Đề tài Sử dụng phương pháp cục trị để xét phương trình, bất phương trình

<span class='text_page_counter'>(1)</span>I. Lý do chọn đề tài Ta đã biết rằng bài toán tìm điều kiện về tính chất nghiên cứu phương trình, bất phương trình thường xuất hiện trong các kỳ thi đại học và khi chương sách giáo khoa bỏ định lý đảo về dấu tam thức bậc hai thì bài toán thuộc tuyến truên mất đi một công cụ để giải. Tuy nhiên nếu phân tích vấn đề một cách cẩn thận thì tuyến vẫn đề đó có thể giải quyết bằng phương pháp cực trị tương đối hiệu quả. Và thực tế giải bằng phương pháp cực trị cho lời giải rõ ràng, ngắn gọn hơn. Mặt khác hướng dẫn học sinh bằng phương pháp đó phát triển cho học sinh nhiều phẩm chất tư duy như phát triển tương khái quát hoá, tư duy hàm, tư duy phân tích tổng hợp… từ việc phân tích ở trên tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu “Sử dụng phương pháp cục trị để xét phương trình, bất phương trình”. II. Néi dung nghiªn cøu A. Lý thuyÕt 1. Phương trình. f(x) = m cã nghiÖm trªn D. f ( x)  m  max f ( x)  min D D. f(x)  m cã nghiÖm trªn D. 2. Bất phương trình. <=> m  max f ( x) D. f(x)  m có nghiệm đúng x+D. 3. Bất phương trình :. <=> m  min f ( x) D. f(x)  m v« nghiÖm trªn D. 4. Bất phương trình :. <=> m  max f ( x) D. m > f(x) cã nghiÖm x+ D. 5. Bất phương trình. <=> m  min f ( x) D. f(x) > m có nghiệm đúng x+D. 6. Bất phương trình :. <=> m  max f ( x) D. 7. Bất phương trình :. m > f(x) v« nghiÖm trªn D. <=> m  min f ( x). 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> (Víi gi¶ thiÕt hµm sè f(x) liªn tôc trªn D) B. Bµi to¸n Bài toán 1: Tìm m để phương trình x2 – 2x = m có nghiệm x  [ 0; 1] Gi¶i:. XÐt hµm sè f(x) = x2 – 2x Lµ hµm sè liªn tôc trªn [0;1] tõ b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè f(x) trªn [0;1] Ta cã :. maxf(x). = 0 ; min f(x) = - 1. [0 ; 1]. [0; 1]. Vậy điều cận cần và đủ để phương trình có nghiệm trên [0; 1] là 1 m0 Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình 4x – x2  m nghiệm đúng x  [0; 5] Gi¶i: XÐt hµm sè f(x) = 4x – x2 lµ hµm sè bËc hai, biÕn x: Cã . b  4 Ta cã f(0) = 0; f(4) = 0; f(5) = -5 2a. Bất phương trình nghiệm đúng x  [0; 5] §¸p sè : m  - 5 Bài toán 3: Tìm điều kiện cho m để bất phương trình mx4 – 4x + m  0 nghiệm đúng xR Gi¶i v¾n t¾t : Bất phương trình.  m. 4x  g ( x) x 1 4. Bằng phương pháp đạo hàm xét hàm G(x) =. 4x ; x 1 4. Ta cã : max g ( x)  4 27 R. Do đó bất phương trình nghiệm đúng xR điều kiện cần và đủ là : m  max g ( x)  4 27 R. §¸p sè : m  4 27 Tìm tất cả các giá trị của m để x [0; 2] đều là nghiệm của bất. Bµi to¸n 4: phương trình log 2. x 2  2 x  m  4 log 4 ( x 2  2 x  m)  5. 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Gi¶i : §iÒu kiÖn ( x 2  2 x  m)  1 Bất phương trình  log 2 x 2  2 x  m  4 log 4 ( x 2  2 x  m)  5 §Æt t = log 4 ( x 2  2 x  m)  5; t  0 Bất phương trình trở thành : t2 + 4t – 5  0  - 5  t  t KÕt hîp víi t  0 Ta cã : 0  t  1 Suy ra :. 0  log 4 ( x 2  2 x  m)  1. x 2  2x  m  1. x 2  2x  1  m. .  x 2  2x  m  4. x 2  2x  4  m. Bất phương trình nghiệm đúng x  [0; 2] khi và chỉ khi min ( x 2  2 x)  1  m [ 0; 2 ]. y max( x 2  2 x)  4  m [ 0; 2 ]. 1  1 m. . (Xem h×nh bªn) 0  4m. 2m4. 0. 2. x. -1 Bài toán 5: Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm X3 + 3x2 – 1  a ( x  x  1). 