Bài giảng Nhập môn lí thuyết xác suất và thống kê toán - ĐH Phạm Văn Đồng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (498.63 KB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN

BÀI GIẢNG

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN

BÀI GIẢNG

NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG

KÊ TỐN

Giảng viên : Võ Tuấn Thanh

Bộ môn

: Giáo dục tiểu học

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

LỜI NĨI ĐẦU

Lí thuyết xác suất và thống kê tốn hiện là một mơn học cơ bản, ngày càng được
ứng dụng rộng rãi trong khoa học kĩ thuật, giáo dục …. Vì vậy tài liệu, giáo trình để
tham khảo và học tập bộ môn này khá phong phú. Mặc dù vậy đối với học phần “Nhập
mơn lí thuyết xác suất và thống kê tốn” của chương trình cao đẳng sư phạm đào tạo
giáo viên tiểu học chưa có giáo trình chính thống.

So với yêu cầu chi tiết nội dung mà học phần mô tả, thì hầu hết các tài liệu và
giáo trình hiện có chưa đáp ứng được vấn đề tự học, tự nghiên cứu của sinh viên ở bậc
học này. Để giúp sinh viên học tập học phần này theo phương thức đào tạo theo hệ
thống tín chỉ như hiện nay, chúng tơi biên soạn bài giảng “Nhập mơn lí thuyết xác suất

và thống kê toán” trên cơ sở đề cương chi tiết, tham khảo nhiều tài liệu, nhằm tích cực
hố hoạt động, kích thích sự sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề cho người học.

Bài giảng này tương ứng với thời lượng 30 tiết. Nội dung gồm ba chương:
Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất.

Chương 2: Biến ngẫu nhiên.
Chương 3: Thống kê tốn.

Vì thời lượng chỉ gồm hai tín chỉ, yêu cầu người học chỉ tiếp cận ở mức độ nhập
môn, hơn nữa nội dung được biên soạn cho sinh viên bậc cao đẳng ngành giáo dục tiểu
học nên chúng tôi cố gắng diễn đạt các khái niệm và các kết luận dưới dạng ngôn ngữ
giản dị, thích hợp với đối tượng. Để có thể khai thác sâu hơn về kiến thức môn học
này, người học có thể tham khảo thêm các tài liệu [1], [2], [3] và [4].

Đây là lần đầu tiên biên soạn bài giảng này với phương thức đào tạo theo hệ
thống đào tạo tín chỉ, chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những sai sót, chúng tơi rất mong
nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cơ giáo và sinh viên trong nhà trường.

Xin chân thành cảm ơn.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Chương 1.

BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

A. MỤC TIÊU 
KIẾN THỨC:

Cung cấp cho người học những kiến thức về:
- Những khái niệm cơ bản về xác suất.

- Một số phương pháp định nghĩa xác suất thường sử dụng.
- Một số tính chất cơ bản của xác suất.

- Các cơng thức tính xác suất độc lập, xác suất điều kiện, dãy phép thử
Bécnuli.

KĨ NĂNG:

Hình thành và rèn luyện cho người học kĩ năng:

- Giải các bài toán về xác suất cổ điển, xác suất hình học, xác suất điều kiện…
- Vận dụng để xử lí các bài tốn xác suất trong thực tế và nghiên cứu khoa

học.
THÁI ĐỘ:

Chủ động tìm tịi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của xác suất trong thực tế.
B. NỘI DUNG

1.1. Khái niệm về biến cố. 
1.1.1. Phép thử

Định nghĩa: Phép thử là sự thực hiện một nhóm các điều kiện xác định (có thể
được lặp lại vơ số lần).

1.1.2. Biến cố

Trong đời sống hàng ngày ta thường gặp hai loại sự kiện: sự kiện ngẫu nhiên và
sự kiện tất yếu.

Sự kiện tất yếu là sự kiện mà ta hoàn toàn biết được là nó xảy ra hay khơng xảy
ra.

Sự kiện ngẫu nhiên là sự kiện mà ta không thể xác định một cách chắc chắn là
nó xảy ra hay khơng xảy ra, ta cịn gọi là biến cố ngẫu nhiên. Người ta thường kí hiệu
các biến cố ngẫu nhiên là A, B , ...

Sự kiện tất yếu mà ta biết chắc chắn là nó xảy ra ta cịn gọi là biến cố chắc chắn,
kí hiệu là Ω. Sự kiện tất yếu mà ta biết chắc là nó khơng thể xảy ra gọi là biến cố
khơng thể hay biến cố rỗng, kí hiệu là  .

1.1.3. Ví dụ

- Gieo một lần con xúc xắc được xem như tiến hành một phép thử. Kết quả của
phép thử này là mặt trên con xúc xắc có thể là một chấm ( ta kí hiệu là B1), hai chấm

(B2), hoặc ba chấm (B3), hoặc bốn chấm (B4), hoặc năm chấm (B5), hoặc sáu chấm

(B6).

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ta gọi A là sự kiện số chấm ở mặt trên là chẳn hoặc lẻ thì A là biến cố chắc
chắn.

Gọi C là sự kiện mà mặt trên của con xúc xắc có số chấm là 7 thì C là biến cố
khơng thể.

- Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất, ta gọi A là sự kiện mặt ngửa (mặt số)
xuất hiện, B là sự kiện mặt sấp (mặt quốc huy) xuất hiện, thì A, B là hai biến cố ngẫu
nhiên.

Biến cố chắc chắn, biến cố không thể, biến cố ngẫu nhiên gọi chung là biến cố.
1.1.4. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố

- Ta thực hiện 1 phép thử. Các kết quả có thể khi phép thử được thực hiện gọi là
các biến cố sơ cấp (hoặc các biến cố cơ bản).

