Dùng bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai, ba biến x, y, z

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Dùng bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai, ba biến x, y, z 1. Cho các số thực dương x, y, z thỏa maõn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. x 2  y  z  y 2  z  x z 2  x  y  P   yz zx xy HD: P . x2 x2 y2 y 2 z 2 z 2      (1) y z z x x y. Ta lại có:  x  y  0, x, y    x 2  y 2  xy  xy, x, y   2. Do đó: x3  y3  xy  x  y; x, y  0 hay. x2 y 2   x  y; x, y  0 y x. y2 z2   y  z ; y , z  0 Tương tự, ta có: z y. z 2 x2   z  x; z , x  0 x z. Cộng các vế tương ứng của caùc bất đẳng thức treân ta được: P  2 x  y  z  2 và P  2  x  y  z . 1 3. 1 3 2. Cho x, y, z là ba số dương và x  y  z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Vậy: minP = 2 khi x = y = z =. P  x2 . 1 1 1  y2  2  z2  2 2 x y z. HD. + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 82 số không âm gồm một số 81x 2 và 81 số. 81x 2 . 81 1 1    2  82.82 160 2 x x  x .  1 9  81 x 2  2   82.41 80  x  x. . x2 . 1 ta được x2. 1 82 41 3   2 x 9 x 40. 81 soá. + Tương tự, ta có:. y2 . 1 82 3   41 40 và 2 y 9 y. z2 . 1 82 41 3   40 2 z 9 z. + Cộng các vế tương ứng các bất đẳng thức trên ta được 82 41 3 3 3  P  40  41 40  41 40  (1) 9  x y z  + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm 41. 41. 3 , x 40. 41. 3 , y 40. 41. 3 ta có: z 40. 3 3 3 27  41 40  41 40  3.123 (2) 40 40 x y z  xyz  Page 1. Trần Chí Thanh –2009 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> + Từ (1) và (2) suy ra P . 82 27  123 40 3  xyz . + Mặt khác: 1  x  y  z  3. 3 xyz  + Từ (3) và (4) suy ra P . (3). 1.  xyz . 40.  2740  3120. (4). 82 123 123  3  82 3.  1 1 1   81x 2  81y 2  81z 2  2  2  2   x y z     3 3 3 1  x y z + P  82   41 40  41 40  41 40  x y z 3    1   x yz   3  . 3. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện P. 1 1 1    4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x y z. 1 1 1   2x  y  z x  2 y  z x  y  2z. HD. + Theo bất đẳng thức Caychy ta có: 1 1 1 1 1 1 1        (1) x  x  y  z 4 4 xxyz 16  x x y z . 1 1 1 1 1 1 1        (2) x  y  y  z 4 4 xyyz 16  x y y z  1 1 1 1 1 1 1        (3) x  y  z  z 4 4 xyzz 16  x y z z . 1 1 1 1 1 + Cộng các vế tương ứng ta được P        4  1 4  x y z  4 + P 1  x  y  z . 4 3. 4 3 4. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện xyz  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức + Vậy max P  1 khi x  y  z . P. 1  x3  y 3 1 y3  z 3 1  z 3  x3   xy yz zx. HD. + Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1  x3  y 3  3. 3 1.x3 . y 3  3xy . 1  x3  y 3 3  xy xy. (1). Page 2. Trần Chí Thanh –2009 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 y3  z3 1  y  z  3. 1. y .z  3 yz   yz 3. 3. 3. 3. 3. 1 z 3  x3  3. 3 1.z 3 .x3  3zx . 3 yz. (2). 1  z 3  x3 3  zx zx. (3). + Cộng các vế tương ứng các bất đẳng thức trên ta được + Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có 1 1 1 3     3 (do xyz = 1) 3 xy yz zx xyz.  1 1 1  P  3      xy yz zx . (4). (5). + Từ (4) và (5) suy ra P  3 3   1  x3  y 3    1  y3  z3    + P  3 3  1  z 3  x3  x  y  z 1    1 1 1      yz zx    xy + Vậy min P  3 3 khi x = y = z = 1 5. Cho các số x, y dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.  y  9  P  1  x1  1    x  y  HD. + Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2. x x x x3 1 x  1    4 4 3 3 3 27. (1). y y y y y3 4 1  1    4 x 3x 3x 3x 27 x3 9 3 3 3 1  1    44 y y y y. (2).  . 3. y.  9  36  1    16 4 3  y y 2. 33. (3). + Nhân các vế tương ứng các bất đẳng thức trên ta được. P  256 4. x3 y 3 36    256 27 27 x3 y 3.   