Chuyên đề 8: Vectơ trong không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (150 KB, 3 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ 8 VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN Các định nghĩa và phép toán của vectơ trong không gian cũng giống như trong mặt phẳng, ta cần lưu ý đến các vấn đề cơ bản thông dụng như : JJJG JJJG JJJG . Qui taéc 3 ñieåm : ∀ A, B, C thì AB + BC = AC . Cộng 2 vectơ cùng gốc là một vectơ cùng gốc và là đường chéo hình bình hành có 2 cạnh là 2 vectơ đã cho. . I là trung điểm đoạn thẳng AB, với điểm M bất kỳ nào ta luôn có: JJJJG JJJJG JJJG MA + MB MI = 2 JJJG JJJG JJJG G . G laø troïng taâm cuûa Δ ABC ⇔ GA + GB + GC = 0 . Ngoài ra ta còn có : G . Ba vectơ khác 0 gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trong moät maët phaúng . G G G G . Bất kỳ vectơ a ≠ 0 nào đồng phẳng với hai vectơ không cùng phương e1 , e2 trong G G không gian, đều có thể phân tích theo e1 , e2 có nghĩa: G G G a = α e1 + β e2 ( α , β ∈ R) và sự phân tích trên là duy nhất . G G . Bất kỳ vectơ a ≠ 0 nào trong không gian cũng có thể phân tích được theo 3 vectơ G G G không đồng phẳng e1 , e2 , e3 có nghĩa : G G G G a = α e1 + β e2 + γ e3 ( α , β , γ ∈ R) . G được gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD JJJG JJJG G JJJG JJJG GA + GB + GC + GD = 0 ⇔ Ghi chuù :. G G G G 1) Nếu một trong 3 vectơ a , b , c là 0 thì chúng đồng phẳng. G G G 2) a , b , c đồng phẳng ⇔. G G G ⎡ a, b ⎤ .c = 0 ⎣ ⎦. 1 Lop12.net.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> JJJG JJJG JJJG 3) OA , OB , OC đồng phẳng. ⇔. O, A, B, C cuøng naèm treân moät maët phaúng.. Ví duï 1: Cho một hình lăng trụ ABC A ′ B′ C′ . Gọi I, I′ lần lượt là trọng tâm của Δ ABC và Δ A ′ B′ C′ , O laø trung ñieåm cuûa I I′ . a) Chứng minh rằng JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG G OA + OA′ + OB + OB′ + OC + OC′ = 0 b) Gọi G là trọng tâm của hình tứ diện ABC C′ và M là trung điểm của A ′ B′ . Chứng minh raèng O, M, G thaúng haøng. JJJJG OM JJJG c) Tính tæ soá OG Giaûi JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG G a) OA + OA′ + OB + OB′ + OC + OC′ = 0 JJG JJG JJG G I laø troïng taâm cuûa Δ ABC ⇒ IA + IB + IC = 0 JJG JJJG JJG JJJG JJG JJJG G ⇒ ( IO + OA ) + ( IO + OB ) + ( IO + OC ) = 0 JJJG JJJG JJJG JJG ⇒ OA + OB + OC = 3 OI Tương tự, I′ là trọng tâm của Δ A ′ B′ C′ JJJJG JJJJG JJJJG JJJG ⇒ OA′ + OB′ + OC′ = 3 OI′ JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG OA + OA′ + OB + OB′ + OC + OC′ = Vaäy JJG JJJG JJG JJJG = 3 OI + 3 OI′ = 3( OI + OI′ ) G = 0 (vì 0 laø trung ñieåm I I′ ) b) O, M, G thaúng haøng G là trọng tâm của tứ diện ABC C′ JJJG JJJG JJJG JJJJG G ⇒ GA + GB + GC + GC′ = 0 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG G ⇒ ( GO + OA ) + ( GO + OB ) + ( GO + OC ) + ( GO + OC′ ) = 0 JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG ⇒ OA + OB + OC + OC′ = 4 OG M laø trung ñieåm cuûa A ′B′ JJJJG JJJJG JJJJG ⇒ OA′ + OB′ = 2 OM JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG ⇒ OA + OB + OC + OC′ + OA′ + OB′ = 4 OG + 2 OM. 2 Lop12.net.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> JJJJG JJJG G ⇒ 0 = 4 OG + 2 OM JJJJG JJJG ⇒ OM = –2 OG JJJJG JJJG ⇒ OM cùng phương với OG JJJJG JJJG ⇒ OM , OG cuøng giaù (vì cuøng goác O) ⇒ O, M, G thaúng haøng. JJJJG OM c) Tæ soá JJJG OG. JJJJG JJJG OM = –2 OG. ⇒. JJJJG OM JJJG = –2 OG. Ví duï 2: JJJJG G JJJG G JJJJG G Cho hình hộp ABCD. A ′ B′ C′ D′ với AA ′ = a , AB = b , AC / = c . Hãy biểu thị các JJJG JJJJG JJJJG JJJJG G G G vectô AD , A′C , B′D , BD′ theo caùc vectô a , b , c . A D Giaûi G b. B. G a. Ta có với hình hộp ABCD. A ′ B′ C′ D′ thì : JJJJG JJJJJG JJJJG JJJG AD = AC′ + C ′D / + D′D G G G =c– b –a. C G c A′. B′. D′. JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG A′C = A ′A + AC / + C / C JJJJG G G A′C = –2 a + c JJJJG JJJJG JJJG JJJG B′D = B′B + BA + AD G G G G G = – a –b + c – b – a G G G = – 2a – 2b + c JJJJG JJJG JJJG JJJJG BD′ = BA + AD + DD′ G G G G G = – b + (c – b – a) + a G G = – 2b + c. C′. ***. 3 Lop12.net.
<span class='text_page_counter'>(4)</span>
