Bài tập hình học ôn thi đại học - Thầy giáo: Vũ Hoàng Sơn

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bài tập hình học ôn thi đ ại h ọc. Thầy giáo: Vũ Hoàng Sơn. I) MÆt cÇu: 2) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. OA = a, OB = b, OC = c. Tính bán kính mặt cầu ngo¹i tiÕp tø diÖn OABC. 3) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA  (ABC); SA =. 3a . Xác định tâm và bán kính mặt cầu 2. ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.ABC. 4) Cho hình chóp tứ giác đều ABCD, cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = a 2 . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngo¹i tiÕp h×nh chãp. 5) Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = a, SA  (ABCD); SA = 3a. Xác định tâm và b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp. 6) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang cân ABCD ngoại tiếp với đường tròn tâm O bán kính a. Đường cao của h×nh chãp lµ SO = 2a. a) CM: O cách đều các mặt bên của hình chóp S.ABCD. b) Xác định tâm và bán kính của hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD. 7) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc của mặt bên với đáy là (). 8) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, đường cao SH = h. 9) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O, SO  (ABCD). a) CM: O cách đều các mặt bên của hình chóp. Từ đó suy ra hình chóp có mặt cầu nội tiếp. b) TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu néi tiÕp biÕt SO = h, gãc BAD = a,  < 900 vµ AB = a 10) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC = 2a. các cạnh bên SA = SB = SC = b . Tìm tâm và bán kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp. 11) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Xác định tâm vµ b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp. 12) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (BCD). a) TÝnh AH. b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 13) Cho tø diÖn S.ABC cã ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i B, AB = a, SA = a 2 , SA  (ABC). Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. 14) Cho h. vu«ng ABCD c¹nh a. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi (ABCD) dùng tõ t©m O cña h×nh vu«ng lÊy mét ®iÓm S sao cho OS =. a . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 2. 15) Cho ba nửa đường thẳng Ox, Oy, Oz không đồng phẳng và góc xOy = 900 góc yOz = 600 , góc zOx = 120. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC = a. a) CM: ABC vu«ng t¹i B. b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC. CM: OI  (ABC). c) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC16) Cho ABC cân có góc BAC = 1200 và đường cao AH = a 2 . Trên đường thẳng  vuông góc (ABC) tại A lấy hai điểm I, J ở hai bên điểm A sao cho IBC đều và JBC vu«ng c©n. a) TÝnh c¸c c¹nh cña ABC. b) TÝnh AI, AJ vµ CM: BIJ, CIJ lµ tam gi¸c vu«ng. c) T×m t©m vµ b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp c¸c tø diÖn IJBC, IABC. 17) Cho ABC vu«ng c©n t¹i B (AB = a). Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB. Tõ M dùng ®­êng th¼ng vu«ng gãc (ABC) trªn đó lấy điểm S sao cho SAB đều. a) Dùng trôc cña c¸c ®­êng trßn ABC vµ SAB. b) TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn SABC. II) DiÖn tÝch, ThÓ tÝch khèi ®a diÖn 1) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy AB = a và các mặt bên hợp với đáy một góc . Tính thể tích và. S xq. cña h×nh chãp. 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a, AD = b, SA = b, SA  (ABCD). M là điểm thuộc SA với AM= x, mÆt ph¼ng (MBC) c¾t SD t¹i N. TÝnh thÓ tÝch khèi ®a diÖn ABCDMN theo a, b vµ x. Lop12.net. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài tập hình học ôn thi đ ại h ọc. Thầy giáo: Vũ Hoàng Sơn. 3) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là ABC vuông cân có AB = AC = a, cạnh bên AA' = a. gọi E là trung điểm cña AB, F lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña E lªn BC. mÆt ph¼ng (C'EF) chia l¨ng trô thµnh hai phÇn. TÝnh tû sè thÓ tÝch cña hai phần đó. 4) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông có CA = CB = a; CC' = 2a. M, N lµ trung ®iÓm cña AB vµ AA', mÆt ph¼ng (C'MN) c¾t BC t¹i P. a) CM: PC = 2PB.. b) TÝnh: V AMNCPC ' .. 5) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi E, F là trung điểm của C'D' và C'B'. Mặt phẳng (AEF) chia hình lập phương thành hai phần. Tính thể tích của mỗi phần. 6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SA = h. Gọi I, J, K là trung điểm của SA, BC, CD. Chøng minh mp (IJK) chia h×nh chãp S.ABCD thµnh hai phÇn cã thÓ tÝch b»ng nhau. 7) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng avà góc ASB = . a) TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp. b) Chøng minh r»ng ®­êng cao cña h×nh chãp b»ng a cot g 2   1 2 2 c) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp. 8) Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy.Đáy ABC là một tam gíc cân đỉnh A. Trung tuyến AD bằng a. Cạnh SB tạo với đáy góc  và tạo với mặt phẳng (SAD) góc . a) Xác định các góc  và . b) Chøng minh r»ng: SB2 = SA2 + AD2 + BD2. c) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch h×nh chãp. 9) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. E và F lần lượt là trung điểm của C'B' và C'D'. a) Xác định thiết diện của hình lập phương tạo bởi (AEF). b) Tính thể tích hai phần của hình lập phương do mặt phẳng (AEF) cắt ra. 10) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Từ A hạ các đường vuông gãc AE víi SB vµ AF víi SD. a) Chøng minh: (AEF)  SC b) Gọi P là giao điểm của (AEF) với SC. Tìm quỹ tích của P khi S chạy trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với đáy ABCD c) Chứng minh rằng có hai vị trí của S trên Ax sao cho VPABCD bằng một giá trị V cho trước với điều kiện V không vượt quá một giá trị V1 nào đó mà ta phải xác định III) To¸n tæng hîp c¸c phÇn: 1) Cho ABC đều có đường cao AH = 3a, lấy điểm O trên đoạn AH sao cho AO = a. Trên đường thẳng vuông góc với mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c t¹i O lÊy ®iÓm S sao cho OS = BC. a) CM: BC  SA. b) TÝnh SO, SA, SH theo a. c) Qua I trên đoạn OH vẽ mp ()  OH. () cắt AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q. CM: MNPQ là hình thang cân. d) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x = AI. Xác định x để diện tích này có giá trị lớn nhất. 2) Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABCD). Đáy ABC không phải là tam giác cân. Gọi B' và C' lần lượt là hình chiếu vu«ng gãc cña A trªn SB vµ SC. a) Chøng minh tø gi¸c BCC'B' néi tiÕp ®­îc vµ c¸c c¹nh BC vµ B'C' kh«ng song song. b) CM: 5 ®iÓm A, B, C, B', C' ë trªn mét mÆt cÇu. c) Gäi I lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng BC vµ B'C'. CM: gãc IAB = gãc ICA 3) Cho hai nöa ®­êng th¼ng chÐo nhau Ax, By hîp víi nhau mét gãc lµ 600, AB = a là đoạn vuông góc chung. Trên Ax, By lần lượt lấy các điểm C, D sao cho AC = 2a, BD = a. Gọi () là mặt ph¼ng chøa By // Ax, E lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C lªn (). a) CM: CD  By. b) Chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E ở trên một mặt cầu, tính bán kính mặt cầu đó. c) TÝnh gãc hîp bëi CD vµ mÆt ph¼ng (ABC). d) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của CE và AD. 4) Cho hai nöa ®­êng th¼ng Ax, By hîp víi nhau gãc nhän  nhËn AB = h lµm ®o¹n vu«ng gãc chung. Trªn By lÊy ®iÓm C víi BC = a, gäi D lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C trªn Ax. Gäi Az lµ nöa ®­êng th¼ng qua A vµ // By a) Tính độ dài AD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD). b) Xác định tâm của mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. c) Tính khoảng cách từ D đến By. Lop12.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài tập hình học ôn thi đ ại h ọc. Thầy giáo: Vũ Hoàng Sơn. 5) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng avà góc ASB = . a) TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp. b) Chøng minh r»ng ®­êng cao cña h×nh chãp b»ng a cot g 2   1. 2. 2. c) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp.. 6) Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy.Đáy ABC là một tam gíc cân đỉnh A. Trung tuyến AD bằng a. Cạnh SB tạo với đáy góc  và tạo với mặt phẳng (SAD) góc . a) Xác định các góc  và . b) Chøng minh r»ng: SB2 = SA2 + AD2 + BD2. c) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch h×nh chãp. 7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB và là một điểm di động trên đường thẳng BC. a) Chøng minh r»ng SH  (ABCD). TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.ABCD. b) T×m tËp hîp c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña S lªn DM. c) Tính khoảng cách từ S đến DM theoa và x = CM. 8) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. E và F lần lượt là trung điểm của C'B' và C'D'. a) Xác định thiết diện của hình lập phương tạo bởi (AEF). b) Tính thể tích hai phần của hình lập phương do mặt phẳng (AEF) cắt ra. 9) Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông cạnh a; SA = a và SA  (ABCD), AI, AJ và AE là các đường cao xuất phát tõ A trong tam gi¸c SAB, SAD vµ SAC a) Chứng minh: AI, AJ, AE đồng phẳng b)CMR tø gi¸c AIEJ cã c¸c ®­êng chÐo vu«ng gãc nhau vµ tÝnh diÖn tÝch cña nã 10) Cho hình chóp SABCD đáy là hình chữ nhật cạnh; SA  (ABCD). Dựng các đường cao AH, AK trong tam giác SAB vµ SAD. Chøng minh: (AHK)  (SBC) vµ (AHK)  (SCD) 11) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh ch÷ nhËt t¹i A lÊy mét ®iÓm S. mÆt ph¼ng qua CD c¾t SA t¹i M vµ SB t¹i N a) CDMN lµ h×nh g×? b)Nªu c¸ch dùng ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ S vu«ng gãc víi (CDMN) 12) Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i A vµ D vµ AB = 2a; AC = DC = a; SA = a lµ ®o¹n th¼ng vu«ng gãc víi (ABCD) a) Chøng minh (SAC)  (SBC) b)TÝnh gãc nhÞ diÖn (A, SB, C) 13) Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Hai điểm M và N di động trên các cạnh BC và CD. Đặt Chứng minh: = x và CN = y. Trên đường thẳng At vuông góc với (P) lấy một điểm S. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để: a) Gãc cña c¸c mÆt ph¼ng (SAM) vµ (SAN) b»ng 450 b)(SAM)  (SMN) 14) Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Hai mp (SAB) và (SAD) vuông góc với nhau; SA = a a) Chøng minh: (SAB)  (SBC) vµ (SBD)  (SAC) b) Xác định và tính góc nhị diện (S, BD, A) c)Xác định và tính góc nhị diện (B, SC, D) 15) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹ch a. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh vu«ng t¹i A ta lÊy mét ®iÓm S víi AS = h. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: a) SC vµ BD b)SC vµ AD 16) Trªn c¹nh AD cña h×nh vu«ng ABCD c¹nh a lÊy ®iÓm M víi AM = x (0 < x < a) vµ trªn nöa ®­êng th¼ng Ax vu«ng gãc víi mp(ABCD) t¹i A ta lÊy ®iÓm S sao cho AS = y > 0 a) Chøng minh r»ng nhÞ diÖn c¹nh SB cña h×nh chãp SABCM lµ nhÞ diÖn vu«ng b) Tính khoảng cách từ M đến mp(SAC) c) Gäi I lµ trung ®iÓm cña SC; H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I lªn Chøng minh:. T×m quü tÝch cña H khi M ch¹y trªn c¹nh AD vµ S ch¹y trªn Ax 17) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và B, AB = BC = a; AD = 2a; đường cao của h×nh chãp lµ SA = 2a a) Xác định và tính đoạn vuông góc chung của AD và SC b)TÝnh gãc ph¼ng nhÞ diÖn c¹nh SD 18) Cho hình chóp SABCD đáy là nửa lụa giác đều cạnh a, chiếu cao SA = h a) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SABCD b) mp qua A vu«ng gãc víi SD c¾t SB, SC, SD ®­êng th¼ng¹i B’,C’,D’.CMR tø gi¸c AB’C’D’ néi tiÕp c) Chøng minh: A’B’ > C’D’ 19) Cho hình chóp SABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh a, chiều cao SA. a) H·y nªu c¸ch dùng thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (P) qua A vµ vu«ng gãc víi SC b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn 20) Cho hình chóp SABCD đáy là nửa lục giác đều ABCD với AD = 2a, AB = BC = CD = A. Cạnh SA = h vuông góc với đáy. (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với SD cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’ a) Chøng minh r»ng AB’C’D’ lµ mét tø gi¸c néi tiÕp b) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SAB’C’D’ c)TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AB’C’D’ 21) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Từ A hạ các đường vuông gãc AE víi SB vµ AF víi SD. d) Chøng minh: (AEF)  SC e) Gọi P là giao điểm của (AEF) với SC. Tìm quỹ tích của P khi S chạy trên nửa đường thẳng Ax  với đáy ABCD Lop12.net. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài tập hình học ôn thi đ ại h ọc. Thầy giáo: Vũ Hoàng Sơn. f) Chứng minh rằng có hai vị trí của S trên Ax sao cho VPABCD bằng một giá trị V cho trước với điều kiện V không vượt quá một giá trị V1 nào đó mà ta phải xác định 22) Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. Trªn ®­êng th¼ng Ox vu«ng gãc víi (P) ta lÊy ®iÓm S. 1/ Giả sử các mặt bên của hình chóp SABCD tạo với đáy một góc  a). Xác định đường vuông góc chung của SA và CD . Tính độ dài đường vuông góc chung đó theo a và . b) Một mp đi qua AC và vuông góc với (SAD) chia hình cầu thành hai phần . Tính tỷ số thể tích của hai phần đó 2/ Giả sử điểm S thay đổi, hãy xác định vị trí của S trên Ox sao cho mặt phân giác của góc nhị diện ứng với cạnh đáy cña mÆt xung quanh cña h×nh chãp SABCD thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau 23) Trong mp (P) cho đường tròn (r) bán kính R; A là điểm cố định trên (r), S là điểm trên đường thẳng (d) vuông góc với (P) t¹i A. ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp trong (r) cã hai ®­êng cheo AC vµ BD vu«ng gãc víi nhau. a) Giả sử S cố định, phải chọn đáy ABCD thế nào để hình chóp SABCD có thể tích lớn nhất b) Với ABCD đã định chọn như ở câu a. Giả sử S di động trên (d). Trên đoạn AB lấy điểm M. Đặt AM = x (0  x  R 2 ) và AS = y. Biết SM = R 2 . Hãy xác định vị trí của M trên AB để hình chóp SAMBC có thể tích lớn nhÊt 24) Cho hình chóp SABCD trong đó đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên SA  (ABCD). Một mặt phẳng qua A vuông gãc víi SC c¾t SB ë B’, c¾t SD ë D’. a) Chứng minh rằng tứ giác AB’C’D’ có hai góc đối vuông góc nhau b) CMR nÕu S di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi (ABCD) t¹i A th× mp (AB’C’D’) lu«n ®i qua mét ®­êng thẳng cố định. CMR các điểm A, B, B’, C, C’, D, D’ cùng nằm trên một mặt cầu cố định c) Gi¶ sö gãc SC vµ mÆt (SAB) b»ng x. TÝnh tû sè gi÷a thÓ tÝch cña h×nh chãp SAB’C’D’ vµ thÓ tÝch h×nh chãp SABCD theo x, biÕt r»ng AB = BC 25) Cho hình chóp SABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = b. Cạnh SA vuông góc với (ABCD) và SA = 2a. M lµ ®iÓm trªn SA vu«ng gãc víi (ABCD) vµ SA = 2a. M lµ ®iÓm trªn SA víi AM = x (0  x  2a) a) Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiế diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó. b) Xác định x sao cho thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất c) Xác định x sao cho mặt phẳng (MBC) chia hình chóp ra thành hai phần có thể tích bằng nhau 26) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a, góc A = . Biết rằng SA vuông góc với (ABC) và SA = h. cho biết tồn tại 3 điểm M, N, P lần lượt thuộc AB, AC, BC sao cho AM = AN = AP và các tam giác SMP, SNP, tương đương a) Chøng minh P lµ trung ®iÓm cña BC b)TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp SAMPN c)Chøng minh h×nh chãp SAMPN cã mÆt cÇu néi tiÕp. TÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu Êy 27) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA  (ABCD), AB = a, AD = b, SA = 2a. Gọi M là trung ®iÓm cña SA.MÆt ph¼ng (MBC) c¾t h×nh chãp theo thiÕt diÖn lµ h×nh g×. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn Êy 28) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, trªn ®­êng th¼ng d ®i qua A vµ vu«ng gãc v¬i mÆt ph¼ng (ABCD) lÊy ®iÓm S sao cho SA = a. Trên cạnh CD lấy điểm M di động. Hạ SH  BM và AK  SH. Đặt góc ABM =  a)Chøng minh: AK  (SBM) vµ tÝnh AK theo a vµ  b)Hạ AI  SB. Chứng minh SB  (AKI) và tìm quỹ tích K khi M thay đổi trên cạnh CD qg tphcm – d - 2000  Kim tù th¸p bài1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy là hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Mặt bên tạo với mặt đáy hình chóp 1 góc 600. Mặt phẳng (P) chứa cạnh AB và cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Cho biết góc tạo bởi mặt phẳng (P) và mặt đáy của hình chóp là 300 a) Tø gi¸c ABMN lµ h×nh g×? b)TÝnh VSABMN theo a ®h sp tphcm – a - 2000 bài2: Cho h.chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy là hình vuông ABCD có cạnh bằng a và SA = SB = SC = SD = a. a) TÝnh STP vµ VSABCD theo a ®h sp tphcm – d - 2001 b) TÝnh cosin cña gãc nhÞ diÖn (SAB, SAD) bµi3: Cho h×nh thoi ABCD t©m O; SO lµ ®o¹n th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh thoi a)CMR (SAC) là mp phân giác của các nhị diện cạnh SA và SC. Suy ra O cách đều bốn mặt bên của hình chóp SABCD b)Tìm một điểm cách đều năm mặt của hình chóp ấy bài4: Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông cạnh a. Gọi O là tâm hình vuông; SO vuông góc với (ABCD); SA = b, SA t¹o víi (ABCD) vµ (SBC) hai gãc b»ng nhau vµ b»ng  a) Xác định hình chiếu H của A xuống mặt phẳng (SBC). Chứng minh SO = AH b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a vµ b råi suy ra gi¸ trÞ cña tg bài5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD, diện tích bằng a2 3 và góc giữa hai đường chéo bằng 600. Biết rằng các cạnh của hình chóp nghiêng đều trên mặt đáy một góc 450 a) Chøng minh: ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt b)TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp bài6: Cho h. chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, đường cao h. Gọi (P) là mp qua A và vuông góc với SC tại C’ a) h phải thoả mãn điều kiện gì đối với a để C’  SC? b) Trong điều kiện đó (P) còn cắt SB, SD lần lượt tại B’, D’. Chứng minh B’C’D’ là tam giác tù Lop12.net. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài tập hình học ôn thi đ ại h ọc. Thầy giáo: Vũ Hoàng Sơn. bài7: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD cạnh a , đường cao SO = a 3 a) M lµ mét ®iÓm trªn ®o¹n OC víi AM = x. Qua M ta dùng mÆt ph¼ng (P) song song víi SA vµ BD. Nªu c¸ch dùng thiÕt diÖn vµ tÝnh diÖn tÝch cña nã theo a vµ x b) NÕu M thuéc ®o¹n AO, h·y lÆp l¹i c©u hái trªn bài8: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, AD và SC a) Dùng thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (MNE) b) TÝnh tû sè thÓ tÝch hai phÇn cña h×nh chãp ph©n chia bëi thiÕt diÖn trªn bài9: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S, cạnh đáy bằng a, đường cao SH. Một điểm M bắt kỳ thuộc AH, mặt phẳng (P) qua M song song với AD và SH cắt AB, DC, SD và SA lần lượt tại I, J, K, L a) Cho biết SH = a 2 . Xác định vị trí của M trên AH để thiết diện IJKL là