Chuyên đề: Phương trình- Bất phương trình bậc hai và bậc cao

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Trường THPT Hàn Thuyên. PT - BPT bËc 2 - bËc cao. Chuyên đề: Phương trình- Bất phương trình bậc hai vµ bËc cao Phương trình. PhÇn I:. A. Phương trình không chứa tham số I.Một số dạng phương trình dùng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương tr×nh bËc hai Dạng 1: Phương trình trùng phương Phương trình. C¸ch gi¶i:. *PT (1) §Æt. ax 4  bx 2  c  0 ( x  a ) 4  ( x  b) 4  c. x 2  t (t  0). (a  0). (1) (2). PT đã cho thành :. at 2  bt  c  0. *PT (2) được đưa về PT trùng phương bằng cách đặt. t  x. ab 2. VÝ dô1:. Giải phương trình :. ( x  3) 4  ( x  5) 4  2. Lêi gi¶i §Æt t  x  3  5  x  4  x  3  t  1; x  5  t  1 2. PT đã cho thành: (t  1)4  9(t  1)4  2  2t 4  12t 2  2  2  t 2 (t 2  6)  0  t  0 . Từ đó x  4  0  x  4 VÝ dô 2: Giải phương trình: cos 4 x  (1  cos x) 4  17. Lêi gi¶i. Viết lại PT đã cho thành. cos 4 x  (cos x  1) 4  17 (1) §Æt t  cos x  0  (1)  cos x  1  cos x  t  1 ( cos x  1)   3  t  1 . (*). 2 2 2 2 2. (1) trë thµnh :. -1-. Lop12.net. Khi đó.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Trường THPT Hàn Thuyên. PT - BPT bËc 2 - bËc cao. 15 2 t   1 4 1 4 1 1 4 t3 (t  )  (t  )  17  2t 4  3t 2   17  2t 4  3t 2   17  0   2 2 8 8 2 t 2  9  4. §k (*). VËy. cos x  1  x  (2k  1) , (k  Z ). là nghiệm của Pt đã cho.. Bài tập tương tự : Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) ( x  4)4  ( x  6)4  2 . §¸p sè: x  5 b). x  y  3  4 4  x  y  81. §¸p sè: ( x; y )  (0;3);(3;0). D¹ng 2: PT d¹ng ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d )  m. (víi : C¸ch gi¶i : §Æt t  x 2   x (víi   a  b  c  d ). ab  cd ). VÝ dô :. Giải phương trình : ( x  1)( x  3)( x  5)( x  7)  9. (3). Lêi gi¶i Ta cã   1  7  3  5 §Æt t  x 2  8 x  (3)  (t  7)(t  15)  9  t 2  22t  96  0  x 2  8 x  16  0 t  16   2 t  6  x  8 x  6  0. VËy PT(3) cã ba nghiÖm Bài tập tương tự:. §¸p sè:. x  4; x  4  10; x  4  10. Giải các phương trình sau:. a ) ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  3 b) ( x  4)( x  5)( x  6)( x  7)  1680. 5  13 2 b) x  1; x  12 a) x . e a. Dạng 3: Phương trình ax 4  bx3  cx 2  dx  e  0 ( với : abe  0;  -2-. Lop12.net. d2 ) b2. (do.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Trường THPT Hàn Thuyên. PT - BPT bËc 2 - bËc cao. C¸ch gi¶i: Chia hai vÕ PT cho VÝ dô1:. x2. rồi đặt. t  x. d bx. Giải phương trình. 2 x 4  21x3  74 x 2  105 x  50  0. (4). Lêi gi¶i Cã. a  2; b  21; d  105; e  50 . ThÊy. x0. kh«ng lµ nghiÖm cña (4) , chia hai vÕ (4) cho. x 2  (4)  2( x 2 . §Æt. t  x. e d2   25 a b2. 25 5 )  21( x  )  74  0 2 x x. 5  (4) x. thµnh. 2(t 2  10)  21t  74  0  2t 2  21t  54  0. Gi¶i tiÕp hai PT. t  6  9 t   2 5 5 9 x   6  0; x    0 x x 2. ta ®­îc nghiÖm cña (4) lµ. 5 x  1; x  2; x  ; x  5 2. VÝ dô2: Gi¶i PT (2 x 2  3 x  18)(3 x 2  2 x  27)  41x3  10 x 2  369 x. (4'). Lêi gi¶i ThÊy x  0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (4'), chia hai vÕ (4') cho. x2. 