Chuyên đề: Số phức

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề: số phức Chủ đề1: dạng đại số của số phức Céng, trõ, nh©n, chia sè phøc A. cñng cè kiÕn thøc 1. Số phức: Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i 2 = -1 ®­îc gäi lµ mét sè phøc. a ®­îc gäi lµ phÇn thùc, b ®­îc gäi lµ phÇn ¶o i được gọi là đơn vị ảo. TËp c¸c sè phøc ®­îc kÝ hiÖu lµ  Sè phøc cã phÇn ¶o b»ng 0 gäi lµ sè thùc nªn R  . Sè phøc cã phÇn thùc b»ng 0 gäi lµ sè ¶o. 0 = 0 + 0i lµ sè võa thùc võa ¶o. 2. Hai sè phøc b»ng nhau. z  a+bi (a,b  ) z'  a'+b' i (a',b'  ) a  a ' z  z'   b  b '. 3. Céng, trõ hai sè phøc. z  a+bi (a,b  ) z'  a'+b' i (a',b'  ) z + z'  (a + a' ) + (b + b') i z  z'  (a - a') + (b - b' )i. Số đối của số phức z = a + bi là số phức - z = - a - bi; z + (-z) = 0. 4. Nh©n hai sè phøc. z  a+bi (a,b  ) z'  a'+b' i (a',b'  ) zz'  aa ' bb ' (ab ' a ' b)i. 5. M«®un cña sè phøc, sè phøc liªn hîp z = a +bi (a, b   ) th× m«®un cña z lµ z = a 2 +b2 z = a +bi (a, b   ) th× sè phøc liªn hîp cña z lµ z = a - bi. Ta cã:. zz' = z z' , zz  a 2  b 2  z. 2. z + z' = z + z', zz'=z z', z = z z lµ sè thùc khi vµ chØ khi z = z. 6. Chia cho sè phøc kh¸c 0. 1 Nếu z = a + bi (a, b   ) khác không thì số phức nghịch đảo của z là z-1= z. z. Thương của z' cho z khác không là:. 2. z'  z' z' z' z'z z'  z'z-1  . Ta cã:  ,   . z z z zz z z. 7. BiÓu diÔn h×nh häc cña sè phøc. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Số phức z = a + bi (a, b   ) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay cßn gäi lµ mÆt ph¼ng phøc. Trôc Ox biÓu diÔn c¸c sè thùc gäi lµ trôc thùc, trôc Oy biÓu diÔn c¸c sè ¶o gäi lµ trôc ¶o  Số phức z = a + bi (a, b   ) cũng được biểu diễn bởi vectơ u  (a; b) , do đó M(a; b)  lµ ®iÓm biÓu diÔn cña sè phøc z = a + bi (a, b   ) còng cã nghÜa lµ OM biÓu diÔn sè phức đó.   Ta cã:NÕu u, v theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc z, z' th×   u  v biÓu diÔn sè phøc z + z',   u  v biÓu diÔn sè phøc z - z',  k u (k  ) biÓu diÔn sè phøc kz,   OM  u  z , víi M lµ ®iÓm biÓu diÔn cña z.. B. C¸c d¹ng bµi tËp 1. Xác định tổng, hiệu, tích, thương của các số phức a) Phương pháp giải - ¸p dông c¸c quy t¾c céng, trõ, nh©n, chia hai sè phøc, chó ý c¸c tÝnh chÊt giao ho¸n, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân. b) C¸c vÝ dô VÝ dô 1: T×m ph©n thùc, phÇn ¶o cña c¸c sè phøc sau a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); b) (1  i )3  (2i )3 Bµi gi¶i a) Ta cã: i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = ((0 + 2) + (1 - 4)i) + (- 3 + 2i) = (2 - 3) + (-3 + 2)i = -1 - i. Vậy số phức đã cho có phần thực là - 1, phần ảo là - 1. b) Sö dông c¸c quy t¾c céng, trõ, nh©n hai sè phøc ta cã. (1  i)3  (1)3  3(1)2 i  3(1)i 2  i3  2  2i (2i)3  (2)3 (i)3  8i Do đó nhận được kết quả của bài toán là 2 + 10i VÝ dô 2: TÝnh. 1 1 3  i 2 2. Bµi gi¶i. 1 3 1 3  i  i 1 3 2 2 2 2   i Ta cã : 1 2 2 1 3  1 3  i   i    2 2  2 2 . VÝ dô 3: TÝnh 1  i  i 2  i3  ...  