Hoàn thiện thủ tục phân tích trong tiến trình lập kế hoạch tại các công ty kiểm toán Việt Nam

<span class='text_page_counter'>(1)</span>GV:. Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng. TÓM TẮT GIẢI TÍCH 12 @. Bổ túc về đại số: 1. phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 với x1, x2 là nghiệm thì ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2); =b2-4ac (’=b’2-ac với b’=b/2) b    b' '   x1, 2   thì x1, 2    2a 2 a   nếu a+b+c=0 thì x1=1; x2=c/a; nếu a-b+c=0 thì x1=1; x2= -c/a; S=x1+x2= - b/a; P=x1.x2= c/a (đl Vieet) 2. tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c + <0 thì f(x) cùng dấu a + x1    x 2  af ( )  0 a  0 a  0 + f ( x)  0   + f ( x)  0     0   0    0  +   x1  x 2  af ( )  0 + S    0 2    0  x1  x 2    af ( )  0 S    0 2 3. phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d=0 nếu a+b+c+d=0 thì x1=1; nếu a-b+c-d=0 thì x1= -1; dùng Hoocner ax3+bx2+cx+d=(x-1)(ax2 + x + ) = 0 với =a+b; =+c 4. các công thức về lượng giác, cấp số và lôgarit:.  u  u' v  v' u 3.    v2 v 4. (ku)’ = ku’ (k:const) 2. Công thức: (xn)’ = nxn-1 (un)’ = nun-1u’. cos x  sin( x . a  0 - để hs giảm trên D  y '  0    y '  0 - để hs có cực trị trên D y’=0 có 2 n0 pb - để hs không có cực trị y’=0 VN hoặc có nghiệm kép - hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đthị - chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là: yi=mxi+n - đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu. - đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau  ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành csc  y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox.. . 2. ); - sin x  cos( x . . 2. '. '. '.  .  . 1 1    2 x x ' 1 x  2 x (sinx)’ = cosx (cosx)’ = - sinx 1 (tgx)’ = cos 2 x. u' 1    2 u u ' u' u  2 u (sinu)’ = u’cosu (cosu)’ = - u’sinu u' (tgu)’ = cos 2 u 1 u' (cotgx)’ =  (cotgu)’ =  2 sin x sin 2 u (ex)’ = ex (eu)’ = u’eu x x (a )’ = a .lna (au)’ = u’au.lna 1 u' (lnx)’ = (lnu)’ = x u 1 u' (logax)’ = (logau)’ = x ln a u ln a II. KHẢO SÁT HÀM SỐ: 1. Hàm bậc ba y = ax3+bx2+cx+d:  Miền xác định D=R  Tính y’= 3ax2+2bx+c  y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có)  tính y’’ tìm 1 điểm uốn  bảng biến thiên  điểm đặc biệt (2điểm)  đồ thị (đt) * Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3: a  0 - để hs tăng trên D  y '  0    y '  0. );. 1 (1  cos 2 x); 2 1 1 sin 2 x  (1  cos 2 x) ; 1+tg2x= 2 cos 2 x 1 1  cotg 2 x   2 sin x cấp số cộng: a,b,c,… d = c – b = b – a c b q  cấp số nhân: a,b,c,… b a I. ĐẠO HÀM: 1. Qui Tắc: 1. (u  v)’ = u’  v’ 2. (u.v)’ = u’v + v’u cos 2 x . 1. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> GV:. Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng. - đthị cắt ox tại 2 điểm pb  ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm pb * CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS: 1/ Phương trình tiếp tuyến: (pttt) @ Loại 1: pttt tại M(x0,y0)  y=f(x) tính: y’= y’(x0)= pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0 @ Loại 2: pttt có hệ số góc k cho trước ta có: f’(x)=k giải pt này tìm x0 thay vào y=f(x) tìm được y0 từ đó ta có pttt là: y = k(x-x0)+y0  pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a  pttt y=ax+b có hệ số góc k = -1/a. @ Loại 3: pttt qua M(x0,y0) của y=f(x) ptđt d qua M có hệ số góc k là: y = k(x-x0)+y0 để d là tt thì hệ sau có nghiệm:  f ( x)  k ( x  x0 )  y 0 (1) thay (2) vào (1) giải   f ' ( x)  k (2) pt này tìm được x thay vào (2) ta được k thế vào pttt d ở trên. 2/ Giao điểm của 2 đường: Cho y=f(x) và y= g(x) + ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt này được mấy nghiệm là có mấy giao điểm. + bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng f(x)=g(m) đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox. Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị.  f ( x)  g ( x) + để f(x) tiếp xúc g(x) ta có:  từ  f ' ( x)  g ' (x) đó tìm điểm tiếp xúc x 3/ đơn điệu: cho y=f(x) đặt g(x)=y’ a/ g(x) = ax2+bx+c  0 trong (,+)  a>0; b    ; g()0. 2a b/ g(x) = ax2+bx+c  0 trong (,+)  a<0; b    ; g()0. 2a c/ g(x) = ax2+bx+c  0 trong (,)  ag()0; ag()0 {áp dụng cho dạng có m2} d/ trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng m > h(x) (hoặc m<h(x)) điều này m > giá trị lớn nhất của h(x) (m<minh(x)) e/ đối với hàm có mxđ D=R\{x0} thì  tăng trên (,+) y’0; x0  giảm trên (,+) y’0; x0 4. Cực trị: * y = f(x) có cực trị  y’= 0 có nghiệm và đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y”0). 2. Hàm trùng phương y = ax4+bx2+c:  Miền xác định D=R  Tính y’  y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị  bảng biến thiên  điểm đặc biệt (2điểm)  đồ thị * Các vấn đề đặc biệt cho hàm t phương: - đt nhận oy làm trục đối xứng. - để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D y’=0 có 3 n0 pb (hoặc 1 n0) - để hs có điểm uốn  y’’=0 có 2 n0 pb - đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb  >0; P>0; S>0. - đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc  >0; P>0; S>0; x2 = 9x1 và sử dụng đlý Vieet. ax  b 3. Hàm nhất biến y  cx  d  Miền xác định D=R\  d c  ad  bc  Tính y '  (>0, <0) cx  d 2  TCĐ x   d vì limd y  0 c x c  TCN y  a vì lim y  a c c x   bảng biến thiên  điểm đặc biệt (4điểm)  đồ thị - đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng 4. Hàm hữu tỷ ax 2  bx  c  y  x    chia bằng dx  e dx  e Hoocner  Miền xác định D=R\  e d .  .d. mx 2  nx  p. . Tính y’=  .  . y' = 0 tìm 2cực trị hoặc không có. e TCĐ x   vì lime y  0 x d d. . TCX y  x   vì lim. dx  e 2. . x . dx  e 2. . dx  e. 0.  bảng biến thiên  điểm đặc biệt (4điểm)  đồ thị * Một số kết quả quan trọng: - đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng - có 2 cực trị hoặc không  y’= 0 có 2 nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN - nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là 2axi  b yi  và đó cũng là đt qua 2 điểm cực trị. d 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> GV:. Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng.  y ' x0   0 * y=f(x) có cực đại tại x0    y ' ' x0   0  y ' x0   0 * y=f(x) có cực tiểu tại x0   y ' ' x0   0. log a x . logax=. a  0    0. ax 2  bx  c a/ x  b/. b/  Tập xác định D  R \   / . P.Pháp:. Tính y / . a. g( x ). a . hai nghiệm pb thuộc D. 2.  g /  0   b/  g(  / )  0 a . log a x  b  x  a b , khi a >1 log a x  b  x  a b , khi 0 < x < 1.  a ;b .  Đặt ẩn phụ; mũ hóa… VI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN: Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)  F /  x   f  x  , x  a; b  Nguyên hàm của hàm số sơ cấp 1.  1.dx  x  c. b. Trên [a;b]  Tính y’  Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm x0   a; b   Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn nhất M KL: max y  M  a ;b . Chọn số nhỏ nhất m , KL: min y  m  a ;b . x 1  c 1 2.  x .dx   1 1 3.  .dx  ln x  c x 4.  Cosx.dx  Sinx  c. III. Hàm số mũ và logarit: 1. Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, nR ta có: anam =an+m ; a1= ;. an  a nm ; am. (. . 1 =am ; an. 1 ); (an)m =anm ; (ab)n=anbn; a. a0=1; n. an a    m b b. m n. a  n am . 2. Công thức logarit: logab = cac=b ( 0< a1; b>0) Với 0< a1, 0<b1; x, x1, x2>0; R ta. có: loga(x1x2)=logax1+logax2 ; logax1logax2;. log b x 1 ; (logab= ) log b a log b a. a x  b  x  log a b , khi 0 < a < 1 * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a x  b ( a> 0 , a  0 , x>0 ). 5. GTLN, GTNN: a. Trên (a,b)  Tính y’  Lập bảng biến thiên trên (a ; b )  KL: max y  yCD , min y  yCT  a ;b . log a x ; (logaax=x);.  