Chủ đề: Căn bậc hai

<span class='text_page_counter'>(1)</span>chủ đề I: căn bậc hai.. A. KiÕn thøc cÇn nhí. 1. Điều kiện để căn thức có nghĩa.. A cã nghÜa khi A  0 2. Các công thức biến đổi căn thức. a. A2  A A  B. c. e.. A B. ( A  0; B  0). A B  A2 B. ( A  0; B  0). A B   A2 B. ( A  0; B  0). i.. A A B  B B. m.. C C( A  B )  A  B2 A B. ( B  0). b.. AB  A. B. d.. A2 B  A B. f.. A 1  B B. k.. C C ( A  B)  A  B2 AB. AB. ( A  0; B  0) ( B  0). ( AB  0; B  0). ( A  0; A  B 2 ). ( A  0; B  0; A  B ). B.Kĩ năng cần đạt: T×m c¨n bËc hai cña mét sè hoÆc biÓu thøc. Tìm điều kiện của biến để biểu thức xác định. Thực hiện các phép tính về căn bậc hai, các phép biến đổi đơn giản =>Rút gọn và tính giá trị của biểu thức chứa căn bËc hai. Giải phương trình chứa căn bậc hai. C.C¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶n: 1.Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định: 2.Rót gän biÓu thøc vµ mét sè d¹ng bµi tËp kÌm theo. *Các biểu thức chứa căn đơn giản trong sách bài tập để học sinh củng cố các công thức. Bµi 1 TÝnh a). 2 5  125  80  605. b). 10  2 10 8  5  2 1 5. d). 2 8  12 5  27  18  48 30  162. e). 2. i). 2 27  6. 3  5 (3  5) 10  2 l).  p). 2  3( 5  2 ). m). 16 1 4 3 6 3 27 75 4 3  75 3 5. 3 5  3 5. c). 15  216  33  12 6. g). 2 3 2 3  2 3 2 3. k). 8 3  2 25 12  4. n). h). 192. 4  10  2 5  4  10  2 5. . 2. 5  2 8 5 2 54. Bµi 2 Chøng minh. 5  2 6 49  20 6 . 5  2 6  9 3  11 2. *C¸c biÓu thøc cång kÒnh h¬n. -C¸c d¹ng bµi tËp kÌm theo cã thÓ lµ: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc t¹i mét gi¸ trÞ cña biÕn. Giải phương trình: Tìm x để giá trị của biểu thức bằng a. Giải bất phương trình: Tìm x để giá trị của biểu thức không âm, ...So sánh biểu thức với một số hoặc một biểu thức khác, chứng minh gi¸ trÞ cña biÓu thøc ... T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc. Tìm x nguyên, x hữu tỉ để giá trị của biểu thức nguyên. Bµi 1:.  Cho A=  a  1    a 1.  a 1 1  víi x>0 ,x  1  4 a  .  a   a 1 a . a)Rót gän A. b)TÝnh A víi a =. HD: a) A= 4a. b) Xong. .   10  6 .. 4  15 .. 4  15. Lop12.net. .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Trường THCS Đông Xá x2 x 1 1   x x 1 x  x 1 1 x b. T×m GTLN cña A .. Bµi 2: Cho A = a . Rót gän A. HD: a)A =. Gi¸o viªn: TrÞnh TuÊn Anh víi x  0 , x  1.. x x  x 1. b)NÕu x = 0 th× A = 0 1    . A max   x  1   min   x  1 x    x 1 x 1  1  Theo bất đẳng thức Co si có: x   x  1.Khi đó Amax =  min  2  x  x x  Bµi 3: x. NÕu x  0 th× A =. x  x 1. Cho A=  x  x  7 .  . 1   x 2 x 2 2 x     :   x 2  x 2 x  2 x  4 . x4. a)Rót gän A.. 1. . b)So s¸nh A víi. 1 A. 1   x 1 3. víi x > 0 , x  4..  x  9  0  A  1 1  ...  A A 6 x  x  9 2. HD: a) A = x  9. b)XÐt hiÖu: A -. 