Về biên khung tốt nhất trong không gian Hilbert - Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp. Hồ Chí Minh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (484.85 KB, 3 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

96 Tăng Tấn Đông

VỀ BIÊN KHUNG TỐT NHẤT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

ON THE OPTIMAL FRAME BOUNDS IN A HILBERT SPACE

Tăng Tấn Đông

HVCH Tốn giải tích K34, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng;

Tóm tắt - Một dãy các vectơ ={fk}k=1 trong không gian
Hilbert được gọi là khungcủa không gian này nếu tồn tại các

hằng số Avà B, 0AB  sao cho

2 2 2

| , | || || .

k

A f f fk B f f



    

‖ ‖ Các hằng số

, 0

A B trên tương ứng được gọi là biên khung dưới và biên khung 
trên. Ta gọi biên khung dưới tốt nhất là supremum của tất cả các biên
khung dưới, còn biên khung trên tốt nhất là infimum của tất cả các
biên khung trên. Các biên khung tốt nhất này có ý nghĩa rất quan
trọng. Trong bài báo này, tác giả xây dựng công thức tổng quát cho
các biên khung dưới và trên tốt nhất này và đưa ví dụ áp dụng.

Abstract - A sequence ={fk}k=1of elements in Hilbert space
is a frame for if there exist constants

A

and B, 0AB so

that 2 2 2

| , | || || .

k

A f f fk B f f


=



   

‖ ‖ The numbers

, 0

A B are called lower frame bound and upper frame bound. The
optimal lower frame bounds are in the supremum over all lower frame
bounds, and the optimal upper frame bounds are in the infimum over
all upper frame bounds. Evidently frame bounds optimal have very
important meaning. In this article, we construct formulae of the optimal
bounds for a frame in a Hilbert space and give an example to apply
these formulae.

Từ khóa - Khung trong không gian Hilbert; khung; biên khung;

Không gian Hibert; biên khung tốt nhất. Key words - Hilbert space; optimal frame bounds. Frame in a Hilbert space; Frame; Frame bound;

1.Mở đầu

Một trong những khái niệm quan trọng nhất của khơng
gian vectơ là cơ sở, vì mỗi vectơ của không gian đều được
biểu diễn duy nhất dưới dạng một tổ hợp tuyến tính các
phần tử thuộc cơ sở này. Chẳng hạn như, ta xét không gian
vectơ hữu hạn chiều . Nếu{fk k}N=1là một cơ sở của khơng
gian , thì mỗi vectơ f  đều có biểu diễn dưới dạng

1
( )

N

k k

k

f c f f

=  (1)

và các hệ số ck( )f này là duy nhất, chúng chỉ phụ thuộc
f . Chính vì vậy, hệ các vectơ cơ sở của khơng gian tuyến
tính thường được xem như là các khối xây dựng cơ bản 
(elementary building blocks). Tuy nhiên, yêu cầu của một

hệ vectơ tạo thành một cơ sở lại quá chặt chẽ, mà đòi hỏi
cơ bản nhất của nó là phải độc lập tuyến tính. Thậm chí nếu

là khơng gian Hilbert thì người ta cịn địi hỏi chúng phải
là cơ sở trực chuẩn, vì từ cơ sở (hệ độc lập tuyến tính cực
đại) ta có thể sử dụng phương pháp trực giao hóa Schmidt
rồi chuẩn hóa để được cơ sở trực chuẩn. Khái niệm "khung"
xuất hiện nhằm làm giảm thiểu các yêu cầu khắt khe của
sự độc lập tuyến tính của một hệ vectơ, nhờ đó mà có được
nhiều ứng dụng hơn. Ta nói một dãy các vectơ ={fk k}=1
trong khơng gian Hilbert được gọi là khung (frame) của
không gian này, nếu tồn tại các hằng số Avà B,

0A B sao cho

2 2 2

| , k |

k

A f f f B f f


=

    

‖ ‖ ‖ ‖ (2)

Các hằng sốA B, 0trong (2) tương ứng được gọi là

biên khung dưới và biên khung trên. Rõ ràng rằng các biên

khung này không duy nhất. Ta gọi biên khung dưới tốt nhất 
(the optimal lower frame bound) là supremum của tất cả

các biên khung dưới, còn biên khung trên tốt nhất (the 
optimal upper frame bound) là infimum của tất cả các biên
khung trên.

Hiển nhiên, biên khung tốt nhất có một ý nghĩa rất quan

trọng, bởi vì một mặt ta thu được các hệ số tính tốn "tiết
kiệm" nhất, mặt khác các giá trị này cho biết một dãy

1
{fk k}=

= trong khơng gian Hilbert có là khung hay
khơng. Thật vậy, nếu ta kí hiệu biên khung trên tốt nhất và
biên khung dưới tốt nhất lần lượt là up và low thì khi
một trong hai điều kiện up =0 hoặc low=  xảy ra, lúc
đó dãy không thể là khung.