logaf(x) = logag(x)  f(x) = g(x)  Đặt ẩn phụ; mũ hóa… 4. Bất PT mũ – logarit: * Dạng ax > b ( a> 0 , a  0 ) b  0 : Bpt có tập nghiệm R b>0 : a x  b  x  log a b , khi a>1. x  b/  Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y/ = 0 có /. . logba.logax=logbx; alogbx=xlogba. 3. Phương trình mũ- lôgarít * Dạng ax= b ( a> 0 , a  0 ) b  0 : pt vô nghiệm b>0 : a x  b  x  log a b * Đưa về cùng cơ số: Af(x) = Bg(x)  f(x) = g(x) * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a x  b ( a> 0 , a  0 ) Điều kiện : x > 0 log a x  b  x  a b. 1. T.Hợp 1: Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d P.Pháp: Tập xác định D = R  Tính y/ Để hàm số có cực trị thì y/ = 0 có hai n 0 pb. 2. T.Hợp 2: Hàm số y . 1. 5..  Sinx.dx  Cosx  c. 6..  Cos. 2. 7..  . Sin. 2. 9.. x  a .dx . 1. 1. x. .dx  tgx  c. dx  Cotgx  c x 8.  e x .dx  e x  c. loga x1 = x2. a log a x  x ; logax= logax;. 3. Lop12.net. ax c ln a.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> GV:. Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng. Nguyên hàm các hàm số thường gặp:  1 1 ax  b   c 1.  ax  b  .dx  a  1. 1. Loại 1: Có dạng: e x  b   A=  P( x). Sinx .dx a Cosx    Trong đó P(x)là hàm đa thức Phương pháp: Đặt u = P(x)  du = P(x).dx x  e    dv =   Sinx  .dx  v = ...    Cosx    Áp dụng công thức tích phân từng phần. 1. 2..  ax  b .dx  a . ln ax  b  c. 3..  Cosax  b .dx  a .Sinax  b   c. 4..  Sinax  b .dx   a .Cosax  b   c. 5..  Cos ax  b  .dx  a .tgax  b   c. 6..  Sin ax  b  .dx   a .Cotgax  b   c. 1. 1. 1. 1. 2. 1. 1. 2. A = u.v    v.du. 1 7.  e .dx  .e ax  b  c a 1 a mx  n mx  n .dx  . c 8.  a m ln a. a. ax  b. b. Loại 2: B =.  P( x ).Ln(ax  b).dx a. Phương pháp:. Các phương pháp tính tích phân:Tích phân của tích, thương phải đưa về tích phân của một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức. Phương pháp đổi biến số :. Đặt u = Ln(ax+b) dv = P(x).dx Áp dụng: B =. b. a. Sin 2 a .  f t .dt  F t    b   a.      t    2 2. Cos 2 a . 1  Cos2a 2. PP:Đặt tg 2 làm thừa số. a  dx  .dt  a1  tg 2 t .dt 2 Cos t. Thay tg 2 . Đổi cận:. 1 1 Cos 2 x. IV. Diện tích hình phẳng: 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y = f(x) và hai đường x = a; x = b: P.Pháp:  DTHP cần tìm là:. 2.Tính J   a  x .dx 2. 1  Cos2a ; 2. Đặt t  Cosx (Đổi sin n 1 x thành Cosx ) ----------------------------------------------Dạng : A   tg m x.dx Hay B   Cotg m x.dx. dx 2 2 0 a  x a. I . a. b. u.v   v.du b a. A   Sin n 1 x.Sinx.dx. Các dạng đặc biệt cơ bản:. . v = .... a .dx ax  b. 2. Nếu n lẻ:.  a. P.Pháp: Đặt: x  a.tgt. . 1. Nếu n chẵn: Áp dụng công thức.  x  b  t  b  Đổi cận:   x  a  t  a . 1.. du . ---------------------------------------------Dạng : A   Sin n x.dx Hay B   Cos n x.dx. P.Pháp: Đặt : t =  x   dt   /  x .d  x . Do đó: A . . a. A   f  x . /  x .d  x . b . b. b a. 2. 0.    t  2  2  dx  a.Cost.dt. P.Pháp:Đặt x  a.S int  . b. S   f ( x ) .dx. (a < b). a.  Đổi cận Phương pháp tính tích phân từng phần.  Hoành độ giao điểm của (c) và tục ox là nghiệm của phương trình: f(x) = 0 4. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> GV:. Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng. Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có nghiệm không thuộc đoạn a; b thì:. S.  z  z   z z. b.  f ( x ).dx. z  0 với mọi z   , z  0  z  0 .. a. Nếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn a; b . Giả sử x =  , x =  thì . . b. z  z ; zz  z z ;. a. . . z  z  z  z. S   f ( x ) .dx   f ( x ) .dx   f ( x ) .dx S. . . b. a. . . z là số thực  z  z ; z là số ảo  z   z.  f ( x ).dx +  f ( x ).dx +  f ( x ).dx. . 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y =f(x) và trục hoành: P.Pháp:  HĐGĐ của (c) và trục hoành là nghiệm của.   . x  a x  b. phương trình: f(x) = 0   b. S   f ( x ) .dx  a. . b. a. 1  i . Đặt   b 2  4ac o Nếu  = 0 thì phương trình có b một nghiệm kép(thực) : x = 2a o Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực : b   x1,2  2a o Nếu  < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức : b  i  x1,2  2a. . HĐGĐ của hai đường (c1) và (c2) là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) = 0 Lập luận giống phần số 1 V. Thể tích vật thể: 1. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn a; b . Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra vật thể có 2. thể tích: V  .  f ( x ) .dx a. 2. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn a; b . Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật thể có thể tích:.  Định lý Viet : Nếu phương trình bậc hai 2 az  bz  c  0 ( a, b, c  , a  0 ) có hai nghiệm z1 , z2 thì :. 2. V  . g( y ) .dy . a. IV. SỐ PHỨC:  Số i : i2 = -1  Số phức dạng : z = a + bi ; a,bR Số phức liên hợp của z = a + bi là. 2. ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0 ; a, b, c  R ). a. .  2i ; 1  i   2i .. Xét phương trình bậc hai :. S   f ( x )  g( x ) .dx. Modun của số phức : z  a 2  b 2. 2. Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : i a. b. . i1  i, i 2  1, i 3  i, i 4  1 .. i 4 n  1, i 4 n1  i, i 4 n 2  1, i 4 n3  i .. (c 1 ): y = f(x) và(c 2 ): y = g(x) và hai đường x = a; x = b: P.Pháp  DTHP cần tìm là:. b. a  c a+ bi = c + di   b  d (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i a  bi  a  bi  c  di   c  di c2  d 2. Ta có:.  f ( x ).dx. 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường. b. z z  ; z z. z1  z2  . b c và z1 z2  . a a.  Định lý đảo của định lý Viet : Nếu hai số z1 , z2 có tổng z1  z2  S và z1 z2  P thì z1 , z2 là nghiệm. z  a  bi z  z ; z  z '  z  z ' ; z.z '  z.z ' ;. của phương trình : z 2  Sz  P  0 . 5. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> GV:. Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng. HÌNH HỌC 12 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 12 I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1. sin  = 3. tan  =. AB AC (ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos  = (KỀ chia HUYỀN) BC BC AC AB (ĐỐI chia KỀ) 4. cot  = (KỀ chia ĐỐI) AB AC. II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2 2. AB2 = BH.BC 3. AC2 = CH.BC 4. AH2 = BH.CH. 5. AB.AC = BC.AH. 6.. A. . B. H. 1 1 1   2 2 AH AB AC2. C. III. ĐỊNH LÍ CÔSIN 1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA. 2. b2 = a2 + c2 – 2accosB. a b c    2R sin A sin B sin C. IV. ĐỊNH LÍ SIN V. ĐỊNH LÍ TALET a). 3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC A. MN // BC. AM AN MN ;   AB AC BC. b). B. VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG 1. Tam giác thường: a) S =. 1 ah 2. p(p  a)(p  b)(p  c). b) S =. N. M. AM AN  MB NC. C. (Công thức Hê-rông). c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác) 2. Tam giác đều cạnh a:. a) Đường cao: h =. a 3 ; 2. b) S =. a2 3 4. c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 3. Tam giác vuông:. a) S =. 1 ab (a, b là 2 cạnh góc vuông) 2. b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền 4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông): a) S =. 1 2 a (2 cạnh góc vuông bằng nhau) 2. b) Cạnh huyền bằng a. 5. Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o b) BC = 2AB. c) AC =. 6. Tam giác cân: a) S =. a 3 2. d) S =. 2. A. a2 3 8. 1 ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 2. B. 60 o. 30 o. C. b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực A 7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước) 8. Hình thoi: S =. 1 d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo) 2. N. M. 9. Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2 10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 11. Đường tròn: a) C = 2  R (R: bán kính đường tròn) b) S =  R2 (R: bán kính đường tròn) VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC 1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác. 6. Lop12.net. G B. P. C.