6 x. Bµi 4: Cho A=  x  3 x  1 :  9  x      x 9   x x 6 a)Tìm x để biểu thức A xác định. a) x  0 , x  9, x  4. x 3 x 2   x 2 x  3  b)Rót gän A.. 3 x 2. b)A=. c)x= ? Th× A < 1.. d)T×m. c)Xong. d)Xong. xZ. để. A Z. 15 x  11 3 x  2 2 x  3 víi x  0 , x  1.   x  2 x  3 1 x x 3. Bµi 5: Cho A =. a)Rót gän A.. b)T×m GTLN cña A.. HD: a)A = 2  5 x. x 3. c)Xong. 25 x. c)Tìm x để A = 17  5. . x 3. . 1 2. d)CMR : A. . 17  17   5  . A max    max. V× x 3 x 3 x 3  x 3 d)Xét hiệu A – 2/3 rồi chứng minh hiệu đó không dương. b) A . C¸c bµi tËp luyÖn:. . . . 2 3. .. 17 x 3.  17   0 nªn   max   x 3. . . x  3 min  x=0. 2. x  y  xy víi x  0 , y  0, x  y x xy y Bµi 6: Cho A =  x  y    : yx x y  x y  a)Rót gän A. b)CMR : A  0 xy HD: xy xy a) A  b) A    0 Víi x,y  0 x  xy  y 2 x  xy  y  y  3y  x    2  4  Bµi 7: Cho A = x x  1  x x  1   x  1  .  x  1  x  1  Víi x > 0 , x  1.    x x x x  x   x  1 x  1 . a) Rót gän A.. b)Tìm x để A = 6. HD:a). A=. . . 2 x  x 1. b)Xong. x Bµi 8:. víi x > 0 , x  4.. x  Cho A =  x  4  3  :  x  2      x 2  x x  2   x2 x b)TÝnh A víi x = 6  2 5. a)Rót gän A. HD:a)A =. 1 x ). b)Xong. Bµi 9: Cho A= . 1 1   1 1  1 víi x > 0 , x  1.    :  1  x 1  x 1  x 1  x 2 x    . a)Rót gän A. b)TÝnh A víi x =. Bµi 10: Cho A=  2 x  1  .  x x 1. 62 5. HD: A =. 3. 2 x x  4  víi x  0 , x  1.. b)Xong.. 1    : 1   x 1   x  x 1 . Lop12.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Trường THCS Đông Xá a)Rót gän A.. b)T×m. Gi¸o viªn: TrÞnh TuÊn Anh. xZ. A Z. để. x ) b)Xong x 3 víi x  0 , x  1. HD:a)A =.   1 2 x 2 2  Bµi 11: Cho A=  1     :    x 1 x x  x  x 1   x 1 x 1  a)Rót gän A. HD:a)A =. b) A . A Z. b)Tìm x để. c)Tìm x để A đạt GTNN .. x 1 x 1. x 1 2 2 2 2n 1 . A nguyªn  nguyên nên đặt:  n Z  x   0  0  n  2  n  1; 2  x  1; 0  x  1; 0 n x 1 x 1 x 1 x 1. c)Xong: x = 0, Amin = -1..  Cho A =  2 x  . Bµi 12:.  x 3. a)Rót gän A.. x 3x  3   2 x  2    1 : x  3 x  9   x  3 . b)Tìm x để A < -. Bµi 13: Cho A =  x  1    x 1 a)Rót gän A. 1 2. 3 a 3. HD: a)A =. 1 1  x 1   : x 1  x  2 x 1  x x b)So s¸nh A víi 1. 1. c)CMR : A. Bµi 14: Cho A = . HD: a)A =. x 1 x. HD:a)A =. x 1 1 8 x   3 x  2  Víi    : 1    3 x 1 3 x 1 9x 1   3 x 1 . 6 5.  x x 1 . x 1  x 1  : 2 x  x  1 1  x . víi x  0 , x  1.. b)CMR nÕu x  0 , x  1 th× A > 0. Cho A = 1   . Bµi 18:. a)Rót gän A.. d)T×m GTLN cña A. b,c,d(Qu¸ c¬ b¶n). Bµi 17: Cho A =  x  2   a)Rót gän A.. b,c)Xong. víi x  0 , x  1. c)TÝnh A khi x =3+2 2. b)CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0. x (1  x ). 1 9. 3 x 1.  x 2 x  2  x2  2x  1   . 2  x 1 x  2 x 1 . HD:a) A =. x  0, x . c)Tìm x để A < 1. HD: a)A = x  x. Bµi 16: Cho A =   a)Rót gän A.. b)Xong c)XÐt hiÖu A – 1.. b)Xong.. . b)Tìm x để A =. 4 x x4. víi x > 0 , x  1.. Bµi 15: Cho A =   a)Rót gän A.. b)Xong.. x 1 8 x   x  x  3 1  víi x  0 , x  1.    :   x 1 x 1   x 1 x  1 . b)TÝnh A víi x = 6  2 5. a)Rót gän A. víi x  0 , x  9. 4 1  x2 x  : x 1 x 1  x 1. b)Tìm x để A =. HD:a) A =. 