18 27 369 (2 x  3  )(3 x  2  )  41x  10  x x x 9 9 9      2( x  )  3 3( x  )  2   41( x  )  10 x x x    Đặt t  x  9 , Pt đã cho trở thành: x. t  8 (2t  3)(3t  2)  41t  10  3t  23t  8  0   1 t  3  Thay t  8 ; t  1 vµo biÓu thøc t  x  9 vµ gi¶i 3 x 2. -3-. Lop12.net. ta ®­îc kÕt qu¶…. ta ®­îc:.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Trường THPT Hàn Thuyên. Vậy PT đã cho có 4 nghiệm là:. PT - BPT bËc 2 - bËc cao. x  1; x  9; x . 1  325 6. Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau a ) x 4  6 x3  4 x 2  12 x  4  0 1 1 b) ( x 2  3 x  )( x 2  x  )  12 x 2 4 4. Hướng dẫn: a) Bạn đọc tự giải b) thấy x  0 không là nghiệm của pt đã cho, chia hai vế pt cho x 2 , đặt t  x  1 ,…. 4x. Më réng : Tương tự như cách giải trên, đối với pt dạng đối xứng an x n  an 1 x n 1  .....  a1 x  a0  0. (víi:. an  a0 ; an 1  a1 ;... ). C¸ch gi¶i: 1)Đối với pt đối xứng bậc chẵn 2k : Vì x  0 không là nghiệm của pt đã cho, chia hai vế pt cho x k , đặt t  x  1 ,… x. 2) Đối với pt bậc lẻ : Dễ thấy pt luôn có một nghiệm là x  1 , do đó luôn phân tích được vế trái pt đã cho thành tích của ( x  1) với một đa thức đối xøng bËc ch½n VÝ dô:. Gi¶i c¸c pt sau:. 1)2 x 4  3 x3  16 x 2  3 x  2  0 2) x 7  2 x 6  3 x5  x 4  x3  3 x 2  2 x  1  0. Hướng dẫn: 1) §¸p sè: x  2 . 1 3; x  ; x  2 2. 2) Dùng lược đồ Hoocne chia vế trái pt đã cho cho thµnh: ( x  1)( x 6  3 x5  6 x 4  7 x3  6 x 2  3 x  1)  0 x 1  0  6 5 3 2  x  3 x  7 x  6 x  3 x  1  0 (*). -4-. Lop12.net. x  1.. Vậy PT đã cho.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Trường THPT Hàn Thuyên. PT - BPT bËc 2 - bËc cao. Gi¶i(*) b»ng c¸ch chia hai vÕ cho §¸p sè:. x3 ,. đặt. t  x. 1 x. ,…. x  1. Dạng 4: Phương trình dạng a(ax 2  bx  c)2  b(ax 2  bx  c)  c  x C¸ch gi¶i: §Æt ax 2  bx  c  y ta cã hÖ 2 ay  by  c  x  2 ax  bx  c  y. (I). Hệ (I) là hệ đối xứng loại 2, trừ vế với vế hai PT trong hệ ta được PT dạng tÝch … Ví dụ: Giải phương trình 2(2 x 2  2 x  5)2  4 x 2  3x  5  0 Lêi gi¶i §Æt y  2 x 2  2 x  5  4 x 2  3x  5  2 y  x  5 VËy (5) thµnh 2 y 2  2 y  5  x VËy ta cã hÖ * Víi. *Víi. x y. (5). x  y 2 2 x  2 x  5  y  ( x  y )(2 x  2 y  1)  0    2 x  1  y 2 y  2 y  5  x 2 . ta cã.  x  1 2 y  3y  5  0   x  5 2  2. 1 1 3 5 1 3 5  y  4 y 2  2 y  11  0  y  x 2 4 4 (5) cã 4 nghiÖm lµ: x  1; x  5 ; x  1  3 5 2 4. x. VËy PT. Bài tập tương tự:. Gi¶i PT sau. ( x  3 x  4) 2  3( x 2  3 x  4)  4  x 2. Bạn đọc tự giải Dạng 5: Phương trình dạng C¸ch gi¶i:. x 4  ax 2  bx  c. -5-. Lop12.net. (*).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Trường THPT Hàn Thuyên. PT - BPT bËc 2 - bËc cao. T¸ch bËc ®­a vÒ d¹ng PT tÝch, dùa trªn c¬ së sau: Víi m  R ta lu«n cã (*)  ( x 2  m)2  (2m  a) x 2  bx  c  m2 (**) Gäi f ( x)  (2m  a) x 2  bx  c  m2 Ta tìm m sao cho f ( x) trở thành bình phương đủ    0; 2m  a  0 Khi đó f ( x)   g ( x)2 và (*)  x 2  m   g ( x) Ví dụ: Giải phương trình x 4  3x 2  10 x  4 Lêi gi¶i Víi m ta cã (6)  ( x 2  m)2  (3  2m) x 2  10 x  4  m2 Gäi f ( x)  (3  2m) x 2  10 x  4  m2. (6). (6').  ' f  25  (3  2m)(4  m 2 )  (m  1)(2m 2  5m  13). Ta t×m m sao cho VËy.  ' f  0   3  m  1 m  2 .  x 2  1  5( x  1) (6')  ( x  1)  5 x  10 x  5  ( x  1)  5( x  1)   2  x  1   5( x  1) 2. 2. 2. 2. 2. 2. Gi¶i hai Pt trªn, ta ®­îc 2 nghiÖm cña PT (6) lµ: x. 5  1 4 5 2. Bài tập tương tự : Giải phương trình sau x 4  2 x 2  3x . §¸p sè:. x  1. 7 16. 3 2. Dạng 6: Phương trình dạng 2 (ax  b) 2 (a ' x  b ') 2   (a  a ') x  (b  b ')   c  0 C¸ch gi¶i: §Æt t  (ax  b)(a ' x  b ') Ví dụ: Giải phương trình. x 2 ( x  1) 2  (2 x  1) 2  2. -6-. Lop12.net. (7).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Trường THPT Hàn Thuyên. PT - BPT bËc 2 - bËc cao. Lêi gi¶i. (7)  x 2 ( x  1) 2   x  ( x  1)   2 2.  x 2 ( x  1) 2   x  ( x  1)   4 x( x  1)  2 2.  x 2 ( x  1) 2  4 x( x  1)  3  0 §Æt t  x( x  1), t  1 . KÕt hîp 4. víi Pt(7)  t . 2. Vậy pt đã cho trở thành t 2. t 2  4t  3  0  t  2  7  x 2  x  2  7  0  x . nghiÖm cña pt. 1 9  4 7 2. (7) .. Bài tập tương tự:. Gi¶i PT sau. 2( x  3) 2 ( x  2) 2  (2 x  1) 2  9. Hướng dẫn: Đưa PT đã cho về dạng: ( x  3) 2 ( x  2) 2  2( x  3)( x  2)  8 ( x  3)( x  2)  4  ( x  3)( x  2)  2  1  41 x  2   1  17 x  2  Dạng7: Phương trình dạng 1 1  c 2 2  ( x )  a   ( x )  b . C¸ch gi¶i: 1 §Æt t   VT(ptđã cho) trở thành:  ( x)  a  ( x)  b  2.   1 1 2       ( x)  a  ( x)  b   ( x)  a  ( x)  b . b  a  2   2 2  ( x)  a   ( x)  b   ( x)  a  ( x)  b  2. -7-. Lop12.net. lµ.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Trường THPT Hàn Thuyên. . PT - BPT bËc 2 - bËc cao. Pt đã cho đưa được về dạng bậc hai đối với ẩn t. Vídụ: Giải phương trình 2. 2. 1 1     13  2   2    x  x  1   x  x  2  36. Lêi gi¶i §Æt. t. x. 1. 2. .  x  1 x2  x  2. (7).  2. 1 1 2    VT (7)   2  2   2 2  x  x  1 x  x  2  ( x  x  1)( x  x  2) 1 2   2 2 2 x  x  1 ( x 2  x  2) x2  x  1 x2  x  2. .  . . . VËy pt(7)  t 2  2t . 13 0 36.  1 t  6  t  13  6. *víi. t. 1 6. ta cã:. 1  ( x 2  x  1)( x 2  x  2)  6 6  1  5  x2  x  1 x  2  2   x  x  4  x   *Với t  13  tương tự cách làm trên, 6 VËy pt(7) cã hai nghiÖm lµ x  1  5 2 t. pt v« nghiÖm.. L­u ý: Chúng ta hoàn toàn có thể giải phương trình trên bằng cách đưa được về d¹ng 6 ThËt vËy: -8-. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Trường THPT Hàn Thuyên. §Æt. t  x2  x  1. . PT - BPT bËc 2 - bËc cao. PT(7) thµnh: 1 1 13   2 2 a (a  1) 36  36 (a  1) 2  a 2   13a 2 (a  1) 2  36  (a  1)  a   13a 2 (a  1) 2  72a (a  1) 2.  36  13a 2 (a  1) 2  72a (a  1). §Æt. t  a (a  1) ,. Pt trªn thµnh 13t 2  72t  36  0 t  6   6 t   13.  x   x 2  x  1  3  a  3  2  *Víi t  6  a(a  1)  6    x  1  5  x  x  1  2 a  2  2 6 *Víi t   a   13 Vậy pt đã cho có hai nghiệm là x  1  5 2. II.Phương pháp đưa về phương trình tích. 1.