Chuyên đề 1: Thể tích khối chóp

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (285.21 KB, 16 trang )

(1)Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH. CHUYÊN ĐỀ 1.. THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP. ● Các bài toán thuộc chủ ñề này có trong các ñề thi tuyển sinh ðại học, Cao ñẳng ở câu số 4. Hai nội dung chính ñược hỏi ñến là: - Tính thể tích của một khối ña diện cho trước - Sử dụng phương pháp thể tích ñể tìm khoảng cách giữa một ñiểm ñến một mặt phẳng hoặc khoảng cách giữa hai ñường thẳng chéo nhau. ● Các nội dung sau ñây tuy chưa ñược ñề cập ñến trong các ñề thi tuyển sinh ðại học, Cao ñẳng nhưng rất cơ bản và ñều nằm trong hạn chế kiến thức về môn Toán áp dụng cho các ñề thi tuyển sinh do Bộ giáo dục và đào tạo quy ựịnh. - Các bài toán về thể tích khối ña diện có kết hợp với việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. - Các bài toán về so sánh thể tích. ● Công thức Khối chóp:. 1 V = S .h 3. Với S: diện tích ñáy, h: chiều cao.. Ghi chú: Thông thường tính V khó ở chỗ xác dịnh ñường cao.. DAÏNG 1.. KHOÁI CHOÙP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY. Cho hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với ñáy ABC và SB hợp với ñáy một góc 60o . Tính thể tích hình chóp. Hướng dẫn: - Ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ AB là hình chiếu của SB trên S = 60o (ABC). Vậy góc SB, ( ABC )  = SAB a - ∆ABC vuông cân nên BA = BC = 2 2 1 a C - S∆ABC = BA.BC = a A 2 4 a 6 60o - ∆SAB ⇒ SA = AB.tan60o = 2 2 B 1 1 a a 6 a3 6 - Vậy V = .S∆ABC .SA = . . = 3 3 4 2 24. Ví dụ 1:. Cho hình chóp S.ABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp. A Hướng dẫn: ( ABC ) ⊥ ( SBC ) a_ - Ta có  ⇒ AC ⊥ (SBC )  ( ASC ) ⊥ ( SBC ). Ví dụ 2:. -. 1 1 a2 3 a3 3 Do ñó V = .S∆SBC .AC = . . .a = 3 3 4 12. B. C. / /. \ S. Lop12.net.

(2) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH. Cho hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác ñều cạnh a, biết SA vuông góc với ñáy (ABC) và (SBC) hợp với ñáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp. Hướng dẫn: - Gọi M là trung ñiểm của BC. Suy ra SM ⊥ BC . S Vì tam giác ABC ñều nên AM ⊥ BC . = 60o . Vậy góc ( SBC ) ; ( ABC )  = SMA. Ví dụ 3:. -. a 3 3a . 3= 2 2 2 3 1 1 a 3 3a a 3 Vậy V = .S∆ABC .SA = . . . = 3 3 4 2 8 ∆SAM ⇒ SA = AM tan 60o =. C. A 60 o a. M B. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình vuông có cạnh a, SA vuông góc ñáy (ABCD) và mặt bên (SCD)hợp với ñáy một góc 60o .Tính thể tích hình chóp SABCD. Hướng dẫn: - Vì ( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD, SD ⊥ CD, AD ⊥ CD Suy ra góc = 600 . ( SCD ) , ( ABCD )  = SDA   Ví dụ 4:. -. ∆SAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 3. -. 1 1 2 a3 3 Vậy V = .S□ ABCD .SA = .a .a 3 = . 3 3 3. Ví dụ 5*: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại C, AC = a, AB = 2a , SA vuông góc với ñáy. Góc giữa (SAB) và (SBC) bằng 60o . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC. 1) Chứng minh AK ⊥ HK . 2) Tính thể tích khối chóp S.ABC. Hướng dẫn: 1) Ta có AK ⊥ SC, AK ⊥ BC .. Suy ra AK ⊥ ( SBC ) ⇒ AK ⊥ HK.. 2) ∆ABC vuông nên BC = AB2 − AC2 = a 3 - ( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB AH ⊥ SB SB ⊥ AH +  ⇒ SB ⊥ HK SB ⊥ AK = 600 Suy ra ( SAB ) , ( SBC ) = AH, KH = AHK. +. -. 3.AH 2 1 1 1 1 1 ∆SAB có = + = + 2 2 2 2 2 AH SA AB SA 4a ∆AHK ⇒ AK = AH.sin600 =. Lop12.net. (1) (2).

