Đề Thi học sinh giỏi Lớp 12 Môn: Toán

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Së GD-§T Thanh Hãa Trường THPT Thống Nhất. §Ò Thi häc sinh giái Líp 12 M«n: To¸n Thêi gian: 180 Phót Giáo viên ra đề : Bµi 1 : (4®iÓm ). TrÞnh V¨n Hïng. 2  mx  1 x Cho ®­êng cong ( Cm) : y  ( m lµ tham sè vµ |m | 2). 2x  m Tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đường cong (Cm ) mà chóng vu«ng gãc v¬Ý nhau. (Gi¶i tÝch - To¸n n©ng cao 12 T¸c gi¶ Phan Huy Kh¶i ) 1. b) Cho In =  0. e.  nx. 1  e x. dx víi n lµ sè tù nhiªn. T×m lim In n  . ( To¸n n©ng cao líp 12 Phan Huy Kh¶i ) Bµi 2: (4 §iÓm ) a) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số a x  1 - a  x =1 ( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) b) Giải bất phương trình 12x  8 2x  4 - 2 2  x  2 9x  16 ( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) Bµi 3 ( 4®iÓm ) a)Giải Phương trình :2sin(3x+.  ) = 1  8 sin 2x cos2 2x 4. b) Tam gi¸c ABC cã c¸c gãc thâa m·n : 2sinA+ 3sinB+4sinC = 5cos C 2 Chứng minh rằng : tam giác ABC là tam giác đều . ( B¸o To¸n häc tuæi trÎ 5/2004) Bµi 4(4®iÓm) :. +cos. Lop12.net. A B +3cos 2 2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> x n  nx  n 1 x 1 ( x 1)2. a)Cho n là số nguyên dương , hãy tìm giới hạn A = lim. ( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ). log 2 x  3  log(23 y ) b) Giải hệ phương trình  y3 (3x )  log 2 log 2 (Đại số sơ cấp tác giả Trần Phương) Bµi 5 ( 4®iÓm) : a) Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang có cạnh AD =2 BC. Gọi M,N là hai trung điểm của SA , SB tương ứng .Mặt phẳng (DMN ) cắt SC tại P. Tính tỉ số điểm P chia ®o¹n th¼ng CS . ( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) b) Cho a,b,c lµ c¸c sè thùc lín h¬n 2 2. 2. 2. Chøng minh r»ng : logab c + logab c + log ca  b 3 ( Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ,tác giả Trần Phương) .................................... HÕt ............................................ Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> §¸p ¸n C©u 1 Gäi M(x0;0 ) lµ ®iÓm cÇn t×m . §­êng th¼ng (  )qua M cã hÖ sè gãc k cã phương trình y= k( x-x0) Để(  ) là tiếp tuyến của đường cong thì phương trình sau có nghiệm kép (0,5®) x 2  mx  1  k(x  x 0 ) 2x  m. ( 1- 2k) x2+(m+2kx0-mk)x +1+mkx0=0 cã nghiÖm kÐp 1  2k  0   2 [k (2 x 0  m)  m]  4(1  2k )(1  mkx 0 )  0. 