Ôn tập Phương trình vô tỷ

<span class='text_page_counter'>(1)</span>T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt. . PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Dạng cơ bản Giải phương trình :. 4 3 2 1 − = − x2 4 x 2. 2 1 4 − x 0 < x ≤ 4 x − 2 ≥ 0  2x ≥ 0 4 3 2 1   − = − ⇔ ⇔ 2 ⇔ x=2 2 ⇔  2 4 3 4 2 1 x 4 x 2 − = 4 3 2 1 1 0    − =  − =  x − + −  x 2 4 x 2 x 4  x 2 4  x 2  Giải phương trình :. x +6 x −9 + x −6 x −9 =. x+6 23. Đặt t = x − 9, t ≥ 0 ⇒ x = t 2 + 9 ≥ 9 t 2 − 4 = 0  t = 2  0 ≤ t < 3  2 Phương trình cho viết lại : 6 t + 3 + 6 t − 3 = t + 32 ⇔  ⇔ t = 4 2  t − 12t + 32 = 0   t = 8   t ≥ 3 • t = 2 ⇔ x − 9 = 2 ⇔ x = 13 • t = 4 ⇔ x − 9 = 4 ⇔ x = 25 • t = 8 ⇔ x − 9 = 8 ⇔ x = 73 Vậy phương trình cho có 3 nghiệm x = 13, x = 25, x = 73 2 = 1 + 3 + 2x − x 2 x +1 + 3 − x x +1 ≥ 0 Điều kiện để phương trình có nghĩa :  ⇔ −1 ≤ x ≤ 3 . 3 − x ≥ 0 Đặt Giải phương trình :. t = x +1 + 3 − x , 2 ≤ t ≤ 2 2 ⇒ t2 = 4 + 2. ( x + 1)( 3 − x ) = 4 + 2. 3 + 2x − x 2 ⇒ 3 + 2x − x 2 =. t2 − 4 2. 2 2 t2 − 4 = 1 + 3 + 2x − x 2 ⇔ = 1 + ⇔ t 3 − 2t − 4 = 0 ⇔ ( t − 2 ) ( t 2 + 2t + 2 ) = 0 (*) t 2 x +1 + 3 − x Vì t 2 + 2t + 2 > 0 nên (*) ⇔ t = 2 ⇔ x + 1 + 3 − x = 2 ⇔ Chú ý : Cho hai số a ≥ 0, b ≥ 0 nếu t = a + b thì. ( x + 1)( 3 − x ) = 0 ⇔ x = −1, x = 3. a + b ≤ t ≤ 2 ( a + b ) ( Đại số 9). Dễ thấy t = a + b ⇔ t 2 = a + b + 2 ab ⇔ a + b ≤ t 2 = a + b + 2 ab. AM − GM. ≤. AM − GM viết tắt bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân. Lop12.net. 2 (a + b) ⇔ a + b ≤ t ≤ 2 (a + b).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt. . Giải phương trình : ( 4x − 1) x 2 + 1 = 2x 2 + 2x + 1 (1). ( 4x − 1). x 2 + 1 = 2x 2 + 2x + 1 ⇔ ( 4x − 1) x 2 + 1 = 2 ( x 2 + 1) + 1. Đặt t = x 2 + 1, t ≥ 1. Phương trình (1) ⇔ ( 4x − 1) t = 2t 2 + 2x − 1 ⇔ 2t 2 − ( 4x − 1) t + 2x − 1 = 0 ⇔ ( 2t − 1)( t − 2x + 1) = 0 1   1 2x − 1 > 0 t = <1 4 x >  ⇔ ⇔ 2 ⇔x= 2 2 2 ⇔   3  x + 1 = ( 2x − 1) 3x 2 − 4x = 0  t = 2x − 1   Giải phương trình : 1 + 2x − x 2 + 1 − 2x − x 2 = 2 (1 − x ) ( 2x 2 − 4x + 1) 4. Điều kiện để phương trình có nghĩa : 2 x − x 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 . 1 + 2x − x 2 + 1 − 2x − x 2 = 2 (1 − x ) ( 2x 2 − 4x + 1) 4. (. ). ⇔ 1 + 1 − ( x 2 − 2x + 1) + 1 − 1 − ( x 2 − 2x + 1) = 2 (1 − x ) 2 ( x 2 − 2x + 1) − 1 4. ⇔ 1 + 1 − ( x − 1) + 1 − 1 − ( x − 1) = 2 (1 − x ) 2 ( x − 1) 2. 