(3) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH. 1 1 1 1 1 = + = + 2 (3) 2 2 2 2 AK SA AC SA a a 2 - Từ (1), (2) và (3) ta tính ñược SA = 2 1 1 1 1 1 a 2 a3 6 - Do ñó: V = .S∆ABC .SA = . AC.CB.SA = . a.a 3. . = 3 3 2 3 2 2 12 Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc ñáy. Góc giữa SC và ñáy bằng 600 và M là trung ñiểm của SB. 1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2) Tính thể tích của khối chóp M.BCD. Hướng dẫn: 2 1) S□ ABCD = ( 2a ) = 4a 2 ∆SAC có. -. (. ). ∆SAC ⇒ SA = AC.tan600 = 2a. 2 . 3 = 2a 6. 1 1 8a 3 6 Do ñó: V = .S□ ABCD .SA = .4a 2 .2a 6 = 3 3 3 2) Kẻ MH / /SA ⇒ MH ⊥ ( DBC ). -. -. 1 1 Ta có: MH = SA ; S∆BCD = .S□ ABCD 2 2 1 2a 3 6 Do ñớ: VM.BCD = .VS.ABCD = . 4 3. BAØI TAÄP Bài 1.. Bài 2. Bài 3.. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với ñáy (ABC) và SA = h , biết rằng tam giác ABC ñều và mặt (SBC) hợp với ñáy (ABC) một góc 30o . Tính thể tích khối h3 3 chóp S.ABC . ðS: S = h 2 3, V = 3 Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ ( ABC ) biết AC = AD = 4 cm, AB = 3cm, BC = 5cm.. Tính thể tích ABCD. ðS: S = 6cm 2 , h = 4cm, V = 8cm3 Cho khối chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc = 120o , biết SA ⊥ ( ABC ) và mặt (SBC) hợp với ñáy một góc 450 . Tính thể BAC. a2 a a3 ,h= ,V= 9 3 3 Cho hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác vuông cân tại ñỉnh B, AC = a 2 và SB = a 3 . ðường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích tích khối chóp SABC.. Bài 4.. a2 a3 3 , h = a 3, V = 2 6 Hình chóp S.ABC có #ABC vuông tại B, SA ⊥ ( ABC ) , ACB = 600 , BC = a, khối chóp S.ABC.. Bài 5.. ðS: S =. ðS: S =. SA = a 3, M là trung ñiểm SB. Tính thể tích M.ABC .. Lop12.net.

(4) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH. Bài 6.. a3 4 Cho khối chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình vuông biết SA ⊥ ( ABCD ) , SC = a ,. Bài 7.. và SC hợp với ñáy một góc 600 . Tính thể tích khối chóp. a2 a 3 a3 3 ðS: S = , h = ,V= 8 2 48 Cho khối chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình chữ nhật biết rằng SA ⊥ ( ABCD ) ,. ðS: VM.ABC =. Bài 8*.. SC hợp với ñáy một góc 450 và AB = 3a, BC = 4a . Tính thể tích khối chóp. ðS: S = 12a 2 , h = 5a, V = 20a 3 Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt (ABC). đáy (ABC) là tam giác cân tại ựỉnh A, ựộ dài ựường trung tuyến AM = a . Mặt bên = 300 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC (SBC) tạo với ñáy góc 450 và góc SBA. a3 2 3 Cho hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a , biết SA vuông góc với ñáy (ABC) và SC hợp với (SAB) một góc 30o . Tính thể tích a2 a3 2 hình chóp S.ABC. ðS: S = , SA = a 2, V = 2 6 Cho hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) vuông tại A và SB vuông góc với ñáy (ABC), biết SB = a , SC hợp với (SAB) một góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60o . a2 a3 3 Tính thể tích hình chóp S.ABC. ðS: S = ,V= 27 3 3 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác ñều cạnh a, cạnh bên SA vuông = 1200 , tính thể tích của khối chóp S.ABC góc với mặt phẳng ñáy. Biết góc BAC a2 3 a 2 a3 2 theo a. (TNPT 2009). ðS: S = ,h= ,V= 12 36 3 Cho khối chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 600 và SA ⊥ ( ABCD ) , biết rằng khoảng cách từ A ñến cạnh SC bằng a. Tính thể tích ðS: S = a 2 2, h = a, V =. Bài 9*.. Bài 10*.. Bài 11*.. Bài 12*.. a2 3 a 3 a3 2 ,h= ,V= 2 4 2 Cho khối chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông và hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với ñáy, góc của cạnh SC với mặt bên (SAB) là α. Cho SA = a. Tính. khối chóp S.ABCD.. Bài 13*. ðS: S =. a 3 .sin 2 α  a.sin α  thể tích của khối chóp S.ABCD. ðS: S =   , h = a, V = 3.cos2α  cos2α  Cho khối chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình thang vuông tại A và B biết AB = BC = a , AD = 2a, SA ⊥ ( ABCD ) , và (SCD) hợp với ñáy một góc 600 . Tính 2. Bài 14*.. thể thích khối chóp S.ABCD.. ðS: S =. Lop12.net. 3a 2 a3 6 , h = a 6, V = 2 2.