- Tổng hai biến cố A và B là một biến cố, kí hiệu là AB sao cho biến cố tổng
AB xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra.

- Tích hai biến cố A và B là một biến cố, kí hiệu là AB hoặc AB sao cho biến
cố tích AB xảy ra khi và chỉ chỉ A xảy ra và B xảy ra

- Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu xảy ra biến cố này thì khơng thể xảy
ra biến cố kia (A và B xung khắc với nhau thì AB = ).

- Hiệu của biến cố A trừ biến cố B là một biến cố, kí hiệu là A\B sao cho biến
cố A\B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra nhưng B không xảy ra.

- Biến cố B được gọi là đối lập với biến cố A nếu và chỉ nếu A và B là hai biến
cố xung khắc và trong phép thử luôn xuất hiện một trong trong hai biến cố này. Biến cố
đối lập của biến cố A ta kí hiệu là A, ta có A = Ω\A .

- Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, kí hiệu A B nếu biến cố A xảy ra
thì biến cố B phải xảy ra.

Ví dụ: Khi gieo con xúc xắc, gọi

D = {số chấm ở mặt trên con xúc xắc là số lẻ}, khi đó ta có
B1  D B3  D

- Hai biến cố A và B được gọi là tương đương với nhau nếu A B và B  A.
Viết A = B

Nhận xét:

a. Ta có thể mở rộng các quan hệ biến cố cho 3, 4 biến hoặc nhiều hơn nữa.
b. Khi xét quan hệ giữa các biến cố ta không nên dùng minh hoạ hình học để
thay thế cho định nghĩa mà phải bám chặt định nghĩa để xét, biểu diễn hình học khơng
thể phản ánh chính xác trong mọi trường hợp.

Ví dụ: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu.

Gọi A = “anh thứ nhất bắn trúng bia”
B = “Anh thứ hai bắn trúng bia”

Hai biến cố này khơng xung khắc với nhau, nhưng khó mơ tả hình học cho biến cố
tích AB (trường hợp hai anh cùng bắn trúng bia).

- Hệ n biến cố A1, A2 , ..., An gọi là một nhóm đầy đủ các biến cố nếu :

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

. Tổng của n biến cố này tương đương với biến cố chắc chắn.
A1A2 ... An = Ω .

Như vậy mỗi lần thí nghiệm phải xảy ra một và chỉ một biến cố thuộc nhóm đầy
đủ các biến cố.

Ví dụ: A , A là một nhóm đầy đủ các biến cố. Khi gieo con xúc xắc thì B1, B2, …, B6

là một hệ đầy đủ các biến cố

- Quy tắc đối ngẫu De Morgan: A  B C A B C. . ; ABC  A B C .
Quy tắc này có thể mở rộng cho n biến cố như sau:

1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n

A A  ... A A .A ...A ; A A ...A A A  ... A
- Phép lấy tổng và tích có tính chất giao hốn, kết hợp và phân phối :

AB = BA ; AB = BA

A( BC ) = AB  AC ; A  (B C) = (A B)(AC .
Ví dụ: Hai người cùng bắn, mỗi người bắn một viên vào bia.

Gọi Ai = {người thứ i bắn trúng bia}, i = 1, 2 .

Ta có thể xây dựng các biến cố từ hai biến cố A1, A2 như sau :

a. Chỉ có người thứ 1 bắn trúng đích : A A1 2

b. Có một người bắn trúng : A A1 2A A1 2

c. Có ít nhất một người bắn trúng : A1A2
d. Cả hai cùng bắn trúng : A A1 2

e. Không ai bắn trúng : A A1. 2 hoặc A1A2

f. Nhóm đầy đủ các biến cố : A A1, 1 hoặc A A1. 2, A A1 2 , A A1 2 , A A1 2.
1.2. Định nghĩa xác suất

1.2.1.Định nghĩa xác suất cổ điển

Xác suất của biến cố ngẫu nhiên A là tỷ số của số trường hợp biến cố A thực tế
có thể xảy ra với tổng số n trường hợp có đồng khả năng xuất hiện hay không xuất
hiện. Ta ký hiệu xác suất của sự kiện (biến cố) A nào đó là P(A).

P(A) =

Như vậy P(Ω) = 1 ; P() = 0 .

Ví dụ 1: Một tổ học sinh có 12 người được phân 7 vé xem bóng đá quốc tế (mỗi người
nhiều nhất là một vé), trong đó có 2 vé loại I, 2 vé loại II, 3 vé loại III. Việc phân phối
tiến hành theo kiểu rút thăm.

- Xác suất để một học sinh được 1 vé là p = 7 0, 58.
12 

- Xác suất để một học sinh được một vé loại I là p = 2 1

12 6 .

- Xác suất để một học sinh được một vé loại I hoặc một vé loại II là
Số trường hợp thuận lợi của A

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

p = 2 2 1

1212 3 .

- Xác suất để một học sinh không được vé nào là
p = 1 - 7 5

12 12 .

Ví dụ 2: Rút ngẫu nhiên từ cổ bài gồm 52 con bài ra từ 8 con bài. Tìm xác suất sao
cho trong 8 con bài có :

a. 3 con At, 2 con 10, 1 con 2, 1 con K, 1 con J.
b. 2 con cơ, 1 con Rô, 2 con Pic, 3 con chuồn.
c. 5 con màu đỏ, 3 con màu đen.