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> GV:. Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng. a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm b) * BG =. 2 1 BN; * BG = 2GN; * GN = BN 3 3. 2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm 3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau. Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy). Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau 2. Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều .Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy .Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau 3. Đường thẳng d vuông góc với mp(  ): a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(  ) Tức là:. d  a; d  b  d ( ) a  b a,b   . ()  ()  b) ( )  ()  a  d  (  ) a  d  ()  c) Đt d vuông góc với mp(  ) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp(  ) 4. Góc  giữa đt d và mp(  ): d cắt (  ) tại O và A d AH  () ˆ =  Nếu  thì góc giữa d và (  ) là  hay AOH  H  ( ) 5. Góc giữa 2 mp(  ) và mp(  ): ()  ()  AB  Nếu  FM  AB;EM  AB EM  (),FM  ()  ˆ = thì góc giữa (  ) và (  ) là  hay EMF. d A.  d' H. . F. E. B . . A 6. Khoảng cách từ điểm A đến mp(  ): Nếu AH  (  ) thì d(A, (  )) = AH (với H  (  )) IX. KHỐI ĐA DIỆN: 1. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao). 1 Bh (diện tích đáy là đa giác) 3 VS.ABC SA SB SC  . . 3. Tỉ số thể tích của khối chóp: VS.ABC SA SB SC 4. Diện tích xq của hình nón tròn xoay: Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) 1 5. Thể tích của khối nón tròn xoay: V = Bh (diện tích đáy là đường tròn) 3 6. Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: Sxq = 2 Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) 2 7. Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh = R h ( h: chiều cao khối trụ) 2 8. Diện tích của mặt cầu: S = 4 R (R: bk mặt cầu ) 4 3 9. Thể tích của khối nón tròn xoay: V = R (R: bán kính mặt cầu) 3 2. Thể tích khối chóp:. V=. 7. Lop12.net. M. O.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> GV:. Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng. PHẦN II: HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN. 4) G là trọng tâm tứ diện ABCD.   GA  GB  GC  GD  0. I. CÔNG THỨC VECTƠ: . Trong không gian với hệ trục Oxyz cho. x A  x B  xC  X D  xG  4  y A  y B  yC  y D   yG  4  z A  z B  zC  z D   zG  4 .  a  a1 ; a2 ; a3 .  b  b1 ; b2 ; b3  Ta có:. . và k  R. . 1) a  b  a1  b1 ; a 2  b2 ; a 3  b3 .   3) a.b  a1 b1  a 2 b2  a 3 b3  2 2 2 4) a  a1  a 2  a 3 2) ka  ka1 ; ka 2 ; ka 3 . 5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k. Ta có: x A  kx B  x M  1 k  y A  ky B  y M  1 k  z A  kz B  z M  1  k .   5) Tích có hướng của hai vectơ a và b là    a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2  a, b   ; ;   b2 b3 b3 b1 b1 b2        6) a, b  a . b .Sin a, b.  .  . 7). 8) 9) 10) 11). 6) I là trung điểm của đoạn AB thì: xA  xB  x I  2  y A  yB  y I  2  z A  z2  z I  2  III. MẶT PHẲNG: 1) Giả sử mp   có cặp VTCP là :.  . a1  b1    a  b  a 2  b 2 a  b 3  3      a cùng phương b  a, b  0       a a, b hay b  a, b       a , b , c đồng phẳng  a, b .c  0   ab  a1 b1  a 2 b2  a 3 b3  0.      .  .  Ứng dụng của vectơ:. . 1 . AB, AC 2. .  a  a1 ; a 2 ; a 3   b  b1 ; b2 ; b3 . Nên có VTPT là:. S ABC . . VHoäpABCD. A B C D  AB, AD . AA /. . VTứdiệnABCD. /. /. . /. .     a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2  ; ; n  a, b    b b b b  2 3 3 1 b1 b2  2) Phương trình tổng quát của mp   có dạng:.  . . /. . Ax + By + Cz + D = 0. . 1  . AB, AC . AD 6. Với A  B  C 2. B x B ; y B ; z B . AB   x B  x A ; y B  y A ; zB  z A .  x A    y B  y A   z B  z A  3) G là trọng tâm ABC , ta có: 2) AB . x B. 2. 2. 2.   