Đề cương Toán 11

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đề cương toán 11. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> www.MATHVN.com Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. § 1 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A CÔNG THỨC 1 Bảng giá trị lượng giác của một số cung (góc) đặt biệt α. 0. π. π. π. π. 6. 4. 3. 2. 2π 3. Tăng và dương sinα 0 cosα 1 tanα 0. 1 2. 2 3 2 2 Giảm và dương 1 3 2 2 2 2 Tăng và dương 1 1 3 3. 1. -. 0 Không có nghĩa. 2. Không có nghĩa. 3. 1. 5π 6. 3 2. Giảm và dương 1 2 2 2 Giảm và âm. 1 2. -. - 3. Giảm và dương cotα. 3π 4. 2 3 2 2 Tăng và âm 1 -1 3. π. 0. -1. 0. Giảm và âm 1 3. 0. -. 1 3. -1. - 3. Không có nghĩa. GTLG của các góc có liên quan đặc biệt. a/ Hai góc đối nhau sin ( −α ) = − sin α cos ( −α ) = cos α. tan ( −α ) = − tan α. cot ( −α ) = − cot α. b/ Hai góc bù nhau sin ( π − α ) = sin α. cos (π − α ) = − cos α tan (π − α ) = − tan α. cot (π − α ) = − cot α c/ Hai góc phụ nhau π  sin  − α  = cos α 2 . π  cos  − α  = sin α 2  π  tan  − α  = cot α 2  π   cot  − α  = tan α 2   d/ Góc hơn. π. 2 π  sin  α +  = cos α 2  π  cos  α +  = − sin α 2 . π  tan  α +  = − cot α 2  π  cot  α +  = − tan α 2  e/ Góc hơn π sin (α + π ) = − sin α. cos (α + π ) = − cos α tan (α + π ) = tan α. cot (α + π ) = cot α. f/ Với mọi k ∈ ℤ , ta có. www.mathvn.com. 1. Lop12.net. www.mathvn.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> www.MATHVN.com sin (α + k 2π ) = sin α ;. tan (α + kπ ) = tan α ;. www.mathvn.com. cos (α + k 2π ) = cos α ;. cot (α + kπ ) = cot α .. 2. Lop12.net. www.mathvn.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> www.MATHVN.com 3 Các công thức lượng giác Công thức lượng giác cơ bản. sin α ; cos α. sin 2 α + cos 2 α = 1 ;. tan α =. tan α .cot α = 1 ;. 1 = 1 + tan 2 α ; 2 cos α. cot α =. Công thức cộng sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ;. cos α ; sin α. 1 = 1 + cot 2 α . 2 sin α. tan α − tan β ; 1 + tan α tan β tan α + tan β . tan (α + β ) = 1 − tan α tan β tan (α − β ) =. sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β ; cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β ; cos (α − β ) = cos α cos β + sin α sin β ;. Công thức nhân đôi sin 2α = 2sin α cos α ; cos 2α = cos 2 α − sin 2 α ; cos 2α = 1 − 2sin 2 α ; cos 2α = 2 cos 2 α − 1 ; 2tanα tan2α = . 1 − tan 2 α. Công thức hạ bậc 1 + cos 2α cos 2 α = ; 2 1 − cos 2α ; sin 2 α = 2 1 − cos 2α tan 2 α = . 1 + cos 2α. Công thức nhân ba cos 3α = 4 cos3 α − 3cos α ; sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α .. Công thức hạ bậc 4 cos3 α = 3cos α + cos 3α ; 4sin 3 α = 3sin α − sin 3α. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos α cos β = cos (α + β ) + cos (α − β )  ; 2 1 sin α sin β = − cos (α + β ) − cos (α − β )  2 1 = cos (α − β ) − cos (α + β )  ; 2 1 sin α cos β = sin (α + β ) + sin (α − β )  . 2. www.mathvn.com. Công thức biến đổi tổng thành tích α +β α −β ; cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α +β α −β ; cos α − cos β = −2sin sin 2 2 α +β α −β ; sin α + sin β = 2sin cos 2 2 α +β α −β sin α − sin β = 2 cos sin 2 2. 3. Lop12.net. www.mathvn.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> www.MATHVN.com B. BÀI TẬP. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. 1. Tính giá trị của các biểu thức sau : a/ A =. 1. 