Giải:

Phép thử của ta là rút ngẫu nhiên ra 8 con bài, số trường hợp có thể là
8

C = 52! 45.46.47.48.49.50.51.52

8!(52 8)!  1.2.3.4.5.6.7.8

Gọi A = “trong 8 con bài rút ra có 3 At, 2 con 10, 1 con 2, 1 con K, 1 con J”.
Tương tự B, C, D là các biến cố tương ứng với các câu b/ ; c/ ; d/.

a. Số trường hợp thuận lợi cho A theo luật tích là:

3 2 1 1 1
4 4 4 4 4

C C C C C = 4.6.4.4.4
Do đó P(A) =

4
8
52

4 .6

C .

b. Số trường hợp thuận lợi c ho B là 2 1 2 3
13. 13. 13. 13

C C C C .

Do đó P(B) =

2 1 2 3
13 13 13 13

8
52

. . .

C C C C
C .
c. Số trường hợp thuận lợi cho C là 5 3

26. 26

C C .

Do đó P(C) =

5 3
26 26

8
52

C C
C .

1.2.2. Định nghĩa xác suất theo phương pháp thống kê

Khi ta thực hiện một phép thử nào đó n lần mà biến cố A xuất hiện m lần thì tỉ
số m

n gọi là tần suất của biến cố A.

Khi n thay đổi, tần suất m/n cũng thay đổi nhưng nó ln dao động quanh một
số cố định nào đó, n càng lớn thì tỉ số m/n càng gần số cố định đó. Số cố định ấy gọi là
xác suất của biến cố A theo nghĩa thống kê. Trên thực tế khi n đủ lớn ta xấp xỉ P(A)
bởi m/n

P(A)  m
n
Ví dụ:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

m

n = 0,5080

- Pearson đã gieo 12000 lần thấy 6019 lần sấp
m

n = 0,5016

- Pearson đã gieo 24000 lần thấy 12012 lần sấp
m

n = 0,5005

Số cố định cần tìm trong trường hợp này là 0,5. Tức là xác suất xuất hiện mặt
sấp khi gieo đồng tiền cân đối và đồng chất là bằng 0,5.

Nhận xét: Định nghĩa xác suất dạng thống kê hay định nghĩa định nghĩa xác suất theo
tần suất chỉ cho ta giá trị xấp xỉ và mức độ chính xác của việc xấp xỉ tùy thuộc vào số
lần thực hiện phép thử.

1.2.3. Xác suất hình học

Giả sử X là một hình nằm trong hình Ω, lấy ngẫu nhiên một điểm M trên hình Ω
thì có một trong hai khả năng sau có thể xảy ra: hoặc M nằm trên hình X, hoặc M
khơng nằm trên hình X. Ta gọi tỉ số:

P(M) =
là xác suất để khi ấy điểm M rơi vào hình X.

Chú ý: Khái niệm “độ đo” hình X ở đây được hiểu như sau:

- Là độ dài nếu các hình X được tạo bởi những đoạn thẳng, đường cong.
- Là diện tích theo nghĩa thơng thường, nếu X là hình phẳng trong mặt phẳng.

Trong trường hợp này ta qui ước: diện tích của đường cong trong mặt phẳng
bằng 0.

- Là thể tích theo nghĩa thông thường, nếu X là khối đa diện hoặc khối trịn
xoay trong khơng gian. Trong trường hợp này ta qui ước: thể tích của mặt
cong trong khơng gian bằng 0.

Ví dụ:

1) Cho một khu đất hình trịn và một vườn hoa hình tam giác đều nội tiếp trong
hình trịn đó. Trẻ em đá bổng một quả bóng rơi vào khu đất. Tìm xác suất để quả
rơi vào trong vườn hoa.

Giải: Theo định nghĩa ta có xác suất để quả bóng rơi vào vườn hoa là:
A

giac
2
tron
2
1
.
2
P(M)

1 3
3.
3 3
2 2
0, 41.
4
tam
hinh
BC AH
S
S R
R R
R

 
 
  

“độ đo” hình
X

“độ đo” hình
Ω

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

2) Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm trong khoảng từ 1 đến 2 giời chiều. Họ
thỏa thuận với nhau như sau: Một người đến điểm hẹn mà người kia chưa đến
thì sẽ chờ khơng q 15 phút. Nếu người kia khơng đến thì người đó ra đi trước
2 giờ chiều. Tìm xác suất để hai người gặp nhau.

Giải: 15 phút = 0,25 giờ. Gọi x và y theo thứ tự là thời điểm người thứ nhất và
người thứ hai đến điểm hẹn. Vậy điều kiện để hai người gặp nhau là

1 , 2 1 , 2

0, 25 0, 25 0, 25

x y x y

x y x y x

 

   

 

       

 



Tập hợp những điểm M(x,y) với 1 ≤ x, y ≤ 2 nằm trong hình vng ABCD. Tập
hợp những điểm M(x,y) với x – 0,25 ≤ y ≤ x + 0,25 nằm trong phần gạch chéo trong
hình vẽ.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Áp dụng cơng thức xác hình học, ta có xác suất để hai người gặp nhau tại điểm
hẹn là

P(M) =

1 0, 75
1



  0,44.
3) Tham số m của phương trình

x2 – (m-1)x + m2 – 1 = 0

lấy ngẫu nhiên trong đoạn [-2; 2]. Tìm xác suất để phương trên có nghiệm thực.
Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm thực là:

∆ = (m – 1)2 – 4(m2 – 1) = -3m2 – 2m + 5 ≥ 0.

Suy ra 5 1

3 m

   .

Bài tốn có thể phát biểu dưới dạng hình học như sau: Lấy ngẫu nhiên một điểm
M trong đoạn [-2; 2]. Tìm xác suất để điểm đó rơi vào đoạn [ 5; 1

 ]. Vậy xác suất để
phương trình có nghiệm thực là

P(M) =
5
1
3
2 2



 0,67.

