòi khám phá để đưa về được bài toán về khảo sát bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ở dạng cơ bản đây cũng là vấn đề suy nghĩ trăn trở đối víi chóng t«i. Vì vậy tôi viết nội dung này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách định hướng gióp c¸c em cã thÓ gi¶i tèt c¸c bµi to¸n t×m GTLN,NN cña hµm sè cã tõ hai biÕn sè trở lên mà không coi đó là một dạng bài tập quá khó nữa.. Néi dung bµi viÕt gåm I/ Đặt vấn đề II/Néi dung III/BiÖn ph¸p thùc hiÖn. IV/KÕt qu¶ V/KÕt luËn Tuy bản thân đã hết sức cố gắng song không tránh khỏi những thiếu sót.Tôi rất mong được sự góp ý của các quý thầy cô để sáng kiến kinh nghiệm của mình được hoµn thiÖn h¬n!. Th¸i Phóc ngµy 20/07/2012 Gi¸o viªn TrÇn V¨n HuÊn. Trường THPT Thái Phúc Lop12.net. -3-.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm thao giảng cụm. Gi¸o viªn:TrÇn V¨n HuÊn. PhÇn II:Néi dung. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm. Phương pháp quy về một biến trong các bài toán t×m GTLN,NN chøa nhiÒu biÕn. VÝ dô 1:( §Ò thi ®h GTVT -2000):T×m GTNN cña hàm sè: f(x,y)=(x-2y+1) 2 +(2x+my+5) 2 Tìm tòi,định hướng lời giải: -Em cã nhËn xÐt g× vÒ dÊu cña f(x,y)(f(x,y)  0) -Vậy f(x,y)=0 khi nào?Suy ra dẫn đến hệ?Để tồn tại (x,y) sao cho f(x,y)=0 thì hệ có đk gì?Từ đó suy ra giá trị của m,suy ra GTNN của f? -Khi f(x,y)>0 tương đương với hệ nào vô nghiệm, tương đương với m ?Khi đó đặt t=x-2y+1 th× F(t) cã GTNN lµ bao nhiªu? Bài gi¶i: Th1:  (x 0 ,y 0 ) sao cho f(x 0 ,y 0 )=0  x  2 y  1 Cã nghiÖm  m  -4  2 x  my  5. Khi đó min f =0 Th2:Không  (x 0 ,y 0 ) để f(x 0 ,y 0 )=0  m=-4 Ta cã f(x,y) = (x-2y+1) 2 +(2x+my+5) 2 >0  (x,y) t=x-2y+1  f(x,y)=F(t)=5t 2 +12t+9 . 9  x-2y-11/5=0 5. KL: +)NÕu m  -4 th× fmin=0 +)NÕu m=-4 th× fmin=9/5 khi x-2y-11/5=0 Ví dụ 2:( Đề thi đh khối B-2008):Cho 2 số thực x,y thay đổi thỏa mãn hệ thức x 2 +y =1.T×m GTLN,NN cña biÓu thøc 2. 2( x 2  6 xy ) P= 1  2 xy  2 y 2. Tìm tòi,định hướng lời giải: -Em cã nhËn xÐt g× vÒ gi¸ trÞ cña P khi y=0 -Khi y  0,đặt x=ty thì P(t)=? -Em hãy đi tìm TGT của P,từ đó suy ra Pmax,Pmin? Lêi gi¶i: -NÕu y=0 tõ gi¶ thiÕt ta cã x 2 =1 suy ra P=2 -Nếu y  0 đặt x=ty(t  Z) suy ra P=. 2t 2  12t t 2  2t  3. (t 2 +2t+3=(t+1) 2 +2>0  t).  (P-2)t 2 +2(P-6)t+3P=0(1) 3 +)NÕu P=2 suy ra t= 4 +)NÕu P  2 suy ra (1) cã nghiÖm   '  0  -2P 2 -6P+36  0  -6  P  3. Trường THPT Thái Phúc Lop12.net. -4-.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm thao giảng cụm. Gi¸o viªn:TrÇn V¨n HuÊn. 3 1 3 1 ;y= ) hoÆc (x=;y=) 10 10 10 10 3 2 3 2 Pmin =-6 khi (x=;y= ) hoÆc (x= ;y=) 13 13 13 13 Ví dụ 3: ( Cao đẳng Khối A, B – 2008 ) Cho x, y là số thực thỏa mãn x 2  y 2  2 .. VËy Pmax =3 khi (x=. T×m gi¸ trÞ LN,NN cña biÓu thøc: P=2(x 3 +y 3 )-3xy Tìm tòi,định hướng lời giải: -T×m mèi liªn hÖ gi÷a gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn? -Ta nghĩ tới các hằng đẳng thức nào?(x 2 +y 2 =(x+y) 2 -2xy;x 3 +y 3 =(x+y) 3 (x 2 xy+y 2 ) -Biến đổi P xuất hiên giả thiết và quy về một biến?(Dẫn đến P=2(x+y)(2-xy)3xy,từ gt suy ra xy=?Đặt t=x+y thì P=?) -Tõ b®t x 2 +y 2 . ( x  y) 2 th× t thuéc ®o¹n? 2. Lêi gi¶i Ta cã : P  2( x  y )( x 2  xy  y 2 )  3 xy = 2( x  y )(2  xy )  3 xy ( x  y)2  2 , Vậy đặt t  x  y thì: 2 t2  2 t2  2 3 P(t )  2t (2  )3  t 3  t 2  6t  3 2 2 2 2 ( x  y)  ( x  y ) 2  4  2  t  2 . Ta cã x 2  y 2  2 3 P(t )  t 3  t 2  6t  3 víi 2  t  2 . XÐt hàm sè 2 2 Ta cã P '(t )  3t  3t  6 . t  1 P '(t )  0   t  2. Ta cã : xy . Ta cã b¶ng biÕn thiªn nh­ sau : t. -2. 1 +. P’(t). 0. 2 -. 13 2. P(t) -7. 1. VËy min P(t )  P(2)  7 khi x  y  1  2;2.  1 3 1 3 x ;y  13 2 2 max P(t )  P(1)     2;2 2  1 3 1 3 ;y x   2 2. Trường THPT Thái Phúc Lop12.net. -5-.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm thao giảng cụm. Gi¸o viªn:TrÇn V¨n HuÊn. VÝ dô 4: (§H Khèi D – 2009 )Cho x  0, y  0 và x  y  1 .T×m GTLN,NN cña biÓu thøc sau: S  (4 x 2  3 y )(4 y 2  3 x)  25 xy. Hoạt động tìm tòi khám phá: - Tõ gi¶thiÕt x  y  1 cã thÓ ®­a vÒ bµi to¸n mét Èn kh«ng ? - Biến đổi S làm xuất hiện x  y để sử dụng giả thiết. -Chú ý các hằng đẳng thức : x 2  y 2  ( x  y ) 2  2 xy x3  y 3  ( x  y )( x 2  xy  y 2 ). Sau khi khai triÓn S vµ thÕ x  y  1 ta cã : S  16 x 2 y 2  2 xy  12 - Sau đó đặt : t  xy để đưa S về một biến -Đánh giá biến t bằng bất đẳng thức : 0  xy . ( x  y)2 . 4. Lêi gi¶i Ta cã : S  (4 x 2  3 y )(4 y 2  3x)  25 xy  16 x 2 y 2  12( x3  y 3 )  34 xy  16 x 2 y 2  12( x  y )( x 2  xy  y 2 )  34 xy  16 x 2 y 2  12[( x  y ) 2  3 xy ]  34 xy, do x  y  1  16 x 2 y 2  2 xy  12 ( x  y)2 1 1  0t  §Æt t  xy . Do x  0; y  0 nªn 0  xy  4 4 4 1 XÐt hàm sè f (t )  16t 2  2t  12 víi 0  t  . 