Đề 2 thi môn toán, khối 12 (2008 - 2009)

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI MÔN TOÁN, KHỐI 12 (2008-2009). ÔN THI ĐẠI HỌC 2009. Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề. I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m − 1 (1) , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 . 2) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 . Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình 2sin 2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3 cos x + 3 sin x .. (. 2) Giải phương trình log x 2 + 2 log 2 x 4 = log. 2x. ). 8.. Câu III (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ( x + 1) 1 − x 2 . Câu IV (1 điểm) n = 120D . Trong không gian cho lăng trụ đứng ABC. A1 B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và BAC Gọi M là trung điểm của cạnh CC1 . Hãy chứng minh MB ⊥ MA1 và tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng ( A1 BM ). Câu V (1 điểm) 4 4 Xác định m để phương trình sau có đúng một nghiệm thực: x − 13x + m + x − 1 = 0 ( m ∈ \ ) . II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 1. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d :2 x − y + 3 = 0 . Câu VII.a (1 điểm). ⎛. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của ⎜ 2 x + ⎝. Câu VIII.a (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =. 18. 1 ⎞ ⎟ 5 x⎠. ( x > 0) .. 2x +1 tại giao điểm của đồ thị với trục hoành. x −1. 2. Theo chương trình Nâng cao. Câu VI.b (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông ở A . Biết A ( −1; 4 ) , B (1; −4 ) và ⎛. 1⎞. đường thẳng BC đi qua điểm M ⎜ 2; ⎟ . Hãy tìm toạ độ đỉnh C . ⎝ 2⎠ Câu VII.b (1 điểm) n Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của ( x 2 + 2 ) , biết An3 − 8Cn2 + Cn1 = 49 . ( Ank là số chỉnh hợp chập k của n phần tử, Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử). Câu VIII.b (1 điểm) Cho hàm số y =. − x2 + 4x + 3 . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên x−2. đồ thị hàm số đến hai đường tiệm cận của nó luôn là một hằng số. ----------------------------------Hết---------------------------------Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHỐI 12 (20082009). ÔN THI ĐH 2009. (Đáp án- Thang điểm gồm 04 trang). Câu. Nội dung 1.(1 điểm). Khi m = 1 hàm số trở thành: y = x 4 − 2 x 2 I • TXĐ: D= \ (2điểm) ⎡x = 0 • Sự biến thiên: y ' = 4 x3 − 4 x = 0 ⇔ 4 x ( x 2 − 1) = 0 ⇔ ⎢. ⎣ x = ±1. yCD = y ( 0 ) = 0, yCT = y ( ±1) = −1. • Bảng biến thiên x -∞ y’ y. −. -1. 0. 0. +. 0.25 0.25 0.25. 1 −. 0. +∞. Điểm. 0. +∞ +. 0. +∞. -1. -1. • Đồ thị. 8. 6. 4. 2. 0. -5. 5. 10. -2. -4. -6. 