Bất đẳng thức, min, max và chứng minh phương trình có nghiệm

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bất đẳng thức _Quách duy tuấn. Bất đẳng thức, min, max và Chứng minh phương trình có nghiệm 1. Với a, b, c là các số thực dương. CMR. a  b 2  b  c 2  c  a 2.  4a  b  c  c a b  XÐt dÊu b»ng hoÆc dïng B§T Bunhiacopxki(BNA) 2. Với a, b, c là các số dương. CMR a3 b3 c3    a2  b2  c2 b c a a3 a3  x  yb 2  za 2  Chän x, y, z sao cho x b b 3. CMR với các số dương a, b, c thì 5b 3  a 3 5c 3  b 3 5a 3  c 3    abc ab  3b 2 bc  3c 2 ca  3a 2 5b 3  a 3  xa  yb  C¨n cø bËc tö 3, bËc mÉu 2 ta t×m x, y: ab  3b 2 4. Cho các số dương a, b, c. CMR a2 b2 c2 abc    ab bc ca 2  XÐt dÊu b»ng vµ ¸p dông C«si 5. Cho các số dương a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 27. CMR a3 + b3 + c3  81  Tõ gt vµ kluËn gîi ý ta ¸p dông B§T C«si cho 3 sè a3, a3 vµ h»ng sè k. 6. [C§ ABD_08] Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn x2 + y2 = 2. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P = 2(x3 + y3) -3xy  §Æt x + y = t, Do S2  4P nªn t  [-2, 2] 7*. Cho các số thực dương a và b thoả mãn ab + a + b = 3. CMR 3a 3b ab 3    a2  b2  b 1 a 1 a  b 2 2  a  b 2 2  Sdụng gt theo nhiều hướng và BĐT a  b  2 8. Cho x, y là các số thực dương thay đổi thoả mãn x + y  1. Tìm GTNN của 1 P  4( x 3  y 3 )  3 x  y3 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bất đẳng thức _Quách duy tuấn.  CM 4(x3 + y3)  1, minP = -3 9. Cho các số thực dương x, y, z, t. CMR. x2 y2 z2 t 2 1 1 1 1        y5 z 5 t 5 x5 x3 y3 z 3 t 3 x2 1 1  Dù ®o¸n CT a 5  b 3  c 3 víi a, b, c  N* y x y 10. Víi a  0, 2a + 3b+ 6c = 0. CMR PT ax2 + bx + c = 0 lu«n cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc [0, 2/3] 11. Cho ba số thực dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Tìm GTLN của biểu thức 1 1 1 P 3  3  3 3 3 x  y  1 y  z  1 z  x3  1  CM x3 + y3 + 1  xy(x + y + z), maxP = 1 12. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a2 + b2 + c2 = 3. Tìm min a2 b2 c2 P 2   b  c 2  bc c 2  a 2  ca a 2  b 2  ab  C«si, bc  (b2 + c2)/2 1 1 1 13. Cho x, y, z  [1,3]. CMR P   x  y  z      12 x y z 3  Tõ (x - 1)(x - 3)  0  x   4 . AD C«si cã §PCM x 2 2 2 14. Cho ba số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. CMR x y z 3 3  2  2  2 2 2 2 2 y z z x x y  VP . . . 3 3 2 x  y 2  z 2 gîi ý cho ta CM 2. x x 3 3 2   x 2 2 2 y z 1 x 15. Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức a 2 1  a  b 2 1  b  c 2 1  c  P   bc ca ab  1 – a = b + c vµ t¸ch ph©n thøc 4 4  x y x y 16. CMR 4  4  4  3   víi mäi x, y  0. y x  y x  §Æt Èn phô hoÆc dïng C«si, nh­ng chó ý chØ cã §K x, y  0 17.[§H_B07] Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức 2. 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bất đẳng thức _Quách duy tuấn. x 1  y 1  z 1  P  x    y    z     2 yz   2 zx   2 xy   Cã nhiÒu c¸ch ¸p dông C«si, MinP = 9/2. 