4 Ta cã f '(t )  32t  2 . 1 f '(t )  0  t  . 16. B¶ng biÕn thiªn t f’(t). 1 16. 0 -. 0. 1 4. + 25 2. 12 f(t) 191 16. VËy : 2 3 2 3 2 3 2 3 1 191 x ;y x ;y min f (t )  f ( )  khi hoặc  1 4 4 4 4 16 16 0;   4. 1 1 25 x y . max f (t )  f ( )  khi  1 2 4 2 0;   4. Trường THPT Thái Phúc Lop12.net. -6-.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm thao giảng cụm. Gi¸o viªn:TrÇn V¨n HuÊn. VÝ dô 5 ( §H Khèi B – 2009). T×m GTLN,NN cña biÓu thøc: A  3( x 4  y 4  x 2 y 2 )  2( x 2  y 2 )  1 . Víi x, y là c¸c sè thùc tháa m·n ®iÒu kiÖn: ( x  y )3  4 xy  2 . Hoạt động tìm tòi khám phá: -Vì giả thiết là biểu thức khá phức tạp nên ta khai thác nó trước cho gọn để sử dụng dễ dàng hơn,ta cần lưu ý hằng đẳng thức : x 2  y 2  ( x  y ) 2  2 xy x3  y 3  ( x  y )( x 2  xy  y 2 ). -Và ( x  y )2  4 xy . Khi đó điều kiện bài toán trở thành : x  y  1 Ta biến đổi A như sau : A  3( x 4  y 4  x 2 y 2 )  2( x 2  y 2 )  1 3 3  ( x 2  y 2 ) 2  ( x 4  y 4 )  2( x 2  y 2 )  1 2 2 3 3( x 2  y 2 ) 2  2( x 2  y 2 )  1  ( x 2  y 2 )2  2 4 ( x 2  y 2 )2 ( do x 4  y 4  ) 2 9 Hay A  ( x 2  y 2 )2  2( x 2  y 2 )  1 . 4. -. Vì vậy ta có thể nghĩ đến đưa A về một biến bằng cách đặt t  x 2  y 2 .. -. Tìm điều kiện của t ta sử dụng bất đẳng thức x 2  y 2 . ( x  y)2 . 2. Lêi gi¶i. Ta lu«n cã : ( x  y )2  4 xy ,nªn suy ra : ( x  y )3  4 xy  2  ( x  y )3  ( x  y ) 2  ( x  y )3  4 xy  2  ( x  y )3  ( x  y ) 2  2   ( x  y )  1 ( x  y ) 2  ( x  y )  2   0  ( x  y)  1  0 2. 1 7 Do ( x  y )  ( x  y )  2   ( x  y )     0, x, y 2 4  2. Bài toán dẫn đến tìm max min của biểu thức: A  3( x 4  y 4  x 2 y 2 )  2( x 2  y 2 )  1 Víi x, y tháa m·n x  y  1 .. Ta cã : A  3( x 4  y 4  x 2 y 2 )  2( x 2  y 2 )  1 3 3  ( x 2  y 2 ) 2  ( x 4  y 4 )  2( x 2  y 2 )  1 2 2 3 3( x 2  y 2 ) 2  ( x 2  y 2 )2   2( x 2  y 2 )  1 2 4. Trường THPT Thái Phúc Lop12.net. -7-.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm thao giảng cụm. Gi¸o viªn:TrÇn V¨n HuÊn ( do x 4  y 4 . ( x  y 2 )2 ) 2 2. 9 4. Hay A  ( x 2  y 2 )2  2( x 2  y 2 )  1 . ( x  y)2 1 ( do x  y  1 ) nªn x 2  y 2  . 2 2 9 1 §Æt t  x 2  y 2 . Ta cã hàm sè f (t )  t 2  2t  1 víi t  . 