2. 4. 2. (*). Đặt t = ( x − 1) , x ∈ [ 0; 2] ⇔ t ∈ [ 0;1] ( a ) 2. Phương trình (*) ⇔ 1 + 1 − t + 1 − 1 − t = 2t ( 2t − 1) Điều kiện để phương trình có nghĩa : 2t − 1 ≥ 0 ⇔ t ≥. 2. (**). 1 1 ( b ) .Từ ( a ) , ( b ) ⇒ t ∈  ;1 . 2 2 . 1  Với t ∈  ;1 , bình phương 2 vế phương trình (**) ta được 2  1 1 2 2 1 + t = 2t 4 ( 2t − 1) ⇔ 4 + 3 = 2 ( 2t − 1) t t t 1 1   1  VT = t 4 + t 3 t ≥ 2 t ∈  ;1 ⇒  ⇒ VT = VP = 2 xảy ra khi t = 1 ⇔ x = 2 2   2 VP = 2 ( 2t − 1) ≤ 2 Vậy phương trình có nghiệm x = 2 . 3 Giải phương trình : x 2 − 3x + 1 = − x4 + x2 +1 3 3 3 x 2 − 3x + 1 = − x 4 + x 2 + 1 ⇔ 2 ( x 2 − x + 1) − ( x 2 + x + 1) = − x 2 − x + 1)( x 2 + x + 1) ( 3 3 ⇔2. x2 − x +1 3 + 2 x + x +1 3. Đặt t =. x2 − x +1 − 1 = 0 ( *) x2 + x +1. x2 − x +1 ,0 < t ≠1 x2 + x +1. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt. .  3 t=− <0  3 x2 − x +1 3 3 2  Phương trình (*) ⇔ 2t + t −1 = 0 ⇔ ⇔ = ⇔ x 2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1 2 3 x + x + 1 3  3 t = 3  Vậy phương trình có nghiệm x = 1 . x 35 Giải phương trình : x + = (1) x 2 − 1 12 Điều kiện để phương trình có nghĩa : x > 1 . 1 Đặt x = , x > 1 ⇒ 0 < y < 1 ( a ) y x 35 1 1 35 35 x+ = = ⇔ y + 1 − y2 = y 1 − y2 ( 2) (1) ⇔ + 2 2 y 12 12 x − 1 12 1− y t 2 −1 ( 3) với 0 < y < 1 ⇒ 1 < t ≤ 2 2  7 2 t = 5 35 t − 1 Phương trình ( 2 ) viết lại : t = . ⇔ 35t 2 − 24t − 35 = 0 ⇔  12 2  t = − 5 ∉ 1; 2    7 4  2 16  49 y = y=± −1 2   t − 1 25 12 144 144 25 5 y 1− y2 = = = ⇔ y 2 (1 − y 2 ) = ⇔ y4 − y2 + =0⇔ ⇔ (b) 2 2 25 625 625  y2 = 9 y = ± 3 25 5   5 4 5 3 Từ ( a ) và ( b ) suy ra ( x; y ) =  ;  ,  ;   4 5 3 5 5 5 Vậy phương trình cho có nghiệm : x = , x = 4 3 1 Chú ý : Với điều kiện x > 1 gợi liên tưởng bài toán này có cách giải lượng giác , với x = hoặc cos t 1 x= sin t Đặt t = y + 1 − y 2 ⇒ y 1 − y 2 =. (. Giải phương trình : x 2 − 4x − 3 = x + 5 Điều kiện để phương trình có nghĩa : x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ −5 x 2 − 4x − 3 = x + 5 ⇔ ( x − 2 ) − 7 = x + 5 2. Đặt y − 2 = x + 5, y ≥ 2 ⇔ ( y − 2 ) = x + 5 2. ( x − 2 )  2  Ta có hệ : ( y − 2 )   y ≥ 2. 2.   ( x − 2 ) 2 = y + 5  = y+5 ( x − 2 )2 = y + 5    x − y = 0  5 + 29   x=  2 = x + 5 ⇔ ( x − y )( x + y + 3) = 0 ⇔   ( x − 2 ) = y + 5 ⇔ 2  y ≥ 2   x = −1     x + y + 3 = 0  y ≥ 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Giải phương trình :. . 