0 ; trong đó n   A; B; C . là VTPT của mp   3) Phương trình các mặt phẳng toạ độ:  (Oxy) : z = 0 ; (Ozy) : x = 0  (Oxz) : y = 0 4) Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt nhau:. II. TOẠ ĐỘ ĐIỂM: Trog không gian Oxyz cho A x A ; y A ; z A  1). , k 1. 2. 2. x A  x B  xC   xG  3  y  y  A B  yC  yG  3  z A  zB  zC   zG  3 .  1  : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0  2  : A2 x  B2 y  C 2 z  D 2  0 P.tr của chùm mp xác định bởi  1  và  2  là:   A x  B y  C z  D    A x  B y  C z  D   0 1. 1. 1. 1. 2. 2. 2. 2. với     0 5) Các vấn đề viết phương trình mặt phẳng: Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng P.Pháp:   Tìm VTPT n   A; B; C  và điểm đi qua 2. 2. M 0 x0 ; y 0 ; z 0 . 8. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> GV: . Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng. P.Pháp:   (P) có VTPT là n P. dạng:. A  x  x 0   B  y  y 0   C z  z 0   0. . Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C P.Pháp: . Tính AB, AC. . . . . Trục Oy chứa j  0;1;0 . Vấn Đề 4: Viết phương tình mp   là mặt phẳng trung trực của AB. P.Pháp:  Mp    AB. Nên có VTPT là AB đi qua I là trung điểm của AB  Kết luận. Vấn Đề 5: Viết phương tình mp   đi qua điểm. M 0  x 0 ; y 0 ; z 0  và song song với mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0. P.pháp:    //   . Nên phương trình   có dạng: /. Ax + By + Cz + D = 0. M 0     D /. . . .  Mp (P) có VTPT là n  AB, n Q và qua A  Kết luận. Vấn Đề 7: Viết phương trình mp   đi qua các. điểm là hình chiếu của điểm M  x 0 ; y 0 ; z 0  trên các trục toạ độ. P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu của điểm M trên Ox, Oy, Oz. Thì M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0). y x z   1 * Phương trình mp   là: x0 y z0. Vấn Đề 8: Viết phương trình mp   đi qua điểm M0 và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q).. 9. IA.  A1 x  B1 y  C 1 z  D1  0   A2 x  B 2 y  C 2 z  D 2  0 với A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2. 2) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 0  x 0 ; y 0 ; z 0  có VTCP.  a a1 ; a 2 ; a 3  là:  x  x 0  a1 t  y  y 0  a 2 t z  z  a t 0 3 . t  R . 3) Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua  điểm M0 có VTCP: a a1 ; a 2 ; a 3  là. x  x 0 y  y 0 z  z0   a1 a2 a3. Với.  Qui ước: Nếu ai = 0 thì x – x0 = 0  Vấn Đề 1: Tìm VTCP của đường thẳng tổng quát.. Mp (P) có cặp VTCP là: AB và VTPT của  (Q) là n Q. . . a12  a 22  a 32  0.  Kết luận Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mp (Q) P.Pháp: . .  Viết phương trình tổng quát. IV. ĐƯỜNG THẲNG:  Phương trình đường thẳng: 1) Phương trình tổng quát của đường thẳng:.   Trục Oz chứa k  0;0;1. . . Mp   có VTPT là n P , n Q và qua Mo.  Kết luận. Vấn Đề 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại tiếp điểm A. P.Pháp:  Xác định tâm I của mặt cầu (S)  Mặt phẳng   : Mp tiếp diện có VTPT :. . Mp (ABC) có VTPT là n  AB, AC và qua A  Kết luận. Vấn Đề 3: Viết phương trình mp   đi qua điểm A và vuông góc BC P.Pháp:Mp    BC. Nên có VTPT là BC qua A Chú ý:   Trục Ox chứa i  1;0;0  . . . (Q) có VTPT là n Q. Lop12.net.  A1 x  B1 y  C 1 z  D1  0 :   A2 x  B 2 y  C 2 z  D 2  0. P.Pháp:. .  B1C1 C1 A1 A1 B1   ; ;  B C C A A B  2 2 2 2 1 2.  có VTCP là : a  .  Vấn Đề 2: Viết phương trình đường thẳng  : P.Pháp:   Cần biết VTCP a  a1 ; a 2 ; a 3  và điểm. M 0 x 0 ; y 0 ; z 0   .  Viết phương trình tham số theo công thức (2)  Viết phương trình chính tắc theo công thức (3)  Viết phương trình tổng quát. thì từ phương trình chính tắc , ta có phương trình tổng quát:.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> GV:. Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng.  x  x0 y  y0   a a2  1   x  x 0  z  z0  a1 a3.   : Ax  By  Cz  D  0. P.Pháp:   Mp   có VTPT là n   A; B; C   Đường thẳng  đi qua điểm M0 và có VTCP là n  Viết phương trình chính tắc => Ptr tổng quát  Vấn Đề 4: Viết phương trình hình chiếu của d trên mp   P.Pháp:  Gọi d/ là hình chiếu của d trê mp   . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa  1. . Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa  2. .  Rút gọn về dạng (1)  Chú ý: Viết phương trình tổng quát về phương trình tham số Hoặc chính tắc. Ta tìm:  - VTCP u  a1 ; a 2 ; a 3  bằng vấn đề 11 - Cho một ẩn bằng 0 Hoặc bằng một giá trị nào đó. Giải hệ tìm x, y => z - Có điểm thuộc đường thẳng - Kết luận.  Vấn Đề 3: Viết ptr đường thẳng  đi qua điểm M 0  x 0 ; y 0 ; z 0  và vuông góc với mặt phẳng. . . Gọi   là mặt phẳng chứa d và    Nên   có cặp VTCP là. P  : P.tr đường thẳng d:  . Q  :.  Vấn Đề 7: Viết phương trình đường thẳng d  P  cắt cả hai đường  1 và  2 . P.Pháp:  Gọi A   1  P  . Gọi B   2  P .  Đường thẳng chính là đường thẳng AB  Vấn Đề 8: Viết phương trình đường thẳng d // d1 và cắt cả hai đường  1 và  2 . P.Pháp  Gọi (P) là mặt phẳng chứa  1 và (P) // d1  Gọi (Q) là mặt phẳng chứa  2 và (Q) // d1 . d  P   Q . . Phương trình đường thẳng d . P  : Q  :.  Vấn Đề 9: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau  1 và  2 . P.Pháp:    Gọi u1 và u 2 lần lượt là VTCP của  1 và  2. .  . . Gọi v  u1 , u 2 . . Gọi (P) là mặt phẳng chứa  1 và có một VTCP. . .  . . .  . là v . Nên có VTPT là n P  u1 , v   phương trình mặt phẳng (P)  Gọi (Q) là mặt phẳng chứa  2 và có một VTCP.    VTCP của d là u d và n  là VTPT của mặt phẳng       Mp   có VTPT n   u d , n    Mp   đi qua điểm M0  d. là v . Nên có VTPT là n Q  u 2 , v   phương. . Viết phương trình tổng quát của Mp  . . Phương trình đường thẳng d/: .   :   :.  Vấn Đề 5: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M 0  x 0 ; y 0 ; z 0  và vuông góc với hai đường  1 và  2 P.Pháp:    1 có VTCP u1.   2 có VTCP u 2  d vuông góc với  1 và  2 . Nên d có VTCP là    u d  u1 , u 2  .  Vấn Đề 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt cả hai đường  1 và  2 . P.Pháp:  Thay toạ độ A vào phương trình  1 và  2.  A  1 , A   2. 10. Lop12.net. trình mặt phẳng (Q)  Phương trình đường vuông góc chung của  1 và. P  : 2 :  Q  :.  Vấn Đề 10: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc (P) và cắt hai đường thẳng  1 và  2 P.Pháp:  Gọi   là mặt phẳng chứa  1 và có một VTCP là n P ( VTPT của (P) ).  Gọi   là mặt phẳng chứa  2 và có một VTCP là n P ( VTPT của (P) ).  Đường thẳng d        Vấn Đề 11: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M0 vuông góc với đường thẳng  1 và cắt đường thẳng  2 P.Pháp:.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> GV:. Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng. Gọi   là mặt phẳng đi qua M0 và vuông góc. . 1. Gọi   là mặt phẳng đi qua điểm M0 và chứa. . 2.  Đường thẳng d        Vấn Đề 12: Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của đường thẳng  và mặt phẳng   và d   , d P.Pháp:  Gọi A     . . A, B, C, D thuộc (S). Ta có hệ phương trình  Giải hệ phương trình tìm A, B, C, D  Kết luận  Vấn Đề 5: Lập phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy P.Pháp:  Gọi I(xI ; yI ; 0) là tâm của mặt cầu,. I  Oxy . .  AI 2  BI 2  Ta có Hpt  2 2  AI  CI  Giải Hpt  I  IA = R.  Gọi   là mặt phẳng đi qua A và vuông. góc với  . Nên   có VTPT là VTCP của  Đường thẳng d      . V. MẶT CẦU: 1. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) bán kính R là: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 2. Mặt cầu (S) có phươngtrình : x2 + y2 + z2 - 2ax 2by -2cz + d = 0 với đk a2 + b2 + c2 –d > 0 thì (S) có : Tâm I(a ; b ; c) Bán kính R  a  b  c  d  Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt cầu P.Pháp: Cần:  Xác định tâm I(a ; b ; c) của mặt cầu  Bán kính R  Viết phương trình mặt cầu (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2  Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB P.Pháp:   Gọi I là trung điểm của AB. Tính toạ độ I => I là tâm mặt cầu 2. . Bán kính R . 