Luyện tập Bất đẳng thức 12

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bất đẳng thức. PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: a3  b3  a  b    2  2 . 1.. Cho a, b > 0 chứng minh:. 2.. Chứng minh:. 3.. Cho a + b  0 chứng minh:. 4. 5.. ab  2. 3. a2  b2 2. a  b 3 a3  b3  2 2 a b   a b Cho a, b > 0 . Chứng minh: b a 1 1 2   Chứng minh: Với a  b  1: 2 2 1 ab 1 a 1 b. 6.. Chứng minh: a2  b2  c2  3  2  a  b  c  ; a , b , c  R. 7.. Chứng minh: a2  b2  c2  d2  e2  a  b  c  d  e. 8.. Chứng minh: x2  y2  z2  xy  yz  zx. 9.. a. Chứng minh:. ab c  3. b. Chứng minh:. a2  b2  c2  a  b  c    3 3  . 10. Chứng minh:. ab  bc  ca ; a,b,c  0 3 2. a2  b2  c2  ab  ac  2bc 4. 11. Chứng minh: a2  b2  1  ab  a  b. 12. Chứng minh: x2  y2  z2  2xy  2xz  2yz 13. Chứng minh: x4  y4  z2  1  2xy(xy2  x  z  1) 1 4 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). b. abc  (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0. 14. Chứng minh: Nếu a + b  1 thì: a3  b3 . 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bất đẳng thức II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1.. Chứng minh: (a  b)(b  c)(c  a)  8abc ; a,b,c  0. 2.. Chứng minh: (a  b  c)(a2  b2  c2 )  9abc ; a,b,c  0. 3.. Chứng minh: 1 a 1 b1 c   1 3 abc  với a , b , c  0. 3. m. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.. 15. 16.. 17.. m.  a  b Cho a, b > 0. Chứng minh:  1    1   2m  1 , với m  Z+  b  a bc ca ab Chứng minh:    a  b  c ; a,b,c  0 a b c x6  y9  3x2 y3  16 ; x,y  0 4 1  3a2  1 . Chứng minh: 2a4  2 1 a. Chứng minh:. Chứng minh: a1995  1995  a  1. ,a>0. Chứng minh: a2 1 b2   b2 1 c2   c2 1 a2   6abc . a b c 1 1 1 1  2  2      Cho a , b > 0. Chứng minh: 2 2 2 2 2 a b c  a b b c a c Cho a , b  1 , chứng minh: ab  a b  1  b a  1 . Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1) Cho a > b > c, Chứng minh: a  33  a  b b  c  c . Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c  16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc 1 1 1  c)  1   1   1   64  a  b  c  1 Cho x > y > 0 . Chứng minh: x 3  x  y y Chứng minh: x8 x2  2 a2  5  6 , x > 1  2 ,x  R 4 a) b) c) x 1 x2  1 a2  1 ab bc ca ab c Chứng minh:    ; a, b, c  0 ab b c c a 2. 18. Chứng minh: 19. Chứng minh:. x2 1 16x. 4. . y2 1 16y. 4. . 1 , x , y  R 4. a b c 3    ;a,b,c>0 b c a c ab 2 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bất đẳng thức 20. Cho a , b , c > 0. C/m: 1 1 1 1  3  3  3 3 3 3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a. a  b  c  d  44 abcd với a , b , c , d  0 b.. 3. a  b  c  3 abc 3. 3. với a , b , c  0 , 3. 22. Chứng minh: a  b  c  a 3. 4. 2. 2. bc  b. ac  c. 2. (Côsi 4 số) (Côsi 3 số ). ab ; a , b , c > 0. 9. 23. Chứng minh: 2 a  3 b  4 c  9 abc x 18 24. Cho y   , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 2 x x 2 25. Cho y   ,x  1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x 1 3x 1 26. Cho y   , x  1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x 1 x 5 1 27. Cho y   ,x  . Định x để y đạt GTNN. 3 2x  1 2 x 5 28. Cho y  , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.  1 x x 29. Cho y . x3  1 x2. , x > 0 . Định x để y đạt GTNN.. x2  4x  4 , x > 0. x 2 Tìm GTNN của f(x)  x2  3 , x > 0. x Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) Cho y = x(6 – x) , 0  x  6 . Định x để y đạt GTLN. 5 Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3  x  . Định x để y đạt GTLN 2 5 Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,   x  5 . Định x để y đạt GTLN 2 1 5 Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,   x  . Định x để y đạt GTLN 2 2 x Cho y  2 . Định x để y đạt GTLN x 2. 