Trong nhiều tài liệu, chẳng hạn [2] và [3], đã đưa ra các
định nghĩa biên khung tốt nhất, nhưng chưa thấy tài liệu
nào xây dựng công thức cho các biên khung tốt nhất này
dưới dạng tổng quát. Trong nghiên cứu này, tác giả sẽ giới
thiệu công thức tổng quát cho các biên khung dưới và trên
tốt nhất này và đưa ra các ví dụ áp dụng.

2.Biên khung tốt nhất

Ta thấy rằng, biên khung trên tốt nhất up 0phải thỏa
mãn hai điều kiện sau và hai điều kiện này được gọi là hai

điều kiện đặc trưng của biên khung trên tốt nhất.

(a) 2 2

| , j | up ;

j

f f f f



=     

 ‖ ‖

(b) Nếu có B0thỏa mãn

2 2

, |

| j

j

f f B f f



=     

 ‖ ‖ thì up B.

Như vậy, biên khung trên tốt nhất up của dãy khung là

2 2

inf{ : | , | }.

up j

j

B f f B f f


=

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 17, NO. 1.1, 2019 97

Tiếp theo, biên khung dưới tốt nhất của dãy khung
0

low  , phải thỏa mãn hai điều kiện sau và hai điều kiện

này được gọi là hai điều kiện đặc trưng của biên khung
dưới tốt nhất.

. , | ;

low j

j

f  f f f

     

‖ ‖

(d) Nếu có A0thỏa mãn

2 2

, |

| j

j

A f  f f f

     

‖ ‖ thì A low.

Và ta cũng có biên khung dưới tốt nhất của khung là

2 2

sup{ : | , | }

low j

j

A A f  f f f

= ‖ ‖       .

Định lý 1. Nếu ={f j}j=1là một khung trong khơng

gian Hilbert , thì:

(a) Biên khung trên tốt nhất của khung là

( )

1 2

0 1

2
1

|
1

, |

sup sup{ , | }

sup{ , | }.

j
j

up j

f f

j
j
f

j
f f

f f
f

f f


=

 


=



=

 



= =  

=   

‖ ‖

(b) Biên khung dưới tốt nhất của khung là

( )

1 2

0 1 1

1 1

, |

inf inf { , | }

{ , | }.
|

inf |

j
j

low j

f f j

j

f j

f f

f f
f

f f




=

  =


= =

 



= =   

=   

‖ ‖

Chứng minh:

(a) Theo tính chất (a) về đặc trưng của cận trên tốt nhất,

ta có 2 2

, |

| j up. .

j

f f f



=   

 ‖ ‖

Từ đó

2
1

2 0

| , j |

j
up

f f

f
f



=  



  

‖ ‖

Vì vậy

2 2

1 1

2 2

0 0 1

, | , |

sup sup

| j | j

j j

up

f f

f f f f

f f

 

= =

  

   

 

 

‖ ‖ ‖ ‖

( )

2 2

1 1

sup | , j | sup | , j |

j j

f f

f f f f

 

= =

 =

       

Lấy 2

1
1

sup | , j |

j
f

B  f f

=
=

=    Ta sẽ kiểm tra bất đẳng thức

2 2

, |

j j

f f B f f



=     

 ‖ ‖ (6)

Nếu bất đẳng thức (6) đúng, thì từ tính chất (b) về đặc
trưng biên khung trên tốt nhất up, ta suy ra B up và
khi đó (5) thực sự là một đẳng thức, và ta sẽ có đẳng thức
(3) cần chứng minh.

Như vậy, ta chỉ cần kiểm tra tính chất (6). Nếu f =0

thì bất đẳng thức (6) hiển nhiên, cịn nếu f 0 thì ta cũng
có (6) do

2 2 2 2

1 1

, | | ,

| j |

j j

f

f f f fj B f

f

 

=   = 

 =‖ ‖  ‖ ‖

‖ ‖

(b) Theo (c) ta có 2 2

. | , |

low j

j

f f f


=

   

‖ ‖ với mọi

f  . Từ đó

2
1

, |

j
j

low

f f

f
f



=  



  

‖ ‖

Vì vậy

( )

0 || || 1

2 2

1 1

2 2

|| 1 1 || | 1| 1

, | , |

|

inf

|

inf

|

j j

low

f f

f f f f

f f

f f f f

 

= =



=





 =

   

 

   

 



‖ ‖ ‖ ‖

Lấy 2

1 1

inf

|

, j |

f j

A f f


= =

=    ta sẽ kiểm tra bất đẳng thức

2 2

, |

|

j

j

A f  f f f

     

‖ ‖ (8)

Nếu bất đẳng thức (8) đúng, thì từ tính chất (d) về đặc
trưng biên khung dưới tốt nhất lowta suy ra A lowvà
khi đó (7) thực sự là một đẳng thức, và ta sẽ có đẳng thức
(4) cần chứng minh.