2. sin α + cos α 2 , biết tan α = ; sin α − cos α 5. b/ B =. Chứng minh các đẳng thức : a/ sin 4 α + cos 4 α = 1 − 2sin 2 α cos 2 α ;. 1. 3. 3 tan α + 2 cot α 2 , biết sin α = . tan α − cot α 3. b/ cos 4 α − sin 4 α = 2 cos 2 α − 1 ;.. Chứng minh biểu thức sau đây không phụ thuộc vào α : a/. b/ ( cot α + tan α ) − ( cot α − tan α ) .. sin 4 α + 4 cos 2 α + cos 4 α + 4sin 4 α ;. 2. 2. CUNG LIÊN KẾT 1. 4. Tính a/ A = tan1o tan 2o tan 3o … tan 89o ;. b/ B = cos10o + cos 20o + cos 30o + … + cos180o .. CÔNG THỨC CỘNG 1. 5. Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng : a/ tan. A B B C C A tan + tan tan + tan tan = 1 ; 2 2 2 2 2 2. b/ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C .. 1. 6. a/ Biến đổi biểu thức. 3 sin x + cos x về dạng A sin ( x + ϕ ) .. b/ Biến đổi biểu thức. 3 sin x + cos x về dạng A cos ( x + ϕ ) .. c/ Biến đổi biểu thức sin x − 3 cos x về dạng A sin ( x + ϕ ) ; d/ Biến đổi biểu thức sin x + cos x về dạng A sin ( x + ϕ ) . 1. 7. Cho a − b =. π 2 2 . Tính giá trị biểu thức A = ( cos a + cos b ) + ( sin a + sin b ) 3. CÔNG THỨC NHÂN 1. 8. Tính a/ A = s in6o s in42o sin 66o sin 78o ;. 1. 9. b/ B = sin10o sin 50o sin 70o .. Chứng minh rằng a/ cot x + tan x = c/. 2 ; sin 2 x. b/ cot x − tan x = 2 cot 2 x ;. sin 2 x = tan x ; 1 + cos 2 x. www.mathvn.com. d/. 4. Lop12.net. 1 − cos 2 x = tan 2 x . 1 + cos 2 x. www.mathvn.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> www.MATHVN.com e/. sin 3 x cos 3 x + = 4 cos 2 x ; sin x cos x. f/ cos 4 x = 8cos 4 x − 8cos 2 x + 1 .. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 5π π . sin 24 24. 1. 10. a/ Tính sin. 1. 11. Biến đổi tích thành tổng. 1. 12. 1. 13. 1. 15. 1. 16. 5π 7π . sin 12 12. a/ A = 2 cos 5 x cos x ;. b/ B = 4sin x sin 2 x sin 3 x ;. c/ C = 2sin ( a + b ) cos ( a − b ) ;. d/ D = 2 cos ( a + b ) cos ( a − b ) ;. Biến đổi tổng thành tích : a/ A = sin x + sin 3 x + sin 5 x + sin 7 x ;. b/ B = cos 2a + cos 2b + cos 2 ( a + b ) + 1. c/ C = 1 − sin x ;. d/ D = 1 + 2 cos x .. e/ E = sin a + sin b + sin ( a + b ) ;. f/ F = 1 + sin a + cos a .. Rút gọn biểu thức a/ A =. 1. 14. b/ Tính cos. cos 2a − cos 4a ; sin 4a + sin 2a. b/ B =. sin α + sin 3α + sin 5α . cos α + cos 3α + cos 5α. Chứng minh rằng a/ cos 5 x cos 3x + sin 7 x sin x = cos 2 x cos 4 x ;. b/ sin 5 x − 2sin x ( cos 2 x + cos 4 x ) = sin x ;. π  π  3 c/ sin 2 x + sin 2  − x  + sin x sin  − x  = ; 3  3  4. π  π  1 d/ sin x sin  − x  sin  + x  = sin 3 x . 3  3  4. Chứng minh rằng a/ cos 4 x + sin 4 x =. 3 + cos 4 x ; 4. b/ cos 4 x − sin 4 x = cos 2 x ;. b/ cos 6 x + sin 6 x =. 5 + 3cos 4 x ; 8. c/ cos 6 x − sin 6 x =. c/ cos8 x − sin 8 x =. 7 cos 2 x + cos 6 x . 8. Tính S = cos. www.mathvn.com. π 7. − cos. 15cos 2 x + cos 6 x ; 16. 2π 3π . + cos 7 7. 5. Lop12.net. www.mathvn.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> www.MATHVN.com § 2 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. LÝ THUYẾT. 1. Hàm số sin : f ( x ) = sin x. 2. Hàm số côsin : f ( x ) = cos x. Tập xác định D = ℝ .. Tập xác định D = ℝ .. Tập giá trị [ −1;1] .. Tập giá trị [ −1;1] .. Nhận xét. Nhận xét. sin x = 1 ⇔ x =. π 2. cos x = 1 ⇔ x = k 2π. + k 2π. sin x = −1 ⇔ x = −. π 2. cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π. + k 2π. cos x = 0 ⇔ x =. π 2. + kπ. sin x = 0 ⇔ x = kπ. 3. Hàm số tang : f ( x ) = tan x. Điều kiện xác định : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠. π 2. 