Giáo án Hình học 12 tiết 30-33: Phương trình mặt phẳng

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Ngày dạy: ……………………Tại lớp: 12A5. BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Tiết 30, 31, 32, 33 I . Mục tiêu: 1. Kiến thức: Học sinh nắm vững - Khái niệm vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (mp). - Phương trình tổng quát (PTTQ) của mp, điều kiện để hai mp song song, vuông góc, khoảng cách từ một điểm đến một mp. 2. Kỹ năng: - Biết tìm toạ độ của VTPT của mp, và viết thành thạo PTTQ của mp. - Biết chứng minh hai mp song song, hai mp vuông góc, và tính chính xác khoảng cách từ một điểm đến một mp. 3. Tư duy và thái độ: Biết tự hệ thống các kiến thức cần nhớ, cẩn thận chính xác trong tính toán, vẽ hình, tư duy các vấn đề toán học logic trực quan độc lập, sáng tạo trong quá trình tiếp cận và tích lũy kinh nghiệm trong giải toán, biết quy lạ về quen. II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: 1. Giáo viên: Bảng phụ, thước kẻ, phấn màu, phiếu học tập, hệ thống ví dụ, … 2. Học sinh: Xem lại các kiến thức về vectơ trong phẳng, và xem trước bài học theo sự hướng dẫn của giáo viên. III. Tiến trình bài dạy: 1. Kiểm tra bài cũ: 5 phút   ?1: Công thức tích vô hướng của hai a a1 ; a 2 ; a 3 ; b b1 ; b2 ; b3  . Hai vectơ vuông góc khi nào ?    ?2: Cho n  a 2b3  a 3b2 ;a 3b1  a1b3 ;a1b2  a 2b1  ; và hai a  a1 ;a 2 ;a 3  , b  b1 ;b2 ;b3  không cùng  phương có giá song song hoặc nằm trong mp (). Tính a .n    Áp dụng: Cho a   3 ; 4 ; 5  và n  1;  2 ;1 . Tính a .n và rút ra nhận xét.. . . 2. Bài mới: Trong không gian ta đã biết một số cách xác định mặt phẳng chẳng han như xác định mp bằng ba điểm không thẳng hàng, bằng hai đường thẳng cắt nhau, … Bây giờ ta sẽ xác định mp bằng pp tọa độ. Hoạt động 1: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Hoạt động của giáo viên ?1: Nêu khái niệm VTPT của đường thẳng.. 3 phút Hoạt động của học sinh Phát định VTPT đường. biểu Dùng hình ảnh trực quan: bút và sách, bảng nghĩa  của phụ giới thiệu vectơ n là VTPT của mp (). thẳng. ?2: Định nghĩa vectơ pháp tuyến của mp.  ?3: Vectơ kn , k  0 có phải là VTPT của mp không. Vì sao ?.    VTPT n  0 , giá n vuông góc với mp.  Là VTPT vì kn  0 và cùng phương vuông góc mp  với vectơ n . Hoạt động 2: Bài toán xác định VTPT của mặt phẳng. 10 phút Hoạt động của giáo viên. Hoạt động của học sinh Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>   ?1: Tính b .n và kết luận về giá của vectơ n với giá   của hai vectơ a ,b .. Trao đổi thảo luận nhóm  Theo kết quả phần trả bài cũ ta có: a .n  0  b .n  a 2b3b1  a 3b2b1   a 3bb  a1b3b2   a1b2b3  a 2bb 0 1 2 1 3     Do đó: a  n ; b  n    Suy ra vectơ n có giá vuông góc với giá a ,b       Vì a ,b không cùng phương nên n  0 ?2: So sánh vectơ n và vectơ 0   Vậy: vectơ n là VTPT của mp (). Vì giá n vuông  ?3: Kết luận mối quan hệ giữa n và mp (). Vì sao góc với hai đt cắt nhau của mp () ?       