i 2009 Bµi gi¶i. Ta cã: 1  i 2010  (1  i)(1  i  i 2  i3  ...  i 2009 ) Mµ 1  i 2010  2 . Nªn 1  i  i 2  i3  ...  i 2009 . 1  i  i 2  i3  ...  i 2009  1  i . VÝ dô 4: TÝnh (1  i)100. Lop12.net. 2 , hay lµ 1 i.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bµi gi¶i. NhËn thÊy (1  i)2  (1  i)(1  i)  2i . Suy ra (1  i)100  ((1  i)2 )50  (2i)50  (2)50 (i)50  250 .. 1 2. VÝ dô 5: Cho sè phøc z   . 3 i. 2. 1 z 2  z  1  0; z  z 2  ; z3  1. . z. H·y chøng minh r»ng:. Bµi gi¶i. 1 3 1 3 1 3 i . Nªn z 2  z  1  (  i )  (  i)  1  0 ; Do z 2    2. 2. 2. 2. 2. 2. 1 3   i 1 1 1 3 1  2 2   i . Suy ra z 2  z  . L¹i cã  z 1 2 2 z 1 3   i 2 2 H¬n n÷a ta cã z3  1 . VÝ dô 6: T×m sè phøc z, nÕu z 2  z  0 . Bµi gi¶i. Đặt z = x + yi, khi đó. z 2  z  0  ( x  yi)2  x 2  y 2  0. . .  x 2  y 2  x 2  y 2  2 xyi  0   x  0  2   y  y  0  x 2  y 2  x 2  y 2  0   2 xy  0   y  0   x 2  x  0   x  0   x  0    y  0  y (1  y )  0     y  1    y  0   x  0 (do x  1  0)   x (1  x )  0     y  0   x  0, y  0  x  0, y  1     x  0, y  1   y  0, x  0. VËy cã ba sè phøc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn lµ z = 0; z = i; z = - i. 2. Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ a) Phương pháp giải Để biểu diễn một số phức cần dựa vàođịnh nghĩa và các tính chất sau:  NÕu sè phøc z ®­îc biÓu diÔn bëi vect¬ u , sè phøc z' ®­îc biÓu diÔn bëi vect¬ u ' , th×. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  . z + z' ®­îc biÓu diÔn bëi u u ' ; z - z' ®­îc biÓu diÔn bëi u  u ' ; - z ®­îc biÓu diÔn bëi u . b) C¸c vÝ dô. Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp nh÷ng ®iÓm M(z) tháa m·n ®iÒu kiÖn sau a) z  1  i  2 ; b) 2  z  i  z . Bµi gi¶i a) §Æt z = x + yi suy ra z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i. Nªn hÖ thøc z  1  i  2 trë thµnh ( x  1) 2  ( y  1) 2  2  ( x  1) 2  ( y  1) 2  4.. Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn gi¶ thiÕt lµ ®­êng trßn t©m I(1; - 1) b¸n kÝnh R = 2. b) Gọi A (- 2 ; 0), B(0 ; 1). Khi đó 2  z  i  z  z  (2)  z  i hay là M(z)A = M(z)B. VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M(z) lµ ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB. Nhận xét: Với phần b ta có thể thức hiện cách giải như đã làm ở phần a. Tuy nhiên để thể thực hiện cách giải như vậy là ta đã dựa váo nhận xét sau:    Nếu véctơ u của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ u là u  z , . và từ đó nếu các điểm A, B theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì AB  z  z ' . 3 2. VÝ dô 2: Trong c¸c sè phøc z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn z  2  3i  . T×m sè phøc z cã modul nhá nhÊt.. Bµi gi¶i. XÐt biÓu thøc z  2  3i . 3 (1). Đặt z = x + yi. Khi đó (1) trở thành 2. ( x  2)  ( y  3)i . 3 2. 9  ( x  2)2  ( y  3)2  . 4 Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm trên đường tròn (C) tâm I(2; -3) vµ b¸n kÝnh R =. 