2 x  x 1. b)Xong.. víi x > 0 , x  1, x  4.. 1 2. Bµi 19 Cho A = . x 1 x  2 x  3   x  3 2  víi x  0 , x  1.     :   x 1 x 1   x 1   x 1. a)Rót gän A. x  1.. b.)TÝnh A khi x= 0,36. a . Rót gän A.. b. CMR :. x HD: a) A = x  x 1. c)T×m. xZ. để. A Z. 0  A 1. a. Rót gän A. HD:a)A =. 1 3 2 víi x  0 ,   x 1 x x 1 x  x 1. b)Xong.    Bµi 20:Cho A =  x  5 x  1 :   x  25 . Bµi 6:Cho A =. 25  x x 3 x 5   x  2 x  15  x  5  x  3    . víi x  0 , x  9; x  2. b)T×m x sao cho A nguyªn. 5 x 3. Lop12.net. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Trường THCS Đông Xá. Gi¸o viªn: TrÞnh TuÊn Anh. 5 5  3n 5  nZ  x   0  0  n   n 1 x  4 n 3 x 3 Bµi 21:Cho A = 2 a  9  a  3  2 a  1 víi a  0 , a  9 , a  4. a 5 a 6 a  2 3 a b) Vì A nguyên nên đặt A =. a. Rót gän A.. b. Tìm a để A < 1. HD: a) A = a  1 a 3. b)Xong. . Bµi 22: Cho A=  1  . . a)Rót gän A.. c. T×m. aZ. A Z. để. c)Xong. x   x 3 x 2 x  2  víi x  0 , x  9 , x  4.    :   1  x   x  2 3  x x  5 x  6 . b)Tìm x để. A Z. c)Tìm x để A < 0. HD:a) A =. x 2 x 1. b,c(D¹ng c¬ b¶n). Một số bài tập khác để tham khảo: (Chưa có hướng dẫn) Bµi 23 :Cho biÓu thøc:A =. x 1 2 x  2 x  2 1. (x. . 2; x. . 3). a) Rót gän A.. b) TÝnh A khi x=6.  x2 x 1 x 1      x x  1 x  x  1 x  1  a) Rót gän B   1   x4   2x  1 Bµi 25: Cho biÓu thøc: C=    : 1   x 1  x  x 1  x x 1 a) Rót gän C. b) T×m x  Z sao cho C  Z.  2 x x 3x  3   2 x  2     Bµi 26 Cho biÓu thøc: D=   x  3  x  3  x  9  :  x  3  1 ( x      Bµi 24 :Cho biÓu thøc: B=. a) Rót gän D.. b) T×m x sao cho D<. 1 . 3. b) CMR 3B < 1 víi ®iÒu kiÖn thÝch hîp cña x. 0; x. . 9). c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña D..  3x  9 x  3 x 1 x 2   ( x  0; x  1) a) Rót gän E   b) T×m x  Z sao cho E  Z.  x x 2  x  2 1  x     3   3 Bµi 28 Cho biÓu thøc: F=  b) TÝnh gi¸ trÞ cña F khi x= 4 2  5  1  x  :   1 (-1< x < 1) a) Rót gän F  1 x   1  x2  Bµi 27 Cho biÓu thøc: E=.  x  5  5 x 1   3   :  ( x > 1; x  10)  1  x  1   x 1 3 x 1   1  x2      x2 x 1   x 1    Cho biÓu thøc: H=     x x  1 x  x  1 1  x  :  2  ( x  0; x     . Bµi 29 Cho biÓu thøc: G=. Bµi 30. a) Rót gän H.. b) CMR: F < 3. 9). b) CMR H > 0 với điều kiện xác định của H.. Bµi 31 Cho biÓu thøc: K = a) Rót gän K.. a) Rót gän F. 15 x  11 3 x  2 2 x  3   x  2 x  3 1 x x 3. b) Tìm x để K = 0,5. (x. . 0; x. . 9). c) Tìm x để K nhận giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.. 12  x  x ( x  2; x  3) a) Tìm x để L đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. x 4  x2 x 1   Bµi 33 Cho biÓu thøc: M=     x x 1 x  x 1  x  1   1 a) Rót gän M. b) TÝnh gi¸ trÞ cña M khi x= 28- 6 3 c) CMR : M< 3  x  1 xy  x   x  1 xy  x  Bµi 34 Cho biÓu thøc: N =   xy  1  xy  1  1 :  xy  1  xy  1  1     Bµi 32 Cho biÓu thøc: L =. Lop12.net. b) T×m x sao cho L = 2x. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Trường THCS Đông Xá a) Rót gän N.. Gi¸o viªn: TrÞnh TuÊn Anh. 42 3. b) TÝnh gi¸ trÞ cña N khi x=. *Bài 35: Cho biểu thức:. P. 42 3. ; y=. x. y. . c) BiÕt x+ y =4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña N.. xy. . .  . . . ( x  y )(1  y ) x  y) x 1 x  1 1 y a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P. b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2. HD: a). Điều kiện để P xác định là :; x  0 ; y  0 ; y  1 ; x  y  0 (*). P. x(1 . x. . x )  y (1 . . . x . b). P = 2. 1 . y. . x 1 . y. . x. . . x . y. 1  y  . x 1  y 1. x  y 1 . xy . . . y. = 2 . . . ( x  y )  x x  y y  xy. . x 1. 1  x 1  y . . Ta có: 1 +. y )  xy. x. . . . x . y 1. x  y  y  y x. . x 1. x 2  4x  4. c). x2 f ( x)  2 x  4 ( x  2)( x  2). +)Với x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra A . . x . y. . x . y x. xy  y  xy.  x  y 1  x 1  y  y 1  y   y 1  y   x  xy  1  y . . x 1. . x 1 1. . y.. . y 1. c) Rút gọn A =. f ( x) x2  4. khi x . 2. b) f ( x)  10   x  2  10   x  12  x  2  10  x  8  . 1 ; +)Với x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra A   1 x2 x2. x2 + x 1 - x 1 x 1 x x 1 x  x 1. Cho P =. 1 3. b/. Chứng minh: P <.  0 và x  1.. HD:a) Điều kiện: x. với x. . 0 và x.  1.. x2 + x 1 x 1 x 1 P = x2 + = ( x )3  1 x  x  1 x x  1 x  x  1 ( x  1)( x  1) =. .  . y. a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10. x 2  4 x  4  ( x  2) 2  x  2 => f(-1) = 3; f(5) = 3. a/. Rút gọn P.. y. 1  y  y    y  1  1  . HD:a)f(x) =. Bài 37. x 1. x . x  1  1  0  x  4  x = 0; 1; 2; 3 ; 4. Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả mãn. *Bài 36: Cho hàm số f(x) =. A. . . 1 = x  2  ( x  1)( x  1)  ( x  ( x  1)( x  x  1) x 1. x  1). x x x = x  x 1 ( x  1)( x  x  1). b/. Với x. . x-2. .  1 .Ta có: P < 1 . 0 và x. 3. + 1 > 0 (. x. x. 1 x < x  x 1 3. - 1)2 > 0. ( Đúng vì x. . . x. 3. 0 và x. <x+. x. + 1 ; ( vì x +. x. +1>0).  1). *Bài 38 : Tính giá trị của biểu thức: A=. 1 3 5. HD: A = =. +. 1 5 7. 1 3 5. +. +. 1 5 7. +. 1. + .....+. 1. 97  99. 7 9. 1. + .....+. 7 9. 1 97  99. = 1( 5 3+. 2. 7 5+. 9  7 + .....+. 99  97 ). 1( 99  3 ) 2. *Bài 39: Cho biểu thức D =  a  b  .  1  ab. a  b  :  a  b  2ab   1  1  ab  1  ab  . a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D HD: a) - Điều kiện xác định của D là. b) Tính giá trị của D với a =. 2 2 3. c) Tìm giá trị lớn nhất của D. a  0; b  0; ab  1. D =  2 a  2b a  :  a  b  ab  = 2 a    1  ab  a 1   1  ab   b). a. . . 2 2 3 2 2 32   ( 3  1)2  a  3  1 . Vậy D  1 2 3 4 3. c) Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có : 2 a  a  1  D  1 . Vậy giá trị của D là 1. Lop12.net. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Trường THCS Đông Xá. Gi¸o viªn: TrÞnh TuÊn Anh. 3.Phương trình chứa căn:. Lop12.net. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>