30. Tìm GTNN của f(x)  31. 32. 33. 34. 35. 36. 37.. 38. Cho y . x2.  x 2  2 3. . Định x để y đạt GTLN. 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bất đẳng thức III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. 2.. Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2) Chứng minh: sinx  cos x  2. 3.. Cho 3a – 4b = 7.. 4.. Cho 2a – 3b = 7.. 5.. Cho 3a – 5b = 8.. 6.. Cho a + b = 2.. 7.. Cho a + b  1. BĐT Bunhiacopxki. Chứng minh: 3a2 + 4b2  7. 725 Chứng minh: 3a2 + 5b2  . 47 2464 Chứng minh: 7a2 + 11b2  . 137 Chứng minh: a4 + b4  2. 1 Chứng minh: a2  b2  2. Lời giải: I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 3. 1.. Cho a, b > 0 chứng minh:. a3  b3  a  b    (*) 2  2 . 3. (*)  2.. 3 a3  b3  a  b  2   0   a  b a  b  0 . ĐPCM.  8 2  2 . ab a2  b2 ()  2 2  a + b  0 , () luôn đúng.. Chứng minh:.  a + b > 0 , ()  Vậy:. ab  2.  a  b 2 a2  b2  2ab a2  b2  0   0 , đúng. 4 2 4. a2  b2 . 2.  a  b3 a3  b3 a  b 3 a3  b3    8 2 2 2. 3.. Cho a + b  0 chứng minh:. 4..  3  b  a   a2  b2   0  3  b  a   a  b  0 , ĐPCM. a b   a  b () Cho a, b > 0 . Chứng minh: b a ()  a a  b b  a b  b a   a  b a   a  b b  0 2. 5.. . 2. a  b   a  b   0 , ĐPCM. 1 1 2   Chứng minh: Với a  b  1: () 2 2 1 ab 1 a 1 b   a  b  a  b   0 . 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bất đẳng thức . 1 1 a 2.    6.. . 1 1 b2. . 2. 1 1 ab  a ab  b2   0  0 1 ab 1 ab 1 a2  1 ab 1 b2  1 ab. a b  a. b  a  b. . 1 a  1 ab 1 b  1 ab 2. 2. ba  a b   0 1 ab  1 a2 1 b2 . 0 .  b  a 2  ab  1 b  a  a  ab2  b  ba2   0  0 , ĐPCM.    1 ab  1 a2 1 b2   1 ab 1 a2 1 b2  Vì : a  b  1  ab  1  ab – 1  0.. Chứng minh: a2  b2  c2  3  2  a  b  c  ; a , b , c  R 2 2 2   a  1   b  1   c  1  0 . ĐPCM.. 7.. Chứng minh: a2  b2  c2  d2  e2  a  b  c  d  e . a2 a2 a2 a2  ab  b2   ac  c2   ad  d2   ae  e2  0 4 4 4 4 2. 2. 2. 2. a  a  a  a     b     c     d     e   0 . ĐPCM 2  2  2  2 . 8.. Chứng minh: x2  y2  z2  xy  yz  zx  2x2  2y2  2z2  2xy  2yz  2zx  0 . 9..  x  y 2   x  z 2   y  z 2  0. a. Chứng minh: . ab c  3. ab  bc  ca ; a,b,c  0 3. a2  b2  c2  ab  bc  ca 2. a2  b2  c2  2ab  2bc  2ca ab  bc  ca ab c      3 9 3  . . ab c  3. b. Chứng minh: . ab  bc  ca 3. a2  b2  c2  a  b  c    3 3  . 2. 3  a2  b2  c2   a2  b2  c2  2  a2  b2  c2   a2  b2  c2  2  ab  bc  ca    a  b  c .  10. Chứng minh:. a2  b2  c2  a  b  c    3 3  . 2. a2  b2  c2  ab  ac  2bc 4. 5 Lop12.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bất đẳng thức 2. . a2 a   a  b  c   b2  c2  2bc  0     b  c    0 . 4 2 . 11. Chứng minh: a2  b2  1  ab  a  b  2a2  2b2  2  2ab  2a  2b  0  a2  2ab  b2  a2  2a  1 b2  2b  1  0 2 2 2   a  b   a  1   b  1  0 .. 12. Chứng minh: x2  y2  z2  2xy  2xz  2yz  x2  y2  z2  2xy  2xz  2yz  0  (x – y + z)2  0. 13. Chứng minh: x4  y4  z2  1  2x(xy2  x  z  1)  x4  y4  z2  1 2x2 y2  2x2  2xz  2x  0 2.   x2  y2    x  z    x  1  0 . 2. 2. 1 4  a + b  1  b  1 – a  b3 = (1 – a)3 = 1 – a + a2 – a3. 14. Chứng minh: Nếu a + b  1 thì: a3  b3  2. 1 1 1   a3 + b3 = 3  a     .  2 4 4 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).  ab + bc + ca  a2 + b2 + c2  (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2  a  bc ,b  ac , c  ab. b..  a2  b2  2bc  c2 , b2  a2  2ac  c2 , c2  a2  2ab  b2  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). abc  (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) 2 a2  a2   b  c   a2   a  c  b a  b  c   2. . b2  b2   a  c   b2   b  c  a  a  b  c . . c2  c2   a  b  c2   b  c  a  a  c  b. 2. 