1.2.4.Các quy tắc tính xác suất

Quy tắc I: Xác suất của tổng hai sự kiện (biến cố) xung khắc bằng tổng các xác
suất của những sự kiện ấy.

Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì : P(AB) = P(A) + P(B).

Tổng quát: Nếu A1, A2, ..., An là n biến cố xung khắc với nhau từng đôi một thì

P(
1
n
i
i
A


) =
1
( )
n
i
i
P A




Hệ quả 1: Nếu các sự kiện xung khắc A1, A2, ..., An lập thành một nhóm sự kiện

đầy đủ thì tổng các xác suất của chúng bằng 1

1
( )
n
i
i
P A




= 1.

Hệ quả 2: Tổng xác suất của 2 sự kiện đối lập bằng 1
P(A) + P(A) = 1 .

Ví dụ: Trong một cuộc xổ số tiết kiệm, tổng số phiếu là 10.000 ; có 1 giải nhất, 10
giải nhì, 100 giải ba. Một người có một phiếu tiết kiệm. Tính :

- Xác suất để người đó trúng giải nhì.
- Xác suất để người đó trúng thưởng

- Xác suất để người đó khơng trúng thưởng.
Giải:

Goi A1 là biến cố người đó trúng giải nhất, A2 là biến cố người đó trúng giải nhì,

A3 là biến cố trúng giải ba, và A là biến cố người đó trúng một giải nào đó thì :

P(A2) =

10 1



“độ đo” hình
X

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

A = A1  A2 A3

Vì A1 , A2 , A3 là 3 biến cố xung khắc nên xác suất để người đó trúng thưởng là

P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) = 1
10.000 +

10
10.000 +

100 111

10.00010.000

Xác suất để người đó khơng trúng giải thưởng nào là :
P(A) = 1 - P(A) = 1 - 111

10.000 =
9889
10.000 .

Quy tắc II: Xác suất của tổng hai biến cố ngẫu nhiên A, B bất kỳ bằng tổng xác suất
của 2 biến cố A và B trừ đi xác suất của tích 2 sự kiện ấy

P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) .
Trường hợp tổng của 3 sự kiện A, B, C ta có

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC).
Chú ý: P(ABC) = 1 - P(A B C ) =1 - P(A B C. . ) .

Ví dụ: Hàng năm nhà trường tổ chức tuyển sinh vào Đại học thể dục thể thao. Học sinh
có thể khơng đạt về văn hoá với xác suất 50%, về năng khiếu với xác suất 40% . Xác
suất để một học sinh khơng đạt về văn hố hoặc năng khiếu là :

P = 0,5 + 0,4 - 0,5.0,4 = 0,7 = 70% .
1.3. Biến cố ngẫu nhiên độc lập

Hai biến cố độc lập: Biến cố B được gọi là độc lập với biến cố A nếu xác suất xảy
ra A không thay đổi dù B có xảy ra hay khơng xảy ra.

Nếu B độc lập với A thì B cũng độc lập với A và A cũng độc lập với B và B .
Quy tắc III: Xác suất của tích hai sự kiện độc lập bằng tích xác suất của các sự

kiện ấy

P(AB) = P(A).P(B) .

Trường hợp tổng quát : Nếu A1, A2, ..., An là các biến cố độc lập với nhau thì

P(A1. A2 ... An) = P(A1).P(A2)...P(An).

Ví dụ 1: Có 12 vé xem bóng đá quốc tế, trong đó 3 vé loại I, 4 vé loại II, 5 vé loại
III. Ta ghi vào các phiếu rồi "rút thăm" hai lần, mỗi lần một phiếu. Sau khi "rút thăm"
lần thứ nhất, ta bỏ phiếu vào lại để cho số phiếu vẫn là 12. Tính xác suất để rút được 2
phiếu là 2 vé loại I.

Gọi C là biến cố “Trúng 2 phiếu loại I liên tiếp”
A là biến cố “Trúng phiếu loại I ở lần thứ nhất”
B là biến cố “Trúng phiếu loại I ở lần thứ hai”
Rõ ràng A, B là hai biến cố độc lập với nhau.

C = AB ; P(C) = P(A).P(B)
Mà P(A) = P(B) = 3 1

12 4 nên P(C) =

1 1 1
.

4 416 .

Ví dụ 2: Hai người cùng bắn vào mục tiêu một cách độc lập vơi nhau. S

xác suất bắn trúng đích của chiến sỹ A là 0,8 còn của chiến sỹ B là 0,7. Tìm xác suất
a. Chiến sỹ A bắn trúng đích ngay trong 3 phát đầu

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

d. Ít nhất có một người bắn trúng đích khi mỗi người bắn một phát.
Giải. Gọi Ai là biến cố " chiến sỹ A bắn trúng đích ở phát thứ i" ; i = 1, 2, 3.

Gọi Bi là biến cố " chiến sỹ B bắn trúng đích ở phát thứ i" ; i = 1, 2, 3.

D1, D2, D3, D4 là 4 biến cố tương ứng cần tìm xác suất trong 4 câu a, b, c, d ở

trên. Ta có : D1 = A1 A2 A3 ; D2 = B B B1. 2. 3

D3 = A1B1 ; D4 = A1  B1.

Ai, Bi độc lập với nhau; A1, A2, A3 độc lập; B1, B2, B3 độc lập. Nhưng Ai , Bi

không xung khắc. Vậy :

P(D1) = P(A1) + P(A2) +P(A3) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A2A3) + P(A1A2A3)

P(D1) = 0,8.3 - 3.0,8.0,8 + 0,8.0,8.0,8 = 0,992

P(D2) = P(B1).P(B2).P(B3) = (1 - 0,7).(1 - 0,7).0,7 = 0,063

P(D3) = P(A1).P(B1) = 0,8.0,7 = 0,56

P(D4) = P(A1) + P(B1) - P(A1B1) = 0,8 + 0,7 - 0,56 = 0,94

1.4.Xác suất có điều kiện

1.4.1.Định nghĩa. Ta ký hiệu P(A/B) là xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B
đã xảy ra. Ta gọi là xác suất có điều kiện.

