Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng tính chất có nghiệm của phương trình bậc hai trong việc tìm cực trị của các đại lượng cơ bản trong mạch điện xoay chiều không phân nhánh

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. ĐỖ ĐÌNH PHẢ. Më §ÇU Trong chương trình Vật lý lớp 12 bài tập về dòng điện xoay chiều đóng một vai trò rất quan träng. Khi gi¶i bµi tËp vÒ m¹ch ®iÖn xoay chiÒu kh«ng ph©n nh¸nh chóng ta cã rất nhiều cách giải như sử dụng giản đồ véctơ, dùng đạo hàm .... Sử dụng giản đồ véctơ trong các bài toán liên quan đến độ lệch pha, các bài toán vÒ sù biÕn thiªn cña L, C chóng ta sÏ thu ®­îc kÕt qu¶ nhanh vµ dÔ dµng hiÓu ®­îc, tuy nhiên giản đồ véctơ lại không sử dụng được trong bài toán về sự biến thiên của R, f . Sử dụng phương pháp đạo hàm ta cũng có thể giải được bài toán về L, C biến thiªn vµ ngay c¶ trong c¸c bµi to¸n vÒ sù biÕn thiªn cña f, R ta còng cã thÓ sö dông được, tuy nhiên trong những trường hợp này nếu sử dụng đạo hàm thì sẽ dễ nhầm lẫn vµ khã hiÓu. V× vËy khi d¹y bµi tËp tù luËn phÇn dßng ®iÖn xoay chiÒu t«i nhËn thÊy cã một phương pháp có thể sử dụng hiệu quả trong các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các đại lượng cơ bản trong mạch điện xoay chiều đó là phương pháp sử dụng tính chất có nghiệm của phương trình bậc hai. Ưu điểm của phương pháp này là sử dụng được trong mọi bài toán từ sự biến thiên của R – tính công suất cho đến các bài toán tìm giá trị cực đại của UL, UC khi L, C biến thiên, đặc biệt trong các bài toán về sự biến thiên của tần số thì phương pháp này cũng thật hiệu quả và đỡ nhầm lẫn. Quan trọng là học sinh dễ hiểu và dễ sử dụng vì phương trình bậc hai đã trở thành quá quen thuéc víi häc sinh. Dưới đây tôi chỉ trình bày phương pháp chung và nêu một số bài tập thí dụ cụ thÓ còng nh­ ®­a ra mét sè bµi tËp vËn dông vÒ viÖc “ øng dông tÝnh chÊt cã nghiÖm của phương trình bậc hai trong việc tìm cực trị của các đại lượng cơ bản trong mạch điện xoay chiều không phân nhánh”để mọi người tham khảo.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. ĐỖ ĐÌNH PHẢ. NéI DUNG ứng dụng tính chất có nghiệm của phương trình bậc hai trong việc tìm cực trị của các đại lượng trong mạch điện xoay chiÒu kh«ng ph©n nh¸nh 1. C¬ së lÝ thuyÕt Trong phần này ta sẽ sử dụng tính chất có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm cực trị của các đại lượng vật lý. Lý thuyết: Phương trình bậc hai tổng quát ax2 + bx + c = 0 Trong đó: a, b, c là những hằng số; a  0 Để tìm nghiệm của phương trình bậc hai ta xét  = b2 – 4ac Nếu   0 phương trình có nghiệm Nếu   0 phương trình vô nghiệm Phương pháp chung -. Tính các đại lượng yêu cầu theo các công thức đã biết (trong đó có chứa đại lượng biến thiên). -. Đưa về dạng phương trình bậc hai của đại lượng biến thiên.. -. Lập luận phương trình có nghịêm khi   0 từ đó rút ra giá trị cực trị cần tìm .. -. BiÖn luËn nÕu cÇn.. 2. C¸c øng dông ứng dụng 1. ứng dụng trong việc tìm công suất cực đại khi r thay đổi Bµi to¸n thÝ dô: Cho m¹ch ®iÖn xoay chiÒu R, L, C m¾c nèi tiÕp. R lµ biÕn trë cã thể thay đổi được. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng U. Cho R thay đổi, tìm R để công suất tiêu thụ trên mạch đạt giá trị cực đại, tính giá trị đó. Lêi gi¶i Ta cã P=I2R=. U2 R  R2P – U2R +(ZL-ZC)2P=0. R 2  (Z L  Z C ) 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. ĐỖ ĐÌNH PHẢ. Phương trình này phải có nghiệm nên ta có   0  U4-4P2(ZL-ZC)2  0  P2 . U2 U4 Hay P = max ZL  ZC (Z L  Z C ) 2. khi đó phương trình có nghiệm R= . b = 2a. ZL  ZC .. Trường hợp này chúng ta cũng có thể dùng phương pháp đạo hàm nhưng phức tạp h¬n vµ v× vËy dÔ bÞ nhÇm lÉn. øng dông 2. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña UL, UC khi L, C biÕn thiªn Bài toán thí dụ: Cho mạch điện gồm R, L, C mắc nối tiếp. L có thể thay đổi ®­îc. §Æt vµo hai ®Çu ®o¹n m¹ch mét hiÖu ®iÖn thÕ xoay chiÒu cã tÇn sè f, hiÖu điện thế hiệu dụng U. Cho L thay đổi tìm L để UL đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị đó. Lêi gi¶i U. Ta cã UL = I. ZL =. R  Z L  Z c  2. . 2. ZL. .  U L2 ( R 2  Z L2  2 Z L Z C  Z C2 )  U 2 Z L2  (U 2  U L2 ) Z L2  2 Z CU L2 Z L  U L2 ( R 2  Z C2 )  0. Phương trình này phải có nghiệm.   0  Z C2U L4  ( R 2  Z C2 )U L4  U 2U L2 ( Z C2  R 2 )  0. §iÒu kiÖn:. R 2  Z C2 U U  U LMax  U R2 2 L. ULmax khi   0  Z L . R 2  Z C2 R. R 2  Z C2 Zc. Mở rộng: Tương tự ta có thể mở rộng bằng cách sử dụng tính cực trị của hàm sè bËc hai nh­ sau: XÐt UL =. U R  Z L  Z c . UL =. 2. 2. Z L chia c¶ tö vµ mÉu cho ZL ta ®­îc. U  Z R  1  C 2 ZL  ZL 2.   . 2. để (UL)max khi mẫu số đạt cực tiểu.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. R 2  ZC đặt y = 2  1  ZL  ZL hai của ẩn là x =. hay Z L . ĐỖ ĐÌNH PHẢ. 2.  Z c Z C2 R 2  Z C2 Z R2  = 2  1  2  2   2 c  1 đây là một hàm số bậc 2 ZL ZL ZL ZL ZL . Z 1 1 b , hàm số này có hệ số a > 0 nên ta thấy với x = =  = 2 C 2 ZL ZL 2a Z C  R. R 2  Z C2 thì ymin lúc đó ta có U LMax  U Zc. R 2  Z C2 R. .. tương tự chúng ta có thể giải trong trường hợp của C biến thiên tìm C để UC đạt giá trị cực đại ta có: UC = I. ZC =. U R  Z L  Z c  2. . ZC. 2. .  U C2 ( R 2  Z L2  2 Z L Z C  Z C2 )  U 2 Z C2  (U 2  U C2 ) Z C2  2 Z LU L2 Z C  U C2 ( R 2  Z L2 )  0. Phương trình này phải có nghiệm.   