3 . 2. y O. H 2 x M. -3. Ta có z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi. Lop12.net. I.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> điểm M nằm trên đường tròn (C) và gần O nhất. Do đó M là giao điểm của (C) và đường th¼ng OI, víi M lµ giao ®iÓm gÇn O h¬n. Ta có OI = 4  9  13 . Kẻ MH  Ox. Theo định lí ta lét có MH OM   3 OI. 3 2  13MH  3 13  9  6 13  9 2 2 13. 13 . 6 13  9 78  9 13 .  26 2 13 3 13  OH 2  OH  2 13  3  26  3 13 . L¹i cã  2 13 13 13  MH . VËy sè phøc cÇn t×m lµ z. 26  3 13 78  9 13  i. 13 26. VÝ dô 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè phøc z, w, ta cã z  w  z  w . §¼ng thøc x¶y ra khi nµo? Bµi gi¶i Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z, w, z + w. Ta cã z  OA, w  OB, z  w  OC . Tõ OC  OA + AC suy ra z  w  z  w . H¬n n÷a OC = OA + AC khi vµ chØ khi O, A, C th¼ng hµng vµ A thuéc ®o¹n th¼ng   OC. Khi O  A (hay z  0) điều đó có nghĩa là có số k  0 để AC  kOA tức là w = kz. (Cßn khi z = 0, râ rµng z  w  z  w ). Vậy z  w  z  w khi và chỉ khi z = 0 hoặc nếu z  0 thì tồn tại k  R để w = kz. c. c©u hái vµ bµi tËp 1. Chứng minh rằng với mọi số phức z, w ta đều có z  w  z  w . Dấu bằng xảy ra khi nµo? 2. Trong mÆt ph¼ng phøc, bèn ®iÓm ph©n biÖt A, B, C, D theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc z, w, u, v tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt: a) z  w  u  v  1 ; b) z + w + u + v = 0. 3. Cho sè phøc z = m + (m - 3)i, m  R a) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác thứ hai y = - x; 2 x. b) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên hypebol y   ; c) Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ nhất. 4. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ z thøc 3. z i 5. XÐt c¸c ®iÓm A, B, C trong mÆt ph¼ng phøc theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc 4i 2  6i . ; (1  i)(1  2i); i 1 3i a) Chøng minh ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n; b) T×m sè phøc biÓu diÔn bëi ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chủ đề 2: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai A. KiÕn thøc cÇn nhí 1. §Þnh nghÜa c¨n bËc hai cña sè phøc Cho sè phøc w mçi sè phøc z tho¶ m·n z2 = w ®­îc gäi lµ mét c¨n bËc hai cña sè phøc w. a) NÕu w lµ sè thùc + w < 0 th× cã hai c¨n bËc hai:  wi &   wi + w  0 th× cã hai c¨n bËc hai: w &  w . b) Nếu w là số phức khi đó ta thực hiện các bước: + Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy là một căn bậc hai của w tức là: z 2  w khi đó ta có hệ:.  x 2  y 2  a (1)  (2) 2 xy  b Bình phương 2 vế của (1) và (2) rồi cộng lại ta được x 2  y 2  a 2  b 2.  x 2  y 2  a (1) Do vËy ta ®­îc hÖ:  2 2 2 2 (2')  x  y  a  b Giải hệ tìm được x 2 và y 2 suy ra x và y để tìm z. Chó ý: Theo (2) ta cã nÕu b > 0 th× x, y cïng dÊu. NÕu b < 0 th× x, y tr¸i dÊu. 2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức Cho PT: ax 2  bx  c  0; (1) (a, b, c  , a  0) vµ cã   b 2  4ac + NÕu   0 pt cã hai nghiÖm lµ x1  Trong đó  là một căn bậc hai của  .. b   b   ; x2  2a 2a. + NÕu  = 0 th× pt cã nghiÖm kÐp: x1  x2  . b . 