§o¸n nghiÖm h÷u tû. C¬ së lÝ thuyÕt: Gi¶ sö f ( x)  a0 x n  a1 x n1  ...  an1 x  an . lµ ®a thøc víi hÖ sè nguyªn. NÕu ®a thøc. f ( x). cã nghiÖm h÷u tû. x0 . p q. thì p là một ước số (dương hay. ©m ) cña an vµ q lµ mét ­íc sè cña a0 . Khi đó dùng lược đồ Hoocne ta tìm được nghiệm hữu tỷ của đa thức (nÕu cã) vµ ph©n tÝch lu«n ®­îc f ( x)  a0 ( x  x0 ).g ( x). f ( x). Ví dụ 1: Giải phương trình 3x3  14 x 2  4 x  3  0 (8) Gi¶i: Trước hết ta kiểm tra xem pt đã cho có nghiệm hữu tỷ hay không? Bằng phương pháp tìm nghiệm hữu tỷ ở trên. Thật vậy: -9-. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Trường THPT Hàn Thuyên. PT - BPT bËc 2 - bËc cao. Sè h¹ng tù do lµ 3 cã c¸c ­íc sè (kÓ c¶ ©m) lµ 1; 3 HÖ sè cao nhÊt lµ 3 cã c¸c ­íc sè lµ 1;3 VËy nghiÖm h÷u tû nÕu cã ph¶i lµ mét trong c¸c sè sau ®©y: Dùng lược đồ Hoocne ta tìm được nghiệm của pt là. x. 1 3( x  )( x 2  5 x  3)  0 . 3 Vậy pt đã cho có ba nghiệm là x  1 ; x  5  13 3 2 Bài tập tương tự : Giải các phương trình a) x 4  8 x 3  3 x 2  32 x  4  0 b) 2 x 3  11x 2  11x  3  0 c) x 4  5 x 3  10 x  4  0 §¸p sè : a) x  2; x  4  15. 1 , 3. 1 1;  ;  3 . 3. hơn nữa pt đã. cho viết được dưới dạng pt tích là :. (9). 5  13 2 2 x  1; x  2; x  2  6. b) x  1 ;. x. c) Lưu ý: Không phải bất kỳ phương trình nào cũng có nghiệm hữu tỷ nên phương pháp trên sẽ không thể làm được khi gặp tình huống PT không có nghiÖm h÷u tû. 2.Nhóm các số hạng một cách thích hợp , dùng công thức hằng đẳng thức để đưa pt đã cho về dạng pt tích VÝ dô2: Gi¶i PT x 4  12 x3  32 x 2  8 x  4  0 (10) Gi¶i: Trước hết ta kiểm tra xem pt có nghiệm hữu tỷ hay không? Thật vậy nếu pt trªn cã nghiÖm h÷­ tû th× theo lý thuyÕt trªn nghiÖm h÷u tû chØ cã thÓ lµ 1;  2;  4 . Dùng lược đồ Hoocne thấy pt không nhận các nghiệm trên. Vậy ta tìm cách tách, nhóm các số hạng, dùng hằng đẳng thức đưa (10) thµnh pt tÝch. x 4  12 x3  32 x 2  8 x  4  0  ( x 4  12 x3  36 x 2 )  (4 x 2  8 x  4)  0  ( x 2  6 x) 2  (2 x  2) 2  0  ( x 2  8 x  2)( x 2  4 x  2)  0. - 10 -. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Trường THPT Hàn Thuyên. PT - BPT bËc 2 - bËc cao. Từ đó ta có nghiệm của pt đã cho là Bài tập tương tự: Hướng dẫn:. Gi¶i. x  4  14; x  2  6. PT(9). (9)  x 4  4 x 2  8 x3  32 x  x 2  4  0  x 2 ( x 2  4)  8 x( x 2  4)  ( x 2  4)  0. ……………….. 3.Phân tích đa thức thành nhân tử nhờ phương pháp hệ số bất định. Ví dụ3: Giải pt (9) bằng cách phân tích thành nhân tử theo phương pháp hệ số bất định. Gi¶i: Gi¶ sö x 4  8 x3  3x 2  32 x  4  ( x 2  mx  n)( x 2  px  q) *( v× hÖ sè cña Trong đó m, n, p, q là các hệ số nguyên ** ta cần tìm  x 4  8 x3  3 x 2  32 x  4. *  x 4  (m  n) x3  (mp  n  q) x 2  (np  mq) x  nq m  p  8 mp  n  q  3   np  mq  32 nq  4 Theo**  (n; p) chØ. cã thÓ lµ. KiÓm tra l¹i ta ®­îc. (2; 2);(2; 2);(1; 4);(1; 4);(4; 1);(4;1). m  0 n  1    p  8 q  4. VËy: (9)  ( x 2  4)( x 2  8 x  1)  0  x2  4  0  2  x  8 x  1  0  x  2   x  4  15. - 11 -. Lop12.net. x4. lµ 1 ).