4 2 9 f '(t )  t  2 2 4 f '(t )  0  t  9. Víi x 2  y 2 . Ta cã BBT: 4 9. t. 1 2. . +. f '(t ). . f (t ) 9 16 1 1 9 t VËy min khi f (t )  f ( )  1 2 2 16 t 2. 9 1 9 . MÆt kh¸c, ta dÔ thÊy x  y  th× A  . 16 2 16 9 1 KÕt luËn : min A  khi x  y  và kh«ng cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 16 2. Suy ra A . Ví dụ 6: (ĐH Khối A- 2006). Cho hai số thực x, y  0 thay đổi thỏa mãn điều kiện ( x  y ) xy  x 2  y 2  xy . T×m GTLN cña biÓu thøc: A. 1 1  x3 y 3. Lêi gi¶i: 1 1 x3  y 3 ( x  y )( x 2  xy  y 2 ) x y 2 1 1 A 3  3  3 3  ( )  (  )2 . 3 3 x y x y x y xy x y 2 2 §Æt x  ty . Tõ gi¶ thiÕt ta cã ( x  y ) xy  x  y  xy  (t  1)ty 3  (t 2  t  1) y 2. t2  t 1 t2  t 1 ; x  ty  Do đó y  2 . t t t 1 2. 2.  1 1   t 2  2t  1  VËy A       2  .  x y   t  t 1  t 2  2t  1 3t 2  3 XÐt hµm sè f (t )  2 .  f '(t )  2 t  t 1  t 2  t  1. Trường THPT Thái Phúc Lop12.net. -8-.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm thao giảng cụm. Gi¸o viªn:TrÇn V¨n HuÊn 1 2. LËp b¶ng biÕn thiªn ta t×m ®­îc GTLN cña A lµ: 16 khi x  y  . Ví dụ 7 (ĐH Khối B- 2011)Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 2(a 2  b 2 )  ab  (a  b)(ab  2) T×m GTLN cña biÓu thøc :  a 3 b3   a 2 b 2  P  4 3  3   9 2  2  a  b a  b. Lêi gi¶i: Tõ gi¶ thiÕt ta cã: 2(a 2  b 2 )  ab  (a  b)(ab  2)  2(a 2  b 2 )  ab  a 2b  ab 2  2(a  b) a b  2     1  ( a  b)  2  a  b  b a a b 1 1  2     1  ( a  b)  2    b a a b. ¸p dông b®t c«-si ta cã: 1 1 1 1 a b  (a  b)  2     2 2(a  b)     2 2    2  a b a b b a  a b a b a b 5 Suy ra: 2     1  2 2     2      . b a b a b a 2 a b. b 5 , t  . Ta ®­îc : P  4(t 3  3t )  9(t 2  2)  4t 3  9t 2  12t  18 . a 2 3 XÐt hàm sè: f (t )  4t  9t 2  12t  18 5 f '(t )  6(2t 2  3t  2)  0, t  2 23 5 Suy ra min f (t )  f     . 5  4 2  ;  . §Æt t  . 2. . VËy min P  . 1 1 23 a b 5 đạt được khi và chỉ khi   và a  b  2    4 b a 2 a b (a; b)  (2;1) hoÆc (a; b)  (1; 2). VÝ dô 8:( §Ò thi ®h khèi D-2012)Cho c¸c sè thùc x,y tháa m·n (x-4) 2 +(y-4) 2 +2xy  32.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A=x 3 +y 3 +3(xy-1)(x+y-2). Bài gi¶i: +)Ta cã (x-4) 2 +(y-4) 2 +2xy  32  (x+y) 2 -8(x+y)  0  0  x+y  8 +)Mà 4xy  (x+y) 2  -6xy  -. 3 (x+y) 2 2. Ta cã A=x 3 +y 3 +3(xy-1)(x+y-2)=(x+y) 3 -6xy-3(x+y)+6 3 Suy ra A  (x+y) 3 - (x+y) 2 -3(x+y)+6 2. Trường THPT Thái Phúc Lop12.net. -9-.