Từ định nghĩa ta thấy nếu A và B là 2 sự kiện độc lập thì
P(A/B) = P(A).

Ta xét ví dụ trong quy tắc II. Nếu gọi A là biến cố "đạt yêu cầu về năng khiếu",
gọi B là biến cố " trúng tuyển ", rõ ràng A và B không độc lập với nhau. P(B/A) là xác
suất để một học sinh thi trúng tuyển với điều kiện đã đạt yêu cầu về thi năng khiếu.
Quy tắc IV: Xác suất của tích 2 sự kiện A và B bất kỳ bằng tích giữa xác suất của sự
kiện A với xác suất của sự kiện B với điều kiện A đã xảy ra hoặc bằng tích giữa xác
suất của sự kiện B với xác suất của sự kiện A với điều kiện B đã xảy ra.

P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B).

Ví dụ 1: Xét ví dụ ở quy tắc III với trường hợp "rút thăm" khơng hồn lại, khi đó
P(A) = 1

4 ; P(B/A) =
2

11 ; P(AB) = P(A).P(B/A) .

Ví dụ 2: Có 3 bức thư và 3 bì thư có ghi địa chỉ sẵn. Cho lần lượt ngẫu nhiên 3 bức
thư vào 3 bì thư đó. Tìm xác suất để có ít nhất một bức thư gửi đúng địa chỉ.

Giải. Gọi A là sự kiện "trong 3 bức thư có ít nhất một bức thư gửi đúng địa chỉ".
Ai là biến cố "bức thư thứ i gửi đúng địa chỉ", với i = 1, 2, 3. Ta có

A = A1 A2 A3 .

P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A2A3) + P(A1A2A3).

Mà P(A1) = P(A2) = P(A3) =
1
3

P(A1A2) = P(A1A3) = P(A2A3) = P(A1).P(A2/A1) = 1
3.

1
2 =

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

P(A1A2A3) = P(A1A2).P(A3/A1A2) =
1
6 .1 =

1
6 .

Vậy: P(A) = 1

3 +
1
3 +

1
3 -

6 -

1
6 -

1
6 +

1
6 =

2
3 .

Ví dụ 3: Bắn liên tiếp vào mục tiêu cho đến khi có một viên trúng mục tiêu thì ngừng
bắn. Tìm xác xuất sao cho phải bắn đến viên thứ 4, biết rằng xác suất trúng mục tiêu
của mỗi lần bắn là như nhau và bằng 0,3.

Gọi Ai là sự kiện "viên thứ i trúng mục tiêu", i = 1, 2, ...

A là sự kiện "bắn đến viên thứ 4 mới ngừng"
A = A A A A1 2 3 4 .

Các biến cố A1, A2, A3, A4 không độc lập vì việc xảy ra biến cố Ai sẽ ảnh

hưởng xảy ra biến cố Ai+1:

P(Ai+1/Ai)= 0 (vì Ai+1/Ai = ) ; P(Ai1/Ai) = 0,3.

Do đó:

P(A) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A A1 2).P(A4/A A A1 2 3)

= [1 - P(A1 )].[1 - P(A2/A1)].[1 - P(A3/A A1 2)].P(A4/A A A1 2 3).
Hơn nữa A2  A A1, 3 A2  A1

Nên P(A) = (1 -0,3)(1 - 0,3)(1 - 0,3).0,3 = 0,1029 .

1.4.2.Công thức xác suất đầy đủ (tồn phần), cơng thức Bayes (Bây-ét)

Giả sử B1, B2, ..., Bn là một hệ đầy đủ các biến cố của một phép thử và A là một

biến cố trong phép thử đó, khi đó:

 

  

1 . / 1



  

2 . / 2



...

  

n . / n



P A  P B P A B  P B P A B   P B P A B (1)

 

.
( )
k
k
k
A

P B P

B
B

P

A P A

 
 
 
  

 

  (2)

Công thức (1) gọi là công thức xác suất đầy đủ, công thức (2) gọi là công thức
Bayes.

Ví dụ 1: Một thùng rượu có 20 chai, trong đó có 3 chai rượu giả. Trong q trình vận
chuyển bị mất một chai khơng rõ chất lượng. Lấy ngẫu nhiên 1 chai trong 19 chai cịn
lại. Tìm xác suất để chai lấy ra là chai thật.

Giải. Gọi B1 = " Chai rượu bị mất là chai giả"

B2 = " Chai rượu bị mất là chai thật"

A = " Chai rượu lấy ra sau cùng là chai thật"

Ta có B1, B2 là một hệ đầy đủ các biến cố, theo công thức xác suất đầy đủ ta có

P(A) = P(B1).P(A/B1) + P(B2).P(A/B2)

= 3 17. + 17 16. = 323 = 0,85

20 19 20 19 380

Ví dụ 2: Tỷ lệ xe ô tô tải và ô tô con đi qua đường phố có trạm bơm dầu là 3

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Xác suất để một xe ô tô tải qua đường nhận dầu là 0,3. Xác suất để một ô tô con
qua đường nhận dầu là 0,2. Một xe ơ tơ đến trạm để nhận dầu. Tìm xác suất để xe đó là
ơ tơ tải.