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Trường THPT Hàn Thuyên. PT - BPT bËc 2 - bËc cao. Bài tập tương tự: Giải pt(10) bằng phương pháp hệ số bất định. B.Phương trình chứa tham số I. PT bậc cao chứa tham số ( vấn đề số nghiệm, giải và biện luận) C¸ch gi¶i: 1) §­a vÒ d¹ng PT tÝch. 2) Dùng phương pháp tráo đổi vai trò giữa ẩn và tham số.  §­a bµi to¸n vÒ nghiªn cøu Pt bËc hai quen thuéc VÝ dô1: Cho PT x 3  (2m  1) x 2  (m 2  3m  2) x  2m 2  2m  0 Xác định m để PT có đúng hai nghiệm. Gi¶i: DÔ thÊy. x  2. (11). lµ mét nghiÖm cña PT, chia vÕ ph¶i cña PT cho. x2.  (11)  ( x  2)( x 2  (2m  1) x  m 2  m)  0  x  2  2 2  x  (2m  1) x  m  m  0 (*). PT(11) có đúng hai nghiệm nếu một và chỉ một trường hợp sau xảy ra +HoÆc lµ PT(*) cã nghiÖm kÐp x  2 +Hoặc là PT(*) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x  2 Trường hợp 1: CÇn t×m m. (2) 2  2(2m  1)  m 2  m  0 m  2; 3   m  để:  2 2 1  0   (2m  1)  4(m  m)  0. Trường hợp 2:  x1  m  2  m  2  x  m  1  2   m  3   2. Bài tập tương tự: Giải và biện luận PT theo tham số m x3  2 x 2  (m  1) x  m  0. Hướng dẫn: - 12 -. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Trường THPT Hàn Thuyên. PT - BPT bËc 2 - bËc cao. NhÈm ®­îc mét nghiÖm cña PT lµ  pt đã cho trở thành:. x 1,. chia vÕ tr¸i pt cho. x 1. ( x  1)( x 2  x  m)  0 x  1  2  x  x  m  0 (*). Ta gi¶i vµ biÖn luËn (*) råi kÕt luËn. VÝ dô 2: Gi¶i vµ biÖn luËn theo a sè nghiÖm cña PT 2 x 4  4 x3  (4  a ) x 2  (a  2) x  a  a 2  0. (12). Gi¶i: ViÕt l¹i (12)  a 2  ( x 2  x  1)a  2 x 4  4 x3  4 x 2  2 x  0 Xem (*) là pt đối với ẩn a. Ta có. (*).  '  ( x 2  x  1) 2  4(2 x 4  4 x3  4 x 2  2 x)  (3 x 2  3 x  1) 2.  C¸c nghiÖm cña (*) lµ : a  x2  x  1  x 2  x  1  a  0 (**)  2  2  a  2 x  2 x  2 x  2 x  a  0 (***) +XÐt pt(**) cã  '  4a  3 -NÕu a  3   '  0  (**) v« nghiÖm 4 -NÕu a  3   '  0  (**) cã nghiÖm kÐp x  1 4 2 -NÕu a  3   '  0  (**) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x  1  4a  3 2 4 ' +XÐt pt (***) cã   1  2a . -NÕu a  1   '  0  (***) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x  1  1  2a 2 2 -NÕu a  1   '  0  (***) cã nghiÖm kÐp x  1 2 2 -NÕu a  1   '  0  (***) v« nghiÖm 2. KÕt luËn: NÕu NÕu. 1  1  2a 1  (12) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x  2 2 1 1 a   (12) cã mét nghiÖm kÐp x  2 2. a. - 13 -. Lop12.net. ..