4. + kπ .. Điều kiện xác định : sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ .. π  Tập xác định : D = ℝ \  + kπ  . 2 . Tập xác định D = ℝ \ {kπ } . Tập giá trị ℝ .. Tập giá trị : ℝ. Nhận xét cot x = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =. Nhận xét tan x = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ B. BÀI TẬP. 1. 17. Tìm tập xác định của mội hàm số sau đây :. 1. 18. a/ f ( x ) =. sin x + 1 ; sin x − 1. b/ f ( x ) =. c/ f ( x ) =. cot x ; sin x + 1. π  d/ y = tan  x +  . 3 . π 2. + kπ. 2 tan x + 2 ; cos x − 1. Tìm tập xác định của mội hàm số sau đây : a/ y = 1 − cos x ;. c/ y =. 1. 19. Hàm số côtang : f ( x ) = cot x. b/ y = 3 − sin x ;. cos x ; sin ( x − π ). d/ y =. 1 − cos x . 1 + sin x. Tìm GTLN và GTNN của hàm số a/ y = 3cos x + 2 ;. www.mathvn.com. b/ y = 5sin 3 x − 1 ;. 6. Lop12.net. www.mathvn.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> www.MATHVN.com. 1. 20. π  c/ y = 4 cos  2 x +  + 9 ; 5 . d/ f ( x ) = sin x + cos x ;. e/ f ( x ) = cos x − 3 sin x ;. f/ y = 5 + sin x − cos x ;.. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số a/ f ( x ) =. sin x ; cos x + 2. b/ f ( x ) = sin x + cos x ;. d/ y = x cos x .. c/ y = 3cos 2 x − 5sin x. 1. 21. Cho hàm số y = 3cos 2 x . a/ Chứng minh rằng hàm số đã cho là hàm số chẵn. b/ Chứng minh rằng hàm số đã cho có chu kỳ T = π . c/ vẽ đồ thị hàm số đã cho.. 1. 22. Tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số a/ f ( x) = sin11 x + cos11 x ;. b/ f ( x) = sin 4 x + cos 4 x ;. c/ f ( x) = sin 6 x + cos 6 x ;. d/ f ( x) = sin 2 n x + cos 2 n x , với n ∈ ℕ * .. § 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A. LÝ THUYẾT. 1. Phương trình sinx = m. Xét phương trình sin x = m * Với m ∉ [−1;1] , phương trình sin x = m vô nghiệm. * Với m ∈ [−1;1] , tồn tại số α sao cho sin α = b .  x = α + k 2π sin x = m ⇔ sin x = sin α ⇔   x = π − α + k 2π.. (k ∈ℤ).  −π π  Chú ý Với mỗi m cho trước mà m ≤ 1 , phương trình sinx = m có đúng một nghiệm trong đoạn  ;  .  2 2. Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arcsin m . Khi đó  x = arcsin m + k 2π sin x = m ⇔   x = π − arcsin m + k 2π . 2. Phương trình cosx = m. * Với m ∉ [−1;1] , phương trình cos x = m vô nghiệm. * Với m ∈ [−1;1] , tồn tại số α sao cho cos α = m .. www.mathvn.com. 7. Lop12.net. www.mathvn.com.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> www.MATHVN.com  x = α + k 2π cos x = m ⇔ cos x = cos α ⇔   x = −α + k 2π.. (k ∈ℤ). Chú ý Với mỗi m cho trước mà m ≤ 1 , phương trình cosx = m có đúng một nghiệm trong đoạn [ 0; π ] .. Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arccos m . Khi đó  x = arccos m + k 2π cos x = m ⇔   x = − arccos m + k 2π . 3. Phương trình tanx = m, cotx = m Các phương trình trên luôn có nghiệm. Với mọi số thực α , ta có tan x = tan α ⇔ x = α + k π .. (k ∈ℤ). cot x = cot α ⇔ x = α + k π .. (k ∈ℤ). Chú ý.  π π i) Với mọi số m cho trước, phương trình tan x = m có duy nhất một nghiệm trong khoảng  − ;  .  2 2 Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arctan m . Khi đó tan x = m ⇔ x = arctan m + kπ .. ii) Với mọi số m cho trước, phương trình cot x = m có duy nhất một nghiệm trong khoảng ( 0; π ) . Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arc cot m . Khi đó cot x = m ⇔ x = arc cot m + kπ .. Công thức ngiệm của phương trình lượng giác. u = v + k 2π sin u = sin v ⇔  u = π − v + k 2π. u = v + k 2π cos u = cos v ⇔  u = −v + k 2π. tan u = tan v ⇔ u = v + kπ. cot u = cot v ⇔ u = v + kπ. với k ∈ ℤ. (trong điều kiện biểu thức có nghĩa) Một số trường hợp đặc biệt sin u = 1 ⇔ u =. π 2. cos u = 1 ⇔ u = k 2π. + k 2π. sin u = −1 ⇔ u = −. π 2. cos u = −1 ⇔ u = π + k 2π. + k 2π. cos u = 0 ⇔ u =. sin u = 0 ⇔ u = kπ. www.mathvn.com. π 2. + kπ. tan u = 0 ⇔ u = kπ. 8. Lop12.net. www.mathvn.com.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> www.MATHVN.com cot u = 0 ⇔ u =. π 2. + kπ. B. BÀI TẬP. 1. 23. Giải phương trình : a/ sin x = sin. π 6. b/ 2sin x + 2 = 0 ;. ;. d/ sin ( x + 20o ) = sin 60o ;. e/ cos x = cos. g/ cos ( 2 x + 15o ) = −. h/ t an3 x = −. 2 ; 2. j/ tan ( 2 x + 10o ) = tan 60o ; 1. 24. i/ tan ( 4 x + 2 ) = 3 ;. l/ cot ( x + 2 ) = 1 .. Giải các phương trình sau : 1 ; 4. b/ 4 cos 2 2 x − 3 = 0 ; d/ cos 2 3 x + sin 2 2 x = 1 .. Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho : b/ cot ( x − 5 ) = 3 với −π < x < π .. a/ 2sin 2 x + 1 = 0 với 0 < x < π ;. 1. 29. 1 ; 3. d/ sin 3 x = cos 2 x .. π  c/ cos 2  2 x −  = sin 2 x ; 4 . 1. 28. f/ 2 cos 2 x + 1 = 0 ;. ;. b/ cos ( 2 x + 1) = cos ( 2 x − 1) ;. 2x +1 1 + tan = 0 ; 6 3. a/ cos 2 2 x =. 1. 27. 2 ; 3. Giải phương trình :. c/ tan. 1. 26. 4. k/ cot 4 x = 3 ;. π  π  a/ sin  2 x −  = sin  + x  ; 5  5 . 1. 25. π. c/ sin ( x − 2 ) =. Giải các phương trình sau : a/ sin x + cos x = 1 ;. b/ sin 4 x − cos 4 x = 1 ;. c/ sin 4 x + cos 4 x = 1 ;. d/ sin 3 x cos x − cos3 x sin x = 2 / 8 .. Giải các phương trình sau : a/ cos 2 x − 3 sin x cos x = 0 ;. b/. 3 cos x + sin 2 x = 0 ;. π  c/ 8sin x.cos x.cos 2 x = cos8  − x  ;  16 . π  d/ sin 4  x +  − sin 4 x = sin 4 x . 2 . Giải phương trình : a/ cos 7 x.cos x = cos 5 x.cos 3 x ;. www.mathvn.com. b/ cos 4 x + sin 3x.cos x = sin x.cos 3 x ;. 9. Lop12.net. www.mathvn.com.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> www.MATHVN.com c/ 1 + cos x + cos 2 x + cos 3x = 0 ; 1. 30. d/ sin 2 x + sin 2 2 x + sin 2 3 x + sin 2 4 x = 2 .. Giải các phương trình sau : a/ sin 2 x sin 5 x = sin 3 x sin 4 x ;. b/ sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = 0 ;. c/ sin 2 x + sin 2 3x = 2sin 2 2 x ; 1. 31. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau : a/ y = tan x ; d/ y =. 1. 32. d/ sin x + sin 3 x + sin 5 x = cos x + cos 3x + cos 5 x .. b/ y = cot 2 x ;. sin ( 2 − x ) ; cos 2 x − cos x. e/ y =. c/ y =. tan x ; 1 + tan x. f/ y =. 2 cos x + 1 ; 2 cos x − 1. 1 . 3 cot 2 x + 1. Giải phương trình : a/. 2 cos 2 x =0 ; 1 − sin 2 x. b/. tan x − 3 =0 ; 2 cos x + 1. .. c/ sin 3 x cot x = 0 ;. d/ tan 3 x = tan x .. 1. 33. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; π ) của phương trình 4 cos 3 x cos 2 x + 2 cos 3 x + 1 = 0 .. §4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. DẠNG at 2 + bt + c = 0 ( a ≠ 0 ), với t là một hàm số lượng giác (sinx, cosx, tanx, cotx,. α sin x + β cos x , sin (α x + β ) , B. BÀI TẬP. 1. 34. Giải phương trình :. 1. 35. 1. 36. 1. 37. 1 , …) sin x. a/ 2 cos 2 x − 3cos x + 1 = 0 ;. b/ cos 2 x + sin x + 1 = 0 ;. c/ 2sin 2 x + 5sin x − 3 = 0 ;. d/ cot 2 3x − cot 3 x − 2 = 0 ;. Giải phương trình : a/ 2 cos 2 x + 2 cos x − 2 = 0 ;. b/ cos 2 x + cos x + 1 = 0 ;. c/ cos 2 x − 5sin x − 3 = 0 ;. d/ 5 tan x − 2 cot x − 3 = 0 .. Giải các phương trình lượng giác sau : x x a/ sin 2 − 2 cos + 2 = 0 ; 2 2. x b/ cos x + 5sin − 3 = 0 ; 2. c/ cos 4 x − sin 2 x −1 = 0 ;. d/ cos 6 x − 3cos 3 x − 1 = 0 .. Giải các phương trình : a/ tan 2 x +. (. ). 