một tứ giác ngoại tiếp b) Xác định vị trí của M trên AH để thể tích khối đa diện DIJKLH đạt giá trị lớn nhât c)mặt phẳng (P) cắt DB tại N. Tìm quỹ tích giao điểm P của hai đường chéo của tứ giác MNKL khi M thay đổi trên AH bài10: Cho hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là . Qua một cạnh đáy ta dựng một mặt phẳng tạo với mặt đáy góc . Tính diện tích thiết diện bài11: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD trong đó ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD = a. a) TÝnh chiÕu cao vµ thÓ tÝch h×nh chãp b) Gäi M, N, P theo thø tù lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, AD vµ SC. MÆt ph¼ng MNP c¾t SB vµ SD t¹i Q vµ R. So s¸nh c¸c ®o¹n QB vµ RD víi SB c) Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) chia hình chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau; kết quả đó có đúng không nếu SA = SB = SC  a bài12: Chop hình chóp tứ giác đều SABCD có độ dài cạnh đáy AB = a và góc SAB =  . Tính thể tích hình chóp SABCD theo a vµ  ®h y hn - 2000 bài13: Cho hình chóp tứ giác đều: SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và đáy là  (450 <  < 900) a) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ VSABCD b) Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Tõ M kÎ MK vu«ng gãc víi mp(SAD). MÆt ph¼ng (BCK) c¾t h×nh chãp theo 1 thiÕt diÖn lµ h×nh g×? TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn theo a vµ  ®h nn - 2000 bài14: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đường cao SH, đường trung đoạn thuộc mặt bên (SBC) là SN = a và hợp với ®­êng cao SH mét gãc  a) TÝnh VSABCD theo a vµ  c® l® xh - 2000 b) Trong mp(SHN) vµ HK  SN,C/m: HK lµ kho¶ng c¸ch tõ H tíi mÆt (SBC) TÝnh HK biÕt a = 3960 vµ  = 22030’ c) TÝnh HK biÕt diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh chãp lµ: STP = 8a2sincos2(450 – /2)  Chãp côt: bài1: Một chóp cụt tứ giác đều có chiều cao h, cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ, cạnh bên tạo với cạnh đáy lớn xuất phát từ cùng một đỉnh góc  TÝnh diÖn tÝch xung quanh vµ thÓ tÝch chãp côt bài2: Biết hai đáy của một chóp cụt có diện tích B, B’. Tính diện tích thiết diện trung bình , tức kà thiết diện đi qua điểm giữa một cạnh bên và song song với hai đáy của chóp cụt bài3: Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r cho sẵn. Tính thể tích hình chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ bài4: Cho chóp cụt tứ giác đều ABCDA’B’C’D’. Tính tỷ số diện tích của hai tứ giác ACC’A’ và ABC’D’ biết rằng góc của mặt phẳng tạo bới hai tứ giác đó là  bài5: Cho chóp cụt lục giác đều ngoại tiếp hình cầu tâm I bán kính R. Gọi O và O’ là tâm của hai đáy, x và y là trung đoạn của hai đáy a) Chứng minh rằng với R cho sẵn thì tích xy không đổi b) Tính thể tích chóp cụt theo x, y và R. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khi x, y thay đổi c) Tính góc của mặt bên với đáy lớn khi x + y = 4R hoặc khi x – y = 2R bài6: Cho hình chóp cụt tam giác đều ABCA’B’C’ ngoại tiếp hình cầu tâm O bán kính R a) Chøng minh hai mÆt ph¼ng (OBC) vµ (OB’C’) vu«ng gãc víi nhau b) H lµ giao ®iÓm cña BC’ vµ B’C’. Chøng tá OH vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (BCC’B’) c) Trong các hình chóp cụt nói trên xác định hình chóp cụt có thể tích nhỏ nhất, Chứng minh rằng trong điều kiện nµy diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh chãp côt còng nhá nhÊt. TÝnh c¸c gi¸ trÞ nhá nhÊt nãi trªn  H×nh chãp: bài1: Cho hình chóp SABCD với ABCD là nửa lục giác đều (AD > BC) và SA  (ABCD). Một mặt phẳng qua A vuông gãc víi SD c¾t D’ vµ c¾t SB, SC t¹i B’, C’ . Chøng minh: AB’C’D’ lµ tø gi¸c néi tiÕp Lop12.net. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bài tập hình học ôn thi đ ại h ọc. Thầy giáo: Vũ Hoàng Sơn. bµi2: Cho h×nh vu«ng ABCD c¹ch a. Tõ trung ®iÓm I cña AD ta dùng ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABCD) vµ trên đó lấy điểm S sao cho SAD là tam giác đều a) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và AB b) Dựng và tính độ dài của đoạn vuông góc chung của SA và CM trong đó M là trung điểm của AB bµi3: Trong mp() cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Gäi (C) lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh BD trong mÆt ph¼ng qua BD vµ vu«ng góc với (); M là một điểm di động trên (C) a) Chøng minh: AM  MC b) Có vị trí nào của M trên (C) để (MAB)  (MCD) không? c) Gäi () lµ mÆt ph¼ng qua CD vµ vu«ng gãc víi (). ®­êng th¼ng AM c¾t () t¹i M’. Gäi H’ lµ h×nh chiÕu vu«ng góc của M’ lên CD. Chứng minh rằng: DH’ = k2M’H2 với k là một hằng số không phụ thuộc vào M. Từ đó suy ra quỹ tích của M’ khi M chuyển động trên (C) bµi4: Cho h×nh vu«ng ABCD n»m trong mp(P). Qua A dùng nöa ®­êng th¼ng Ax  (P). M lµ mét ®iÓm trªn Ax. ®­êng th¼ng qua M vu«ng gãc víi mp(MCB) c¾t (P) ë R. §­êng th¼ng qua M vu«ng gãc víi mp(MCD) c¾t (P) ë S a) Chøng minh: A, B, R th¼ng hµng vµ A, D, S th¼ng hµng b)T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n RS khi M di chuyÓn trªn Ax c)Gäi H lµ ch©n ®­êng cao kÎ tõ A trong MAI. C/m AH lµ ®­êng cao cña tø diÖn ARMS vµ H lµ trùc t©m cña MRS bài5: Cho hình chóp SABCD có các đặc điểm sau: Đáy là hình thang cân ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O bán kính a, AB // CD vµ CD = 4AB. SO = 2a lµ ®­êng cao a) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp b) CMR O cách đều bốn mặt bên của hình chóp. Xác định tâm và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp bµi6: Cho tø diÖn ABCD víi AB = a; CD = b a) Xác định hình dạng của thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P) song song với AB và CD b) Xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho diện tích thiết diện lớn nhất c) Xác định vị trí mặt phẳng (P) sao cho thiết diện là hình thoi bài7: Cho hình chóp PQRS đáy là tam giác đều QRS cạnh bằng m, PQ = m 2 ; đường cao của hình chóp kẻ từ P đi qua trung điểm của RS. Người ta cắt hình chóp bằng một mặt phẳng song song với PQ và RS và cách đỉnh Q một đoạn bằng d a) Nêu cách dựng thiết diện. Xác định hình dáng thiết diện b)TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn bài8: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh SA = x, còn tất cả các cạnh khác độ dài bằng 1 a) Chøng minh SA  SC b) Tính thể tích của hình chóp. Xác định x để bài toán có nghĩa. Xác định x để thể tích lớn nhất bài9: Cho hình chóp SABCD có đáy là một hình bình hành ABCD. Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự tại A’, B’, C’, D’. Chøng minh hÖ thøc: SA  SC  SB  SD SA'. SC'. SB'. SD'. bài10: Hai h.chóp tam giác đều có chung chiều cao, đỉnh, các cạnh bên của hình chóp trùng với tâm của hình chóp kia, c¸c c¹nh bªn cña h×nh chãp nµy c¾t c¸c c¹nh bªn cña h×nh chãp kia. C¹nh bªn l cña h×nh chãp thø nhÊt t¹o víi ®­êng cao gãc . C¹nh bªn cña h×nh chãp thø hai t¹o víi ®­êng cao gãc  . TÝnh thÓ tÝch phÇn chung cña hai h×nh chãp bài11: Trong mặt phẳng () cho OAB và một điểm di động M trên đoạn AB. Từ M ta dựng hai đường thẳng song song với OB và OA, Lần lượt cắt OA, OB tại P và Q; Gọi I là giao điê,r của AQ và BP. Trên đường thẳng vuông góc với mp() t¹i M ta lÊy ®iÓm S  M. §Æt OA = a, OB = b a) Chứng minh: OP  OQ  1 . Từ đó suy ra thể tích hai hình chóp SOPIQ và SIAB bằng nhau a. b. b) Cho gãc AOB = 600, a = 2b vµ SM = b. 3 . Gọi 1, 2 lần lượt là góc phẳng của hai nhị diện tạo bới (SOA) và. (SOB) với mp(). CMR: khi M đi động trên đoạn AB thì ta luôn có hệ thức:. 2 2  1 tg1 tg 2. bài12: Đáy của hình chóp là tam giác vuông có diện tích Q và góc nhọn . Mặt bên qua cạnh đối với  vuông góc với mặt đáy; hai cạnh bên còn lại hợp với mặt đáy góc  a) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp theo , , Q b) Với giá trị nào của  thì tiếp tuyến đó lớn nhất (Q,  khônh đổi) bài13: Trong mp (P) cho hình thang cân ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O bán kính R, các cạnh đáy AB và CD thoả m·n ®iÒu kiÖn AB/CD = ¼ . Trªn ®­êng th¼ng d vu«ng gãc v¬Ý (P) t¹i O lÊy ®iÓm S sao cho OS = 2R a) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch cña h×nh chãp SABCD b)Chứng minh O cách đều bốn mặt của hình chóp SABCD từ đó tìm tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp bài14: Chứng minh rằng nếu hình chóp có các mặt bên làm với mặt đáy một góc bằng nhau thì hình chóp có mặt cầu nội tiếp. Điều ngược lại có đúng không? bài15: Cho h. chóp tam giác đều SABC có chân đường cao SH = h. Gọi I, J, K lần lượt là trực tâm các mặt bên của h. chóp a) Chøng minh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp SIJK cã t©m trªn SH Lop12.net. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài tập hình học ôn thi đ ại h ọc. Thầy giáo: Vũ Hoàng Sơn. b) Gäi r lµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu Êy. TÝnh thÓ tÝch cña SABC theo r vµ h bài16: Cho hình chóp tam giác đều SABC với cạnh đáy AB = a và đường cao SH = h a) TÝnh theo a vµ h c¸c b¸n kÝnh r, R cña c¸c mÆt cÇu néi tiÕp, ngo¹i tiÕp h×nh chãp b) Giả sử a cố định, h thay đổi. Xác định để r/R lớn nhất bài17: Cho hình chóp tam giác đều có diện tích mặt cầu ngoại tiếp là S và diện tích mặt cầu nội tiếp là s a) Chøng minh: S  9s b)TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp theo S vµ s. …………………………………………………………………... Một số đề thi đại học từ 2002-2009 1.(Đề CT- K A - 08)Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a,đáy ABC là tam giác vuông tai A , AB =a,AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC .Tính theo a thể tích khối chãp A'.ABC vµ tÝnh cosin cña gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng AA' ,B'C'. 