(5) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH. DAÏNG 2.. KHOÁI CHOÙP CÓ MỘT MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình vuông có cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác ñều nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy (ABCD), 1) Chứng minh rằng chân ñường cao khối chóp trùng với trung ñiểm cạnh AB. 2) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Hướng dẫn: S 1) Gọi H là trung ñiểm của AB. - ∆SAB ñều ⇒ SH ⊥ AB mà ( SAB) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Ví dụ 1:. Vậy H là chân ñường cao của khối chóp. a 3 2) Ta có ∆SAB ñều nên SH = 2 1 1 a 3 a3 3 . - Vậy V = .S□ ABCD .SH = .a 2 . = 3 3 2 6 -. D. A H. B. a. C. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác ñều, BCD là tam giác vuông cân tại D, ( ABC ) ⊥ ( BCD ) . Cạnh AD = a và hợp với (BCD) một góc 600 . Tính thể tích tứ diện ABCD Hướng dẫn: - Gọi H là trung ñiểm của BC. Ta có tam giác ABC A ñều nên AH ⊥ ( BCD ) , mà ( ABC ) ⊥ ( BCD ) suy ra. Ví dụ 2:. AH ⊥ ( BCD ). -. Ta có: AH ⊥ HD ⇒ AH = AD.sin 60o = a. và HD = AD.cos60o = a.. -. 3 2. a. 1 2. B. a ∆BCD ⇒ BC = 2HD = 2. = a 2 1 1 1 a a 3 a3. 3 Vậy V = .S∆BCD .AH = . .a. . . = 3 3 2 2 2 24. 60 o. H. D. C. Cho hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác vuông cân tại B, có BC = a . Mặt bên (SAC) vuông góc với ñáy, các mặt bên S còn lại ñều tạo với mặt ñáy một góc 600 . 1) Chứng minh rằng chân ñường cao khối chóp trùng với trung ñiểm cạnh AC. 2) Tính thể tích khối chóp S.ABC Hướng dẫn: 1) Kẻ SH ⊥ BC vì ( SAC ) ⊥ ( ABC ) nên SH ⊥ ( ABC ) . H - Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC suy ra A 45 C = SJH = 45o SI ⊥ AB, SJ ⊥ BC , theo giả thiết SIH. Ví dụ 3:. I. J. B. Lop12.net.