3 − 1 tan x − 3 = 0 ;. b/. 10. Lop12.net. (. ). 3 tan 2 x − 1 − 3 tan x − 1 = 0 ;.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> www.MATHVN.com c/ 2 cos 2 x − 2 1. 38. (. ). 3 + 1 cos x + 2 + 3 = 0 ;. d/. Giải các phương trình sau : a/ cos 5 x cos x = cos 4 x.cos 2 x + 3cos 2 x + 1 ; 4sin 2 2 x + 6sin 2 x − 9 − 3cos 2 x =0 ; cos x. c/. 1. 39. b/ 2 cos 6 x + sin 4 x + cos 2 x = 0 ; d/ 2 cos 2 x + cos 2. x  5π  7 1 − 10 cos  − x  + = cos x . 2  2  2 2. Giải các phương trình : a/ 3 tan 2 x −. 5 +1 = 0 ; cos x. 1 1 ; = cos x + 2 cos x cos x. b/ cos 2 x +. d/ tan 2 x + cot 2 x + 2 ( tan x + cot x ) = 6 .. c/ 5sin 2 x + sin x + cos x + 6 = 0 ;. 1. 40. 1 − ( 2 + 3 ) tan x − 1 + 2 3 = 0 . cos 2 x. Giải phương trình 2 ( tan x − sin x ) + 3 ( cot x − cos x ) + 5 = 0 .. §5 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x VÀ cos x A. LÝ THUYẾT Dạng a sin x + b cos x = c ( a 2 + b 2 ≠ 0 ). Cách giải -. Chia hai vế của phương trình cho. a 2. a +b. 2. sin x +. b 2. a +b. 2. cos x =. 2. -. a 2 + b 2 , phương trình trở thành. c 2. a + b2. ;. 2.     a b  +   = 1 nên có góc α sao cho Vì   a 2 + b 2   a 2 + b 2 . a a2 + b2. ta có phương trình tương đương : sin x cos α + cos x sin α =. -. Áp dụng công thức cộng, ta được phương trình sin ( x + α ) =. = cos α và. c 2. a + b2 c 2. a + b2. b a2 + b2. ;. .. Dể dàng giải được phương trình này. Nhận xét. -. Phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm khi và chỉ khi a 2 + b 2 ≥ c 2 .. -. Các phương trình a sin x − b cos x = c , a cos x ± b sin x = c cũng được giải tương tự.. B. BÀI TẬP. 1. 41. Giải phương trình :. 11. Lop12.net. = sin α ,.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> www.MATHVN.com a/. 1. 42. 1. 43. 3 sin x − cos x = 1 ;. b/. c/ 3cos x + 4sin x = −5 ;. d/ sin x − 7 cos x = 7 ;. e/ 2sin 2 x − 2 cos 2 x = 2 ;. f/ sin 2 x = 3 − 3 cos 2 x .. Giải phương trình : a/ 2sin 2 x + 3 sin 2 x = 3 ;. b/ 2 cos 2 x − 3 sin 2 x = 2 ;. c/ 2sin 2 x cos 2 x + 3 cos 4 x + 2 = 0 ;. d/ 4sin 2 x + 3 3 sin 2 x − 2 cos 2 x = 4 .. Giải các phương trình sau :. π  b/ cos x − 3 sin x = 2 cos  − x  ; 3 . a/ sin 3 x − 3 cos 3x = 2 cos 4 x ;. c/ 1. 44. 3 cos 3 x − sin 3 x = 2 ;. d/ sin 8 x − cos 6 x = 3 ( sin 6 x + cos8 x ) .. 3 sin 2 x + cos 2 x = 2 cos x − 2 sin x ;. Giải các phương trình sau :. π π π    a/ 3sin  x −  + 4sin  x +  + 5sin  5 x +  = 0 ; 3 6 6   . π π 3 5   b/ 2sin  x +  + 4sin  x −  = . 4 4 2   1. 45. Giải các phương trình sau : a/ 3sin x − 3 cos 3 x = 1 + 4sin 3 x ;. b/. 3 cos 5 x − 2sin 3x cos 2 x − sin x = 0 ;. 2. x x  c/  sin + cos  + 3 cos x = 2 ; 2 2 . d/ 8cos 2 x =. 1. 46.  2π 6π  Tìm x ∈  ,  thỏa phương trình cos 7 x − 3 sin 7 x = −2  5 7 . 1. 47. Cho phương trình 2sin 2 x − sin x cos x − cos 2 x = m. 3 1 . + sin x cos x. a/ Tìm m để phương trình có nghiệm. b/ Giải phương trình với m = −1 . 1. 48. Cho phương trình sin 2 x − 2m cos x = sin x − m . Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc  3π  đoạn 0;  .  4 . 1. 49. Giải các phương trình a/ 8sin x =. 3 1 ; + cos x sin x. b/ 2 sin x =. 3 tan x − 1. 2 sin x − 1. §6 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO sin x VÀ cos x. 12. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> www.MATHVN.com A. LÝ THUYẾT Dạng a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0. ( a2 + b2 + c2 ≠ 0 ). Cách giải -. Xét xem x =. -. Với x ≠. π + k π có thỏa phương trình không ; 2. π + k π ( cos x ≠ 0 ), chia hai vế của phương trình cho cos 2 x để đưa về phương trình theo 2. tan x .. Chú ý -. Đồi với các phương trình a sin 2 x + b sin x cos x = 0 , b sin x cos x + c cos 2 x = 0 ta có thể giải bằng cách đưa về phương trình tích.. -. Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi, phương trình thuần nhất bậc hai được chuyển thành phương trình bậc nhất theo sin 2x và cos 2x .. -. Với hằng đẳng thức d = d sin 2 x + d cos 2 x , phương trình a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = d cũng được xem là phương trình thuần nhất.. B. BÀI TẬP. 1. 50. Giải phương trình :. 1. 51. b/ sin 2 x + sin 2 x − 2 cos 2 x =. c/ 2sin 2 x + 3 3 sin x cos x − cos 2 x = 4 ;. d/ cos 2 2 x + sin 4 x − 3sin 2 2 x = 0 .. Giải pương trình : a/ 2sin 2 x + 3 sin x cos x − cos 2 x = 2 ; c/. 1. 52. b/ sin 2 x +. 3 sin 2 x − sin x cos x = 0 ;. (. ). 3 − 1 sin x cos x − 3 cos 2 x = 0 ;. d/ cos 2 x = 3sin 2 x + 3 .. Giải pương trình : a/ sin 2 x + 3 sin x cos x + 2 cos 2 x =. c/ 4sin 2 1. 53. 1 ; 2. a/ 3sin 2 x − sin x cos x − 2 cos 2 x = 3 ;. 3+ 2 ; b/ 2. (. x x + 3 3 sin x − 2 cos 2 = 4 ; 2 2. ). 3 + 1 sin 2 x − 3 sin 2 x +. (. ). 3 − 1 cos 2 x = 0 ;. d/ 3cos 2 4 x + 5sin 2 4 x = 2 − 3 sin 8 x .. Giải các phương trình sau : a/ 4sin x + 6 cos x =. π  b/ sin x sin  x +  − 2 cos 2 x = 0 ; 4 . 1 ; cos x. c/ sin 3 x + cos3 x = sin x − cos x ;. d/ sin x sin 2 x + sin 3 x = 6 cos 3 x .. 13. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> www.MATHVN.com. BAI TẬP LÀM THÊM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. 54. Giải các phương trình lượng giác sau đây : 1 ; 2. b/ 2 cos x + 1 = 0 ;. c/ tan 3 x = 1 ;. d/ 4 cos x + 1 = 0 .. a/ sin x =. 1. 55. Giải phương trình a/ sin 4 x + cos 5 x = 0 ;. b/ sin 3 x − cos 6 x = 0 ;. 2π =0 ; 5. x  d/ cot  + 20o  = 3 . 4 . c/ tan 5 x + cot. 1. 56. Giải phương trình. (. ). a/ cos 3 x + 600 =. (. 2 ; 2. Giải phương trình. π π 3 2   a/ 2sin  x +  + cos  x −  = ; 4 4 2   1. 58. 3 ; 3. d/ sin ( x + 240 ) + cos ( x + 1440 ) = cos 200 .. c/ cos(2 x + 45o ) + cos x = 0 ; 1. 57. ). b/ cot 2 x + 400 =. π  b/ 8cos3  x +  = cos 3x . 3 . a/ Chứng minh rằng 4sin 3 x cos 3 x + 4 cos3 x sin 3x = 3sin 4x .. b/ Giải phương trình sin 3 x cos 3 x + cos3 x sin 3 x = sin 3 4x . 1. 59. 1. 60. Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho :. π  2 2π π  a/ sin  2 x −  = với − <x< ; 3 2 12  2 . b/ cos ( 2 x + 1) =.  π π c/ tan ( 3x + 2 ) = 3 với x ∈  − ;  ;  2 2. d/ tan 2 x = 3 với x ∈ ( −π ; π ) .. Giải phương trình b/ sin 5 x − 2sin x ( cos 2 x + cos 4 x ) = 1 ;. a/ 2sin x cos 2 x cos 3 x = sin 2 x ; c/ sin 3 x − sin x − sin 2 x = 0 ;. 1. 61. 1 với x ∈ ( −π ; π ) ; 2. d/ 3sin 4 x + 2 cos 4 x + 3sin 2 x + 16 cos 2 x + 9 = 0 .. Giải phương trình : a/ tan 3x tan x + 1 = 0 ;. b/ sin 3 x cot x = 0 ;. 14. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> www.MATHVN.com c/ tan 3 x = tan x ; 1. 62. d/. 2 cos x + 2 = 0. tan x − 1. Giải phương trình : a/ 2sin x cos 2 x − 1 + 2 cos 2 x − sin x = 0 ;. b/ sin 3 x + cos3 x = cos 2 x ;. c/ (1 − tan x )(1 + sin 2 x ) = 1 + tan x ;. d/ tan x + cot 2 x = 2 ;. e/ sin x + cos x =. cos 2 x ; 1 − sin 2 x. g/ cos x − cos 3 x + cos 5 x =. 1 ; 2. f/. 1 + cos 2 x sin 2 x ; = cos x 1 − cos 2 x. (. ). h/ tan 2 x sin x + 3 sin x − 3 tan x − 3 3 = 0 .. 1. 