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm thao giảng cụm §Æt t=x+y(0  t  8).XÐt hµm sè f(t)=t 3 Ta cã f'(t)=0 khi t=. 3 2 t -3t+6  f'(t)=3t 2 -3t-3 2. 1 5 2. Mà f(0)=6;f(8)=398;f( Víi Amin=. Gi¸o viªn:TrÇn V¨n HuÊn. 1 5 17  5 5 )= 2 4. 17  5 5 1 5 khi x=y= 4 4. VÝ dô 9: (§Ò thi khèi B-2012) :Cho c¸c sè thùc x,y,z sao cho x+y+z=0 và x 2 +y 2 +z 2. =1.T×m GTLN cña biÓu thøc P=x 5 +y 5 +z 5. Hoạt động tìm tòi khám phá: -Từ giả thiết biến đổi theo x+y và xy? -Biến đổi P thành x+y và xy,đặt t=x+y cùng với giả thiết để đưa P về một biến -Điều kiện của t được đánh giá từ bất đẳng thức (x+y) 2  4xy Bài gi¶i: Ta cã z=-(x+y) suy ra x 2 +y 2 +(x+y) 2 =1.  x 2 +y 2 +xy=  (x+y) 2 -xy= §Æt t=x+y suy ra xy=t 2 -. 1 2. 1 2. 1 2. V× (x+y) 2  4xy  t 2  4(t 2 -. 2 2 1 2 t  )t 2  3 3 2 3. Mµ P=x 5 +y 5 -(x+y) 5 =-(5x 4 y+10x 3 y 2 +x 2 y 3 +5xy 4 ) =-5xy(x 3 +2x 2 y+2xy 2 +y 3 )=-5xy(x+y)(x 2 +xy+y 2 ) =-. 5 2 1 5 5 t(t - )=- t 3 + t 2 2 2 4. Dùng đạo hàm tìm GTLN của f(t)= -. 5 3 5 t + t trªn ®o¹n 2 4.  2 2 ;   ta t×m ®­îc Pmax= 3 3 . 5 6 36. Trường THPT Thái Phúc Lop12.net. - 10 -.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm thao giảng cụm. Gi¸o viªn:TrÇn V¨n HuÊn. PhÇn III: BiÖn ph¸p thùc hiÖn - Trao đổi thông qua sinh hoạt 15 phút. - D¹y trong c¸c tiÕt bµi tËp. - Th«ng qua b¸o b¶ng víi chuyªn môc “T×m GTLN,NN víi bµi to¸n nhiÒu biÕn” - Ngo¹i khãa. - D¹y vµo tiÕt tù chän.. PhÇn IV: kÕt qu¶ Trong quá trình giảng dạy tôi đã lồng ghép vào kiểm tra lên bảng, đưa một số bài tương tự vào kiểm tra một tiết tôi thấy có 50% các em làm tương đối tốt dạng toán này ở lớp Toán, Lý, Hóa.Còn lại có khoảng 20% làm đúng hướng nhưng biến đổi thiếu chặt chẽ hoặc biến đổi sai.. PhÇn V: KÕt luËn Bµi to¸n t×m GTLN,NN nãi chung vµ bµi to¸n t×m GTLN,NN cña hµm nhiÒu biến nói riêng là dạng toán tương đối khó nhưng lại xuất hiện thường xuyên trong các đề thi đại học trong những năm gần đây.Phương pháp đưa bài toán nhiều biến về một biến sẽ giúp các em xác định được lời giải tốt hơn khi ta đưa đươc về bài toán tìm GTLN,NN ở dạng cơ bản.Tôi chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tham khảo và rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô./.. Trường THPT Thái Phúc Lop12.net. - 11 -.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>