Kí hiệu: n  a  b hoặc n  [a , b ] Giới thiệu khái niệm “ Tích có hướng ”  ?4: Công thức tính tích có hướng của hai vectơ Công thức: [a, b ]  (a2b3  a3b2 ; a3b1  a2b3 ; a1b2  a2b1 )   a  a1 ;a 2 ;a 3  , b  b1 ;b2 ;b3  . . . .  a2  b2. Hay n  a  b  . a3 a3 ; b3 b3. a2   b2 . a2 a1 ; b1 b1. Thực hiện hoạt động 1 ?5: Từ ba điểm A, B, C. Tìm tọa độ hai vectơ không cùng phương nằm trong mặt phẳng (ABC).  ?6: Xác định tọa độ VTPT n của mp (ABC)..  Thảo luận giải quyết vấn đề Ta có: AB  ( ABC ), AC  ( ABC ) không cùng phương   AB  (2;1; 2); AC  (12;6;0)    Vậy: VTPT n  [AB,AC] = (12; 24; 24) Hoạt động 3: Tiếp cận PTTQ của mặt phẳng. 12 phút. Hoạt động của giáo viên Bài toán 1: Định hướng chứng minh, vẽ hình   ?1: Nhận xét mối quan hệ giữa n và M 0 M .  ?2: Tính tọa độ vectơ M 0 M .   ?3: Tính tích vô hướng của n và M 0 M .. Hoạt động của học sinh Vẽ hình minh họa    Ta có: giá n  (  ) suy ra n  M 0 M  Mà M 0 M   x  x0 ; y  y0 ; z  z0    Khi đó: n.M 0 M  0. Bài toán 2: Dạng PTTQ của mặt phẳng. ?4: Có tồn tại hay không điểm M 0  x 0 ; y 0 ; z 0  nghiệm đúng pt Ax  By  Cz  D  0 . Gọi () là mp đi qua M0 và nhận  n   A ; B ; C  làm VTPT ?5: Khi M  x ; y ; z     ta có điều gì.. Suy ra: A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 (đpcm). Tiếp nhận kiến thức Tồn tại điểm M 0  x 0 ; y 0 ; z 0  thỏa pt Ax  By  Cz  D  0. . Ta có: M     A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0.  Ax+ By +Cz – (Ax0+By0+ Cz0) = 0. ?6: Xác định D từ giả thiết M 0  x 0 ; y 0 ; z 0  .. Mà D = - (Ax0+By0+ Cz0). Vậy: M     Ax  By  Cz  D  0 (đpcm). ?7: Kết luận vấn đề.. Hoạt động 4: PTTQ của mặt phẳng và vận dụng. Hoạt động của giáo viên ?1: Từ 2 bài toán trên định nghĩa PTTQ của mp. ?2: Xác định một VTPT của mp có pttq là Ax  By  Cz  D  0 . ?3: Pt mp đi qua M 0  x 0 ; y 0 ; z 0  và nhận  n   A ; B ; C  làm VTPT có dạng. ?4: Tìm một VTPT của mp 4 x  2 y  6 z  D  0 ?5: Xác định thêm một số VTPT của mp. Hướng dẫn thực hiện hoạt động 3. . Ví dụ: Nếu A  0 ta chọn M 0  D ; 0 ; 0 . A. 10 phút. Hoạt động của học sinh PTTQ có dạng: Ax  By  Cz  D  0  A2  B 2  C 2  0   VTPT n   A ; B ; C  Phương trình là: A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0.  Có một VTPT là n   4;  2;  6    Các VTPT của mp là: a   2;  1;  3 ; c   2;1;3 Trao đổi thảo luận nhóm. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>   ?6: Từ 3 điểm M, N, P. Tìm tọa độ hai vectơ không Ta có: MP  ( MNP), MN  ( MNP) không cùng phương   cùng phương nằm trong mp (MNP). MN  (3; 2;1); MP  (4;1;0)     ?7: Xác định tọa độ VTPT n của mp (ABC). Khi đó: VTPT n  [ MN , MP] = (-1; 4;  5) ?8: Viết PTTQ của mp (MNP). Pttq có dạng: A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 Hay: -1(x - 1) + 4(y - 1) - 5(z - 1) = 0 Vậy: (MNP) : x - 4y + 5z - 2 = 0 3. Củng cố và dặn dò: 5 phút   ?1: Công thức tích có hướng của hai vectơ a a1 ; a 2 ; a 3 ; b b1 ; b2 ; b3  .. ?9: Kết luận.. . . ?2: Phương pháp tìm VTPT của mặt phẳng. ?3: PTTQ của mặt phẳng và ptmp khi biết mp đi qua một điểm và có VTPT. - Làm các bài tập 1a, b SGK trang 80. - Xem tiếp phần còn lại của bài “ Phương trình mặt phẳng ” trả lời các câu hỏi sau. ?1: Dạng của pt mp trong một số trường hợp đặc biệt. ?2: Điều kiện để hai mp song song hay vuông góc. ?3: Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mp. Tiết 31 Ngày dạy: ……………………Tại lớp: 12A5 1. Kiểm tra bài cũ: 7 phút   ?1: Công thức tích có hướng của hai vectơ a a1 ; a 2 ; a 3 ; b b1 ; b2 ; b3  .. . . ?2: PTTQ của mặt phẳng và ptmp khi biết mp đi qua một điểm và có VTPT. Áp dụng: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) với A(1;-2;0), B(3;1;-1), C(2;3;1). 2. Bài mới: Hoạt động 1: Các trường hợp đặc biệt. 18 phút Hoạt động của giáo viên ?1: Tìm điều kiện để mp (): Ax  By  Cz  D  0 đi qua tọa độ O. Kết luận: mp ( ) đi qua gốc toạ độ O  D = 0. Hoạt động của học sinh Vẽ hình minh họa Tr/h a) Ta có: 0     A.0  B .0  C .0  D  0 Suy ra : D  0  Tr/h b) Ta có VTPT là n   0; B ; C     Lại có: n .i  0.1  B .0  C .0  0  n  i Vậy:   // Ox hoặc Ox   . ?2: Nếu A = 0 xác định VTPT của mp ().   ?3: Nhận xét mối quan hệ giữa n và i . ?4: Kết luận gì về vị trí của (  ) với trục Ox. Hướng dẫn vẽ hình minh họa và thực hiện Trao đổi thực hiện hoạt động 4 hoạt động 4. Kết luận: mp ( ) song song hoặc chứa Ox  A = 0 mp ( ) song song hoặc chứa Oy  B = 0 mp ( ) song song hoặc chứa Oz  C = 0 ?5: Nếu A = B = 0 nhận xét ví trí của mp () với Tr/h c) Ta có:   // Ox ,   // Oy hoặc Ox ,Oy    các trục tọa độ. ?6: Kết luận gì về vị trí của (  ) với mp Oxy. Vậy:   // Oxy hoặc Oxy    Hướng dẫn vẽ hình minh họa và thực hiện Trao đổi thực hiện hoạt động 5 hoạt động 5. Kết luận: Mp () song song hoặc chứa Oxy  A = B = 0 Mp () song song hoặc chứa Oyz  B = C = 0 Mp () song song hoặc chứa Ozx  C = A = 0 ?7: Nếu A, B, C, D khác không biến đổi pt mp về Chia hai vế của pt cho D. x y z D D D dạng    1 . Đặt: a   ; b   ; c   ta được đpcm. a b c A B C Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ?8: Nhận xét ví trí của các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với mp ().. Các điểm A, B, C thuộc mp (). Vẽ hình. Giới thiệu phương trình đoạn chắn Nhận xét: Mp () cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c). Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho ba điểm M(1;0 ;0), N(0; 2; 0), P(0; 0; 3). Hãy viết phương trình mặt phẳng (MNP).. Thực hiện yêu cầu của giáo viên Áp dụng pt của mp theo đoạn chắn, ta có pt (MNP): x y z + + = 1 Hay 6x + 3y + 2z – 6 = 0 1 2 3 Hoạt động 2: Điều kiện để hai mp song song, vuông góc. 20 phút. Hoạt động của giáo viên ?1:Cho ( ) : x –2y  3z  1  0;(  ) : 2x –4y  6z  0 có nhận xét gì về VTPT của hai mp trên.. Hoạt động của học sinh   Ta có: n  1;  2 ; 3 và n    2 ;  4 ; 6    Suy ra: n   2n ( Hai vectơ cùng phương ). ?2: Vị trí tương đối của hai mp   ,    ..   //    Lưu ý: Hai mp song song hoặc trùng khi hoặc    chúng cùng vuông góc với một đường thẳng. Xét   : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0    : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 ?3: Hai mp   ,    song song khi nào..  . A1 B1 C 1 D   k  1 A2 B2 C 2 D2 A B C D Tương tự:        1  1  1  1 A2 B2 C2 D2.   //    . ?4: Hai mp   ,    trùng nhau khi nào. Vẽ hình minh họa hai mp cắt nhau. Vẽ hình.   Khi n   kn. ?5: Hai mp   ,    cắt nhau khi nào.. ( Hai VTPT không cùng phương ) A C B C A B () cắt ()  1  1 hoặc 1  1 hoặc 1  1 A2 C2 B2 C2 A2 B2 Tiếp nhận vấn đề và giải quyết vấn đề Xác định VTPT và một điểm thuộc mp  Ta có:   //    Suy ra n   2 ;  3 ;1 là VTPT của. ?6: Xác định điều kiện hai mp   ,    cắt nhau. Hướng dẫn HS thực hiện ví dụ ?7: Lập PTTQ của mp ta cần tìm các yếu tố nào. ?8: Tìm VTPT của mp ().. mp() Vậy () có pt là: 2(x - 1) – (y + 2) + 1(z - 3) = 0 Hay (): 2x – 3y +z -11 = 0 Vẽ hình. ?9: Lập PTTQ của mp (). Vẽ hình minh họa hai mp vuông góc.   Khi n   n. ?10: Hai mp   ,    vuông góc nhau khi nào ?11: Xác định điều kiện hai mp   ,    vuông góc. ( Hai VTPT có giá vuông góc ).    B1B2  C 1C 2  0        n .n   0  AA 1 2 nhau. Lưu ý: VTPT của mp là tích có hướng của hai vectơ Ví dụ: Viết pt mp(  ) qua A(3;1;-1), B(2;-1;4) và không cùng phương nằm trong mp. vuông góc với mp (  ): 2x - y + 3z = 0. Xác định được VTPT và một điểm thuộc mp ?12: Lập PTTQ mp ta cần tìm các yếu tố nào. Vì       suy ra hai vectơ có giá song song hoặc nằm ?13: Tìm VTPT của mp () dựa vào giả thiết (  )( Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>   trên mp () là AB   1;  2;5  và n    2 ;  1; 3    Suy ra VTPT n  AB  n    1;13 ; 5 .  ) và phương pháp tìm VTPT của mp.. ?14: Lập PTTQ của mp (). Vậy: Pt (  ): x -13y- 5z + 5 = 0 Tiết 32 Hoạt động 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 10 phút Hoạt động của giáo viên Vẽ hình và hướng dẫn tiếp cận định lí ?1: Gọi M 1  x1 ; y1 ; z1  là hình chiếu của M0 trên  (). Tính tọa độ M 1M 0 .   ?2: Tính M 1M 0 . n theo tọa độ. ?3: M 1  x1 ; y1 ; z1     ta có điều gì. ?4: Tính khoảng cách từ điểm M đến mp () Giới thiệu nội dung định lí Hướng dẫn thực hiện ví dụ 1 ?5: Tính khoảng cách từ điểm O đến ().. Hoạt động của học sinh Thảo luận nhóm  Ta có: M 1M 0   x  x0 ; y  y0 ; z  z0    Vì M 1M 0 , n có giá song song     Nên M 1M 0 . n  M 1M 0 .n  Ax0  By0  Cz0    Ax1  By1  Cz1 . Ta có: M 1    suy ra D   Ax1  By1  Cz1  Ax0  By0  Cz0  D Suy ra: M 1M 0  A2  B 2  C 2  Kí hiệu: d  M 0 ,     M 1M 0 Ta có: d  O,    . 2.0 - 2.0 - 0  3. 22  22  12 ?6: Tính khoảng cách từ điểm M đến (). Tương tự: d  M ,     4 3 Hoạt động 4: Củng cố công thức tính khoảng cách. Hoạt động của giáo viên Hướng dẫn thực hiện ví dụ 2 ?1: Xác định khoảng cách giữa hai mp ssong. ?2: Tìm một điểm M     và tính d  M ,    . ?3: Kết luận khoảng cách d     ,    .. Hướng dẫn thực hiện hoạt động 7 ?4: Nhận xét vị trí tương đối hai mp   ,    .. Lại có: M  0;0;  1     suy ra d  M ,     3 Vậy: d     ,     3. 1 2  suy ra   //    1 8 Tương tự: d    ,      6. HĐ7: Ta có:. Hoạt động 5: Giải bài tập 1 SGK trang 80.. ?3: Xác định VTPT của mp.  ?4: Viết pttq mp đi qua điểm M và có VTPT n . ?5: Nhận xét tọa độ của ba điểm A, B, C. ?6: Lập pt đoạn chắn đi qua ba điểm A, B, C.. 10 phút. Hoạt động của học sinh Thực hiện hoạt động nhóm Ta có: d     ,     d  M ,    với M     .. ?5: Tính khoảng cách giữa hai mp   ,    .. Hoạt động của giáo viên ?1: Lập PTTQ mp ta cần tìm các yếu tố nào.  ?2: Viết pttq mp đi qua điểm M và có VTPT n .. 1. 15 phút. Hoạt động của học sinh Xác định một VTPT và một điểm thuộc mp. a) Vậy: Pt mp (α ) là: 2( x- 1) +3( y + 2)+ 5( z - 4)= 0 Hay 2x + 3y + 5z -16 = 0    b) VTPT n  u  v   2;  6;6  .. Vậy pt mp () là: x – 3y + 3z – 9 = 0 c) Các điểm A, B, C lần lượt nằm trên các trục tọa độ. x y z   1 Mp () có pt theo đoạn chắn là: 3 2 1 ?7: Xác định pttq của mp. Hay 2 x  3 y  6 z  6  0 . Hoạt động 6: Giải bài tập 2 SGK trang 80. 5 phút Hoạt động của giáo viên ?1: Lập PTTQ mp ta cần tìm các yếu tố nào. ?2: Mp trung trực của đoạn AB có đặc điểm gì.. Hoạt động của học sinh Xác định một VTPT và một điểm thuộc mp. Vuông góc với đoạn AB tại trung điểm I. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  Trung điểm I (3; 2; 5) và VTPT AB   2; 2; 4  .. ?3: Xác định điểm I và VTPT của mp.  ?4: Viết pttq mp đi qua điểm M và có VTPT n .. Vậy pt mplà: x – y – 2z + 9 = 0 3. Củng cố và dặn dò:   ?1: Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ a a1 ; a 2 ; a 3 ; b b1 ; b2 ; b3  .. . . 5 phút. ?2: Điều kiện để hai mp song song hoặc vuông góc. ?3: Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. - Làm các bài tập 5, 6, 7 SGK trang 80 - Xem trước bài “ Phương trình đường thẳng trong không gian ” trả lời các câu hỏi sau: ?1: Dạng của phương trình tham số đường thẳng. Lập PTTS ta cần các yếu tố nào ? ?2: Điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau, chéo nhau.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>