Một số bài toán về Hàm số

<span class='text_page_counter'>(1)</span> – Thư viện sách miễn phí. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ. 2m . x −1 a. Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu ; b. . Tìm quỹ tích các ñiểm cực ñại. HDGiải: a/ Hàm số có cực trị khi m > 0 . 2m b/ Ta có: xCD = 1 − m < 1 ⇒ yCD = 2 xCD − 1 + = 2 xCD − 1 − 2(1 − xCD ) = 4 xCD − 3 . Vậy quĩ tích các − m ñiểm cực ñại là phần ñường thẳng y = 4x – 3 ứng với x < 1. − x2 − x −1 Bài 2/ Cho hàm số: y = (C) x +1 a. Tìm m ñể (Dm): y = mx − 1 cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt mà cả hai ñiểm ñó thuộc cùng một nhánh. b. Tìm quỹ tích trung ñiểm I của MN. − x2 − x −1 HDGiải: a/ Phương trình: = mx − 1 ⇔ ( m + 1) x + m  x = 0 có một nghiệm x = 0 nên ñể hai x +1 giao ñiểm ở cùng một nhánh thì: − m /(m + 1) > −1 ⇔ 1/(m + 1) > 0 ⇒ m > −1 . b/ Ta có: xI = − m / 2(m + 1) > −1/ 2 ⇒ m = − xI /(2 xI + 1) ⇒ yI = mxI − 1 = − xI2 /(2 xI + 1) − 1 = −( xI2 + 2 xI + 1) /(2 xI + 1) . −x2 − 2x −1 Vậy quỹ tích trung ñiểm I của MN là nhánh bên phải của ñths y = . 2x + 1 Bài 3/ Cho hàm số: y = x 3 − 3 x 2 + m 2 x + m (C m ) . Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu ñối xứng nhau qua ñường thẳng (D) có phương trình 1 5 y = x− . 2 2 2 2 HDGiải: Ta có: y ' = 3 x − 6 x + m . ðể hs có cực trị thì ∆ ' = 9 − 3m 2 > 0 ⇒ − 3 < m < 3 . Gọi I là trung ñiểm của ñoạn thẳng nối hai ñiểm cực trị thì xI = 1 . Do pt của ñt ñi qua hai ñiểm cực trị là. Bài 1/ Cho hàm số y = 2 x − 1 +. 2 m2 y = (m 2 − 3) x + + m ⇒ yI = m 2 + m − 2 . ðể các ñiểm cực trị của ñths ñx nhau qua (D) thì: 3 3 1 2 2 m = 0  . (m − 3) = −1 ⇔ ⇒ m = 0. 2 3 m 0; 1 = − 2  m + m − 2 = 1.1/ 2 − 5 / 2 . x 2 + mx − m + 8 . Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu nằm về hai phía x −1 ñường thẳng 9 x − 7 y − 1 = 0 . HDGiải: ðặt F(x,y)= 9x-7y-1. Hàm số có hai ñiểm cực trị là: A( -2; m – 4 ) và B( 4; m + 8 ). ðể hai ñiểm cực trị này nằm về hai phía của ñt trên thì: F(A).F(B)<0 ⇔ ( - 7m – 21 )( 9 – 7m ) < 0 ⇒ −3 < m < 9 / 7 . Bài 5/ Cho hàm số y = x 3 − 3 x (1). Bài 4/ Cho hàm số y =. Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> – Thư viện sách miễn phí a) Chứng minh rằng khi m thay ñổi, ñường thẳng (D): y = m( x + 1) + 2 luôn cắt ñồ thị (1) tại một ñiểm A cố ñịnh. b) Tìm m ñể ñường thẳng ñó cắt (1) tại 3 ñiểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau. HDGiải: a/ Xét pt: x 3 − 3 x = m( x + 1) + 2 ⇔ ( x + 1)( x 2 − x − 2 − m) = 0 . Như vậy khi m thay ñổi thì (D) luôn cắt ñths(1) tại ñiểm A( - 1; 2 ) cố ñịnh. b/ ðể (D) cắt ñths(1) tại 3 ñiểm phân biệt thì pt x 2 − x − 2 − m = 0 (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác – 1; do ñó m > - 9/4 và m ≠ 0 . Khi ñó xB , xC là hoành ñộ của B,C và là nghiệm của (*) . Ta có:. xB + xC = 1& xB xC = − m − 2 . ðể tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau thì y '( xB ). y '( xC ) = 9( xB2 − 1)( xC2 − 1) = 9 ( xB xC )2 − ( xB + xC ) 2 + 2 xB xC + 1 = 9 ( m + 2) 2 − 1 + 2( − m − 2) + 1 = 9( m 2 + 2m) = ⇒ m = −1 ổ 2 2 / 3 (thỏa mãn ựk). đó