0.25. -8. ⎡x = 0. 2. (1 điểm) y ' = 4 x3 − 4mx = 4 x ( x 2 − m ) = 0 ⇔ ⎢. 2 ⎣x = m Hàm số đã cho có ba điểm cực trị ⇔ pt y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt và y '. đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó ⇔ m > 0 • Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:. (. ) (. A ( 0; m − 1) , B − m ; − m 2 + m − 1 , C. • •. II (2điểm). ). m ; −m 2 + m − 1. 1 S+ ABC = yB − y A . xC − xB = m 2 m ; AB = AC = m 4 + m , BC = 2 m 2 ⎡m = 1 m4 + m ) 2 m ( AB. AC.BC 3 =1⇔ = 1 ⇔ m − 2m + 1 = 0 ⇔ ⎢ R= 2 ⎢m = 5 − 1 4S+ ABC 4m m ⎢⎣ 2. 0.25 0.25 0.25. 0.25. 1) ⎛ 3 ⎞ ⎛1 ⎞ 1 3 2 + 3 sin 2 x − cos 2 x = 3 cos x + 3 sin x ⇔ 1 + ⎜⎜ sin 2 x − cos 2 x ⎟⎟ = 3 ⎜⎜ cos x + sin x ⎟⎟ 2 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠ 2π ⎞ π⎞ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 2⎛ ⇔ 1 + cos ⎜ 2 x − ⎟ = 3cos ⎜ x − ⎟ ⇔ 2 cos ⎜ x − ⎟ = 3cos ⎜ x − ⎟ 3 ⎠ 3⎠ 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝. (. ). Lop12.net. 0.50 0.25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> π⎞ π π 5π ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = 0 ⇔ x − = + kπ ⇔ x = + kπ 3⎠ 3 2 6 ⎝ 1 2. (1 điểm) Điều kiện x > 0, x ≠ 1, x ≠ 2. (k ∈ ]) .. 0.25 0.25. • Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với 1 4 6 1 4 6 1 2 + = ⇔ + = ⇔ = log 2 x log 2 2 x log 2 2 x log 2 x 1 + log 2 x 1 + log 2 x log 2 x 1 + log 2 x ⇔ log 2 x = 1 ⇔ x = 2. III (1 điểm). IV (1 điểm). ⎡ x = −1 ∈ D • Tập xác định: D = [ −1;1] ; y = =0⇔⎢ 2 ⎢x = 1 ∈ D 1− x ⎣ 2 3 3 ⎛1⎞ 3 3 y ( −1) = 0, y ⎜ ⎟ = , y (1) = 0 . Vậy max y = ; min y = 0 4 4 [ −1;1] [ −1;1] ⎝2⎠ '. (. MA12 = A1C12 + C1M 2 = ( 2a ) + a 5 2. (. BM 2 = BC 2 + CM 2 = 7 a 2 + a 5. ). 2. ). 2. 0.50 0.25. −2 x 2 − x + 1. 0.50 0.50. = 9a 2 ; BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos120D = 7a 2 ;. (. = 12a 2 ; A1 B 2 = AA12 + AB 2 = 2a 5. ). 2. + a 2 = 21a 2 .. Suy ra A1 B 2 = MA12 + MB 2 ⇒ MB ⊥ MA1 . A. C. B. M. A1. C1. 0.50. B1. • Hình chóp MBAA1 và CABA1 có chung đáy là tam giác BAA1 và đường cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau. 1 3. 1 1 1 1 3 2 3 a 15 6. 3V 6V 3 =a 5 ⇒ d ( A, ( A1 BM )) = = = S+ MBA1 MB.MA1 a 12.3a 3. Suy ra V = VMBAA = VCBAA = AA1.S+ ABC = 2a 5. a.2a.sin120D =. V (1 điểm). 4. a 3 15 3. ⎧⎪1 − x ≥ 0 x 4 − 13 x + m + x − 1 = 0 ⇔ 4 x 4 − 13 x + m = 1 − x ⇔ ⎨ 4 4 ⎪⎩ x − 13 x + m = (1 − x ) ⎧x ≤ 1 ⇔⎨ 3 2 ⎩4 x − 6 x − 9 x − 1 = −m. Lop12.net. 0.50. 0.25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Yêu cầu bài toán ⇔ đường thẳng y = −m cắt phần đồ thị hàm số f ( x ) = 4 x 3 − 6 x 2 − 9 x − 1 với x ≤ 1 tại đúng một điểm. Xét hàm số f ( x ) = 4 x3 − 6 x 2 − 9 x − 1 với x ≤ 1 . Với x ≤ 1 thì f ' ( x ) = 12 x 2 − 12 x − 9 = 0 ⇔ x = − Bảng biến thiên:. x. −. −∞. y’. +. 