2a. B. C¸c d¹ng bµi tËp 1. Giải phương trình bậc nhất a) Phương pháp giải Biến đổi phương trình về dạng Az + B = 0, A, B  , A  0 . Viết nghiệm z   b) VÝ dô Ví dụ 1: Giải phương trình 2iz + 1 - i = 0 Bµi gi¶i Nghiệm của phương trình là z . B A. (1  i ) 1 1 1 1     i. 2i 2i 2 2 2. 2. Tính căn bậc hai và giảiphương trình bậc hai a) Phương pháp giải Sử dụng công thức tính căn bậc hai của số phức để tính căn bậc hai. Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm nghiệm của phương trình với chú ý phải đưa về đúng dạng của phương trình. b) C¸c vÝ dô VÝ dô 1: T×m c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau:. a )  5  12i c) 33  56i. b) 8  6i d )  3  4i. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bµi gi¶i a) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña -5 + 12i tøc lµ.  x  iy . 2.  5  12i  x 2  y 2  2ixy  5  12i.  x 2  y 2  5  x 2  4  x 2  y 2  5  x  2   2     2 2  x  y  13  y  9  y  3 2 xy  12 x  2  x  2 Do b = 12 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có  hoÆc  y  3  y  3 VËy -5 + 12i cã 2 c¨n bËc hai lµ z1 =2+3i vµ z2 = -2-3i. b) Tương tự ta gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 8+ 6i tức là.  x  iy . 2.  8  6i  x 2  y 2  2ixy  8  6i.  x 2  y 2  8  x 2  9  x2  y 2  8  x  3   2     2 2  x  y  10  y  1  y  1 2 xy  6 x  3  x  3 Do b= 6> 0 nên x và y cùng dấu từ đó có  hoÆc  y 1  y  1 VËy 8 + 6i cã 2 c¨n bËc hai lµ 3+i vµ -3-i. c) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña 33 - 56i tøc lµ.  x  iy . 2.  33  56i  x 2  y 2  2ixy  33  56i.  x 2  y 2  33  x 2  49  x 2  y 2  33  x  7   2    2  2  x  y  65  y  16  y  4 2 xy  56 x  7  x  7 Do b = -56 < 0 nên x và y trái dấu từ đó có  hoÆc   y  4 y  4 VËy 2 c¨n bËc hai cña 33 - 56i lµ 7- 4i vµ -7+i4. d) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña -3 +4i tøc lµ.  x  iy . 2.  3  4i  x 2  y 2  2ixy  3  4i.  x 2  y 2  3  x 2  1  x 2  y 2  3  x  1   2     2 2  x  y  5  y  2 2 xy  4  y  4 x  1  x  1 Do b = 4 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có  hoÆc  y  2  y  2 VËy 2 c¨n bËc hai cña -3 + 4i lµ 1 + 2i vµ -1-2i. Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:. a). x 2   3  4i  x  5i  1  0; (1). b). x 2  1  i  x  2  i  0;. (2). Bµi gi¶i. a) Ta cã    3  4i   4  5i  1  3  4i Theo kết quả ví dụ 1d) thì  có hai căn bậc hai là 1+ 2i và -1 - 2i. Do đó pt (1) có hai 2. nghiÖm lµ: x1 . 3  4i  1  2i  2  3i; 2. x2 . Lop12.net. 3  4i  1  2i 1 i 2.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> b) Tương tự ta có   1  i   4  i  2   8  6i Theo kết quả ví dụ 1b) thì  có hai căn bậc hai là 3 + i và -3 - i. Do đó pt (2) có hai nghiÖm lµ: 2. x1 . 1  i  3  i  1; 2. x2 . 