1   k (2) (I )  2 k 2 (2 x  m) 2  4k (2  mx 0 )  m  4  0 (3). Bài toán trở thành tìm điều kiện để (I) có hai nghiện phân biệt k 1, k2 vµ k1.k2 = -1 (0,5®) thay (2) vµo (3) ta cã : (2x0-m) 2 +m2 + 12  0 (4) Vì (4) đúng nên hệ (I)  (3) §iÒu kiÖn cÇn t×m lµ :  2x 0  m  0 m   m2  4  x0     2  1  2 2  (2x 0  m) (2x 0  m)  4  m 2. ( 2x0 +m)2 = 4-m2 ( v× m 2) (5) NÕu m > 2 th× (5) v« nghiÖm NÕu m. < 2 th× (5) cã hai nhghiÖm cÇn t×m víi x0 =. VËy cã hai ®iÓm M(x0;0) cÇn t×m víi x0 = b) Ta cã x  ( 0;1) th× :. m± 4 2. e  nx e  ( n  1) x >  In > In+1 1  e x 1  e x. e  nx MÆt kh¸c v× > 0  x  (0;1) 1  e x Lop12.net. In >0. n. m2. m± 4 2. m2. (0,5®).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Vậy {In} là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới , nên tồn tại lim I n. (0,5®). n . Ta cã In + In+1. 1. = e.  e (n  x ) dx 1  e x.  nx. 0. e 1 - In-1 1 n. 1. =  e  ( n 1) x dx = 0. 1 e ( n 1)  1 n 1. 1 n. In =. (*). (0,5®). Râ rµng : lim I n = lim I n 1 n . n . e 1 n  1 lim =0 nªn tõ (*) suy ra 2 lim I n = 0 n   n  1 n. lim I n = 0. (0,5®). n . Bµi 2: a) Giải và biện luận phương trình theo tham số a:. x  1 - a  x =1 ax0    x 1 1 a  x. xa   2 x  a  2 a  x. xa   a  x 2  2 f ( x )   4 ( a  1)  a 2  4a  0 4x . (2). (0,5®). (3) (4). Ta xét các trường hợp sau: +) Nếu a < 0 khi đó. a > a nªn hÖ (2) (3) (4) v« nghiÖm tøc lµ (1) v« 2. nghiÖm +) NÕu a=0 th× hÖ (2), (3), (4) cã nghiÖm duy nhÊt x=0. a  xa (5)  +) NÕu a >0 th× ta cã  2 f ( x )  4 x 2  4(a  1) x  a 2  4a (4) XÐt tam thøc f(x) cã f( a )= -2a < 0 vµ f(a) = a2 > 0 2. Vậy theo định lí đảo (4) có hai nghiệm x1,x2 thoã mãn x1< a < x2 < a 2. KÕt luËn Lop12.net. (1®).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> +) NÕu a < 0 th× (1) v« nghiÖm +) NÕu a 0 th× (1) cã nghiÖm duy nhÊt x=. a  1  2a  1 2. b) Giải bất phương trình 12x  8 2x  4 - 2 2  x  (1) 2 9x  16 Nh©n biÓu thøc liªn hîp vÕ tr¸i ta cã ( Víi x  [-2;2] ) 2(6 x  4) 6x  4  2x  4  2 2  x 9 x 2  16  (3x  2)[ 9x 2  16  2( 2x  4  2 2  x ]  0  (3x  2)(9x 2  8x  32  16 8  2x 2  0. (0,5®). (0,5®). (0,5®).  (3x  2)( x  2 8  2x 2 )(8  x  2 8  2x 2  0. Do 8+x+2 8  2 x 2  0 2   2  x   3  4 2  x  2  3. nªn (2) (3x-2) (x-2 8  2x 2 )  0. Tập nghiệm của bất phương trình T = [ -2; Bµi 3 ( 4®iÓm ) a)Giải Phương trình :2sin(3x+. 2 4 2 )( ; 2] 3 3. (1®).  ) = 1  8 sin 2x cos2 2x 4.   sin( 3 x  )0 (2)  4   4 sin 2 (3x  )  1  8 sin 2x cos 2 2x (3)  4. (0,5®). Gi¶i (2):.  ) ] = 1+ 8sin2x(1-sin22x) 2  2+ 2sin6x = 1+ 8sin 2x-8sin32x  2+ 2(3sin2x-4sin32x) = 1+8sin2x-8sin32x   x   k  1 12  sin2x =  (k,lZ )  5 2   x   12. (2)  2[1-cos(6x +. Lop12.net. (0,5®).