(6) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH. Ta có ∆SHI = ∆SHJ ⇒ HI = HJ nên BH là ñường phân giác của ∆ABC từ ñó suy ra H là trung ñiểm của AC. a 2) HI = HJ = SH = 2 1 1 1 a a3 - Vậy V = S∆ABC .SH = . a 2 . = . 3 3 2 2 12 -. BAØI TAÄP Bài 1.. Bài 2.. Bài 3.. Bài 4.. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC ñều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Cạnh bên SA hợp với ñáy góc 450 . 1) Chứng minh chân ñường cao của chóp là trung ñiểm của BC. a2 3 a a3 3 2) Tính thể tích khối chóp SABC. ðS: S = ,h= ,V= 4 2 24 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC), mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 450 . Tính thể tích của khối chóp SABC. a2 a a3 ðS: S = , h = , V = 2 2 12 Hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 , mặt bên (SBC) là tam giác cân tại S với SB = SC = 2a và vuông góc với mặt phẳng ñáy. a2 3 a3 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC. ðS: S = , h = a 3, V = 2 2 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, BC = 4a ,. (SAB) ⊥ ( ABCD ) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với ñáy (ABCD) một góc. a 3 8a 3 3 ,V= 3 9 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác SAD vuông cân tại S, nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích a 5 a3 5 hình chóp SABCD. ðS: S = a 2 , h = ,V= 4 12 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a AB = 2a , biết tam giác SAB ñều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính 3a 2 a3 3 thể tích khối chóp SABCD . ðS: S = , h = a 3, V = 2 2 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình vuông cạnh a. Biết SA = SB = 2a và hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với nhau. Tính thể tích khối chóp a 15 a 3 15 ðS: S = a 2 , h = S.ABCD. ,V= 2 6 o o Cho hình chóp S.ABC có BAC = 90 ; ABC = 30 ; SBC là tam giác ñều cạnh a và 300 . Tính thể tích hình chóp SABCD.. Bài 5.. Bài 6.. Bài 7.. Bài 8*.. ðS: S = 8a 2 , h =. (SAB ) ⊥ ( ABC ) . Tính thể tích khối chóp SABC.. 1 HD: VS.ABC = VC.SAB = .S∆SAB .CA 3. ðS: S∆SAB =. Lop12.net. a2 2 a a2 2 , CA = , V = 4 2 24.

(7) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH. Bài 9*.. Bài 10*.. Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác ñều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau biết AD = a . Tính thể tích tứ diện. a2 3 a a3 6 ,h= ,V= ðS: S = 6 36 2 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB ñều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 300 . Tính thể tích hình chóp SABCD.. DAÏNG 3.. KHỐI CHÓP ĐỀU. +) Các cạnh bên hợp với ñáy góc như nhau ⇒ hình chiếu của ñỉnh hình chóp trùng với tâm của ña giác ñáy (tâm ñường tròn ngoại tiếp ña giác) +) Các mặt bên hợp với ñáy góc như nhau ⇒ hình chiếu của ñỉnh hình chóp trùng với tâm ñường tròn nội tiếp ña giác. Ví dụ 1. Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC cạnh ñáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. 1) Chứng minh chân ñường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác ñều ABC. 2) Tính thể tích chóp ñều SABC. S Hướng dẫn: 1) Dựng SO ⊥ ( ABC ) . Ta có SA = SB = SC , suy ra Lưu ý:. 2a. OA = OB = OC . Vậy O là tâm của tam giác ñều ABC. 2) Ta có tam giác ABC ñều nên 2 2 a 3 a 3 - AO = .AH = . = 3 3 2 3. -. 11a 2 a 11 ∆SAO ⇒ SO = SA 2 − OA 2 = = 3 3. -. 1 1 a 2 3 a 11 a 3 11 Vậy V = .S∆ABC .SO = . . . = 3 3 4 12 3. C. A O. a. H B. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh có ñộ dài bằng a. 1) Chứng minh rằng S.ABCD là chóp tứ giác ñều. 2) Tính thể tích khối chóp SABCD. S Hướng dẫn: 1) Dựng SO ⊥ ( ABCD ) . Ta có SA = SB = SC = SD suy. Ví dụ 2.. ra OA = OB = OC = OD . Tứ giác ABCD là hình thoi có ñường tròn ngoại tiếp nên ABCD là hình vuông. 2) Ta có SA 2 + SB2 = AB2 + BC2 = AC 2 a 2 nên ∆ASC vuông tại S suy ra OS = 2 1 1 a 2 a3 2 - Vậy V = .S□ ABCD .SO = .a 2 . = 3 3 2 6. Ví dụ 3.. C. D O A. a. B. Cho khối tứ diện ñều ABCD cạnh bằng a, M là trung ñiểm DC. 1) Tính thể tích khối tứ diện ñều ABCD. 2) Tính khoảng cách từ M ñến mp(ABC). Suy ra thể tích hình chóp MABC. 3) Dùng tỉ số thể tích kiểm tra lại kết quả câu 2.. Lop12.net.