1  i  3  i  2  i 2. Chó ý: PT (2) cã thÓ dïng nhÈm nghiÖm nhê a + b + c = 0 Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:. a ) 3 x 2  x  2  0; (1) b) x 2  x  1  0; (2) c) x3  1  0. (3). Bµi gi¶i a) Ta cã  = 12- 4.3.2 =-23<0 nªn ta cã hai c¨n bËc hai cña  lµ: i 23 &  i 23 . Tõ đó nghiệm của pt (1) là:. x1 . 1  i 23 ; 6. 1  i 23 6 b) Tương tự ta có  = -3 < 0 có hai căn bậc hai là: i 3 &  i 3 nên (2) có các. x1 . 1  i 3 ; 2. x2 . nghiÖm lµ:. c) Ta cã. x2 . 1  i 3 2. (3)   x  1  x 2  x  1  0 x 1  0  2  x  x  1  0; (*). Theo b) ta cã (*) cã hai nghiÖm lµ x1  nghiÖm cña pt (3) lµ:. x1  1;. x2 . 1  i 3 ; 2. 1  i 3 ; 2. x3 . x2 . 1  i 3 . Từ đó ta có các 2. 1  i 3 2. ( C¸c nghiÖm cña pt (3) ®­îc gäi lµ c¨n bËc ba cña 1). Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu một phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm phøc    th× còng nhËn  lµ nghiÖm. Bµi gi¶i 2 Gi¶ sö PT bËc hai: ax  bx  c  0;  a, b, c  , a  0  nhËn sè phøc    lµ. nghiÖm tøc lµ ta cã: a 2  b  c  0 . (1) LÊy liªn hîp hai vÕ cña (1) vµ sö dông tÝnh chÊt liªn hîp cña sè thùc b»ng chÝnh nã th× ta.  . ®­îc: a 2  b  c  0  a . 2.  b  c  0 . §iÒu nµy chøng tá  lµ nghiÖm cña pt.. áp dụng: Chứng tỏ 1+i là một nghiệm của phương trình x 2  3 x  3  5i  0 . Tìm nghiệm còn lại của pt đó.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Ví dụ 5: Phát biểu và chứng minh định lí đảo và thuận của định lí Vi-et của phương t×nh bËc hai víi hÖ sè phøc. Thuận: Nếu hai số x1 & x2 là hai nghiệm của phương trình. ax 2  bx  c  0;  a, b, c  , a  0  th×. b c x1  x2   & x1 x2  . a a. Chøng minh Theo c«ng thøc nghiÖm cña pt bËc hai víi hÖ sè phøc ta cã:. b    b    b   2a a  2a  2 2 c  b     b    b   x1 x2     .  2 4a a  2a   2a  §¶o: NÕu hai sè  ;  tho¶ m·n:     S &  .   P th×  ;  lµ nghiÖm cña pt: x 2  Sx  P  0 .(1) x1  x2 . Chøng minh. x   x  . Ta cã: (1)  x 2      x    0   x    x     0   §iÒu nµy chøng tá  ;  lµ nghiÖm cña (1)..   2  5i áp dụng: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm   4  3i; Bµi gi¶i Theo bµi ra ta cã:     2  8i vµ  .    4  3i  2  5i   23  14i Theo kÕt. qu¶ VD5 ta ®­îc pt bËc hai cÇn lËp lµ: x 2   2  8i  x  14i  23  0. Ví dụ 6: Tìm m để phương trình: x 2  mx  3i  0 có tổng bình phương 2 nghiệm b»ng 8. Bµi gi¶i Theo bµi ra ta cã: x12  x22  8   x1  x2   2 x1 x2  8 (1). Theo Vi-et ta cã 2.  x1  x2  m Thay vµo (1) ta ®­îc m 2  6i  8  m 2  8  6i . Tøc m lµ mét c¨n bËc   x1 x2  3i hai cña 8+6i. Theo kÕt qu¶ VD1b/ ta cã 2 gi¸ trÞ cña m lµ: 3 + i vµ -3 - i..  z12  z22  5  2i (1) Ví dụ 7: Giải hệ phương trình  (2)  z1  z2  4  i Bµi gi¶i Tõ (2) ta cã z  z  2 z1 z2  15  8i. KÕt hîp víi (1) ta cã z1 z2  5  5i vËy ta cã hÖ 2 1. 2 2.  z1  z2  4  i  z1 z2  5  5i. phương trình: . Do đó z1 , z2 là nghiệm của phương trình. z 2   4  i  z  5  5i  0 . Ta cã   5  12i theo VD1a/ ta biÕt  cã hai c¨n bËc hai lµ: 2 + 3i vµ -2 - 3i.