Giải. Gọi B1 = " Ơ tơ chạy ngang qua trạm dầu là ô tô tải "

B2 = " Ô tô chạy ngang qua trạm dầu là ô tô con "

B1, B2 là một hệ đầy đủ các biến cố

A = " Ơ tơ đi ngang qua đường ghé vào trạm nhận dầu "
P(B1) =

5 ; P(B2) =
2
5

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có
P(A) = P(B1).P(A/B1) + P(B2).P(A/B2) =

3
5.0,3 +

5 . 0,2 = 0,26.

Ơ tơ đến nhận dầu, tính xác suất để ô tô này là ô tô tải, theo cơng thức Bayes ta có :
P(B1/A) = P(B )P(A/B )1 1

P(A) =
3

.0, 3
5

0,26 = 0,6923 .

Ví dụ 3: Có hai hộp, hộp I có 8 bi đen, 5 bi đỏ, hộp II có 7 bi đen, 5 bị đỏ. Lấy ngẫu
nhiên 1 bi từ hộp I bỏ vào hộp II, từ hộp II lấy ngẫu nhiên 2 bị

a. Tính xác suất để 2 bi lấy từ hộp hai là 2 bi đỏ.

b. Giả sử 2 bi lấy từ hộp II là hai bi đỏ, tính xác suất để bi lấy từ hộp I bỏ vào hộp II
là bi đỏ.

Giải.

a. B1 = “ Lấy trúng bi đen từ hộp I bỏ vào hộp II”

B2 = “ Lấy trúng bi đỏ từ hộp I bỏ vào hộp II”

A = “ Lấy được 2 bi đỏ từ hộp II”
Ta có B1, B2 là hệ đầy đủ các biến cố và

P(B1) = 8

13 , P(B2) =
5
13.

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có

p(A) = p(B1) .p(A/B1) + p(B2).p(A/B2)

= 8

13.
2
5
2
13
C
C +

5
13.
2
6
2
13
C
C =

155
1014 .

b. Theo cơng thức Bayes ta có

P(B2/A) =

  

2 2



5 15
.

75 15
13 78

155

(A) 155 31
1014

. /

p B p A
p

B

   .

1.5. Công thức Bernoulli

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Tiến hành n phép thử độc lập (tức là các kết quả của phép thử nọ không ảnh đến

hưởng kết quả của phép thử kia) được gọi là một dãy phép thử Bernoulli (hoặc một
lược đồ Bernoulli) nếu nó thoả mản hai điều kiện sau :

1. Mỗi phép thử chỉ có một trong hai kết quả : A hoặc A
2. P(A) = p ; P(A) như nhau đối với mọi phép thử.
Ví dụ:

+ Gieo một đồng tiền 10 lần, đó là 10 phép thử Bernoulli.

+ Một người bắn 5 viên đạn, bắn từng viên một vào mục tiêu. Đó là 5 phép thử
Bernoulli.(Nhưng nếu 5 người bắn, mỗi người bắn một viên thì nói chung đó lại khơng
phải là 5 phép thử Bernoulli).

+ Gieo một con xúc sắc 100 lần, A = {xuất hiện mặt lục}. Đó là 100 phép thử
Bernoulli.

1.5.2.Công thức Bernoulli

Xác suất để biến cố A xuất hiện m lần trong n phép thử Bernoulli ký hiệu là
Pn(m,p) và được xác định theo công thức sau :

Pn(m,p) = C pnm. m.(1 p)n m



 .
Trong đó m = 0, 1,..., n.

1.5.3.Số có khả năng nhất

Ta gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất 5 lần ; A = {xuất hiện mặt sấp}
P(A) = 1

2 . Số mặt sấp xuất hiện có thể từ 0 đến 5 tương ứng với xác suất

P5(m, 1
2 ) =

5
5

1 1

. . 1

2 2
m m
m
C

    
   

    , m = 0, 1, 2, ..., 5

Trong 6 con số P5(0,
1

2 ); P5(1,
1

2 ); P5(2,
1

2 ); ...; P5(5,
1

2 ) sẽ tồn tại số lớn nhất,

trong trường hợp này m = 2 và m= 3, tức là 5 lần gieo đồng tiền, mặt sấp có thể xuất
hiện 0 lần, 1 lần, ..., 5 lần, nhưng xuất hiện 2 lần, 3 lần là có khả năng nhất.

Số m0 mà ứng với nó Pn(m0 ,p) lớn nhất, được gọi là số có khả năng nhất

Pn(m0,p) =

max

m n

 

Pn(m,p)

* Quy tắc tìm số có khả năng nhất :

- Nếu np + p - 1 là một số nguyên thì m0 chính là np + p - 1 và np + p.

- Nếu np + p - 1 là một số thập phân thì m0 chính là số nguyên bé nhất lớn

hơn np + p -1

m0 =[np + p - 1] + 1 ; ([x] là phần nguyên của x)

Ví dụ 1: Một cầu thủ bóng đá sút luân lưu 11 m. Xác suất đá thành công mỗi quả là

5 . Nếu cầu thủ này đá 5 quả, thì khả năng đá thành công nhất của cầu thủ là

m0 =[np + p - 1] + 1 = [5.
4
5 +

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Ví dụ 2: Khi gieo đồng tiền cân đối và đồng chất 10 lần. Gọi A ={mặt sấp xuất hiện},
ta có

P(A) = 1

2 ; np + p - 1 = 10.
1
2 +

2 - 1 = 4,5

Vậy số lần mặt sấp xuất hiện có khả năng nhất là : [4,5] + 1 = 4 + 1 = 5.

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

1. Gieo đồng thời hai đồng tiền cân đối và đồng chất. Tìm xác suất để :
a. Cả hai đồng tiền đều xuất hiện mặt sấp;

b. Chỉ có một đồng tiền xuất hiện mặt sấp;
c. Ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp.