(8) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH. Hướng dẫn: 1) Gọi O là tâm của ∆ABC . Suy ra DO ⊥ ( ABC ). -. D M. a2 3 S∆ABC = 4 2 a 3 OC = CI = 3 3. A. a 6 - ∆DOC vuông nên DO = DC2 − OC 2 = 3 2 3 1 1 a 3 a 6 a 2 - Vậy V = .S∆ABC .DO = . . = 3 3 4 3 12 2) Kẻ MH // DO, khoảng cách từ M ñến mp(ABC) là MH 1 a 6 - MH = DO = 2 6 1 1 a 2 3 a 6 a3 2 . = . - Vậy V = .S∆ABC .MH = . 3 3 4 6 24 V V CD 1 3) Ta có: D.ABC = C.ABD = = VM.ABC VC.ABM CM 2. C O I. H a. B. BAØI TAÄP Bài 1.. Bài 2.. Bài 3.. Bài 4.. Bài 5.. Bài 6.. Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh bên bằng a và hợp với ñáy (ABC) một a23 3 a 3 3a 3 góc 600 . Tính thể tích hình chóp. ðS: S = ,h= ,V= 16 2 16 Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh bên a, góc ở ñáy của mặt bên là 450 . a2 3 a a3 Tính thể tích hình chóp SABC. ðS: S = ,h= ,V= . 2 6 3 Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh ñáy a và mặt bên hợp với ñáy một góc a2 3 a a3 3 ðS: S = 600 . Tính thể tích hình chóp SABC. ,h= ,V= 4 2 24 o Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy a và ASB = 60 . Tính thể tích hình a a3 2 chóp S.ABCD. ðS: S = a 2 , h = ,V= 6 2 Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có mặt bên hợp với ñáy một góc 450 và khoảng cách từ chân ñường cao của chóp ñến mặt bên bằng a. Tính thể tích hình chóp 8a 3 2 S.ABCD. ðS: S = 8a 2 , h = a 2, V = 3 Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Tính cạnh của hình chóp này. ( canh ) ⇒ AB = 3a . 9a 3 2 khi thể tích của nó bằng V = . ðS: V = 2 3 2 Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh bên a và mặt bên hợp với ñáy một góc a23 3 a a3 3 ðS: S = 450 . Tính thể tích hình chóp SABC. ,h= ,V= 5 45 5 3. Bài 7*.. Lop12.net.

(9) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH. Bài 8*.. Bài 9*.. Bài 10*.. Bài 11*.. Bài 12*.. Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có ñường cao bằng h và mặt bên có góc ở ñỉnh h2 3 3 h3 3 bằng 600 . Tính thể tích hình chóp. ðS: S = ⇒ V= 8 8 Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có ñường cao bằng h và hợp với mặt bên một góc h2 h3 3 0 ðS: S = 30 . Tính thể tích hình chóp. ,V= 3 3 Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có chiều cao bằng h, góc ở ñỉnh của mặt bên 2h 3 bằng 600 . Tính thể tích hình chóp. ðS: S = 2h 2 , V = 3 Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh bằng a, và SH là ñường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung ñiểm I của SH ñến mặt bên (SDC) bằng b. Tìm thể tích 2ab 2a 3 b hình chóp S.ABCD. ðS: S = a 2 , h = a > 4b ) , V = ( a 2 − 16b 2 3 a 2 − 16b 2 =α . Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có ñộ dài cạnh ñáy AB = a và góc SAB Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a và α .. ðS: S = a 2 , h =. a. cosα 2.sin. Bài 13*.. α. , V=. a 3 cosα 6sin. α. 2 2 Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD cạnh ñáy bằng a, góc giữa mặt phẳng (SAB) và (SBC) là α . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và α . a a3 ðS: S = a 2 , h = , V= α α 2.tan 6.tan 2 2. DAÏNG 4.. KHOÁI CHOÙP BAÁT KYØ. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung ñiểm của AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. (Chính thức…….khối A năm 2009) Hướng dẫn: - Gọi H là hình chiếu của I lên BC ( SBI ) ⊥ ( ABCD ) -  ⇒ SI ⊥ ( ABCD ) ( SCI ) ⊥ ( ABCD ) = 600 . - Suy ra góc ( SBC ) , ( ABCD )  = SHI - Ta tính ñược IC = a 2; IB = a 5 = BC.. Ví dụ 1.. -. SABCD = 3a 2 ; S∆IBC = SABCD − S∆ABI − S∆CDI =. ⇒ IH = -. 3a 2 2. 2S∆IBC 3a 3 15a = ⇒ SI = BC 5 5. 1 3 15a 3 VS.ABCD = .SABCD .SI = 3 15. Lop12.net.