63. Tìm x ∈ [0;14] nghiệm đúng phương trình cos 3 x − 4 cos 2 x + 3cos x − 4 = 0 .. 1. 64. a/ Hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình sin x = m , x ∈ [0;3π ] . b/ Hãy xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2m cos x − sin 2 x = 0 có đúng 7 nghiệm trong đoạn [0;3π] .. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. 65. Giải phương trình : b/ sin 2 x − 2 cos 2. c/ 1 + sin x sin 3 x = 0 ;. d/ 2sin 2 x − cos 2 x − 4sin x + 2 = 0 ;. e/ 8 ( sin 4 x + cos 4 x ) = 4sin x cos x + 7 ;. f/ sin 6 x + cos 6 x +. π  π  5 g/ cos 2  x +  + 4 cos  − x  = ; 3  6  2 1. 66. x 3 + =0 ; 2 4. a/ sin 3 x + 3sin 2 x + 2sin x = 0 ;. h/ 2 cos 2 x − sin 2. 3 = sin 2 x ; 4. x π  3 1 − 10 cos  − x  − = cos x . 2 2  2 2. Giải phương trình sau : a/ sin 2 x − cos 2 x = 5sin x + cos x − 3 ; c/. b/ sin 4 x − cos 2 x = 1 ;. 3 + 2 3 tan x − 6 = 0 ; cos 2 x. d/ sin 2 x + 2 tan x = 3 .. 1. 67. cos 3x + sin 3 x   Tìm nghiệm x ∈ [ 0; 2π ] của phương trình 5  sin x +  = cos 2 x + 3 . 1 + 2sin 2 x  . 1. 68. Giải các phương trình sau: a/ cot x − tan x + 4sin 2 x = c/. π  b/ tan 3  x −  = tan x − 1 ; 4 . 2 ; sin 2 x. cos 2 x + 3cot 2 x + sin 4 x =2 ; cot 2 x − cos 2 x. d/ cos 3 x + 3cos 2 x = 2(1 + cos x) .. 15. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> www.MATHVN.com PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO sinx VÀ cosx 1. 69. 1. 70. 1. 71. Giải các phương trình sau : a/ sin x + 3 cos x = 2 ;. b/ 2sin17 x + 3 cos 5 x + sin 5 x = 0 ;. π π   c/ cos  x −  + sin  x −  = 1 ; 6 6  . d/. π π   2 cos  x +  − 6 sin  x +  = 2 . 4 4  . Giải các phương trình sau : a/ 1 − cos x = 3 sin x ;. π  b/ cos x − 3 sin x = 2 cos  − x  ; 3 . c/ sin 4 x − cos 2 x = 3 ( sin 2 x + cos 4 x ) ;. d/ ( sin x − cos x ) + 3 sin 2 x = 2 . 2. Giải các phương trình sau :. π 1  a/ cos 4 x + sin 4  x +  = ; 4 4  c/. b/ sin 3 x + cos3 x = sin x − cos x ;. π  3 cos 2 x + sin 2 x + 2sin  2 x −  = 2 2 ; 6 . e/ 3cos x − 4sin x +. d/ tan x − 3cot x = 4(sin x + 3 cos x) ;. 2 =3 ; 3cos x − 4sin x − 6. π  π   f/ 8sin x sin 2 x + 6sin  x +  cos  − 2 x  = 5 + 7 cos x . 4  4  1. 72. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình sau có nghiệm :. π  b/ m sin  x −  + sin x = 2 − cos x . 4 . a/ m sin x − ( m + 1) cos x = 2 ;. sin x + 1 nhận giá trị nguyên. cos x + 2. 1. 73. Tìm x sao cho biểu thức y =. 1. 74. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : a/ a sin x + b cos x. (a, b là các hằng số và a 2 + b 2 ≠ 0 ) ;. b/ sin 2 x + sin x cos x + 3cos 2 x . 1. 75. 1. 76. Giải các phương trình sau : a/ 3sin 2 x + 8sin x cos x + 4 cos 2 x = 0 ;. b/ 4sin 2 x + 3 3 sin 2 x − 2 cos 2 x = 4 ;. c/ sin 3 x + 2sin x.cos 2 x + 3cos3 x = 0 ;. d/ 6sin x − 7 cos3 x = 5sin 2 x cos x .. Giải các phương trình sau : b/ 5 (1 + cos x ) + cos 4 x − sin 4 = 2 ;. a/ 1 + 3 tan x = 2sin 2 x ;. 16. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> www.MATHVN.com c/ sin x cos 4 x − sin 2 2 x + 2sin x + e/. π  d/ 1 + sin x sin 2 x − cos x sin 2 x = 2 cos 2  − x  ; 4 . 3 =0 ; 2. sin 5 x cos 5 x − =0 ; sin x cos x. g/ sin 8 x + cos8 x =. f/ tan x + cot 4 x =. 17 cos 2 2 x ; 16. h/ cos 2. 2 ; sin 2 x. x x π = tan 2 x.sin 2  −  ; 2 2 4. i/ (1 + sin x + 2 cos x ) cos 2 x − sin 2 x = 1 ;. j/ cos x + cos 2 3x − sin 2 2 x = 0 trên [ 0;π ] ;. k/ cos 2 3 x cos 2 x − cos 2 x = 0 ;. l/ sin 5 x = 5sin x ;. 1 m/ (1 + sin 2 x ) cos x + (1 + cos 2 x ) sin x = 1 + sin 2 x . 2 1. 