x  1   3   y x  3  P  256    1     y  9 3x      3  1      y Page 3. Trần Chí Thanh –2009 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> + Vậy min P 256 khi x=3, y = 9 6. Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. P  3  4x  3  4 y  3  4 z HD. +Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 3  4x  111 4x  4. 4 4x  3  4x  2. 8 4x Tương tự:. 3  4 y  2.8 4 y và. 3  4z  2.8 4z. + Cộng các vế tương ứng của các bất đẳng thức trên ta được P  2. . 8. 4x  8 4 y  8 4 y. . (1). + Lại theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:. 4x  8 4 y  8 4z  3.24 4x yz  3 (do x + y +z = 0) (2) + Từ (1) và (2) suy ra P  6   4x  4 y  4z  1  + P6    x y z 0   x  y  z  0 +Vậy minP = 6 khi x = y = 0 8. 7. Cho hai số dương x, y và thỏa điều kiện x  y  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. 3x 2  4 2  y 3  4x y2. HD. Ta có: P . 3 1 2 x x 1 2 y y y x  2  y     2    4 x y 4 2 x y 4 4 2. 1 x 1 y y  x  y    2. 2     y 4 x 8 8  2. (1). + Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: x 1 x 1   2.   1 4 x 4 x. (2). 1 y y 1 y y 3    3. 3 2    2 y 8 8 y 8 8 4. (3). x y 2 (4) 2  3 9 + Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra P  1  2    2   4 2 + theo giả thiết, ta lại có: x  y  4 .  x 1      9 4 x     x y2 và P  1 y  2    2  8  y 8. Cho các số dương x, y, z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y z P  3 4 x3  y3   3 4 y3  z 3   3 4 z 3  x3   2  2  2  2   y z x  Page 4. Trần Chí Thanh –2009 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> HD.. 4  x3  y 3    x  y . 3. + Ta chứng minh:. ; x, y  0. Thật vậy:. 4 x  y3    x  y. 3. 3. ; x, y  0  4  x  y  x 2  y 2  xy   x  y . 3.  4 x 2  y 2  xy   x  y . 2. ; x, y  0  3 x  y  0 2. ; x, y  0. ; x , y  0. (1). bất đẳng thức (1) luôn luôn đúng và dấu đẳng thức xảy ra khi x = y + Khi đó. 3. 4  x3  y 3   x  y. + Tương tự:. 3. 4  y 3  z 3   y  z và. 3. 4  z 3  x3   z  x. x y z + Do đó ta có: P  2 x  y  z   2 2  2  2   y z x  + Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:. (2). x  y  z  3. 3 xyz x y z x y z 1  2  2  3. 3 2  2  2  3 2 3 xyz y z x y z x  1  + Từ (2) suy ra P  6  3 xyz    6.2  12 3 xyz   .   x y z   2 2  2  y z x    + P  12   x  y  z   1  3 xyz    3 xyz    + Vậy minP =12 khi x = y = z = 1.  x  y  z   x  y  z 1     xyz  1. 9. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2009 P  2 2 27 xyz x  y  z 2 18 xyz HD. + Ta có: x2  y 2  z 2   x  y  z   2 xy  yz  zx  1 2 xy  yz  zx 2. + Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:. x  y  z  3. 3 xyz suy ra: + Từ đó.  1  3. 3 xyz. và. xy  yz  zx  3. 3  xyz . 2. xy  yz  zx  9. 3  xyz  . 3 xyz  9 xyz 2. x2  y 2  z 2  1 2 xy  yz  zx 118xyz  x 2  y 2  z 2  18 xyz  1 . 1 2009 1  2  2009 2 2 x  y  z 18 xyz x  y  z 2  18 xyz 2. + Mặt khác, ta lại có:. 2. 1  3. 3 xyz. . 1 1 27 xyz Page 5. Trần Chí Thanh –2009 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> + Khi đó P  2010  x  y  z 1 P  2010    x yz   3  x  y  z  1 1 + Vậy minP = 2010 khi x  y  z  3 10. Cho hai số thực dương x, y và x 2  y 2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.  1   1  1  P  1  x1   1  y    x   y  HD. + Ta có: 1 1 x y P  2 x y     x y y x  1  1   x y  1  1 1    x     y         2  2 x   2 y   y x  2  x y  + Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: x. 1 1  2. x   2 2x 2x. y. 1 1  2. y   2 2y 2y. x y x y   2.   2 y x y x. 1 1 1 1 2   2.   x y x y xy. . x2  y 2  2 x2 y 2  2 xy . 1  1 1  1      2x y xy x 2  y 2  2. xy . 1 2   2 2 xy x  y2. + Khi đó P  4  3 2  1   x   2x    1  y  2  2y + P  43 2    x y  2  x y     y x    2 2   x  y  1 + Vậy min P  4  3 2 khi x  y . 2 2. Page 6. Trần Chí Thanh –2009 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>