(10) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH. Ví dụ 2.. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành và SABCD = 3 . Góc giữa. hai ñường chéo bằng 600 . Các cạnh bên nghiêng ñều trên ñáy một góc 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Hướng dẫn: - Hạ SO vuông góc với ñáy. Vì các cạnh bên tạo với ñáy góc bằng nhau nên O cách ñều 4 ñỉnh A, B, C, D. Suy ra tứ giác ABCD là hình chữ nhật. - ðặt AC = BD = x. Vì ShcnABCD = AC.BD.sin60o 1 2 3 3 2 x . = x = 3 ⇒ x = 2. 2 2 4 = SDO = 450 , do ñó ∆SOD SD, ( ABCD ) = SD,OD =. -. 1 BD = 1 . 2 1 3 . = . 3.1 = 3 3. vuông cân ⇒ SO = OD = -. Vậy VS.ABCD. Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với ñáy một góc 60o .Tính thể tích khối chóp S.ABC. Hướng dẫn: - Hạ SH ⊥ ( ABC ) , kẻ HE ⊥ AB, HF ⊥ BC, HJ ⊥ AC suy ra SE ⊥ AB, SF ⊥ BC, SJ ⊥ AC . = SFH = SJH = 600 - Ta có SEH Ví dụ 3.. -. ⇒ ∆SEH = ∆SFH = ∆SJH ⇒ HE = HF = HJ = r (r là bán kính ñường tròn ngọai tiếp ∆ABC ) Ta có S∆ABC = p ( p − a )( p − b )( p − c ). a+b+c = 9a 2 nên S∆ABC = a 2 . 9.4.3.2. với p =. -. Mặt khác S∆ABC = p.r ⇒ r =. S∆ABC 2 6.a = p 3. Tam giác vuông SHE suy ra SH = r.tan 600 = 2 2.a . 1 1 - Do ñó VS.ABC = .SABC .SH = .6 6a 2 .2 2a = 8 3a 3 . 3 3 Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thoi = 600 , SA = SC = a 5 , cạnh a, BAD 2 SB = SD . Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Hướng dẫn: - Gọi O = AC ∩ BD . Theo giả thiết ta có: -. Lop12.net.

(11) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH. SA = SC SO ⊥ AC ⇒  ⇒ SO ⊥ ( ABCD )  SO ⊥ BD SB = SD Suy ra SO là ñường cao của khối chóp. a 3 - Ta lại có tam giác ABD ñều ⇒ AO = 2 a 5 a mà SA = ⇒ SO = 2 2 1 1 1  a2 3  a a3 3 - Do ñó V = .SABCD .SO = . ( 2.SABD ) .SO = .  2. . = .  3 3 3  4  2 6 2. BAØI TAÄP Bài 1. HD:. Bài 2.. HD :. a 3 2 và mặt bên (SAB) hợp với ñáy một góc bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. Tam giác ABC vuông tại A nên tâm O là trung ñiểm BC. Vì SA = SB = SC nên S sẽ nằm trên ñường thẳng ñi qua tâm O và vuông góc với mặt phẳng (ABC). a a2 a3 Do ñó SO ⊥ ( ABC ) . Từ ñó ta tính ñược SO = , S∆ABC = , V= . 18 2 3 2 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang với ñáy lớn AB = 2, ACB Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác vuông tại A, BC = a, SA = SB = SC =. = 90 0 . ∆SAC và ∆SBD là các tam giác ñều có cạnh bằng 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Vì ∆SAC = ∆SBD nên AC = BD suy ra hình thang ABCD là hình thang cân, góc = 90 0 nên hình thang ABCD nội tiếp ñường tròn tâm O(trung ñiểm AB) ñường ACB. kính AB. Mặt khác ∆SAC = ∆SBD suy ra SA = SB = SC = SD do ñó S nằm trên ñường thẳng qua O và vuông góc với (ABCD) suy ra SO ⊥ ( ABCD ) . Từ ñó ta tính. 3 3 6 . ⇒ VS.ABCD = 4 4 = 60o , CSA = 90o . Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a; ASB = 60o , BSC Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Dùng ñịnh lý hàm số cosin ñể tính các cạnh của tam giác ABC, sau ñó kiểm tra ta thấy tam giác ABC vuông tại C. Hoặc dùng vectơ: CA.CB = CS + SA CS + SB = 0 ñược SO = 2, SABCD =. Bài 3. HD:. (. )(. ). suy ra tâm của tam giác ABC là trung ñiểm AB. Vì SA = SB = SC nên S nằm trên ñường thẳng ñi qua O và vuông góc với (ABC) suy ra SO ⊥ ( ABC ) . Từ ñó ta tính. Bài 4.. a a2 2 a3 2 ñược SO = , S∆ABC = . ⇒ VS.ABC = 2 2 12 Trong mặt phẳng ( P ) cho nửa ñường tròn ñường kính AB = 2R và ñiểm C thuộc nửa ñường tròn ñó sao cho AC = R . Trên ñường thẳng vuông góc với ( P ) tại A lấy ñiểm. HD:. S sao cho ( SAB ) , ( SBC )  = 60o . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC.   Chứng minh ∆AHK vuông và tính thể tích hình chóp S.ABC. R3 6 Xem ví dụ 5 của Dạng 1. ðS: V = . 12. Lop12.net.