chắnh là những gt của m cần tìm. x 2 − 3x + 2 Bài 6/ Cho hàm số y = (C) tìm trên ñường thẳng x =1. Những ñiểm M sao cho từ M kẻ x ñược hai tiếp tuyến tới (C) mà hai tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau. HDGiải: Giả sử M(1;b) và pt của ñt (D) ñi qua M là: y = k(x – 1) + b. ðể (D) là tiếp tuyến của (C) thì x 2 − 3x + 2 = k ( x − 1) + b ⇔ (k − 1) x 2 + (b + 3 − k ) x − 2 = 0 ( vì pt không có pt sau phải có nghiệm kép: x nghiệm với x = 0 ). ⇔ k ≠ 1& ∆ =  k − ( b + 3)  + 8(k − 1) = k 2 − 2(b − 1)k + (b + 3) 2 − 8 = 0(*).k ≠ 1 ⇔ b ≠ −2 . ðể qua M có 2. thể kẻ ñược hai tiếp tuyến tới (C) vuông góc với nhau thì pt (*) phải có hai nghiệm có tích bằng -1 ⇔ (b + 3) 2 − 8 = −1 ⇒ b = −3 ± 7 (TMðK). Vậy trên ñt x = 1 có 2 ñiểm TMYCBT là M (1; −3 ± 7 ) .. Bài 7/ Cho hàm số: y = x 4 − x 2 + 1 (C ) Tìm những ñiểm thuộc Oy mà từ ñó có thể kẻ ñược ba tiếp tuyến tới (C). HDGiải: Gọi M (0; b) ∈ Oy và ptñt (D) qua M là y = kx + b. ðể (D) là tt của (C) thì hpt sau phải có nghiệm: x 4 − x 2 + 1 = kx + b & k = 4 x3 − 2 x ⇒ b = −3 x 4 + x 2 + 1 = f ( x); f '( x) = −12 x3 + 2 x = −2 x(6 x 2 − 1) x. −∞. f’(x). +. −1/ 6 0. -. 0 0. +. 1/ 6 0. +∞ -. f(x) −∞. 1. −∞. x 2 + mx − 8 x−m a. Tìm m ñể hàm số có cực trị. Khi ñó hãy viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm cực ñại, cực tiểu. b. Xác ñịnh m ñể ñồ thị cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt và tiếp tuyến tại hai ñiểm ñó vuông góc với nhau. HDGiải: a/ Ta có: y ' = ( x 2 − 2mx − m 2 + 8) /( x − m)2 . ðể hs có cực trị thì pt y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác m. Bài 8/ Cho hàm số: y =. Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> – Thư viện sách miễn phí. ⇔ ∆ ' = 2m 2 − 8 > 0 ⇔ m > 2 (vì khi ñó pt y’ = 0 sẽ có hai nghiệm phân biệt khác m ). Hai nghiệm của pt y’ = 0 là xCD , xCT ; yCD = 2 xCD + m, yCT = 2 xCT + m . Vậy pt của ñt ñi qua ñiểm Cð và ñiểm CT là y = 2x + m. b/ Với m ≠ ±2 thì ñths luôn cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt ( vì ac = - 8 < 0 ). Gọi hoành ñộ của hai giao ñiểm này là x1 , x2 ⇒ x1 + x2 = − m; x1 x2 = −8 . ðể tt với ñths tại hai giao ñiểm vuông góc với nhau thì:  8 − 2m 2   8 − 2m 2  (8 − 2m 2 )(5m 2 + 16) (8 − 2m 2 ) 2 5m 2 + 16 y '( x1 ) y '( x2 ) = 1 + 1+ = 1+ + = 2− = −1 ⇒ m = ±2 2 2 (2m 2 − 8) 2 (2m 2 − 8) 2 2m 2 − 8  ( x1 − m)   ( x2 − m)  Bài 9/ Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 4 (C) Tìm trên trục hoành những ñiểm mà từ ñó kẻ ñược ba tiếp tuyến tới ñồ thị của hàm số (C). HDGiải: Gọi M (a;0) ∈ Ox ; ñt (D) ñi qua M có pt là: y = k(x - a). ðể (D) là tt của (C) thì hpt sau phải có nghiệm: − x3 + 3 x 2 − 4 = k ( x − a ) & k = −3 x 2 + 6 x . ðể qua M có thể kẻ ñược 3 tt tới (C) thì pt sau phải có 3 nghiệm phân biệt f ( x) = 2 x3 − 3(a + 1) x 2 + 6ax − 4 = 0 . Do f '( x) = 6 x 2 − 6(a + 1) x + 6a = 0 khi x = 1 và x = a nên ñể pt f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì: f CD . f CT = −(a − 2) 2 (a + 1)(3a − 5) < 0 ⇒ a ∈ (−∞; −1) ∪ (5 / 3; 2) ∪ (2; +∞ ) . x +1 Bài10/ Cho hàm số: y = x −1 