2. Trong phép thử gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất, tìm xác suất của các
biến cố sau :

a. Ak = “ Tổng số chấm xuất hiện ở mặt trên của hai con bằng k “, với k =2,

3, …, 12;

b. Bi = “ Hiệu số chấm xuất hiện ở mặt trên hai con bằng i “, với i = 0, 1, 2,

…, 5;

c. Cn = “ Tích số chấm xuất hiện ở mặt trên của hai con bằng n” với n = 2,

4, 6, 8, 12.

3. Trên bàn có hai túi đựng bài thi: túi thứ nhất đựng 10 bài thi mơn Tốn, túi thứ
hai đựng 10 bài thi môn Tiếng Việt. Kết quả (chấm điểm 20) của các bài thi như
sau :

Mơn Tốn: 8; 9; 12; 15; 15; 17; 18; 19; 19; 19.
Môn Tiếng Việt: 7; 10; 15; 16; 18; 18; 18; 19; 19; 20.
Rút mỗi túi một bài thi. Tìm xác suất để :

a. Cả hai bài đều đạt 19 điểm;
b. Ít nhất một bài đạt 19 điểm;

c. Tổng số điểm của hai bài bằng 35.

4. Một khối gỗ có hình hộp chữ nhật có kích thước 5cm×10cm×15cm. Hai mặt đáy
được sơn màu xanh và các mặt xung quanh được sơn màu vàng. Người ta cưa
khối đó ra thành 750 khối lập phương nhỏ như nhau. Lấy ngẫu nhiên hai khối
nhỏ. Tìm xác suất để:

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

b. Cả hai khối chỉ có một mặt được sơn màu vàng cịn năm mặt kia khơng
sơn.

5. Gieo ba đồng tiền cân đối và đồng chất. Tìm xác suất để:
a. Cả ba đồng tiền xuất hiện mặt ngửa;

b. Ít nhất một trong ba đồng xuất hiện mặt ngửa.

6. Một hộp có 9 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu trắng kích thước như nhau. Lấy
ngẫu nhiên hai viên từ hộp đó. Tìm xác suất để:

a. Hai viên khác màu;
b. Hai viên đều màu trắng;
c. Ít nhất một viên màu xanh.

7. Nhóm “Chim sơn ca” của một trường tiểu học có 15 em, trong đó 5 em khối Ba,

5 em khối Bốn va 5 em khối Năm. Gặp ngẫu nhiên 3 em trong nhóm. Tim xác
suất để:

a. Ba em là học sinh ba khối khác nhau;
b. Trong đó có đúng 2 em khối Năm;
c. Có ít nhất một em khối Ba

8. Một bộ bài có 52 con. Rút ngẫu nhiên 4 con từ bộ bài đó. Tìm xác suất để trong
4 con rút ra có:

a. Hai con “Át” và một con “K”;
b. Một con màu đỏ và ba con màu đen;

c. Một con Cơ, một con Rơ, một con Pích và một con Nhép (Chuồn).

9. Trong tập hồ sơ đăng kí giáo viên dạy giỏi của tỉnh X có 25 giáo viên dạy khối
Ba, 25 giáo viên dạy khối Bốn và 22 giáo viên dạy khối Năm. Rút ngẫu nhiên 2
hồ sơ trong tập hồ sơ đó. Tìm xác suất để:

a. Hai hồ sơ đó là của hai giáo viên dạy cùng khối;

b. Trong hai hồ sơ đó có ít nhất một hồ sơ của giáo viên dạy khối Năm.
10.Trong một kì thi, các thí sinh được đánh số báo danh từ 1 đến 500. Gặp ngẫu

nhiên ba thứ sinh về dự thi. Tìm xác suất để:
a. Số báo danh của ba thí sinh đều là số chẳn;

b. Số báo danh của ba thí sinh đó đều là những số có ba chữ số chia hết cho
3.

11.Trong đại hội thi đấu thể thao, các vận động viên của tỉnh A được đánh số báo
danh từ 1 đến 350, tỉnh B từ 351 đến 750 va tỉnh C từ 751 đến 1000. Gặp ngẫu
nhiên ba thí sinh về dự thi. Tìm xác suất để:

a. Ba vận động viên là người ba tỉnh khác nhau.

b. Số báo danh của ba vận động viên đó đều là những số có ba chữ số khác
nhau;

c. Số báo danh của ba vận động viên đó đều là những số có ba chữ số chia
cho 4 dư 3.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

13.Trong hộp đồ chơi có 10 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Một cháu mẫu giáo
lấy ngẫu nhiên 5 số từ trong hộp rồi xếp thành hàng. Tìm xác suất để số xếp ra
là:

a. Số có 5 chữ số;

b. Số có 5 chữ số chia hết cho 5;
c. Số chẳn có 5 chũ số.

14.Cuốn sách giáo khoa Toán 4 dày 220 trang. Ba bạn Hùng, Lan và Vinh lần lượt
mở ngẫu nhiên, mỗi người một trang (rồi gấp lại đưa cho người sau mở tiếp).
Tìm xác suất để:

a. số thứ tự của ba trang đều là những số có hai chữ số khác nhau;
b. Số thứ tự cả ba trang đều là những số chia cho 5 dư 3;

c. Số thứ tự của cả ba trang đều là những số chẳn chục.

15.Số điện thoại ở tỉnh nọ gồm 7 chữ số, trong đó hai chữ số đầu là 38. Chọn ngẫu
nhiên một số điện thoại của tỉnh đó. Tìm xác suất để:

a. Số điện thoại đó là số có 7 chữ số khác nhau với hai chữ số tận cùng là
01;

b. Số đó chia hết cho 25.