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Trường THPT Hàn Thuyên. NÕu NÕu NÕu. PT - BPT bËc 2 - bËc cao. 1 3  a   (12) v« nghiÖm 2 4 3 1 a   (12) cã mét nghiÖm kÐp x  . 4 2 1  4a  3 3 a   (12) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x  2 4. .. Bài tập tương tự: Giải và biện luận pt sau theo tham số a x 4  10 x3  2(a  11) x 2  2(5a  6) x  2a  a 2  0. (12 '). Hướng dẫn: ViÕt l¹i (12 ') thµnh:. a 2  2(1  5 x  x 2 )a  ( x 4  10 x3  22 x 2  12 x)  0   '  ( x  1) 2 a  x2  6 x  x2  6x  a  0   2 2  a  x  4 x  2  x  4 x  a  2  0. Bạn đọc tự giải tiếp hai pt bậc hai trên và kết luận. II)Vấn đề tính chất nghiệm của phương trình. Ví dụ1: Chứng minh rằng nếu phương trình bậc hai. ax 2  bx  c  0 (1) víi hÖ sè nguyªn cã nghiÖm h÷u tû th× Ýt nhÊt mét trong c¸c hÖ sè a,b,c lµ sè ch½n.. Gi¶i: Theo môc A.II.1 nãi ë trªn ta cã: NÕu PT x n  a1 x n1  ...  an1 x  an  0 (*) cã nghiÖm h÷u tû ThËt vËy kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t , gi¶ sö ( p, q)  1 . Thay x  p vµo (*) ta cã p n  a1 p n1q  ...  an1 pq n1  an q n  0 q.  p  q mµ ( p, q )  1 1 q  xZ  1 n. §Æt NÕu. y x   (1) a. x Q. th×. 2. thµnh: a  y   b  y   c  0 a a 2  y  by  ac  0 y  ax  Q. - 14 -. Lop12.net. (2). x. p p  Z q q.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Trường THPT Hàn Thuyên. PT - BPT bËc 2 - bËc cao. Theo trªn, pt bËc hai y 2  by  ac  0 víi c¸c hÖ sè nguyªn vµ hÖ sè cña sè h¹ng bËc hai b»ng 1 , cã nghiÖm h÷u tû y1  y1  Z  y2  (b  y1 )  Z. Ta l¹i cã:. y1  y2  b; y1 y2  ac  ( y1  y2 ) y1 y2  abc. MÆt kh¸c:Trong ba sè nguyªn đó abc chẵn  đpcm Bài tập tương tự:. y1 ; y2 ; y1  y2. cã Ýt nhÊt mét sè lµ sè ch½n. Do. 1)Cho p, q là hai số nguyên lẻ. Chứng minh rằng phương. tr×nh x  2 px  2q  0 kh«ng cã nghiÖm h÷u tû. 2)Cho P ( x) lµ ®a thøc víi hÖ sè nguyªn vµ P (0); P (1) lÎ. Chøng tá P ( x) v« nghiÖm trªn Z 2. 3) Cho ®a thøc f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d cã c¸c hÖ sè a, b, c, d nguyªn vµ ad lÎ, bc ch½n. CMR f ( x) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm v« tû. Hướng dẫn: 1). Gi¶ sö pt cã nghiÖm. x0  Q ,. theo VD1  x0  Z.  x0  2k   x0  2k  1 NÕu x0  2k  x02  2 px0  2q  2(mod 4)  0. NÕu x0  2k  1  x02  2 px  2q  1(mod 2)   0 VËy ®iÒu gi¶ sö trªn lµ kh«ng x¶y ra. 2 ) Gi¶ sö P( x) cã nghiÖm x0  Z  P( x)  ( x  x0 )Q( x)  P(0)   x0 .Q(0) (*) Do P(0) lÎ  x0 lÎ (**) MÆt kh¸c P(1)  (1  x0 ).Q(1) , còng do P(1) lÎ  (1  x0 ) lÎ Tõ (*);(**)  §iÒu gi¶ sö trªn lµ sai  ®pcm 3 ) Giả sử mọi nghiệm xi của pt đã cho đều là hữu tỷ , tương tự VD1 đặt yi  yi  axi (*)lµ nghiÖm nguyªn (do a; xi a g ( y )  y 3  by 2  acy  a 2 d  yi lµ ­íc cña a 2 d  yi xi . - 15 -. Lop12.net. nguyªn) cña ®a thøc lÎ.  b, c. lÎ, m©u thuÉn g/t.