2. 2. 1 AB 2. R  d I ,   .  Kết luận VI. KHOẢNG CÁCH: 1) Khoảng cách giữa hai điểm AB. AB . x B.  x A    y B  y A   z B  z A  2. 2. Ax I  By I  Cz I  D A2  B2  C 2.  Viết phương trình mặt cầu  Vấn Đề 4: Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD P.Pháp:  Phương trình mặt cầu (S) có dạng x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By +2Cz + D = 0. 11. Lop12.net. 2. 2) Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng   : Ax + By + Cz + D = 0. d M 0 ,   . Ax 0  By 0  Cz 0  D A2  B2  C 2. 3) Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d  Lấy M0  d   Tìm VTCP của đường thẳng d là u. M M , u  0. d M 1 , d  .  u. 1. 4) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  / và . . Gọi u và u lần lượt là VTCP của . . /. /. và  / /   đi qua điểm M0 , M 0  . u, u .M M d ,    u, u  /.  Viết phương trình mặt cầu  Vấn Đề 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) và tiếp xúc với   : Ax + By + Cz + D =0 P.Pháp:  Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với   . Nên có bán kính . Ta có AI2 = BI2 = CI2. 0. /. / 0. /. VII.GÓC:. . . 1. Góc giữa hai vectơ a và b. . . Gọi  là góc giữa hai vectơ a và b.  a.b Cos     a.b. a1 b1  a 2 b2  a 3 b3 a12  a 22  a 32 . b12  b22  b32. 2. Góc giữa hai đường thẳng (a) và (b) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng (a) và (b). 0    90  0. Đường thẳng (a) và (b) có VTCP lần lượt là :.  a  a1 , a 2 , a 3 .

<span class='text_page_counter'>(12)</span> GV:. Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng.  b  b1 , b2 , b3   a.b a1 b1  a 2 b2  a 3 b3 Cos     a.b a12  a 22  a 32 . b12  b22  b32   Đặc biệt: ab  a.b  0 / 3. Góc giữa hai mặt phẳng   và     : Ax + By + Cz + D = 0  /  : A/x + B/y + C/z + D/ = 0 / Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng   và   AA /  BB /  CC /. Cos . A2  B2  C 2 . A/ 2  B/ 2  C / 2 4. Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng    (d): có VTCP là u = (a, b, c)   : Ax + By + Cz + D = 0 Gọi  là góc nhọn giữa (d) và   Aa  Bb  Cc Sin  A2  B2  C 2 . a2  b2  c2.  .  Gọi d là đường thẳng đi qua M và d  .  Nên d có VTCP là n  Viết phương trình tham số của d  Gọi H   d     Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương. d  : => Tọa độ điểm H   :. trình .  Vì H là trung điểm của MM/ => Tọa độ điểm M/  Vấn Đề 2: Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng của M0 qua đường thẳng d P.Pháp:  Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ )  Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M0 và P d . Nên (P) nhận VTCP của d làm VTPT  Gọi H   d  P   M/ là điểm đối xứng của M0 qua đường thẳng d. Nên H là trung điểm của đoạn M0M/. 5. Vị trí tương đối giữa mp   và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R P.Pháp:  Tính d(I,   ) . P.Pháp:  Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) là điểm đối xứng của M qua  . Nếu d(I,   ) > R =>   không cắt (S) Nếu d(I,   ) = R =>   tiếp xúc (S). Nếu d(I,   ) < R =>   cắt (S) theo một đường tròn giao tuyến có bán kính. r  R 2  d I ,  . 2. Gọi d/ là đường thẳng đi qua tâm I và d   /. Gọi H   d     H là tâm đường tròn giao tuyến /. 5. Tọa độ giao điểm của đường thẳng  và mặt cầu (S) P.Pháp: * Viết phương trình đường  về dạng phương trình tham số * Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta được phương trình () theo t  Nếu ptr () vô nghiệm =>  không cắt mặt cầu (S)  Nếu ptr () có nghiệm kép =>  cắt (S) tại một điểm Nếu ptr () có hai nghiệm =>  cắt (S) tại hai điểm. Thế t = ... vào phương trình tham số của  => Tọa độ giao điểm  Vấn Đề 1: Tọa độ điểm M/ đối xứng của M qua mặt phẳng  . 12. Lop12.net.  x0  x / x H  2  y0  y /  Ta có:  y H  2   z0  z / z   H 2 . => M/.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>