77. Tìm các nghiệm thuộc khoảng ( 0;2π ) của phương trình sin x +. cos 3 x + sin 3 x = cos 2 x + 3 . 1 + 2sin 2 x. GIỚI THIỆU MỘT SỐ PTLG TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Giải các phương trình lượng giác sau đây :. 1). cos 4 x + 12sin 2 x − 1 = 0 ;. (CĐ – 2011). 2). sin 2 x + 2 cos x − sin x − 1 =0 ; tan x + 3. (Khối D – 2011). 3). sin 2 x cos x + sin x cos x = cos 2 x + sin x + cos x ;. (Khối B – 2011). 4). 1 + sin 2 x + cos 2 x = 2 sin x sin 2 x ; 1 + cot 2 x. (Khối A – 2011). 5). sin 2 x − cos 2 x + 3sin x − cos x − 1 = 0 ;. (Khối D - 2010). 6). ( sin 2 x + cos 2 x ) cos x + 2 cos 2 x − sin x = 0 (1 + sin x + cos 2 x ) sin  x + . 7). (Khối B - 2010). ;. π.  4. 1 + tan x. =. 1 cos x ; 2. (Khối A - 2010). 8). (1 − 2sin x ) cos x = (1 + 2sin x )(1 − sin x ). 9). sin x + cos x.sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 ( cos 4 x + sin 3 x ) ;. 10) 11). (Khối A – 2009). 3 ;. 3 cos 5 x − 2sin 3 x.cos 2 x − sin x = 0 ; 1 + sin x. (Khối B – 2009) (Khối D – 2009).  7π  = 4sin  − x ; 3π    4  sin  x −  2   1. (Khối A – 2008). 17. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> www.MATHVN.com 12). 2sin x (1 + cos 2 x ) + sin2x = 1 + 2 cos x ;. (Khối B – 2008). 13). sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x ;. (Khối D – 2008). 14). 2sin 2 2 x + sin 7 x − 1 = sin x ;. (Khối B – 2007). 15). x x   sin + cos  + 3 cos x = 2 ; 2 2 . (Khối D – 2007). 16). cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0 ;. (Khối D – 2006). 17). x  cot x + sin x  1 + tan x tan  = 4 ; 2 . (Khối B – 2006).. 2. 18). 2 ( cos 6 x + sin 6 x ) − sin x cos x 2 − 2sin 2 x. =0 ;. (Khối A – 2006).. 19). π  π 3  cos 4 x + sin 4 x + cos  x −  sin  3 x −  − = 0 ; 4  4 4 . (Khối D – 2005).. 20). 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0 ;. (Khối B – 2005).. 21). cos 2 3 x cos 2 x − cos 2 x = 0 ;. (Khối A – 2005).. 22). ( 2 cos x − 1)( 2sin x + cos x ) = sin 2 x − sin x. 23). 5sin x − 2 = 3 (1 − sin x ) tan 2 x ;. (Khối B – 2004).. 24). x x π sin 2  −  tan 2 x − cos 2 = 0 ; 2 2 4. (Khối D – 2003).. 25). cot x − 1 =. 26). cos 2 3x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x ;. (Khối D – 2004).. ;. cos 2 x 1 + sin 2 x − sin 2 x ; 1 + tan x 2. (Khối A – 2003). (Khối B – 2002).. Trường THPT NGUYỄN KHUYẾN. ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 1 NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN TOÁN LỚP 11 – CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ( thời gian làm bài : 60 phút). Bài 1. ( 6 điểm ) Giải các phương trình sau đây : a/ 2 sin 2 x + 3 = 2sin 2 x ;. b/ 1 + sin x.sin 3 x = 0 ;. 3 cos x = sin x − 1 ;. d/ 1 + tan x.tan 2 x = 0 .. c/. 18. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> www.MATHVN.com Bài 2 (2 điểm ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( d ): 2 x − 5 y + 4 = 0 a/ Tìm phương trình ảnh của (d) trong phép đối xứng tâm I (3; -2)   b/ Hãy xác định vec tơ v có giá song song với Ox, biết rằng trong phép tịnh tiến theo v ,. đường thẳng (d) có ảnh là một đường thẳng qua gốc O.. Bài 3 (2 điểm ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1 ; 4) và đường thẳng ∆ : x − 3y + 1 = 0 . Tìm tọa độ ảnh của M trong phép đối xứng qua đường thẳng ∆ . Suy ra phương trình ảnh của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 8 y + 3 = 0 trong phép đối xứng qua ∆ .. 19. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>