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Trường THPT Hàn Thuyên. PT - BPT bËc 2 - bËc cao. VÝ dô 2: Chøng minh r»ng  . 2  3 lµ nghiÖm cña mét ®a thøc víi c¸c hÖ. số nguyên. Tìm đa thức đó.. Gi¶i:. Ta cã:.   2 3 2  5 2 6. .  2 5. . 2.  24.   4  10 2  1  0. VËy   2  3 lµ nghiÖm cña ®a thøc P( x)  x 4  10 x 2  1 Bài tập tương tự: Chứng minh rằng   2  3 3 là nghiệm của các đa thức có các hệ số nguyên. Tìm đa thức đó. §¸p sè: P( x)  x6  6 x 4  6 x3  12 x 2  36 x  1 (13) Ví dụ3: Cho phương trình x3  3 mx 2  x  1 m3  0 2 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để pt trên có ba nghiệm thực phân biệt lËp thµnh mét cÊp sè céng. Gi¶i: * Gi¶ sö. (13). cã ba nghiÖm ph©n biÖt. sè céng. Ta cã  3 x2 . V×. x2. x2 . x1  x3 2. x1 ; x2 ; x3. theo thø tù lËp thµnh mét cÊp. , mÆt kh¸c theo ViÐt th×. x1  x2  x3 . 3 m 2. 3 1 m  x2  m . 2 2. lµ mét nghiÖm cña. (13). nªn. m3 3 m3 m m3  .   0 8 2 4 2 2 m3  3m3  4m3 4m   0 8 8  2m3  4m  0. . m  0  m   2. * Thö l¹i thÊy. m  0; m   2. đều thoả mãn yêu cầu bài toán.. Bài tập tương tự: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau cã ba nghiÖm ph©n biÖt lËp thµnh mét cÊp sè céng. - 16 -. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Trường THPT Hàn Thuyên. PT - BPT bËc 2 - bËc cao. x3  (2m  1) x 2  9 x  0 §¸p sè: m  1 2 Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để PT sau có bốn nghiệm lập thµnh mét cÊp sè céng  x 4  2mx 2  2m  1  0 (14). Gi¶i: §Æt t  x 2  0  (14) thµnh t 2  2mt  2m  1  0 (14 ') PT (14) cã 4 nghiÖm lËp thµnh mét cÊp sè céng  PT (14 ') cã hai nghiÖm dương t1  t2 sao cho:  t2   t1  t1  t2 theo thứ tự lập thành một cấp số céng  t2  t1  t1  ( t1 )  t2  9t1. C¸ch1: Theo ViÐt  10t1  2m  t1 . m 5. (14 ') ,. ta cã. t1  t2  2m. lµ mét nghiÖm cña. 2. m m (14 ')     2m    2m  1  0 5 5.  9m 2  50m  25  0 m  5  m  5 9 . Thö l¹i thÊy. m  5; m . C¸ch2: DÔ thÊy VËy ta cã:. 5 9. tho¶ m·n bµi to¸n. (14 ') cã. mét nghiÖm lµ 1.  theo. 5  m 1  9(2m  1)  9  2m  1  9.1    m  5. Bài tập tương tự: Cũng hỏi như trên đối với PT §¸p. x4  5x2  4  m  0 sè: m  7 4. - 17 -. Lop12.net. ViÐt nghiÖm kia lµ. 2m  1. ..