Vậy ta chỉ cần kiểm tra cơng thức (8). Nếu f =0thì bất
đẳng thức (8) hiển nhiên, cịn nếuf 0 thì ta cũng có (8) do

2 2 2 2

1 1

, | | , | .

|

j j

j j

f

f f f f A f

f

 

=   = = 

 ‖ ‖  ‖ ‖

‖ ‖

Như vậy, định lý được chứng minh hoàn tồn.

3.Kỹ thuật tìm biên khung tốt nhất

Từ các cơng thức tính các biên khung tốt nhất (3) và (4)
ứng với upvà low nói trên, ta thu được một thuật tốn
tính chúng như sau.

3.1.Tìm up

Để chứng minh rằng up = ta thường làm như sau.
(i) Trước hết ta chứng minh

2 2

, |

|

j

f f  f f



=     

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

98 Tăng Tấn Đông

Theo (b) ta sẽ có up .

(ii) Tiếp theo ta tìm g với ‖ g‖=1mà
2

, | ,

|

j

j

g f 



=   

 từ (3) ta suy ra  up. Từ hai bất đẳng

thức trên ta thu được up =.
3.2.Tìm low

Để chứng minh rằng low =ta thường làm như sau.
(i) Trước hết chứng minh

2 2

, |

| j

j

f f f f

 

     

‖ ‖

thì từ (d) suy ra



 low.

(ii) Tiếp theo ta tìm h với ‖ ‖h =1mà
2

1
,

| j | ,

j

h f 



=   

 từ (4) suy ra



 low.Từ hai bất đẳng

thức trên ta sẽ thu được low=.

4.Ví dụ áp dụng

Giả sử

1 1 1/ 2 1 2 2 3 3/ 2 3

/ 2

1 1 1

{ } { , , , , , , ..

2
1
.., , , ..},

2

k k

n n n

F f e e e e e e

e e


=

= =

ở đây { }ek k=1 là một cơ sở trực chuẩn của . Do

F

chứa

cơ sở trực chuẩn { }ek k=1 của và một tập con thực sự của
cơ sở này, nên

F

là một khung. Ta có

2 2 2

1 1 1

, | , | | , .

| |

| k k k

k k k

f f f e f ek

  

=   = =   + =  

  

Rõ ràng rằng

2 2 2

1 1 1

2 2 2

, | , | | ,

| | |

2
1

| , |

k k k k

k k k

k
k
k

f f f e f e

f f e f

  

= = =


=

  =   +  

  

=‖ ‖ +   ‖ ‖

và

2 2 2

1 1 1

2 2 2

1 3

2 2

| , | | , | 1| ,

|
|
,
|

k k k k

k k k

k
k

f f f e f e

f f e f

  

= = =


=

  =   +  

  

 ‖ ‖ +    = ‖ ‖

cho nên

2 2 2

3
2

, | .

| k

k

f f f f


=

    

‖ ‖ ‖ ‖

Nghĩa là F ={fk}k=1là một khung của với các biên
khung dưới và trên là 1 và 3 / 2tương ứng. Vậy thì

3
2

1 và

low up

F  F  (9)

Ta sẽ chỉ ra rằng biên dưới tốt nhất là Flow =1và biên
trên tốt nhất là Fup =3 / 2. Thật vậy, với f =e1thì

1
f =

‖ ‖ và 2 1 1 2 1 1 2

1 3

2 2

| | | | |

| , k , , ,

k

f f e e e e



=   =   +   =



nên theo định nghĩa supremum ta có Fup 3 / 2và kết hợp
với (9) ta suy ra Fup =3 / 2.

Tiếp theo, nếu f =envới n thì ‖ f ‖=1và

2 2 2

1
2

| | | 1

| , , , 1 .

2 | |

k n n n n n

k n

f f e e e e



=   =   +   = +



Do đẳng thức trên đúng với mọi n nên từ định

nghĩa infimum ta suy ra rằng Flow 1. Vậy khi kết hợp với
(9) ta có Flow =1.

5.Kết luận

Trong bài báo này chúng tôi đã xây dựng công thức
tường minh cho các biên khung dưới tối ưu, biên khung
trên tối ưu trong không gian Hilbert tổng quát và đưa ra ví
dụ áp dụng cho công thức này.

Lời cám ơn: Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS
Nguyễn Nhụy, Đại học Quốc gia Hà Nội, đã đưa ra các chỉ
dẫn để viết bài báo này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Christensen, H., What is a Frame?, Notices the AMS, Volume 60,
Number 6, 2016.

[2] Christensen, O., An Introduction to Frame and Riesz Bases, Second

Edition, Birkhaeuser, 2015.

[3] Hernandez, E., Weiss, G., A First Course on Weiveles, Boca Raton,
New York, 1996.

[4] Heuser, H., Functional Analysis, Wiley, New York, 1982.
[5] Nguyễn Nhụy, Giáo trình Giải tích Fourier, Đại học Quốc gia Hà

Nội, 2015.

[6] Hoàng Tụy, Hàm thực và Giải tích hàm, Đại học Quốc gia Hà Nội,
2003.

</div>