3. (1). Gi¶i v¾n t¾t: + Do. 3. x  x  1  0 nªn (5)  (x3 + 3x2 – 1) ( x  x  1)  a. (2). TX§ cña (2) lµ : x  1 + Hai hµm sè : f(x) = x3 + 3x2 –1 vµ g(x) =. x  x  1 đều dương và đống. biÕn khi : x  1 => Hµm sè h(x) = x3 + 3x2 –1 ( x  x  1) 3 §ång biÕn khi x  1 => min h( x)  h(1)  3 x 1. 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> VËy (2) cã nghiÖm khi vµ chØ khi : a  min h(2)  3 x 1 §¸p sè : a  3 Bµi to¸n 6:. Cho hµm sè f(x) = (m – 1) 6x -. 2  2m  1 tìm m để bất phương 6x. tr×nh (x – 61-x) . f(x)  0 x  [0; 1] Gi¶i v¾n t¾t : + Với x = 1 thì bất phương trình thoả mãn không phụ thuộc vào m, nên chỉ cần tìm m để bất phương trình thoả mãn x  [0; 1] 1 6. L­u ý : h(x) = x – 61-x =x – 6 ( ( ) x là hàm đồng biến trên [0; 1] và h(1) = 0 => h(x) < 0 x  [0; 1] Do đó chỉ cần tìm ra m để g(x)  0 x  [0; 1] t2 t 2  g ( x) t 2  2t. §Æt t = 6  [0; 6] Ta cã : m . Víi t  [0; 6]. LËp b¶ng biÕn thiªn g(t) trªn [1 ; 6] ta cã kÕt qu¶ min g (t )  [1; 6 ]. §¸p sè : m . 1 2. Bài toán 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( x  1  3  x  ( x  1)(3  x)  m Gi¶i : §Æt t = x  1  3  x th× 2  t  2 2 + Khi đó phương trình trở thành f(x) = . t2 t 2  m 2. LËp b¶ng biÕn thiªn cña f(t) víi 2  t  2 2 Ta cã :. min f (t )  2 2  2 [ 2; 2 2 ]. max f (t ' )  2 [ 2; 2 2 ]. 4 Lop12.net. 1 2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Vậy phương trình có nghiệm  2 2  2  m  2 Bài toán 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x3 – 3x + m – 2 -. (1). x 3  3x  0. Gi¶i : 3x 2  2. §Æt t = x 3  3x ; t ' . 2 x 3  3x. 0. => 0  t  2. t(-1) = 2 ; t (0)  0. (1) => t2 + m – 2 – t = 0 <=> m = -t2 + t + 2 = f(t) => f’(t) = -2t + 1 ; f’(t) = 0  t = 1/2 B¶ng biÕn thiªn: T. 0. f’. 1/2 +. f. 2. 0. -. 9/4 2. 2. 9 4. f (t )  2 => max f (t )  ; min [ 0; 2 ] [ 0; 2 ]. 9 4. §¸p sè : m  [ 2 ; ] Bài toán 9: Tìm m để phương trình (1). x 1  1 x  2 1 x 2  m  2  0. Gi¶i: §Æt t = x  1  1  x víi x  [-1;1] t’ = . 1 2 x 1. . 1 2 1 x. 0. x+1=1–x x=0 t(-1) = t(1) = 2. => t  [ 2 ;2] (1) trë thµnh :. t(1) = 2 Víi. t2 = 2 + 2 1  x 2. t + t2 – 2 – m + 2 = 0. 5 Lop12.net. V« nghiÖm.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  m = t2 + t = f(t) => f’(t) = 2t + 1> 0  t  [ 2 ;2] ; f( 2 ) = 2 + 2. ; f(2) = 6. => min f (t )  2  2 ; max f (t )  6 [ 2 ;2]. [ 2 ;2]. Vậy phương trình có nghiệm  m  [ 2 + 2 ; 6] Phương trình vô nghiệm  m  (- ;2  2 )  (6;) m  (- ;2  2 )  (6;). §¸p sè :. Bài toán 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Sin4x + cos4x + sin2x + m = 0 Gi¶i v¾n t¾t : Phương trình  Sin22x – 2sin2x – 2(m+1) = 0 §Æt t = sin 2x ; [t]  1 => t2 – 2t – 2 (m + 1) = 0 m=. 1 2 t  t  1  g (t ) 2. Ta cã :. g(-1) = 1/2 ; g(1) = -3/2 ; g(1/4) = -39/32 1 2. => max g (t )  ; min g (t )   [ 1;1]. [ 1;1]. 3 2. §¸p sè :   m . 3 2. 1 2. C¸c bµi to¸n tù gi¶i Bài 1: Tìm m để phương trình: x2 – mx + 2m – 1 = 0 Cã nghiÖm x  (0; 1) Bài 2: Tìm a để bất phương trình sau nghiệm đúng x R (x2 + 4x + 3) (x2 + 4x + 6)  a Bài 3: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm Ph©n biÖt [0; 2] 4x. 2. 2 x.  2x. 2.  2 x 1. m  0. 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài 4: Tìm m để phương trình x4 - 2x3 + mx2 – 2x + 1 = 0 cã nghiÖm x(0; 1) Bài 5: Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm x4 + 4x3 + (m+4)x2 + 2mx2 + 2m  0 III. KÕt luËn Trên đây là một sáng kiến nhỏ của chúng tôi mong các bạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung cho đề tài hoàn thiện hơn. Nghi Léc, ngµy 20 th¸ng 5 n¨m 2009 Người thực hiện NguyÔn V¨n Nho. 7 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>