16.Tổng kết năm học lớp 4A của một trường tiểu học nào đó có 15 em loại giỏi, 20
em loại khá, 4 em loại trung bình và 1 em yếu. Nhà trường chọn ngẫu nhiên ba
em lớp 4A dự kì thi kiểm tra chất lượng của tồn khối. Tim xác suất để :

a. Cả 3 em đều là học sinh giỏi;
b. Ba em xếp học lực khác nhau.

17.Trong hộp kín có 7 quả cầu màu xanh và 5 quả cầu màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ
trong hộp mỗi lần 1 quả cầu (khơng hồn lại) cho đến khi được quả màu xanh
thì dừng lại. Tìm xác suất để người đó dừng lại sau lần lấy thứ tư.

18.Một xạ thủ bắn liên tiếp vào một mục tiêu cho đến khi trúng đích thì dừng lại.
Tìm xác suất để bắn đến viên thứ ba mới trúng đích, biết rằng xác suất bắn trúng
đích mỗi lần bắn là 0,85.

19.Trong một phân xưởng có 3 máy làm việc độc lập với nhau. Trong một ca sản
xuất xác suất để máy I phải sửa là 0,12, máy II phải sửa là 0,18 và máy III phải
sửa là 0,1. Giả sử cả 3 máy khơng đồng thời phải sửa. Tìm xác suất để trong ca
phân xưởng đó phải sửa máy.

20. Ba xạ thủ bắn vào mục tiêu độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng đích của xạ
thủ thứ nhất là 0,9; xạ thủ thứ hai là 0,85; xạ thủ thứ ba là 0,75. Tìm xác suất để:

a. Một người bắn trúng đích;

b. Ít nhất một người bắn trúng đích;
c. Ít nhất hai người bắn trúng đích.

21.Trong một trạm cấp cứu bỏng có 68% bệnh nhân bị bỏng do nóng và 32% bỏng
do hóa chất. Loại bị bỏng do nóng có 25% bị biến chứng, bỏng do hóa chất có
40% bị biến chứng. Lấy ngẫu nhiên một bệnh án của của bệnh nhân của trạm.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

b. Giả sử bệnh án lấy ra là bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng. Hỏi bệnh
án đó của bệnh nhân bị bỏng do nguyên nhân nào nhiều hơn ?

22.Một xí nghiệp sản xuất bóng đèn có 4 phân xưởng. Khi xuất xưởng, tỷ lệ chính
phẩm của mỗi phân xưởng như sau : Phân xưởng I đạt 99,7%, phân xưởng II đạt
99,85%, phân xưởng III đạt 97,65% và phân xưởng IV đạt 99,9%. Cán bộ OTK
lấy ngẫu nhiên mỗi phân xưởng một sản phẩm. Tìm xác suất để trong số sản
phẩm lấy ra :

a. Cả 4 sản phẩm đều là phế phẩm;
b. Có đúng 2 chính phẩm.

23.Tỉ lệ thí sinh trúng tuyển trong kì thi tuyển sinh vào một trường đại học là 20%.
Rút ngẫu nhiên một hồ sơ trong số các hơ sơ của thí sinh vê dự thi tuyển vào
trường cho đến khi được hồ sơ trúng tuyển thì dừng lại. Tim xác suất để phải rút
đến lần thứ tư.

24.Hai xạ thủ bắn vào một mục tiêu độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng đích của
xạ thủ thứ nhất là 0,85, xạ thủ thứ hai là 0,75. Tìm xác suất để:

a. Người thứ nhất bắn 3 phát đầu có 1 phát trúng đích;
b. Người thứ hai bắn 3 phát đầu có 2 phát trúng đích;
c. Cả hai người bắn trúng ngay từ phát đầu tiên.

25.Kết quả kiểm tra học kì I của khối Bốn trường Tiểu học nào đó, tỷ lệ khá giỏi
đạt được như sau: Lớp 4A đạt dược 92%, lớp 4B đạt 80%, 4C đạt 85%, 4D đạt
78% và 4E đạt 65%. Cô hiệu trưởng rút ngẫu nhiên mỗi lớp một bài kiểm tra.
Tìm xác suất để trong 5 bài đó:

a. Đều đạt điểm khá trở lên;
b. Có ba bài đạt điểm khá trở lên;
c. Khơng có bài nào đều điểm khá giỏi.

26.Tổng kết năm học, tỉ lệ học sinh giỏi của khối Năm trường tiểu học Nguyễn
Nghiêm như sau: lớp 5A đạt 35%, 5B đạt 18%, 5C đạt 25%, 5D đạt 12%. Chọn
ngẫu nhiên mỗi lớp một học sinh. Tìm xác suất để:

a. Cả 4 em đều đạt học sinh giỏi;
b. Chỉ có 2 em đạt học sinh giỏi.

27.Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 5A đạt 80%. Tìm xác suất để khi gặp ngẫu nhiên 8 em có
5 em là học sinh giỏi.

28.Gieo 6 lần một con xúc xắc. Tìm xác suất để:
a. Mặt 6 chấm xuất hiện 4 lần;

b. Mặt có số chấm là số nguyên tố xuất hiện 3 lần;

c. Mặt có số chấm là bội của 3 xuất hiện với xác suất lớn nhất là bao nhiêu?
29.Tỷ lệ nảy mầm của thóc giống đạt 90%. Tìm xác suất để khi gieo 10 hạt nảy

mầm cả 10 hạt.

30.Sinh viên năm thứ nhất của một trường đại học có 800 em người kinh va 200
em người dân tộc. Trong số sinh viên người dân tộc có 25% nữ. Tìm xác suất để
khi gặp ngẫu nhiên 10 sinh viên của trường đó:

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20></div>