2x + 15 = 32x 2 + 32x − 20. 15 . 2 2 2x + 15 = 32x 2 + 32x − 20 ⇔ 2x + 15 = 2 ( 4x + 2 ) − 28. Điều kiện để phương trình có nghĩa : 2 x + 15 ≥ 0 ⇔ x ≥ −. Đặt 4y + 2 = 2x + 15, y ≥ −. 1 2 ⇔ ( 4y + 2 ) = 2x + 15 2. Ta có hệ :   ( 4x + 2 )2 = 2y + 15    2    x = y 1  ( 4y + 2 ) = 2x + 15 ( x − y )( 8x + 8y + 9 ) = 0 x=    2   2 2 2  ⇔   ( 4x + 2 ) = 2y + 15 ⇔  ( 4x + 2 ) = 2y + 15 ⇔ ( 4x + 2 ) = 2y + 15  −9 − 221      8x + 8y + 9 = 0 x= 1 1   y ≥ − y ≥ −  16  2 2   1   y ≥ − 2 Dạng tổng hiệu – bình phương Giải phương trình :. x + 1 − x + 2 x (1 − x ) − 2 4 x (1 − x ) = 1. x ≥ 0 Điều kiện để phương trình có nghĩa :  ⇔ 0 ≤ x ≤1. 1 − x ≥ 0 x + 1 − x + 2 x (1 − x ) − 2 4 x (1 − x ) = 1 ⇔ ⇔. (. 4. x − 4 1− x. ) −( 2. x − 1− x. ). 2. =0⇔. (. 4. (. ) (. x − 4 1− x − x + 1− x. )(. 4. Phương trình 1  1  x − 4 1 − x − x + 1 − x = 0 (1) ⇔  1 − x − 4 1 − x +  −  x − 4 x +  = 0 4  4  2. 2. 1  1  ⇔  4 1− x −  −  4 x −  = 0 ⇔ 2  2  4 4  1− x − x = 0 (a ) ⇔  4 1 − x + 4 x − 1 = 0 ( b ). (. 4. 1− x − 4 x. )(. 4. ). 1 − x + 4 x −1 = 0. 1 2. •. 4. 1− x − 4 x = 0(a ) ⇔ 4 1− x = 4 x ⇔ 1− x = x ⇔ x =. •. 4. 1 − x + 4 x −1 = 0 ( b) ⇔ 4 1 − x = 1 − 4 x ⇔ 1 − x = 1 − 4 4 x + 6 4 x 2 − 4 4 x3 + x. ⇔4x. (. 4. ). x3 − 2 4 x2 + 34 x − 2 = 0 ⇔ 4 x. (. 4. )(. x −1. 4. ). x2 − 4 x + 2 = 0. Lop12.net. ). x − 4 1− x + x − 1− x = 0.  4 x − 4 1 − x − x + 1 − x = 0 (1) ⇔  4 x − 4 1 − x + x − 1 − x = 0 ( 2 ). 4. ). x − 2 4 x (1 − x ) + 1 − x − x − 2 x (1 − x ) + 1 − x = 0.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt. . 4 x = 0  4 x = 0 x = 0 ⇔  4 x −1 = 0 ⇔ ⇔ x = 1 4 2 4  4 x = 1  x − x + 2 > 0 Phương trình 4. 1  1  x − 4 1 − x + x − 1 − x = 0 ( 2) ⇔  x + 4 x +  −  1 − x + 4 1 − x +  = 0 4  4  2. 2. (. )(. ). 1  1  ⇔  4 x +  −  4 1− x +  = 0 ⇔ 4 x − 4 1− x 4 x + 4 1− x +1 = 0 2  2   4 x − 4 1− x = 0 1 ⇔ ⇔ 4 x = 4 1− x ⇔ x = 1− x ⇔ x = 4 4 2  x + 1 − x + 1 > 0 1 Vậy phương trình cho có 3 nghiệm x = 0, x = , x = 1. 2 Dạng dùng bất đẳng thức x 2 + x −1 + −x 2 + x + 1 = x 2 − x + 2  x 2 + x − 1 ≥ 0 Điều kiện để phương trình có nghĩa :  2 . − x + x + 1 ≥ 0 Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ,  2 1 + x2 + x −1 x2 + x 2 =  x + x − 1 = 1. ( x + x − 1) ≤ 2 2  2 2  − x 2 + x + 1 = 1. − x 2 + x + 1 ≤ 1 + − x + x + 1 = − x + x + 2 ( )  2 2 Giải phương trình :. ⇒ x 2 + x − 1 + −x 2 + x + 1 ≤ x + 1. Phương trình : x 2 − x + 2 = x 2 + x − 1 + − x 2 + x + 1 ⇔ x 2 − x + 2 ≤ x + 1 ⇔ ( x − 1) ≤ 0 ⇔ x = 1 Vập phương trình cho có nghiệm x = 1 2. Giải phương trình :. 