18.[§H_D07]. b. a.  a 1   b 1  Cho a  b > 0. CMR  2  a    2  b  2   2    lấy loganêpe hai vế và dùng tính đơn điệu 19.[§H_A05] 1 1 1    4 . CMR Cho x, y, z là các số dương thoả mãn x y z 1 1 1   1 2x  y  z x  2 y  z x  y  2z 1 1 1 11 1     để tách các  AD B§T  x  y     4  x y 4a b x y pthøc 20.[§H_B05] CMR víi mäi x  R ta cã x x x  12   15   20  x x x       3 4 5 5 4  3   Dïng B§T C«si quay vßng 21.[§H_D05] Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. CMR. 1  x3  y3 1 y3  z3 1  z 3  x3   3 3 xy yz zx 22. Xác định m để PT sau có nghiệm. . . m 1 x2  1 x2  2  2 1 x4  1 x2  1 x2 2 2  §Æt t = 1  x  1  x , t  [0, 2 ]. §S m  [ 2 -1, 1]. 23.[§H_D04] CM phương trình sau có đúng một nghiệm x5 – x2 – 2x – 1 = 0 25.[§H_A03] Cho x, y, z là các số dương thoả mãn x + y + z  1. CMR. 1 1 1  y 2  2  z 2  2  82 2 x y z  Sö dông B§T vect¬ vµ xÐt dÊu b»ng trong B§T C«si 26. Cho x, y, z là các số dương thoả mãn xyz = 1. CMR x2 . 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bất đẳng thức _Quách duy tuấn. x2 y2 z2 3    1 y 1 z 1 x 2  ¸p dông C«si, chó ý dÊu b»ng x¶y ra 27. Cho a, b, c là các số dương thoả mãn a + b + c = 3/4. CMR 3 a  3b  3 b  3c  3 c  3a  3 DÊu b»ng x¶y ra khi nµo.  Dïng C«si cho mçi c¨n, chó ý dÊu b»ng x¶y ra 28. Cho x, y, z tho¶ m·n x + y + z = 0. CMR. 2  4x  2  4y  2  4z  3 3 Khi nào đẳng thức xảy ra. a2 b2 c2 a b c 29.[ĐH Y Dược_99] CMR 2  2  2    với mọi abc  0 b c a b c a  Dïng C«si nh­ng l­u ý tíi ®iÒu kiÖn cña a, b, c  dïng a2 b2 c2 a b c      víi mäi abc  0. 30. CMR b2 c2 a2 c a b  Dïng Bunhia hoÆc C«si quay vßng 31.[ĐH Y Dược TPHCM_98] ab Cho a, b  1. CMR log 2 a  log 2 b  2 log 2 2  Dùng Bunhia để loại bỏ dấu căn 32.[§HNT_95] Cho x, y  0 vµ x3 + y3 = 2. CMR x2 + y2  2.  Bunhia 33. T×m min max cña U = x + 3y, biÕt x2 + xy + 4y2 = 3  Bunhia 34. CMR mäi nghiÖm cña BPT. x  1  3 x 2  1  2 còng lµ nghiÖm cña BPT. x  2 x  1  3 x 4  2 x 2  1  1  23 x 2  1 35.[§HBKHN_90] CMR víi mäi x, y, z > 0, ta cã. 1 1 1 x yz    2 xyz x 2  yz y 2  zx z 2  xy. 36.[§HBKHN_94] Cho x + y = 1. CMR x4 + y4  1/8. 37. T×m max cña y = sinmx.cosnx víi 0  x  /2, 2 m, n  Z  Bình phương,dùng Côsi để áp dụng được CT sin2x+cos2x =1.  m  Maxy    mn 4 Lop12.net. m/2.  n    mn. n/2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bất đẳng thức _Quách duy tuấn 3. a3  b3  a  b    38.[§HBKHN_A00] CMR 2  2   Biến đổi tương đương hoặc biến đổi và dùng Côsi 39.[§HXD_97] Cho sinx + siny + sinz = 0. T×m min, max cña P = sin2x + sin4y + sin6z  Dïng PP so s¸nh. §S: minP = 0, maxP = 2 x2 x 40.[§H KiÕn Tróc HN_98] CMR e  1  x  víi mäi x > 0. 2  Dùng đạo hàm hai lần 41.[§HHH TPHCM_99] Cho x, y, z  0, x + y + z  3. CMR x y z 3 1 1 1       1 x2 1 y2 1 z2 2 1 x 1 y 1 z x 1  vµ C«si  Sdông 2 2 1 x 42.[§HGT TPHCM_99] Tìm a để PT sau có nghiệm duy nhất 1  x  2 1  x  a  x lµ nghiÖm th× -x còng lµ nghiÖm. §S: a = 3 43.