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  + k¶ vµo (2) ta cã : 12  k VT(2) = sin(  3k )  (1)  0 khi k=2n ,n  Z 2  x= + 2n¶ lµ nghiÖm cña (1). 12 5    vµo (2) ta cã : +) Thay x= 12 3  1  3 )  (1)  0 khi l=2m-1;m Z VT(2) = sin( 12 5  (2m  1)  lµ hä nghiÖm cña (1) x= 12  5  (2m  1)  ; (n,mZ) VËy (1) cã hai hä nghiÖm : x= + 2n¶ vµ x= 12 12. +)Thay x=. b) Ta cã sinA +sin B = 2 sin. (1®). AB AB C  2 cos cos dÊu ( = ) x¶y ra khi vµ chØ khi 2 2 2. 1 C (sin A + sinB )  cos chØ khi A = B 2 2 5 A Tương tự : (sin B + sinC )  5 cos 2 2 3 B (sin C + sinA )  3 cos 2 2. (1) (2) (3). Tõ (1), (2), (3), suy ra : 2sinA + 3sin B + 4 sin C  5cos Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.. (1®). A B C +3cos +cos 2 2 2. (1®). Bµi 4 :. x n  nx  n 1 a)Cho n là số nguyên dương , hãy tìm giới hạn A = lim x 1 ( x 1)2 ta cã xk -1 = (x-1)(1+x+x2+ ……….+xk-1). (0,5®). (x 1)(1x x ......x n) (x 1) (x 1) ......... (x 1) A lim  lim x1 x1 (x 1)2 x 1 2. n1. 2. n1. (x 1)[1(x 1) ....(1x ......xn2)] n(n 1) A lim 123.......(n 1)  x1 x 1 2. Lop12.net. (0,5®).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> VËy : A =. n (n  1) 2. (0,5®). log 2 x  3  log(23 y ) b) Giải hệ phương trình  y3 (3x )  log 2 log 2. log2x 3  2(1 log(23 y )) ( x  3) x ( y  3) y  log 2  2 log 3  log 2  2 log 3  y 3 (3x )  2(1  log2 ) log2 XÐt hµm sè : f(t) = log(2 t 3)  2 log2t víi t(0; +  ) đồng biến trên (0; +  ). (1). (0,5®). (1) viết dưới dạng f(x) = f(y) xy (2)  (I)  x log 2 ( x  3)  2(1 log 3 ) (3). (II). x (3)  x  3  22(1log3 )  x  3  4.2log3x 2.  x  3  4.2log3. log 2 x. ...... 4. 2. 2 2.  x  3  4.( x 2 )log3 4.  x  3  4.x log3  x1log3  3.x log3 4  4. (4). 4 4 XÐt hµm sè q(x) = x1log3  3.x log3 trªn (0;+  ). nghÞch biÕn trªn (0;+  ). (0,5®). Nªn (4) cã nghiÖm th× lµ nghiÖm duy nhÊt , do g(1) =4 VËy x=1 lµ nghiÖm duy nhÊt cña (4). x  y Khi đó hệ (II) trở thành   x  y 1 x 1. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=y=1 Bµi5 :. Lop12.net. (0,5®).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> a) §Æt DA = a ; DC = b ; DS = c; Tõ gi¶ thiÕt ta ®­îc CB =. a v× P trªn CS 2. nên đặt: CP = x.CS M, N, P, D ở trªn cïng mÆt ph¼ng nªn DM,. DN,. DP đồng phẳng ta có: DN. = DM +DP. (1). V× M lµ trung ®iÓm cña SA nªn: DM =. V× N lµ trung ®iÓm cña SB nªn: DN =. DS  DA c  a = 2 2. DS  DB = 2. (2). a 2= a + b + c 4 2 2 2. cb. (3). Ta cã: DP = DC + CP = b + xCS = b + x(c - b) DP = (1-x)b + xc. (4). Tõ (1), (2), (3) vµ (4) ta cã: a b c   + + = c + a + (1  x )b + xc 4 2 2 2 2 . a b c   + + = a +  (1-x) b + ( + x) c 4 2 2 2 2. Lop12.net. (0,5®).

<span class='text_page_counter'>(9)</span>   1  24  1 b(1  x )  2     x  1  2 2. 1     2  3    4  x  1  3. VËy P trªn SC sao cho CP = a2. log b) Ta cã. . bc. 1 1 CS hay P chia ®o¹n th¼ng CS theo tØ sè k=3 2. 2 ln a 2 ln a 2 ln a   ln( b  c ) ln bc ln b  ln c. (0,5®). log a c  a. Tương tự :. log. c 2 a  b. VT(1)  2(. . b2. 2 ln b  ln a  ln c. 2 ln c ln a  ln b. ln a ln b ln c + + ) ln b + ln c ln a + ln c ln a + ln b. Bổ đề Với x,y,z>0 thì. ThËt vËy (*) (. (0,5®). y z 3 x + + (*) ≥ z + y x + z x+y 2. y z 3 x +1) + ( +1)+( +1) ≥ +3 x+z 2 z+y x+y. [ (y+z) +(z+x) +(x+y) ]. (. 1 1 1 + + )9 z + y x + z x+y. . áp dụng bổ đề ta có : VT(1)  3. (**) Theo C«si th× (**) tho· m·n (0,5®). (§PCM). HÕt Lop12.net. (0,5®).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>