Ôn tập: Nguyên hàm

<span class='text_page_counter'>(1)</span>¤n tËp: nguyªn hµm. I.Lý thuyÕt 1. §Þnh nghÜa: Hµm sè F(x) ®­îc gäi lµ nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn kho¶ng (a; b), nÕu víi mäi x € (a; b); ta cã F(x)’ = f(x) 2. NhËn xÐt: + Víi mäi h»ng sè C, F(x) + C còng lµ nguyªn hµm cña h/sè f(x) trªn kho¶ng (a; b) + Ngược lại, mọi nguyên hàm của h/số f(x) trên khoảng (a; b) đều ó thể viết dưới dạng F(x) + C, víi C lµ h»ng sè Ta kí hiệu biểu thức F(x) + C là  f ( x)dx ( đọc là tích phân của f(x)dx).  f ( x)dx = F(x) + C. Trong đó:  được gọi là dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân; f(x)dxlà biểu thức dưới dấu tích phân và đó cũng là vi phân của h/số F(x) 3. TÝnh chÊt:.  f ( x)dx   f ( x) '.  af ( x)dx a  f ( x)dx. ( Víi a lµ h»ng sè).  ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx. 1. B¶ng nguyªn hµm c¸c hµm sè c¬ b¶n..  dx  x x  1  x dx    1,   1 dx  x  ln x , x  0 . x x  e dx  e x  a dx .  cos xdx  sin x  sin xdx   cos x dx.  cos. 2. x. dx.  sin. 2. x.  tan x , x .  2.  k.   cot x , x  k. ax ,0  a  1 ln a. 2. Các phương pháp tính nguyên hàm: A.Phương pháp 1: Đưa về các nguyên hàm cơ bản VÝ dô : Nguyªn hµm cña h/sè f(x) = 4x2 lµ. 2 2  4 x dx  4 x dx  4. Nguyªn hµm cña h/sè f(x) = sinx + cosx lµ.  (sin x  cos x)dx   sin xdx   cos xdx  cos x  sin x  C. Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: T×m nguyªn hµm cña c¸c hµm sè sau: a) f(x) = 5(x2 – 2x+ 3) b) f(x) = 5(3x2 – 1)2 c) f(x) =. 1 3. 2. x 2x2 e) f ( x)  1  x2. d) f(x) = 2x.3 2x+1 f) f(x) = 3 3 x. Lop12.net. x3 C 3.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1 sin x cos 2 x 1 i) f(x) = 2 x 2 m) f(x) = (3 x  ) 2 x. g) f(x) =. 2. h) f(x) = 3sin2x/2 k) f(x) = (2tanx + cotx)2. B.Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số TÝnh  f ( x)dx + §Æt u = u(x) + Lấy vi phân 2 vế, để tính dx theo u và du + BiÓu thÞ f(x)dx theo u vµ du. G/s f(x)dx = g(u)du + TÝnh  g (u )du  G (u )  C + Thay u trong G(u) theo biÓu thøc cña nã theo x VÝ dô: 1) T×m nguyªn hµm cña h/s f(x) = (5x + 3)5. Ta cã nguyªn hµm cña h/s f(x) = (5x + 3)5 lµ  (5 x  3)5 dx . TÝnh.  (5 x  3) dx 5. 1 5. + Đặt u = 5x + 3 => du = (5x + 3)’ = 5dx. Từ đó có dx = du 1 5 1 u6 1 5 5 1 ( 5 x  3 ) dx u du  u du   C  u 6  C = 1/30(5x + 3)6 + C =   5  5 5 6 30. +. 2) T×m nguyªn hµm cña h/s f(x) = cos2xsinx Ta cã nguyªn hµm cña h/s f(x) lµ.  cos. 3. xsin xdx. TÝnh  cos3 xsin xdx + Đặt u = cosx => du = (cosx)’dx = -sinxdx. Từ đó sinxdx = - du +. 3 3 3  cos xsin xdx =  u (du )   u du  . u4  C =-1/4(cosx)4 + C 4. Bµi tËp ¸p dung: TÝnh nguyªn hµm c¸c hµm sè sau a) f(x) = (-2x + 5)4 c) f(x) =. x3 (6 x 4  5)5. ex ex  1 2 g) f(x) = 3x .x cos x i) f(x) = (5 sin x  2) 2. e) f(x) =. b) f(x) = sin4xcosx d) f(x = 2 cos x  1.sin x f) f(x) =. 1 3x  5. h) f(x) = tanx k) f(x) =. Lop12.net. sin 2 x cos 4 x.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> B.Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số TÝnh  f ( x)dx Chú ý: Để tính một số nguyên hàm, đôi khi người ta đổi biến số thành một hàm lượng giác của biến mới. 1. Nếu hàm số dưới dấu tích phân chứa a 2  x 2 thì đặt x = asinu hoặc a = acosu. 2. Nếu có a 2  x 2 thì đặt x = a.tanu hoặc x = a.cotu 3. NÕu cã VÝ dô: TÝnh Gi¶i:. . x 2  a 2 thì đặt x =. a a hoÆc x = sin u cos u. 4  x 2 dx.  . §Æt x = 2.sinu víi u € [  ; ] => dx = 2.cosudu 2 2. Ta co: 4  x  4  4 sin 2 u  4(1  sin 2 u )  4 cos 2 u  2 cos u Khi đó 2. . 4  x 2 dx   2 cos u.2 cos udu  4 cos 2 udu  4. 1  cos 2u sin 2u du  2 (1  cos 2u )du  2.(u  )C 2 2. Ghi nhí: A. Các hệ thức sau đây thường được dùng để tính nguyên hàm: 1. dx = d(x + b) 2. kdx = d(kx) = d(kx + b) 3. xdx = 1/2d(x2) 4. xndx =. 1 d ( x n 1 ) n 1. 7. cosxdx = d(sinx ) 10.. 5. dx/x = d(lnx) 8. sinxdx = - d(cosx). 6. ekxdx = 1/kd(ekx ) 9.. dx  d (tan x) cos 2 x. dx  d (cot x) sin 2 x. B. Bảng nguyên hàm được suy ra từ phương pháp đổi biến số. 1.  e. kx  b. 1 dx  e kx  b k. 4. (kx  b) dx  5. . 2.  a. kx  b. a kx  b dx  k . ln a. 1 3.  sin(kx  b)dx   cos(kx  b) k. 1 (kx  b) 1 k  1. dx 1  tan(kx  b) cos (kx  b) k 2. 6. . dx 1   cot(kx  b) sin (kx  b) k 2. Ch¼ng h¹n: 3 4 3 1  sin xdx   cos x  C 4 3 4 2 x 3 13  C 2 ln 3. 2.  3 2 x  3 dx   3 2 x  3. Bµi tËp ¸p dông:. Lop12.net. 7. cos(kx  b)dx . d (2 x  3) 1    3 2 x  3 d (2 x  3) 2 2. 1 sin(kx  b) k.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bµi 1: T×m nguyªn hµm cña c¸c hµm sè sau b»ng c«ng thøc ë phÇn ghi nhí a) f(x) = (-2x + 5)4 b) f(x) = sin4xcosx x3 c) f(x) = (6 x 4  5)5. d) f(x = 2 cos x  1.sin x. ex e) f(x) = x e 1 2 g) f(x) = 3x .x cos x i) f(x) = (5 sin x  2) 2. f) f(x) =. 1 3x  5. h) f(x) = tanx k) f(x) =. sin 2 x cos 4 x. Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau 1). . 2  x 2 dx. 2). . dx. 3). x2  4. . dx x2  9. B. Phương pháp 3: Nguyên hàm từng phần Tính  f ( x)dx . Nếu biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx thường có dạng: f(x)dx P(x)exdx P(x)sinxdx P(x)cosxdx P(x)lnxdx exsinxdx. …. u. P(x). P(x). P(x). lnx. sinx. …. dv. exdx. sinxdx. cosxdx. P(x). exdx. …. (Víi P(x) lµ ®a thøc ) Khi đó ta đã đưa  f ( x)dx về dạng.  udv Sau đó ta áp dụng công thức sau:  udv  u.v   vdu. (*): C«ng thøc nguyªn hµm. tõng phÇn . Quy t¾c tÝnh: 1. Viết f(x)dx dưới dạng udv 2. TÝnh u’ vµ v (v =  dv ) 3. Thay vµo (*) VÝ dô ¸p dông TÝnh  (2 x  1) sin xdx. §Æt u = 2x + 1 => du = (2x + 1)dx = 2.dx dv = sinxdx => v = -cosx Do đó áp dụng công thức (*) ta có:.  (2 x  1) sin xdx  (2 x  1) cos x   2 cos xdx  (2 x  1) cos x  2 sin x  C. Bµi tËp ¸p dung: T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè sau ®©y 1) f(x) = x2.cosx. 2) f(x) = (x + 2).sin2x. 4) f(x) = (x2 + 1)e-x. 5) f(x) = (3x – 6)lnx. 7) f(x) = ex.cosx. 8) f(x) = e2xsinx. Lop12.net. 3) f(x) = (-x + 3)ex 6 ) f(x) = (-x2 + 1)lnx.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>