0.25. 1 2. 1 2 0. 0.25 1 −. 3 2. y −∞. −12. Từ bảng biến thiên ta có: ⎡. 3 3 ⎡ m=− ⎢ 2 ⇔ 2 ⎢ ⎢ − m < − 12 m > 12 ⎣ ⎣ JJJG A ∈ Ox, B ∈ Oy ⇒ A ( a;0 ) , B ( 0; b ) , AB = ( − a; b ). Yêu cầu bài toán ⇔ ⎢. VI.a (1 điểm). −m =. 0.25 0.25. G Vectơ chỉ phương của d là u = (1; 2 ). a b Toạ độ trung điểm I của AB là ⎛⎜ ; ⎞⎟. 0.25. ⎝ 2 2⎠. A và B đối xứng với nhau qua d khi và chỉ khi JJJG G ⎧−a + 2b = 0 ⎧⎪ AB.u = 0 ⎧a = −4 ⎪ ⇔⎨ b ⇔⎨ ⎨ ⎩b = −2 . Vậy A ( −4;0 ) , B ( 0; −2 ) ⎩⎪ I ∈ d ⎪⎩a − 2 + 3 = 0. 0.50. VII.a (1 điểm). 18. ⎛. 1 ⎞. ⎝. ⎠. Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Niutơn của ⎜ 2 x + 5 ⎟ là x Tk +1 = C18k . ( 2 x ). 18− k. k. 6k 18 − 5. ⎛ 1 ⎞ . ⎜ 5 ⎟ = C18k .218− k .x ⎝ x⎠. Số hạng không chứa x ứng với k thoả mãn 18 −. 0.50 6k = 0 ⇔ k = 15 . 5. Vậy số hạng cần tìm là T16 = C1815 .23 = 6528. VIII.a (1 điểm). 0.50. • Giao điểm của đồ thị với trục hoành là A ⎛⎜ − ;0 ⎞⎟ . ⎝ 2 ⎠ 1. y' =. −3. 4 ⎛ 1⎞ ; y' ⎜ − ⎟ = − 3 ⎝ 2⎠ ( x − 1) 2. 0.50. 1 4 1 4 2 • Pt tiếp tuyến của đồ thị tại A ⎛⎜ − ;0 ⎞⎟ là y = − ⎜⎛ x + ⎟⎞ ⇔ y = − x − ⎝ 2. Lop12.net. ⎠. 3⎝. 2⎠. 3. 3. 0.50.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> VI.b (1 điểm). VII.b (1 điểm). x −1. y+4. Đt BC đi qua B (1; −4 ) và M ⎛⎜ 2; ⎞⎟ nên có pt: = 9 1 ⎝ 2⎠ 1. ⇔ 9 x − 2 y − 17 = 0. 2 ⎛ 9t − 17 ⎞ C ∈ BC ⇒ C ⎜ t ; ⎟ , t∈\ 2 ⎠ ⎝ JJJG JJJG ⎛ 9t − 25 ⎞ AB = ( 2; −8 ) ; AC = ⎜ t + 1; ⎟ . Vì tam giác ABC vuông tại A nên 2 ⎠ ⎝ JJJG JJJG AB. AC = 0 9t − 25 Suy ra t + 1 − 4. = 0 ⇔ t = 3. Vậy C ( 3;5 ) 2 Điều kiện n ≥ 4, n ∈ ` . k =0. A − 8C + C = 49 ⇔ ( n − 2 )( n − 1) n − 4 ( n − 1) n + n = 49 ⇔ n − 7 n + 7 n − 49 = 0 3 n. 2 n. 1 n. 3. (1 điểm). 0.50. 2. ⇔ ( n − 7 ) ( n2 + 7 ) = 0 ⇔ n = 7. Vậy hệ số của x8 là C74 .23 = 280. VIII.b. 0.50. n. Ta có: ( x 2 + 2 ) = ∑ Cnk x 2 k 2n −k . Hệ số của x8 là Cn4 .2n −4 n. 0.50. −x + 4x + 3 7 . Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. = −x + 2 + x−2 x−2 7 . M ( x; y ) ∈ (C) ⇔ y = − x + 2 + x−2 Tiệm cận xiên: y = − x + 2 ⇔ x + y − 2 = 0 ; Tiệm cận đứng: x = 2 x+ y−2 7 = Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là: d1 = . 2 2. x − 2 y=. 0.50. 2. 0.50. Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là: d 2 = x − 2 . Ta có: d1.d 2 =. 7 7 . x−2 = . Suy ra điều phải chứng minh 2. x − 2 2. 0.50. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án quy định.. ------------------Hết------------------. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>