0  Z L2U C4  ( R 2  Z L2 )U C4  U 2U C2 ( Z L2  R 2 )  0. §iÒu kiÖn:. R 2  Z L2 U U  U C max  U R2 2 C. R 2  Z L2 R. R 2  Z L2 ULmax khi   0  Z C  ZL. vậy khi C biến thiên thì UC đạt giá trị cực đại: UCmax = U. R 2  Z L2 R. R 2  Z L2 øng víi Z C  ZL. ứng dụng 3. Tìm giá trị lớn nhất của Ul, Uc khi  thay đổi Bài toán thí dụ: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp. R,L,C là các đại lượng đã biết đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng U, cho  biến thiên. tìm giá trị của  để ULmax và tính ULmax. Lêi gi¶i  Z L  L 1 2  2 ) Ta cã  1 thay vµo biÓu thøc cña tængtrë Z ta ®­îc Z= R  (L  L Z C  C. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. Ta l¹i cã UL=I.ZL =. ĐỖ ĐÌNH PHẢ U L. U L = Z. 1 2 R 2  ( L  ) C. (1).. Tõ (1) ta cã U 2 L .(R 2  2 C 2   4 L2 C 2  2 2 LC  1)  U 2  4 L2 C 2 khai triÓn ta ®­îc phương trình bậc hai của  2. 2+U 2=0 L.  4 (UL2L2 C2- U2L2C2)– (2U2L LC– UL2 R2 C2) . phương trình luôn có nghiệm nên ta có điều kiện   0  UL4C4(. 2L  R 2) 2 – C. 4UL2L2C2(UL2-U2)  0 2L  R 2)2 – 4L2(UL2-U2)  0 C. . UL2C2(. . UL2[(2L-R2 C)2-4L2]  -4L2U2. . UL2[4L2 -(2L-R2 C)2]  4L2U2. 4L2 2 U 2 4L2 U 2 C 2 =  UL max= 4L 4LR 2 C  R 4 C 2 R2 (  R2 ) C. 2 R2 2L 2(  2) U C khi đó  2 = LC 2L thay tØ sè  ULMAX= U 4L 1 2 R (  R2 ) U L C. U2/U2L ta ®­îc kÕt qu¶  2=. 2 2L C2(  R2 ) C. Hoàn toàn tương tự ta có thể áp dụng phương pháp này để giải bài toán khi f biến thiên tìm f để UC đạt giá trị lớn nhất ta thu được:  2=. 2(. 2L  R2 ) C L2. ta cũng có thể dùng phương pháp đạo hàm để giải bài toán này ví dụ: Ta cã UL=I.ZL =. U L = Z. U L 1 2 R  ( L  ) C. (1). §Æt y=. 2. đạo hàm y theo  và cho y’=0 ta được  2= 2L U C 4L R  R2 C. Lop12.net.  1 2 R  ( L  ) C. vµ. 2. 2 Lúc đó 2 2L 2 C ( R ) C. ULmax =.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. ĐỖ ĐÌNH PHẢ. Tuy làm bằng phương pháp này nó còn thể hiện được bản chất hiện tượng nhưng học sinh lại khó làm và dễ nhầm hơn phương pháp dùng phương trình bậc hai. 3. Bµi tËp ¸p dông 1.. 1 . Cho m¹ch ®iÖn xoay chiÒu RLC kh«ng ph©n nh¸nh, R=100, C= 10  4 F . L cã thể thay đổi được. Tìm L để hiệu điện thế hiệu dụng trên hai đầu cuộn cảm lớn nhất và tìm giá trị đó bằng phương pháp sử dụng tính chất có nghiệm của phương trình bậc hai và phương pháp giản đồ véctơ. Cho tần số dòng điện bằng 50Hz và hiÖu ®iÖn thÕ hiÖu dông hai ®Çu m¹ch ®iÖn b»ng 200V. 2.. 1 . Cho m¹ch ®iÖn xoay chiÒu RLC kh«ng ph©n nh¸nh, R=100, L= 10  4 F . C cã thể thay đổi được. Tìm C để hiệu điện thế hiệu dụng trên hai đầu tụ điện lớn nhất và tìm giá trị đó bằng phương pháp sử dụng tính chất có nghiệm của phương trình bËc hai. Cho tÇn sè dßng ®iÖn b»ng 50Hz vµ hiÖu ®iÖn thÕ hiÖu dông hai ®Çu m¹ch ®iÖn b»ng 200V. 3.. 1 . Cho m¹ch ®iÖn xoay chiÒu RLC kh«ng ph©n nh¸nh, R=100, C= 10  4 F . L = 2 H tần số của dòng điện có thể thay đổi được. Tìm  để hiệu điện thế hiệu dụng . trên hai đầu cuộn cảm, tụ điện lớn nhất và tìm giá trị đó bằng phương pháp sử dụng tính chất có nghiệm của phương trình bậc hai. 4.. Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó R là điện trở thuần, cuộn dây có điện trở không đáng kể và có độ tự cảm L thay đổi được, tụ điện có điện dung biến thiên. Đặt vào hai đầu A, B mét hiÖu ®iÖn thÕ xoay chiÒu cã gi¸ trÞ hiÖu dông không đổi UAB = 120V và tần số f thay đổi được. a. Khi f = 50Hz vµ ®iÒu chØnh L = L1; C = C1 th× thÊy gi¸ trÞ hiÖu dông cña c¸c hiÖu ®iÖn thÕ UAN = 160V, UNB = 56V vµ c«ng suÊt m¹ch ®iÖn lµ P = 19,2W. TÝnh R, L, C1 b. Giữ nguyên L = L1; C = C1 rồi thay đổi tần số cho đến khi hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu điện trở đạt giá trị cực đại. Tính f.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. ĐỖ ĐÌNH PHẢ. c. Víi f = 50Hz, ®iÒu chØnh cho C = C2 råi ®iÒu chØnh L th× thÊy khi L = L2 = 9,6. . H thì hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây đạt cực đại. Tìm C2 và giá trị cực. đại của hiệu điện thế đó. 5.. Cho mạch điện như hình vẽ. Cuộn dây thuần cảm độ tự. cảm L, tụ điện có điện dung có thể thay đổi được. HiÖu ®iÖn thÕ m¾c vµo hai ®Çu AB lµ uAB = 220 2 sin(2  f t) V, tần số f có thể thay đổi được. 1. Ban ®Çu cho f = 50Hz; R = 50 3 ; L =. 2. . H; C =. 1 3 10 F 5. a. Tìm biểu thức cường độ dòng trong mạch và biểu thức của các hiệu điện thế uAN , uMB b. Điều chỉnh C để công suất trên cả mạch đạt cực đại. Tìm C và giá trị của công suÊt. 2. Trong ®o¹n m¹ch AB nãi trªn, gi÷ nguyªn L, thay R = R1 = 1000; ®iÒu chØnh C đến giá trị C1 =. 4 F. Giữ nguyên hiệu điện thế hiệu dụng của nguồn thay đổi f đến 9. giá trị f0 sao cho hiệu điện thế giữa hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại. Tính f0 và giá trị cực đại của UC. 6.. Cho m¹ch ®iÖn xoay chiÒu nh­ h×nh vÏ. Hai ®Çu. r, L. AB được đặt vào một hiệu điện thế xoay chiều: uAB = 120 6 sin (2  ft)V. TÇn sè f cã thÓ thay. V. đổi được. Điện trở vôn kế nhiệt là vô cùng lớn. a. Khi f = f1 = 50Hz th× uAN lÖch pha  / 2 so víi uMB; uAB lÖch pha  /2 so víi uAN. Cho biÕt v«nkÕ chØ 120V, c«ng suÊt tiªu thô trªn m¹ch AB lµ 360W. TÝnh R, r, L, C b. Khi f = f2 v«n kÕ chØ gi¸ trÞ cùc tiÓu Umin. T×m tÇn sè f2 vµ gi¸ trÞ Umin.. kÕt luËn Trên đây tôi đã trình bày về việc ứng dụng tính chất có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toán về tìm cực trị trong mạch điện xoay chiều không phân nhánh đồng thời liên hệ mở rộng phương pháp này với việc sử dụng tính cực trị của hàm số bậc hai là một hàm số quen thuộc mà học sinh đã học rất nhiều. Phương pháp. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. ĐỖ ĐÌNH PHẢ. này rất thiết thực và dễ vận dụng mong các đồng chí nhận xét góp ý cho phương pháp thêm hoàn chỉnh để áp dụng dễ dàng hơn, linh động hơn. NBK ngµy 20 th¸ng 5 n¨m 2007. Người viết : đỗ đình phả. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>