2. c.. . 2. 2.  a2b2c2   a  b  c   a  c  b  b  c  a   abc   a  b  c  a  c  b b  c  a  2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0  4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – a4 – b4 – 2a2b2 – c4 > 0  4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – (a2 + b2)2 – c4 > 0  (2ab)2 – [(a2 + b2) – c2]2 > 0  [c2 – (a – b)2][(a + b)2 – c2] > 0  (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác  c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bất đẳng thức II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1.. Chứng minh: (a  b)(b  c)(c  a)  8abc ; a, b, c  0  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:  a  b  2 ab , b  c  2 bc , a  c  2 ac   a  b b  c  a  c   8 a2b2c2  8abc .. 2.. Chứng minh: (a  b  c)(a2  b2  c2 )  9abc ; a,b,c  0  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 3.  a  b  c  33 abc , a2  b2  c2  3 a2b2c2 3   a  b  c   a2  b2  c2   9 a3b3c3  9abc .. 3.. 3. Chứng minh: 1 a 1 b1 c   1 3 abc  , với a , b , c  0.  1 a 1 b1 c   1 a  b  c  ab  ac  bc  abc. 3.  a  b  c  33 abc , ab  ac  bc  3 a2b2c2 3  1 a 1 b1 c   1 33 abc  3 a2b2c2  abc  1 3 abc  m. 4.. m.  a  b Cho a, b > 0. Chứng minh:  1    1   2m  1 , với m  Z+  b  a m. m. m. m. b b  a   a  1    1   2  1  .  1    b b  a  a . 5..  2 4m  2m  1 bc ca ab Chứng minh:    a  b  c ; a, b, c  0 a b c  Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:. ca ab a2bc  2  2a b c bc bc ca ab     ab c . a b c. Chứng minh:. x6  y9  3x2 y3  16 ; x,y  0 () 4 3. 3. ()  x6  y9  64  12x2 y3   x2    y3   43  12x2 y3 Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm:.  x2 3   y3 3  43  3x2y3 4  12x2y3 . 7 Lop12.net. m. b a   2 2   a b . bc ca abc2 bc ba b2ac  2  2c ,  2  2b , a b ab a c ac. 6.. 3.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bất đẳng thức 7.. Chứng minh: 2a4  4. 4. 1 1 a. 2.  3a2  1 () 1. 2. ()  a  a  a  1. 1 a. 2.  4a2 .. Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: a4 , a4 , a2  1, a 4  a 4  a 2  1. 8.. 1995. Chứng minh: a 1995. ()  a. 1 1 a. 2.  44 a4a4  a2  1.  1995  a  1 () 1995.  1995a  1995  a. 1 1 a. 2. 1 1 a 2.  4a2. ,a>0.  1995  1995a 1995 1995. a1995  1995  a1995  1994  a1995  1  1 ...  1  1995. a.  1995a. 1994 soá. 9.. Chứng minh: a2 1 b2   b2 1 c2   c2 1 a2   6abc .  . a2 1 b2   b2 1 c2   c2 1 a2   a2  a2b2  b2  b2c2  c2  c2a2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm: 6. a2  a2b2  b2  b2c2  c2  c2a2  6 a6b6c6  6abc a b c 1 1 1 1  2  2      10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 2 2 2 2 2 a b c  a b b c a c a a 1 b b 1 c c 1        , 2 , 2 2 2 2 2 2ab 2b 2bc 2c a  c 2ac 2a a b b c a b c 1 1 1 1  2  2       Vậy: 2 2 2 2 2 a b c a b b c a c . 11. Cho a , b  1 , chứng minh: ab  a b  1  b a  1 .  a   a  1  1  2 a  1 , b   b  1  1  2 b  1 . ab  2b a  1 , ab  2a b  1.  ab  a b  1  b a  1 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1)  x   x  1  1   x  1  x  y  z  3   x  1   x  1   y  1   z  1  44  x  1 2 Tương tự: y  44  x  1  y  1  z  1 ;. 2.  y  1  z  1. 2 z  44  x  1  y  1  z  1.  xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1). 13. Cho a > b > c, Chứng minh: a  33  a  b b  c  c .  a   a  b   b  c   c  33  a  b b  c  c 8 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bất đẳng thức 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c  16abc. 2. 2. 2. b c b c  1 a  2    bc  16abc  16a    16a    4a 1 a   2   2   2 . . 2 2  4a 1 a   1 a   4a  4a2   1 a  1 1 2a    1 a  b  c b) (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc  (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b)  2 bc.2 ac.2 ab  8abc 1 1 1  c)  1   1   1   64  a  b  c  4. 