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 4  i  2  3i  z  3i 1   z1  1  2i 2 VËy ta cã  HoÆc  . 4  i  2  3 i z  3  i  2 z   1  2i  2 2. . . Ví dụ 8: Cho z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 1  i 2 z 2   3  2i  z  1  i  0 . Kh«ng gi¶i pt h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:. a ) A  z12  z22. b) B  z12 z2  z1 z22. c) C . z1 z2  z2 z1. Bµi gi¶i  3  2i 3  2 2 2  3 2   i  z1  z2  3 3 1 i 2  Theo Vi-et ta cã:  z z  1 i  1 2  1 2 i  1 2 1  i 2 3 3 a) Ta cã 2. A   z1  z2 . 2.  3 2 2 23 2   1  2 1  2  11  30 2 6  4 2  2 z1 z2    i   2   i    i 3 3 3 3 9 9    . b).  3  2 2 2  3 2  1  2 1  2  5  2 2 1  10 2 B  z1 z2  z1  z2     i   i   i 3 3 3 3 9 9    2 2 z  z2 A 6  26 2 i   c) Ta cã C  1 . z1 z2 18 1 2 1 2  i 3 3 VÝ dô 9: Gi¶i pt: z 4  6 z 2  25  0 (1) Bµi gi¶i 2 2 Đặt z  t. Khi đó (1) có dạng: t  6t  25  0 (2). Ta cã:  '  16 cã hai c¨n bËc hai lµ 4i vµ - 4i nªn pt (2) cã hai nghiÖm lµ t1  3  4i vµ t2  3  4i . MÆt kh¸c 3 + 4i cã hai c¨n bËc hai lµ: 2 + i vµ -2 - i cßn 3 - 4i cã hai c¨n bËc hai lµ: 2 - i vµ -2 + i nªn pt (1) cã 4 nghiÖm lµ:. z1  2  i; z2  2  i;. z3  2  i;. z4  2  i. C. c©u hái vµ bµi tËp Bµi 1: T×m c¸c c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau: a) 8+6i. b) 3+4i. c). 3 i 1 i 3 2. 2 1 i 3  1 i  e)  f)    1 i   3 i  Bµi 2: Gäi u1 ; u2 lµ hai c¨n bËc hai cña z1  3  4i vµ v1 ; v2 lµ hai c¨n bËc hai cña z2  3  4i . TÝnh u1  u2  v1  v2 ?. 1 1  d) 1 i 1 i. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> a ) z 2  2iz  2i  1  0 b) z 2   5  14i  z  2 12  5i   0 Bài 3: Giải các phương trình sau: c) z 2  80 z  4099  100i  0. d) e).  z  3  i   6  z  3  i   13  0 z 2   cos   i sin   z  i cos  sin   0. 2. Bµi 4: T×m c¸c c¨n bËc ba cña 8 vµ -8. Bài 5: Giải các phương trình trùng phương:. a ) z 4  8 1  i  z 2  63  16i  0. b) z 4  24 1  i  z 2  308  144i  0. . . z1 z2  z2 z1. Bài 6: Cho z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình: z 2  1  i 2 z  2  3i  0 . Kh«ng gi¶i pt h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:. a ) A  z12  z22. b) B  z12 z2  z1 z22. c) C . d ) D  z13  z23. e) E  z2 z13  z1 z23. 1 2 1 2 f ) F  z1     z2     z2 z1   z1 z2 . Bµi 7: Gi¶i c¸c hÖ pt. u 2  v 2  4uv  0 a)  u  v  2i.  z  2i  z b)   z  i  z  1. Chủ đề 3 : Dạng lượng giác của số phức A. KiÕn thøc cÇn nhí I. Số phức dưới dạng lượng giác. 1. Acgumen cña sè phøc z  0 Cho sè phøc z  0. Gäi M lµ ®iÓm trong mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn sè phøc z. Khi đó số đo (radian) của mỗi góc lượng gi¸c tia ®Çu Ox, tia cuèi OM ®­îc gäi lµ mét Acgumen cña z.. y b. O. M a. Chú ý: + Nếu  là Acgumen của z thì mọi Acgumen của z đều có dạng:  + k2  , k  Z. + Acgumen của z  0 xác định sai khác k2  , k  Z. 2. Dạng lượng giác của số phức. Lop12.net. x.