2x 2 − x + −3x 2 + 3x + 1 = x 2 − 2x + 3. 2x 2 − x ≥ 0 Điều kiện để phương trình có nghĩa :  . 2 −3x + 3x + 1 ≥ 0 Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ,  1 + 2x 2 − x 2 2 2x − x = 1. 2x − x ≤ ( )  2  2 2  −3x 2 + 3x + 1 = 1. −3x 2 + 3x + 1 ≤ 1 + −3x + 3x + 1 = −3x + 3x + 2 ( )  2 2. ( x − 1) ≤ 2 − x 2 + 3x + 2 ⇒ VT = 2x − x + −3x + 3x + 1 ≤ = 2− 2 2 2 2 VP = x − 2x + 3 = ( x − 1) + 2 ≥ 2 2. 2. 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt. . x − 1 = 0  VT = VP = 2 khi 1 = 2x 2 − x ⇔ x =1 1 = 1 + 3x − 3x 2  Vậy phương trình có nghiệm x = 1 . Dạng khác Giải phương trình : a) x + 4 − x 2 = 2 + 3x 4 − x 2 Hướng dẫn :. b). ( x + 1)( x − 4 ) = 5. x +1 + x − 4 +. c). 4x − 1 + 4x 2 − 1 = 1. a) x + 4 − x 2 = 2 + 3x 4 − x 2 Đặt t = x + 4 − x 2 ; x ≤ 2 có t ' = 1 −. x 4 − x2. ; t ' = 0 ⇔ x = 2 ⇒ t ∈  −2; 2 2  Phương trình :. x + 4 − x 2 = 2 + 3x 4 − x 2 ⇔ 3t 2 − 2t − 8 = 0 ⇔ x = 0, x = 2, x =. ( x + 1)( x − 4 ) = 5 4 − x; x ∈ [ −1; 4] ⇒ t ' = 0 ⇒ t ∈ . − 2 − 14 3. x +1 + x − 4 +. b). Đặt t = x + 1 + x +1 + x − 4 +. ( x + 1)( x − 4 ) = 5 ⇔ t +. 5; 10 . t2 −5 = 5 ⇔ x = 0∨ x = 3 2. 4x − 1 + 4x 2 − 1 = 1 1  1 1 x ≥ 2 ⇒ f ( x) = 1 = f ( ) ⇒ x =  2 2  f ( x) = 4 x − 1 + 4 x 2 − 1; f ' ( x) > 0 . c). Nhân lượng liên hợp Giải các phương trình : a) x + 1 + 1 x + 1 + 2x − 5 = x. ( a) (. )( x + 1 + 1)(. ) x + 1 + 2x − 5 ) = x. x + 1 − 1 ta được phương trình hệ quả x + 1 − 1 ⇔ x  x + 1 + 2x − 5 − x + 1 − 1  = 0  . Nhân cả hai vế phương trình với x. (. ) (. x + 1 + 2x − 5 = x. 2x 2 + 3x + 5 + 2x 2 − 3x + 5 = 3x. b). ). (. ) (. ). x = 0 x = 0 ⇔ ⇔ x + 1 + 2x − 5 − x + 1 − 1 = 0 x = 2  Thử lại ta thấy x = 2 thỏa mãn .. (. b). ) (. ). 2x 2 + 3x + 5 + 2x 2 − 3x + 5 = 3x. Nhân cả hai vế phương trình với. (1). 2x 2 + 3x + 5 − 2x 2 − 3x + 5 ta được phương trình hệ quả :. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 6x = 3x. (. . x = 0 2x 2 + 3x + 5 − 2x 2 − 3x + 5 ⇔  2 2  2x + 3x + 5 − 2x − 3x + 5 = 2. ). ( 2). Lấy (1) + ( 2 ) ta được 2 2x 2 + 3x + 5 = 2 + 3x ⇔ 4 ( 2x 2 + 3x + 5 ) = ( 2 + 3x ) phương trình hệ quả 2. x = 4 ⇔ 8x 2 + 12x + 20 = 4 + 12x + 9x 2 ⇔ x 2 = 16 ⇔   x = −4 Kiểm tra lại các nghiệm x = 4; x = −4; x = 0 ta thấy x = 4 thỏa mãn Giải các phương trình : x2 b) 4x 2 − 1 − 2x + 1 = 1 + x − 2x 2 a) x + 1 + 1 − x = 2 − 4 x2 4 Độc giả thấy quá quen thuộc bài toán trên giải bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức , đánh giá , lượng giác… nay tôi giới thiệu cách giải nhân lượng liên hợp . x +1 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 . Điều kiện để phương trình có nghĩa :  1 − x ≥ 0 a). x +1 + 1− x = 2 −. Vì −1 ≤ x ≤ 1 nên 2 −. x2 >0 4. Phương trình cho ⇔ 2 + 2 1− x2 = 4 − x2 +. (. )(. (. ).  x2  x4 ⇔ 2 1 − 1 − x 2 = x 2 1 −  16  16 . ). (. ).  x2  ⇔ 2 1 − 1 − x 2 1 + 1 − x 2 = x 2 1 −  1 + 1 − x 2  16  x 2 = 0 2  x   ⇔ 2x 2 = x 2 1 −  1 + 1 − x 2 ⇔   x2  2 2 =  16  1 −  1 + 1 − x   16    x2 <1  x2  1 − Vì x ≠ 0 nên  16 ⇒ 1 −  1 + 1 − x 2 < 2 1 + 1 − x 2 < 2  16   Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0. (. ). (. (. b). ). ⇔ x=0. ). 4x 2 − 1 − 2x + 1 = 1 + x − 2x 2. 1  x ≥ 2 4 x 2 − 1 ≥ 0 ⇔ kiện để phương trình có nghĩa :  x = − 1 2 x + 1 ≥ 0  2 1 1 • Nếu x = − thì phương trình nghiệm đúng . Suy ra x = − là nghiệm phương trình . 2 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt. . 1 thì phương trình cho 2 ⇔ ( 2 x + 1)( 2 x − 1) + ( 2 x + 1)( x − 1) = 2 x + 1 ⇔ 2 x − 1 + 2 x + 1 ( x − 1) = 1. • Nếu x ≥. ⇔ 2 x − 1 − 1 = 2 x + 1 ( − x + 1) ⇔. (. )(. 2x −1 −1. ). 2 x − 1 + 1 = 2 x + 1 ( − x + 1). x =1 2x −1 +1 ⇔   2 + 2 x + 1 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = − , x = 1 2 ⇔ 2 ( x − 1) = 2 x + 1 ( − x + 1). (. ). (. ). 2x −1 +1 = 0. (. ). 2x −1 + 1. ⇔ x =1. Dùng đạo hàm Giải phương trình :. 3. 3. x + 7 + 6 x 2 − 2x + 1 = 2. x + 7 + 6 x 2 − 2x + 1 = 2 ⇔ 3 x + 7 + 3.   3 x + 7 + 3 x − 1 = 2   x ≥ 1 x −1 = 2 ⇔  3 3   x + 7 − x − 1 = 2     x < 1.  3 x + 7 + 3 x − 1 = 2 Trường hợp 1:  . Xét hàm số f ( x ) = 3 x + 7 + 3 x − 1 .  x ≥ 1 Hàm số f ( x ) là hàm số đồng biến và luôn cắt đường thẳng y = 2 tại 1 giao điểm ; do đó phương trình cho có nghiệm duy nhất và f (1) = 2 ⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình .  3 x + 7 − 3 x − 1 = 2 Trường hợp 2 :   x < 1 Đặt u = 3 x + 7, v = 3 x − 1 x < 1  3  u = 0    x + 7 = 0   3 3 u − v = 2  x + 7 − x − 1 = 2   v = −2 ⇔    3 x − 1 = −2 ⇔ x = −7 Hệ  ⇔ 3 ⇔   3  u = 2 u − v = 8  x < 1  3     x + 7 = 2   v = 0  3 x − 1 = 0    Vậy hệ cho có nghiệm x = −7; x = 1 .. (. Tìm các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: x x + x + 12 = m 5 − x + 4 − x. (. Phương trình cho ⇔ x x + x + 12. (. )(. ). 5− x − 4− x = m. )(. ). X ét f ( x ) = x x + x + 12 5 − x − 4 − x ; D ∈ [0,4] 1442443 1442443 g( x). (. h( x ). ). g ( x ) = x x + x + 12 : đồng biến trong D Lop12.net. ).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt h '( x) =. −1 1 + >0 2 5− x 2 4− x. ∀x ( 0; 4 ) ⇒ f ( x ) = g ( x ) h ( x ) : đồng biến mọi x ∈ D ⇒ phương. (. ). trình có nghiệm khi và chỉ khi f (0 ) ≤ f ( x ) ≤ f (4 ) ⇔ 2 3 5 − 4 ≤ m ≤ 12 .. Bài tập : Bài tập 1: Xác định m để phương trình : x 2 − 6 x + m +. (. )(. ). t = x − 5 1 − x ; 0 ≤ t ≤ 4  Hướng dẫn :  2 m = t − t + 5. (x − 5)(1 − x ) = 0. ⇒. có nghiệm.. 19 ≤ m ≤ 17 4. Bài tập 2: Tìm m để phương trình : sin x + 2 − sin 2 x + sin x 2 − sin 2 x = m có nghiệm. 2 − z2 − z t = sin x + 2 − sin 2 x ⇒ t ∈ [0;2] Hướng dẫn :  ⇒ t' =  z = sin x ; | z |≤ 1 2 − z2 2m = t 2 + 2t − 2 = f (t ) t2 − 2 ⇒ sin x 2 − sin 2 x = ⇒ ⇒ −1 ≤ m ≤ 3 2 t ∈ [0;2] 2 − sin x + sin 2 x + 1 + sin x + cos 2 x = m 1. Giải phương trình khi m = 2 2  π π 2. Định m để phương trình cho có nghiệm x ∈ − ;   2 2 Hướng dẫn :   9 t = 2 + sin x − sin 2 x t ∈ 0;  9 ⇒2≤m≤2 2 ⇒ t ' = 1 − 2 z ⇒ t ∈ 0;  ⇒   4    4  z = sin x ; | z |≤ 1  f (t ) = 4 − 1 + t = m . Bài tập 3 : Cho phương trình :. Bài tập 4: Xác định theo m số nghiệm phương trình :. x 4 + 4 x + m + 4 x 4 + 4m + m = 6. Hướng dẫn : t = 4 x 4 + 4 x + m ; f ( x) = − x 4 − 4 x + 16 = m m > 19 : vô nghiệm ; m = 19 : 1 nghiệm ; m < 19 : 2 nghiệm Tìm m để bất phương trình : Đặt t =. (1 + 2 x )( 3 − x ) ; x ∈  −. t'=0⇔ x =.  1  thỏa mãn ∀x ∈  − ;3 .  2  5 − 4x  1  có t ' = , x ∈  − ;3   2  2 (1 + 2 x )( 3 − x ). (1 + 2 x )( 3 − x ) > m + ( 2 x 2 − 5 x + 3) 1  ;3  2 . 5 4. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt x. −1. . 5 2. t’. 3. 4. +. 0. –  1   7 : x ∈  − ;3 ⇒ t ∈ 0;   2   2. 7. t. 2. 0. 0.  1   7 Để bất phương trình cho đúng x ∈  − ;3 thì : t + t 2 > m + 6 đúng t ∈ 0;  .  2   2 1 Đặt f (t ) = t 2 + t ⇒ f '(t ) = 2t + 1 ⇒ f '(t ) = 0 ⇔ t = − 2 7 t −∞ −1 0 2. 2. f’(t). +. f(t) 0  7 ⇒ m + 6 < min f (t ) = f (0) = 0 t ∈ 0;  ⇒ m < −6  2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>