1   a  a  b  c  4 a2bc   1     a a  a  . . 4. 1 4 ab2c   b b 1 1 1    1   1   1   64  a  b  c .  1. x. 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: . 1. 4. 1 4 abc2  c c. 1. 3.  x  y y  x  y y 1 VT   x  y   y   33 3  x  y y  x  y y. 16. Chứng minh: x2  2  2  x 2  2  2 x 2  1  x 2  1 1  2 x 2  1 a) 2 x 1 b) c.. x8 x 1. =. x 1.  x  1.  a2  1  4  2 4  a2  1  4. 17. Chứng minh: . x  1 9. 9 x 1. 2. a2  1 . x 1. 9 x 1. a2  5 a2  1. 6. 4. ab bc ca ab c    ; a, b, c  0 ab b c c a 2. Vì : a  b  2 ab . ab ab   a  b 2 ab. ab bc bc   , 2 b  c 2 bc. bc ac ac   , 2 a  c 2 ac. ac 2. . a  b  c  ab  bc  ca , dựa vào: a2  b2  c2  ab  bc  ca .. . ab bc ca    ab b c c a. ab  bc  ac a  b  c  2 2. 9 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Bất đẳng thức 18. Chứng minh:   . x. 2. 1 16x y. 2. 1 16y. x. 4. 4. 2. 1 16x. 4. x2 1 16x.  . . x. 4. 2. 1  4x  y. y. 2. 2. 1  4y . 2. 2. 1 16y. y2. . 4. 1 16y  . . 4. x2 2.4x. 2. y2 2.4y. 2. . 1 , x , y  R 4. . 1 8. . 1 8. 1 4. a b c 3    ;a,b,c>0 b c a c ab 2 Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b. 1  a + b + c = (X + Y + Z) 2 YZX ZXY XYZ ,b ,c  a 2 2 2  a b c 1  Y X   Z X   Z Y                  3 b  c a  c a  b 2  X Y   X Z   Y Z   1 3   2  2  2  3  . 2 2 Cách khác: a b c  a   b   c       1    1    1  3 b c a c ab b c  a c  ab  1 1 1   1    a  b   b  c    c  a      3 2  b c a  c a  b  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 1  a  b   b  c    c  a   1  1  1   9  3  3  2 2  b c a  c a  b 2 20. Cho a , b , c > 0. C/m: 1 1 1 1  3  3  3 3 3 3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 19. Chứng minh:. . a3  b3   a  b  a2  ab  a2    a  b ab.  a3  b3  abc   a  b ab  abc  ab  a  b  c  , tương tự. b3  c3  abc   b  c  bc  abc  bc  a  b  c   c3  a3  abc   c  a  ca  abc  ca  a  b  c  1 1 1 1 ab c  VT       ab  a  b  c  bc  a  b  c  ca  a  b  c  a  b  c  abc  . 10 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Bất đẳng thức 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a. a  b  c  d  44 abcd với a , b , c , d  0. (Côsi 4 số).  a  b  2 ab , c  d  2 cd. .  a  b  cd  2  ab  cd   2 2 3. a  b  c  3 abc. b..  ab c . . ab. cd  44 abcd. với a , b , c  0 ,. (Côsi 3 số ). ab c ab c  4.4 abc 3 3. ab c 4 ab c   abc 3 3. 4. ab c ab c    abc 3 3  . 3. ab c 3     abc  a  b  c  3 abc . 3  . 22. Chứng minh: a3  b3  c3  a2 bc  b2 ac  c2 ab ; a , b , c > 0  . a3  abc  2a2 bc , b3  abc  2b2 ac , c3  abc  2c2 ab. a3  b3  c3  3abc  2  a2 bc  b2 ac  c2 ab   2  a3  b3  c3   2  a2 bc  b2 ac  c2 ab  ,. vì : a3  b3  c3  3abc Vậy:. a3  b3  c3  a2 bc  b2 ac  c2 ab. 23. Chứng minh: 2 a  33 b  44 c  99 abc  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm:. VT  a  a  3 b  3 b  3 b  4 c  4 c  4 c  4 c  99 abc x 18 24. Cho y   , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 2 x .  Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:. y. x 18 x 18  2 . 6 2 x 2 x. x 18   x2  36  x   6 , chọn x = 6. 2 x Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6 x 2 25. Cho y   ,x  1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x 1 x 1 2 1  y   2 x 1 2 x 1 2  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm : , 2 x 1 . Dấu “ = ” xảy ra . y. x 1 2 1 x 1 2 1 5   2 .   2 x 1 2 2 x 1 2 2. 11 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bất đẳng thức . Dấu “ = ” xảy ra . x 1 2 2    x  1  4  2 x 1. Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng. x  3  x  1(loại) . 5 2. 