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Cho sè phøc Z = a+bi, (a, b  R), víi r = a 2  b 2 lµ modun cña sè phøc z vµ  lµ Acgumen cña sè phøc z. Dạng z = r (cos  +isin  ) được gọi là dạng lượng giác của số phức z  0, còn dạng z = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức z. II. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác NÕu z = r(cos  +isin  ), z' = r' (cos  '+isin  ') (r  0 vµ r'  0 ) th× zz' = rr ( cos (    ' )  i sin(   ' )) z r   cos(   ')  i sin(   ')  (khi r' > 0). z' r'. III. C«ng thøc Moa-Vr¬ vµ øng dông 1. C«ng thøc Moa- Vr¬ n  r (cos   i sin  )  r n (cos n  i sin n ). cos   i sin  n  cos n  i sin n , n  N * .. 2. C¨n bËc n cña mét sè phøc Víi z = r(cos  +isin  ), r > 0, cã hai c¨m bËc hai cña z lµ   r (cos  i sin ) ; 2.  r (cos. . 2. . . .  i sin )  r (cos(   )  i sin(   )) . 2 2 2 2. B. c¸c d¹ng Bµi tËp 1. Viết số phức dưới dạng lượng giác a) Phương pháp Víi mçi sè phøc z = a + bi: TÝnh r = a 2 b 2 TÝnh cos  =. a b ,sin   từ đó suy ra acgumen của z r r. Sử dụng công thức lượng giác của số phức cho ta z = r (cos   i sin  ) . b) C¸c vÝ dô Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác a )(1  i 3)(1  i ). b). c) z  sin   i cos . 1 i 3 1 i. Bµi gi¶i  .       )  i sin( )  ; còn 1  i  2 cos  i sin  . Do đó 3 3  4 4      (1  i 3)(1  i )  2 2 cos( )  i sin( )  . 12 12  . a) Ta cã 1  i 3  2 cos(. b) Tõ phÇn trªn ta cã ngay kÕt qu¶ 1 i 3   7   7    2 cos     i sin    . 1 i  12     12      c) Ta cã z  sin   i cos   cos(   )  i sin(   ) . VËy z  cos(   )  i sin(   ) . 2 2 2 2. Ví dụ 2: Tuỳ theo góc  , hãy viết số phức sau dưới dạng lượng giác. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> (1  cos   i sin  )(1  cos   i sin  ).. Bµi gi¶i XÐt sè phøc z = (1  cos   i sin  )(1  cos   i sin  ) , ta cã     2  2  z  (2sin  4sin.  2. 2.  i.2sin. cos. .  2sin  (sin. 2.  2. (sin cos. 2. . cos )(2 cos  i.2sin cos ) 2 2 2 2. . . .  i cos )(cos  i sin ) 2 2 2 2. .  sin. . 2 2  2sin  sin   i cos   .. cos. . 2.  i (cos 2. . 2.  sin 2.  2. )). Hay z = 2sin  (sin  - icos  ) (*)  . + NÕu sin   0 , th× tõ (*) cã z = 2sin  cos( .    )  i.sin(  )  lµ d¹ng sè phøc cÇn 2 2 . t×m. + NÕu sinh  < 0, th× tõ (*) ta cã     z  2sin  ( sin   i cos  )  2sin  cos(  )  i.sin(  )  là dang lượng giác cần 2 2  . t×m. + Nếu sinh  = 0, thì z = 0, nên không có dạng lượng giác xác định. 2. Các bài tập tính toán tổng hợp về dạng lượng giác của số phức a) Phương pháp giải Đưa số phức về dạng lượng giác rồi sử dụng các công thức Moivre để tính toán các đại lượng theo yêu cầu của bài tập. b) C¸c vÝ dô VÝ dô 1: T×m phÇn thùc vµ phÇn ¶o cña mçi sè phøc sau a). (1  i )10 ( 3  i )9.    b)  cos  i sin  i 5 (1  3i )7 3 3  1 1 c) z 2009  2009 , nÕu z   1 . z z. Bµi gi¶i 10.     2(cos  i sin )  10  (1  i ) 4 4   9 9 ( 3  i)    2(cos  i sin  6 6  5 5 25 (cos  i sin ) 2 2  a) XÐt sè phøc 3 3 29 (cos  i sin ) 2 2 1 1  4 (cos   i sin  )   2 16 1 VËy phÇn thùc b»ng  , phÇn ¶o b»ng 0. 16. b) XÐt sè phøc. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>   5  7  cos  i sin  i (1  3i ) 3 3  7.          cos( )  i sin( )  i  2(cos  i sin )  3 3   3 3      7 7   27 cos( )  i sin( )  (cos  i sin )i 3 3  3 3   27  cos 2  i sin 2  i  27 i.. VËy phÇn thùc cña sè phøc b»ng 0, phÇn ¶o b»ng 27  128 . c) Tõ 1  1  z2  z 1  0 z  1  3i    cos  i sin z  2 3 3   1  3i    cos( )  i sin( ). z  2 3 3    Víi z  cos  i sin , ta cã 3 3 1   1 z 2009  2009  (cos  i sin ) 2009  ( ) 2009   z 3 3 cos  i sin 3 3   2009    (cos  i sin )  (cos( )  i sin( )) 2009 3 3 3 3 2009 2009 2009 2009  (cos  i sin )(cos  i sin ) 3 3 3 3 2 2  2 cos(669  )  2 cos  1. 3 3 z. VËy phÇn thùc c¶u sè phøc b»ng 1, phÇn ¶o b»ng 0. VÝ dô 2: TÝnh tæng sau S  (1  i ) 2008  (1  i ) 2008 Bµi gi¶i Ta cã.    i sin )  (1  i ) 2008  21004 (cos 502  i sin 502 ) 4 4     1  i  2(cos  i sin )  2(cos( )  i sin( )) 4 4 4 4 2008 1004  (1  i )  2 (cos(502 )  i sin(502 )). 1005 Do đó S  2 cos(502 )  21005 . 1  i  2(cos. VÝ dô 3: Chøng minh r»ng c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c c¨n bËc ba cña 1 lËp thµnh mét tam giác đều. Bµi gi¶i 3 Xét phương trình z  1 trên  , có nghiệm dạng z  r (cos   i sin  ) . Khi đó z 3  1  r 3 (cos 3  i sin 3 )  1 r  1  3  k 2, k  .. Do đó phương trình trên có đúng ba nghiệm ứng với ba giá trị của k là. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Víi k = 0 ta cã z 0 = cos0 + isin0 = 1; 2 2 1  i sin   i 3 3 2 4 4 1  i sin   i Víi k = 2 ta cã z 2 = cos 3 3 2. Víi k = 1 ta cã z 1 = cos. 3 ; 2 3 . 2. Nên 1 có ba căn bậc ba đó là các số phức được xác định như trên. Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z 0 , z 1 , z 2 . Khi đó    OA  OB  OC  1;. 2  AOB  ; 3   2 BOC 3. Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác đều. C. C©u hái vµ bµi tËp Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: b. ( 1 - i 3 )(1  i ). a. 1 - i 3 d. 1 - itan.  5. e. tan. 5 i 8. c.. 1 i 3 1 i. f. 1-cos   i sin  (   R,   k 2 , k  Z ). Bµi 2: Cho 2 sè phøc: 4 – 4i vµ 1+ i 3 . Tìm Modun và Acgumen của các số phức là đối liên hợp của 2 số phức trên và viết chúng dưới dạng lượng giác. Bài 4: Tìm dạng lượng giác của các số phức sau: z ;. 1 , biÕt: z. a, z = r ( cos   i sin  ) , r >0. b, z = 1 + 3 i Bµi 5: T×m c¸c c¨n bËc 5 cña 1? CMR tæng cña chóng b»ng 0? Bµi 6: Rót gän hÕt dÊu c¨n ë mçi biÓu thøc sau a,. 4. 1. b, 8 1. c, 1  i. d,. 3. 1 3  i 2 2. Bài 7: Cho số phức z = a + bi . Một hình vuông tâm là gốc toạ độ 0, các cạnh song song với các trục toạ độ và có độ dài bằng 4. Xác định a,b để tìm điểm biểu diễn của số thực z. a, N»m trong h×nh vu«ng b, N»m trªn ®­êng chÐo cñah×nh vu«ng Bµi 8: Chøng minh r»ng 2. a. z1 z 2  1 + z1  z2 2 = (1+ z1 2 )(1+ z 2 ) 2 Bµi 9: TÝnh a. cos a + cos (a+b) + cos (a+2b) +…+ cos(a+nb) b. sin a + sin (a+b) + sin (a+2b) +…+ sin (a+nb).. Lop12.net. 1 2. b. z1  z 2  ( z1  z 2 ). z1 z  2 . z1 z2.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>