a/ Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của ñths ñều tạo với hai ñường tiệm cận một ñoạn thẳng mà tiếp ñiểm là trung ñiểm của nó. b/ Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của ñồ thị ñều lập với hai ñường tiệm cận một tam giác có diện tích không ñổi. c/ Tìm tất cả các ñiểm thuộc ñồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại ñó lập với hai ñường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. −2 −2( x − a ) a + 1  a +1  HDGiải: a/Do y ' = nên pttt với ñths tại ñiểm M  a; + . Tt này  là: y = 2 ( x − 1) (a − 1) 2 a −1  a −1  cắt các tiệm cận x = 1 và y = 1 tại các ñiểm: A(1; (a + 3) /(a − 1)), B (2a − 1;1) suy ra M là trung ñiểm của AB ( vì tọa ñộ trung ñiểm của AB bằng tọa ñộ của M ). b/ Gọi I là giao của hai tiệm cận. Ta có IA = (a + 3) /(a − 1) − 1 = 4 / a − 1 ; IB = (2a − 1) − 1 = 2 a − 1 ⇒ S IAB = IA.IB / 2 = 4 không ñổi ( ñpcm ) c/ Ta có chu vi tam giác IAB: CIAB = IA + IA + IA2 + IB 2 ≥ 2 IA.IB + 2 IA.IB = 2 8 + 16 = 4( 2 + 1) . Vậy chu vi tam giác IAB có giá trị nhỏ nhất bằng 4( 2 + 1) khi IA = IB tức (a − 1) 2 = 2 ⇒ a = 1 ± 2 . Như vậy trên ñths có hai ñiểm TMYCBT là: M 1 (1 + 2;1 + 2), M 2 (1 − 2;1 − 2) . x 2 + 4x + 5 Bài 11/ Cho hàm số: y = (H ) x+2 Tìm M thuộc (H) sao cho khoảng cách từ M ñến (D): 3 x + y + 6 = 0 nhỏ nhất.. Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> – Thư viện sách miễn phí HDGiải: Giả sử M (a; a + 2 + 1/(a + 2)), (a ≠ −2) ⇒ d ( M ;( D )) = 4(a + 2) + 1/(a + 2) / 10 = ( 4(a + 2) + 1/ a + 2 ) / 10 ≥ 4 / 10 = 2 10 / 5 . Vậy GTNN của k/c từ M tới (D) bằng 2 10 / 5 khi 4 a + 2 = 1/ a + 2 ⇒ a = −1, 5; −2, 5 ứng với hai ñiểm M 1 (−1,5; 2, 5), M 2 (−2,5; −2,5) . x 2 + 3x + 3 (C). x +1 Tìm hai ñiểm A, B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho ñộ dài ñoạn AB ngắn nhất. HDGiải: Gọi A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) ∈ (C )( x1 < −1 < x2 ) . ðặt. Bài 12/ Cho hàm số: y =. −1 − x1 = a, x2 + 1 = b ⇒ a, b > 0; AB 2 = (a + b) 2 + (a + b + 1/ a + 1/ b)2 (a + b) 2 1 + (1 + 1/ ab) 2  ≥ 4ab(2a 2b 2 + 2ab + 1) / a 2b 2 = 4(2ab + 1/ ab + 2) ≥ 4(2 2 + 2) = 8( 2 + 1) . Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1/ 4 2 ⇒ x1 = −1 − 1/ 4 2; x2 = 1/ 4 2 − 1 . 1 Bài 13/ Cho hàm số: y = x 3 − x + 1 (C) và hai ñiểm A(0;1), B(3;7) trên (C). Tìm M thuộc cung 3 AB của (C) sao cho diện tích ∆MAB lớn nhất. HDGiải: -Cách 1: pt ñt AB là: 2x – y + 1 = 0 . Gọi M ( x;1 − x + x 3 / 3) ⇒ d ( M ; AB ) = (9 x − x3 ) / 3 5 = f ( x) / 3 5(0 ≤ x ≤ 3) Ta có f '( x) = 9 − 3 x 2 = 0 ⇒ x = 3(0 ≤ x ≤ 3) nên BBT của hs như bên. 1 Do ñó: MaxS MAB = 3 5.2 3 / 5 = 3 3 ứng với 2 M ( 3;1) .. x. 0. f’(x). +. 3 0. 3 -. 2 3/5. f(x) 0. 0. -Cách 2: Diện tích ∆MAB lớn nhất khi M là tiếp ñiểm của tiếp tuyến với (C) song song với AB. Gọi M ( x0 ; y0 ) . Tiếp tuyến của (C) tại M song song với AB khi. y '( x0 ) = x02 − 1 = k AB = 2 ⇒ x0 = 3(0 ≤ x ≤ 3) ⇒ M ( 3;1) 1 ⇒ d ( M ; AB ) = 2 3 / 5 ⇒ MaxS MAB = 3 5.2 3 / 5 = 3 3 . 2 --------------------------- o0o ------------------------. Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>