3x 1  , x  1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x 1 3(x  1) 1 3  y   2 x 1 2. 26. Cho y .  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm. 3  x  1 1 : , 2 x 1. 3  x  1 1 3 3  x  1 1 3 3   2 .   6 2 x 1 2 2 x 1 2 2 Dấu “ = ” xảy ra   6 1 x  3  x  1 1 2 2 3       x 1    2 x 1 3 6  1(loại ) x   3  y. . 3 6  1 thì y đạt GTNN bằng 6  2 3 x 5 1 27. Cho y   ,x  . Định x để y đạt GTNN. 3 2x  1 2 2x  1 5 1  y   6 2x  1 3. Vậy: Khi x .  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm 2x  1 5 1 2x  1 5 1   2 .   6 2x  1 3 6 2x  1 3 Dấu “ = ” xảy ra y. 2x  1 5 : , 6 2x  1. 30  1 3.  30  1 x  2x  1 5 2 2     2x  1  30    6 2x  1  30  1 (loại ) x   2. 30  1 30  1 thì y đạt GTNN bằng 2 3 x 5 28. Cho y  , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.  1 x x. Vậy: Khi x . 12 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Bất đẳng thức  f(x) . x 5 1 x   5x x x 1 x 1 x   5 5 2 5 5 2 55 1 x x 1 x x 1 x x 2. Dấu “ = ‘ xảy ra  . Vậy: GTNN của y là 2 5  5 khi x . 29. Cho y    . x 1 x 5 5  x  5  (0 < x < 1)  5x 1 x x 1  x 4  . x3  1 x2. x3  1. 5 5 4. , x > 0 . Định x để y đạt GTNN.. x x 1 xx 1 3   2  33 3 2 2 2 x 22x 4 x x x x 1 Dấu “ = ‘ xảy ra    2  x  3 2 . 2 2 x 3 Vậy: GTNN của y là 3 khi x  3 2 4 2.  x. 1. 2. . 30. Tìm GTNN của f(x) . x2  4x  4 , x > 0. x. x2  4x  4 4 4  x   4  2 x.  4  8 x x x 4  Dấu “ = ‘ xảy ra  x   x = 2 (x > 0). x  Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2. 2 31. Tìm GTNN của f(x)  x2  3 , x > 0. x. . . x2 . 2 x. 3. 3. .  x2   1 2 x2 x2 x2 1 1    3  3  55    3   3 3 3 x  3  x  x. 5 5. x 1  3  x  5 3  x = 2 (x > 0). 3 x 5  Vậy: GTNN của y là 5 khi x  5 3 . 27 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x). .  . Dấu “ = ‘ xảy ra . 27. 2. 2. 11x  11  1 1    f(x) = –10x2 + 11x – 3 = 10  x2    3  10  x    10  20  40 40   11 Dấu “ = “ xảy ra  x  20. 13 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Bất đẳng thức. 11 1 thì y đạt GTLN bằng . 20 40 33. Cho y = x(6 – x) , 0  x  6 . Định x để y đạt GTLN.  Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0  x  6):  6  x   6  x   2 x  6  x   x(6 – x)  9 . Vậy: Khi x .  . Dấu “ = “ xảy ra  x = 6 – x  x = 3 Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9. 5 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3  x  . Định x để y đạt GTLN. 2 1  y = (x + 3)(5 – 2x) = (2x + 6)(5 – 2x) 2. 5   Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x ,  3  x   :  2 1 121  11   2x  6   5  2x   2  2x  6 5  2x   (2x + 6)(5 – 2x)  2 8 1  Dấu “ = “ xảy ra  2x + 6 = 5 – 2x  x   4 1 121  Vậy: Khi x   thì y đạt GTLN bằng . 4 8 5 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,   x  5 . Định x để y đạt GTLN. 2 1  y = (2x + 5)(5 – x) = (2x + 5)(10 – 2x) 2  5   Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x ,    x  5  :  2  1 625   2x  5  10  2x   2  2x  510  2x   (2x + 5)(10 – 2x)  2 8 5  Dấu “ = “ xảy ra  2x + 5 = 10 – 2x  x  4 5 625  Vậy: Khi x  thì y đạt GTLN bằng 4 8 1 5 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,   x  . Định x để y đạt GTLN 2 2  y = 3(2x + 1)(5 – 2x) 5  1  Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x ,    x   :  2 2   2x  1   5  2x   2  2x  1 5  2x   (2x + 1)(5 – 2x)  9 . Dấu “ = “ xảy ra  2x + 1 = 5 – 2x  x = 1 14 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Bất đẳng thức . Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9. x 37. Cho y  2 . Định x để y đạt GTLN x 2 1 x 1   2  x2  2 2x2  2x 2   y 2 2 2 2 x 2 2 . Dấu “ = “ xảy ra  x2  2 và x > 0  x= 2. . Vậy: Khi x  2 thì y đạt GTLN bằng. 38. Cho y . x2.  