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Trường THPT Hàn Thuyên. VÝ dô5:. PT - BPT bËc 2 - bËc cao. Biết phương trình: x 4  ax 3  bx 2  ax  1  0 có nghiệm số thực, tìm giá. trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: S  a 2  b 2. Gi¶i: *Gäi. x0. là một nghiệm của pt đã cho.  x0  0 .. Chia hai vÕ cña pt cho. x02. ta. 2.   1 1  x0    a  x0    b  2  0 . x0  x0      §Æt: t   x0  1   t  2 . x0   VËy pt trë thµnh: t 2  at  b  2  0  at  b   t 2  2. ®­îc:. . . (1*) .. * Theo bất đẳng thức Bunhiakôpxki:  at  b . . 2.  a b 2. 2.  t. 2. . 1  S  a  b 2. 2. t . 2.  (do 1* ). 1. 2. t2. 2. t2  z  4  z  0. *§Æt. VËy S. 2. , z   0;   z 5 z 2  10 z  16 f '( z )   0, z   0;   2  z  5. S. *Ta cã.  z  2 f ( z) . 4  S  f ( z )  f (0)  . 5 4 nhá nhÊt b»ng , dÊu 5. b»ng x¶y ra khi. z0. hay. x0  1. II.Bất phương trình. II. Giải bất phương trình không chứa tham số. Muốn giải một bất phương trình bậc cao, về cơ bản chúng ta vẫn phải tìm c¸ch: a) Đưa vế trái của bất phương trình (vế phải của bất phương trình là 0) về dạng tích, thương của các nhị thức, tam thức bậc hai (cách làm tương tự nh­ ë môcI). b) Dựa vào cách đặt ẩn phụ ( các dạng tương tự như ở mục I) để đưa về bất phương trình bậc hai quen thuộc. Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau 9 5 a)  x  2 x. - 18 -. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Trường THPT Hàn Thuyên. b) x . PT - BPT bËc 2 - bËc cao. 5 6 x. Gi¶i: 9 x2  5 x2  5 9 2 x 2  9 x  10   0  0 (*) a ) BPT   2 x x 2 2x. XÐt. 2 x 2  9 x  10  0  x  2; x . 5 2. 2x  0  x  0. Ta cã b¶ng xÐt dÊu : 5  2 .............................................................. 2x  0  *  *  ................................................................ . x. 0. 2. 2 x 2  9 x  10  *  0  0  .................................................................. VT (*)    0  0 . 5 x  (0; 2)  ( ; ) 2. Xem b¶ng xÐt dÊu ta cã nghiÖm cña bpt lµ: x2  6x  5 0 (**) x x 2  6 x  5  0  x  1; x  5. b) BPT . XÐt MÉu x  0  x  0 Ta cã b¶ng xÐt dÊu: x x x2  5x  6 VT (**). . 0 1 5   0  *  *   *  0  0     0  0 . Xem b¶ng xÐt dÊu ,vËy nghiÖm bpt. (**). lµ. x  (;0)  (1;5). Bài tập tương tự : Giải bất phương trình sau - 19 -. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Trường THPT Hàn Thuyên. PT - BPT bËc 2 - bËc cao. x 4  8 x3  3 x 2  32 x  4  0. Hướng dẫn:. Phân tích vế trái BPT đã cho về dạng tích của các nhị thức , tam thức bậc 2. C¸ch 1: T¸ch nhãm c¸c sè h¹ng sao cho hîp lý Ta cã: x 4  8 x3  3x 2  32 x  4  x 4  4 x 2  8 x3  32 x  x 2  4. . . .  .  . . .  x2 x2  4  8x x2  4  x2  4  x2  4 x2  8x  1. C¸ch 2:XÐt nghiÖm cña ®a thøc g ( x)  x 4  8 x3  3x 2  32 x  4 , nÕu cã nghiÖm h÷u tû x  p  p lµ ­íc (kÓ c¶ ©m ) cña 4; q lµ ­íc cña 1  nghiÖm h÷­ tû q. nếu có của g ( x) chỉ có thể là 2; 4 . Dùng lược đồ Hoocne ta thấy x  2 , và khi đó chia g ( x) cho  x  2  x  2  ta được g ( x)   x  2  x  2   x 2  8 x  1 Cách 3: Dùng phương pháp hệ số bất định VD3  T11 , ta cũng đưa được g ( x)   x 2  4  x 2  8 x  1 . VËy BPT   x 2  4  x 2  8 x  1  0 Ta cã b¶ng xÐt dÊu: . x. 2. 4  15. 2. 4  15. . x 4. . 0 . *.  0 . *. . x2  8x  1 VTBPT.  . *  0 . 0 0.  *   0 . 0 0.  . 2. VËy nghiÖm cña. BPT : x   ; 2   4  15; 2    4  15; . Ví dụ2: Giải bất phương trình ( x  3) 4  ( x  5) 4  4. (1). Gi¶i: §Æt t  x  3  5  x  4  x  t  4 2.  (1). trë thµnh:  t  14   t  14  4  t 4  6t 2  1  0. t 2  3  10 (t   )  t 2  3  10. - 20 -. Lop12.net. .

<span class='text_page_counter'>(21)</span>