2 . (Đề CT- K B - 08)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SA=a,SB=a 3 và mp (SAB) vuông góc với mp đáy .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB ,BC.Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin cña gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng SM,DN. 3. (Đề CT- K D - 08) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông AB =BC =a,cạnh bên AA' = a 2 .Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh Bc.TÝnh theo a thÓ tÝch cña khèi l¨ng trô ABC.A'B'C' vµ kho¶ng c¸ch hai ®­êng th¼ng AM,B'C. 4. (KA - 07)Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy .Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD . chứng minh AM vuông góc với BP và tÝnh thÓ tÝch cña khèi tø diÖnCMNP . 5. (KB - 07)Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a .Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung ®iÓm cña SA ,M lµ trung ®iÓm cña AE ,N lµ trung ®iÓm cña BC . Chøng minh MN vu«ng gãc víi BD vµ tÝnh (theo a) kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®­êng th¼ng MN vµ AC. 0. 6. (KD - 07)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang , ABC  BAD  90 , BA=BC=a,AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc vói đáy và Hlà hình chiếu vuông góc của A trên SB.Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoản cách từ H đến mp (SCD). 0. 7. (DBKA - 07)Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB =a, AC =2a, AA' =2a 5 và góc BAC  120 Gọi M là trung ®iÓm c¹nh CC'.CMR MB vu«ng gãc víi MA' vµ tÝnh kho¶ng c¸ch d tõ ®iÓm A tíi mp (A'BM). 8. (DBKA - 07)Cho hình chóp S.ABCD có góc ( SBC ), ( ABC )  = 600 , ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC). 9. (DBKB - 07)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. SA vuông góc với đáy hình chóp .Cho AB = a,SA =a 2 .Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,SD.Chứng minh SC  (AHK) và tính thể tích khèi chãp OAHK. 10. (DBKB - 07)Trong mp (P) cho nửa đường tròn đường kính AB=2R và điểm C thuộc nửa đườngTròn đó sao cho AC = R.Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A lấy điểm S sao cho góc (SAB,SBC) = 600.Gọi H,K lần lượt là hình chiÕu cña O trªn SB,SC.Chøng minh tam gi¸c AHK vu«ng vµ tÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABC. 11. (DBKD - 07)Cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông ,AB=AC =a, AA1=a 2 .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BB1 .Chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BB1 . TÝnh thÓ tÝch khèi chãp MA1BC1. 12. (DBKD - 07)Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a.M là trung điểm của đoạn thẳng AA1.Chøng minh r»ng BM  B1C vµ tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a BM vµ B1C. 13. (KA - 06)Cho hình lăng trụ có đáy là hai hình tròn tâm O và O’ ,bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a .Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A ,trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a.Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB.. Lop12.net. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bài tập hình học ôn thi đ ại h ọc. Thầy giáo: Vũ Hoàng Sơn. 14. (DBKA - 06)Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB =AD = a, AA’ =. a 3 vµ gãc BAD =600.Gäi M vµ N 2. lần lượt là trung điểm của các cạnh A ‘D’ và A’B’.Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN) .Tính thể tích khối chãp A.BDMN. 15. (DBKA - 06)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a,AD = 2a.Cạnh SA vuông góc với đáy ,cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =. a 3 .mp (BCM) c¾t c¹nh SD t¹i 3. ®iÓm .TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.BCNM. 16. (KB - 06) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,AD = a 2 , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) .gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC ;I là giao điểm của BM và AC.Chứng minh rằng mÆt ph¼ng (SAC) vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (SMB) .TÝnh thÓ tÝch cña khèi tø diÖn ANIB. 17. (DBKB - 06) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,góc BAD =600,SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD),SA=a.Gäi C’ lµ trung ®iÓm cña SC.MÆt ph¼ng (P) ®i qua AC’ vµ song song víi BD,c¾t c¸c c¹nh SB,SD cña h×nh chóp lần lượt tại B’,D’.Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’. 18. (DBKB - 06) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều ,cạnh đáy AB=a,cạnh bên A’A=b.Gọi α lµ gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (ABC) vµ (A’BC) .TÝnh tg α vµ thÓ tÝch cña khèi chãp A’.BB’C’C. 19. (KD - 06) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,SA = 2a và SA vuông góc với mp (ABC) .Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC.Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. 20. (DBKD - 06) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a,gọi SH là đường cao của hình chóp . Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b. Tính thể tích của khối chóp SABCD. 21. (DBKD - 06) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a và điểm k thuộc cạnh CC’ sao cho CK = 2 a. mp 3.  α  đi qua A,K và song song với BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện .Tính V của hai khối đa diện đó.. 22. (DB-KD-04)Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh AB = a.Trªn c¸c n÷a ®­êng th¼ng Ax,By vu«ng gãc víi mp (ABCD) vµ nằm về cùng phía đối với mp (ABCD) ,lần lượt lấy các điểm M,N sao cho tam giác MNC vuông tại M .Đạt AM=m,BN=n.CMR , m(n – m ) = a2 vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña diÖn tÝch h×nh thang ABNM. 23. (CT-KA-03)Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Tính số đo của góc phẳng nhị diện [B,A’C,D]. 24. (CT-KA-03)Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc hệ toạ độ ,B(a,0,0) ,D(0,a,0),A’(0,0,b)(a > 0,b > 0).Gọi M là trung điểm cạnh CC’. a) TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn BDA’M theo a vµ b. b) Xác định tỷ số a để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau. b 25. (DB -KA-03)Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cânvới AB=AC=a và góc BAC = 1200 ,cạnh bên BB’= a.Gäi I lµ trung ®iÓm cña CC’.CMR ,tam gi¸c AB’I vu«ng ë A.TÝnh cosin cña gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (ABC) vµ (AB’I). 0. 26 (CT -KB-03)Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a , góc BAD  60 . Gäi M lµ trung ®iÓm c¹nh AA’ vµ N lµ trung ®iÓm c¹nh CC’. CMR bèn ®iÓm B’, M, D, N cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông. 27. (DB -KB-03)Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Tìm điểm M thuộc cạnh AA’ sao cho mặt phẳng (BD’M) cắt hình lập phương theo một thiết diện nhỏ nhất. 28. (DB -KB-03)Cho hình chóp đều S.ABC, cạnh đáy bằng a,mặt bên tạo với đáy một góc bằng thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC).. . . φ 0 0  φ  90 0 . TÝnh. Δ. 29. (CT -KD-03) Cho hai mp (P)vµ (Q)vu«ng gãc víi nhau,cã giao tuyÕn lµ ®­êng th¼ng . Trªn Δ lÊy hai ®iÓm A, B víi AB = a. Trong mp (P) lÊy ®iÓm C, trong mÆt ph¼ng (Q) lÊy ®iÓm D sao cho AC,BD cïng vu«ng gãc víi Δ vµ AC= BD= AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a. 30. (DB -KD-03) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.CMR, tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a. 31. (DB -KD-03) Cho tø diÖn ABCD cã AD vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) vµ tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. AD=a,AC=b,AB=c.TÝnh diÖn tÝch S cña tam gi¸c BCD theo a,b,c vµ chøng minh r»ng 2S  abc(a  b  c) . 32. (CT -KA-02)Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S,có độ dài cạnh đáy bằng a.Gọi M và N lần lượt là các trung ®iÓm cña c¸c c¹nh SB vµ SC .TÝnh theo a diÖn tÝch tam gi¸c AMN,biÕt r»ng mp (AMN) vu«ng gãc víi mp (SBC). 33.TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn ABCD, biÕt AB =a, AC =b, AD =c vµ gãc  BAC =  CAD =  DAB =600. 34. (CT -KB-02)Cho hình lập phương ABSDA1B1C1D1 có cạnh bằng a. a. TÝnh theo a kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng A1B vµ B1D. b. Giọi M,N,P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1 CD,A1D1.. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1N .. Lop12.net. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bài tập hình học ôn thi đ ại h ọc. Thầy giáo: Vũ Hoàng Sơn. 35. (DB -KB-02)Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau .Gọi. α, β , γ lần lượt là các góc. gi÷a mÆt ph¼ng (ABC) víi c¸c mÆt ph¼ng (OBC), (OCA) , (OAB).Chøng minh r»ng : cos α  cos β  cos γ  3. 36. (CT -KD-02)Cho h×nh tø diÖn ABCD cã c¹nh AD vu«ng gãc víi mp (ABC) ;AC=AD =4 cm;AB =3cm ; BC = 5cm . TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mÆt ph¼ng (BCD). 37. (DB -KD-02)Cho hình tứ diện ABCD ,cạnh a = 6 2 .Hãy xác định độ dài đoạn vuông góc chung của hai đương thẳng AD vµ BC. 38. (DB -KD-02)Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) . TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A tíi mÆt ph¼ng (SBC) theo a .biÕt r»ng SA  a 6 . 2 39.( DB -KB-02)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA bằng a.Gọi E là trung điểm của cạnh CD .Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE .. …………………………HÕt ………………………. Lop12.net. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>