x 2  2 3. 1 2 2. .. . Định x để y đạt GTLN x2. 3. . x2  2  x2  1 1  3 x2 .1.1   x2  2  27x2 . . Dấu “ = “ xảy ra  x2  1  x   1. . Vậy: Khi x   1 thì y đạt GTLN bằng. 3.  x 2  2. 3. . 1 27. 1 . 27. III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1.. Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2) () BĐT Bunhiacopxki ()  a2b2  2abcd  c2d2  a2b2  a2d2  c2b2  c2d2. 2.. 2  a2d2  c2b2  2abcd  0   ad  cb  0 . Chứng minh: sinx  cos x  2.  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :  3.. 12  12   sin2 x  cos2 x  . 2. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b2  7.  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4 b :. 3. 3a  4. 4b   3  4  3a2  4b2   3a2 + 4b2  7. 725 Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2 + 5b2  . 47 2 3 3a 5b  2a  3b  3 5 2 3 , 3a ,  , 5b:  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 5 . 4.. sinx  cos x  1. sinx  1. cos x . 3a  4b . 15 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Bất đẳng thức 2. 735  4 9 5 b      3a2  5b2   3a2 + 5b2  . 47  3 5 3 5 2464 Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a2 + 11b2  . 137 3 5 7a 11b  3a  5b  7 11 3 5 , 7a ,  , 11b :  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 7 11. . 5.. 6.. 7.. 3. 2464  9 25   2 2 11b    .  7a  11b   7a2 + 11b2   7 11  137 7 11 Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b4  2.  Áp dụng BĐT Bunhiacopski: . 3. 3a. 7a. 5. . 2  a  b  1 1  a2  b2 . . a2 + b2  2. . 2   a2  b2   1 1  a4  b4 . . a4 + b4  2. Cho a + b  1 . 1 a  b . Chứng minh: a2  b2 . 1 2. 12  12   a2  b2   a2  b2 . 16 Lop12.net. 1 2.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Bất đẳng thức. PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1. 2. 3.. 4.. 5.. 6.. 7.. (CĐGT II 2003 dự bị) Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: x2  xy  y2  x2  xz+z2  y2  yz+z2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3  x + y + z. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 1 thức: A=x+y+z+   x y z (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) 5 Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 4 1 biểu thức: A =  . x 4y (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức: a b c d <2    ab c b c d c d a d ab (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)  1 2  Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)2  2  x  1  16. x  (CĐKTKTCN1 khối A 2006) Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng:. ab c ab c ab c   9 a b c. 8.. (CĐKTYTế1 2006) Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y  0; x2 + x = y + 12. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz. 10. (Học viện BCVT 2001) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 1 1 1 b c   a  b  c  3 a  b  c  thì: a 3 3 3 3 3  3 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh: a b c 3 3  2  2  2 2 2 2 2 b c c a a b 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) 17 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Bất đẳng thức. 13.. 14.. 15. 16.. a2  b2  c2  2 Cho các số a, b, c thoả:  ab  bc  ca  1 4 4 4 4 4 4 Chứng minh:   a  ;   b  ;   c  3 3 3 3 3 3 (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Cho ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 1 1 1  1 1 1    2    pa pb pc a b c (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng: 2 y 2 x 2 z 1 1 1  3  3  2 2 2 3 2 2 2 x y y z z x x y z (ĐH PCCC khối A 2001) Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb c a  logc  a b  loga b c  1 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi  > 1 ta luôn có: x +  – 1 ≥ x. Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì: a3 3. . b3 3. . c3 3. . a b c   b c a. b c a 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: a b  1  b a  1  ab (*) 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì: 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) 2. 2. 2. Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng: a 3  b3  c 3 20. (ĐHQG HN khối A 2000) Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c 21. (ĐHQG HN khối D 2000) Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng b2  2a2 c2  2b2 a2  2c2    3 ab bc ca 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000). minh rằng:. Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng: 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT: 18 Lop12.net. a3  b3  a  b    2  2 . 3.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Bất đẳng thức a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của bc ca ab  2  2 biểu thức: P = 2 2 2 a b  a c b c  b a c a  c 2b 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có:. . (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 1 3 abc 26. (ĐH Y HN 2000) Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện. . 3. 2 3   6 . Tìm giá trị nhỏ nhất x y. của tổng x + y. 27. (ĐH An Giang khối D 2000) Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1) 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) 18xyz CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx > 2  xyz 29. (ĐH An Ninh khối A 2000) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: nn + 1 > (n + 1)n 30. (CĐSP Nha Trang 2000) Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = a  1  b  1 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì 1 1 1 9 khác không: 2  2  2  2 x y z x  y 2  z2 BĐT cuối cùng luôn đúng  BĐT cần chứng minh đúng. 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) a2 b2 c2 a b c      Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh: b2 c2 a2 b c a 33. (ĐH Hàng hải 1999) Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng: x y z 3 1 1 1       2 2 2 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (*) 35. (Đại học 2002 dự bị 1) Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: 19 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Bất đẳng thức a2  b2  c2 (a, b, c là các cạnh của ABC, R là 2R bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào? 36. (Đại học 2002 dự bị 3) 5 Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = . Tìm 4 4 1 giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S=  x 4y 37. (Đại học 2002 dự bị 5) Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50. a c b2  b  50 Chứng minh bất đẳng thức: và tìm giá trị nhỏ nhất   b d 50b a c của biểu thức: S =  . b d 38. (Đại học 2002 dự bị 6) 3 Cho tam giác ABC có diện tích bằng . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các 2 cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng: 1 1  1 1 1 1  a  b  c  h  h  h   3   a b c  39. (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z  1. Chứng minh rằng: 1 1 1 x2  2  y2  2  z2  2  82 x y z x y z. 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin5x + 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng: (1) 4p(p  a)  bc   A B C 2 33 (2) sin sin sin  2 2 2 8  ab c trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = . 2 42. (Đại học khối A 2005) 1 1 1 Cho x, y, z là các số dương thoả mãn :    4 . x y z. 20 Lop12.net. 3 cosx.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>