[HVCNBCVT_99] 2. 2. 3. . . Tìm m để PT sau có nghiệm x x  x  12  m 5  x  4  x  PT m = f(x)g(x). CM ®­îc f ®biÕn, g ®biÕn  f(x)g(x) ®b/[0, 4] 44.[HVNHHN_98] T×m min cña hµm sè. y. 1 1    , x   0,  sin x cos x  2.  C«si, miny = 2 2. 20 x 2  10 x  3 45.[HVNH TPHCM_98] T×m min max cña hµm sè y  3x 2  2 x  1  Dïng TGT, miny = 5/2, maxy = 7 46.[HVNHHN_A00] Cho a, b, c  R vµ a + b + c = 0. CMR 8a + 8b + 8c  2a + 2b + 2c  ¸p dông C«si cho ba sè 8a, 1 vµ 1 47.[§HNTHN_95] 1 1   4 xy Cho x, y > 0, x + y  1. T×m min P  2 x  y 2 xy  T¸ch, nhãm vµ dïng C«si 48.[§HNTHN_96] a b c   2 Cho a, b, c > 0. CMR bc ca ab 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bất đẳng thức _Quách duy tuấn.  Sdông. a a  vµ C«si bc a (b  c). 49.[§HNTHN_96] Cho x, y, z > 0 vµ x + y + z = 1. T×m max cña biÓu thøc P . x y z   x 1 y 1 z 1.  maxP = 3/4 50.[§HKTQDHN_96] Cho a, b  0. CMR 3a3 + 17b3  18ab2 51.[§HTMHN_96] CMR tan6A + tan6B + tan6C  81, víi mäi tam gi¸c ABC nhän.  Sdông tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC vµ C«si 52.[HVQHQT_96]. x5 y5 z 5 Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1. CMR 4  4  4  1 y z x x5  Adông C«si ta cm cho 5 sè 4 , y, y, y, y y 53.[HVQHQT_97] Cho x2 + y2 + z2 = 1. T×m min, max cña P = x + y + z + xy + yz + zx  minP = -1, maxP = 1 +. 3. 54.[HVQHQT_99] Cho x, y  0, x + y = 1. T×m min, max cña P . x y  y 1 x 1.  §Æt t = xy, t  [0, 1/4]. 55.[§HLHN_99] T×m min, max cña y = sin20x + cos20x.  Bổ sung các hằng số để sdụng Côsi, chú ý dấu bằng và hđthức sin2x + cos2x = 1. §S: maxy = 1, miny = 1/29. 56.[§H N«ng NghiÖp HN_A00]. bc ac ab   a 2b  a 2 c b 2 a  b 2 c c 2 a  c 2b  §Æt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c, minP = 3/2 57.[§HQGHN_D99] CMR víi mäi a, b, c > 0 ta cã ab bc ca abc    ab bc ca 2 ab ab   cm ab 4 58.[§HLHN_95] Cho a, b, c > 0, abc = 1. T×m min P . 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bất đẳng thức _Quách duy tuấn. 1 1 1 1 1     3 . CMR abcd  1 a 1 b 1 c 1 d 81 1 b c d     ... (Côsi) và các BĐT tương tự  1 a 1 b 1 c 1 d. Cho a, b, c, d > 0 tho¶ m·n. 59.[§HAN_G98] CMR víi mäi x, y, z  [0, 2], ta cã 2(x + y +z) – (xy + yz +zx)  4 Tõ gt cã (x - 2)(y - 2)(z - 2)  0 60.[§HQGHN_B95]. 1 a3 1 a  b 3    b Cho a, b > 0. CMR 3  b3 a b a 61. Cho a, b, c  0 tho¶ m·n a2009 + b2009 + c2009 = 3. T×m max cña P = a4 + b4 + c4  Dïng C«si cho 2005 sè 1 vµ 4 sè a2009, maxP = 3 62. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. CMR xy yz zx 3    xy  z yz  x zx  y 2  xy + z = xy + z(x + y + z) = (x + z)(y + z) vµ C«si 3 2 63. T×m min, max cña A  5 sin x  9 sin x  4  §Æt t vµ xÐt hµm f(t) = 5t3 – 9t2 + 4, -10  f (t) 4, 0  A  10 64.[§HQGHN_D98] 2 2 CMR víi mäi x, y > 0 ta cã x  y . . 1 1  2 x y x y. 65.[§H Duy T©n 99] Cho x . 1 1  1 víi x, y > 0. CMR y   4 y x 1  1  1  y    y   x   x  x  y. 7 Lop12.net. .

<span class='text_page_counter'>(8)</span>