(12) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH. Bài 5. HD:. = 1200 . Hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác cân, cạnh ñáy BC = a , góc BAC 0 Các cạnh bên nghiêng với ñáy một góc 60 . Tính thể tích hình chóp S.ABC. a a Xét tam giác cân ABC tại A, ta tính ñược AC = AB = , ñường cao AH = , 3 2 3 a2 abc abc a suy ra S∆ABC = . Mặt khác S∆ABC = (R là bán kính ñường ⇒ R= = 4R 4S 4 3 3 tròn ngoại tiếp tam giác ABC) . Vì các cạnh bên nghiêng với ñáy một góc như nhau nên S nằm trên ñường thẳng ñi qua tâm O của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC), tức là SO ⊥ ( ABC ) . Từ ñó ta tính ñược SO = R. tan 600 = a . Suy ra thể tích hình chóp VS.ABC =. Bài 6. HD:. Bài 7. HD: Bài 8.. HD:. a = SAC = 300 . Tính thể Hình chóp S.ABC có AB = AC = a, BC = , SA = a 3, SAB 2 tích hình chóp S.ABC. ∆SAB = ∆SAB ( c − g − c ) . Dùng ñịnh lý hàm số cosin ta tính ñược SB = SC = a . Suy. ra ∆SBC = ∆ABC ( c − c − c ) . Gọi I là trung ñiểm BC, suy ra SI và AI cùng vuông góc với AC. Trong tam giác SAI kẻ SH vuông góc với AI, ta chứng minh ñược SH chính a 2 15 3a là ñường cao của hình chóp. S∆ABC = p ( p − a )( p − b )( p − c ) = . , SH = 16 15 a3 Do ñó VS.ABC = . 16 Hình chóp S.ABC có SA = x, BC = y , các cạnh còn lại ñều bằng 1. Tính thể tích hình chóp S.ABC. Cách giải giống như bài 6. Hình tứ diện ABCD có BC = CD = DB, AB = AC = AD . Gọi H là chân ñường cao của tứ diện xuất phắt từ A, K là chân ñường vuông góc hạ từ H xuống AD. Cho AH = a, KH = b . Tính thể tích tứ diện ABCD thao a và b. Vì BC = CD = DB, AB = AC = AD nên ta chọn mặt ñáy là BCD, ñỉnh là A. Suy ra ñáy là tam giác ñều và tứ diện chính là hình chóp tam giác ñều A.BCD. Do ñó AH ⊥ ( BCD ) , với H là tâm của tam giác BCD. Dùng hệ thức lượng trong tam giác AHB tính ñược BH =. ñó ta tính ñược S∆BCD Bài 9.. HD:. a3 . 12 3. ab a 2 − b2. suy ra cạnh của tam giác ñều BCD là. ab 3 a 2 − b2. . Từ. a 2b2 3 3 3.a 3 b 2 . = 2 , AH = a ⇒ VABCD = a − b2 4 a 2 − b2. (. ). Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác cân AB = AC = a . Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = SB = a, SC = b . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và b. Ta thấy AB = AC = SA = a nên ta chọn mặt ñáy là (SBC) và ñỉnh là A. Suy ra A nằm trên ñường thẳng ñi qua tâm O của tam giác SBC và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Theo ñề bài ( SBC ) ⊥ ( ABC ) nên tâm O của tam giác SBC thuộc BC, suy ra ∆SBC vuông tại S và tâm O của tam giác là trung ñiểm BC. Từ ñó ta tính ñược S∆SBC. 1 3a 2 − b 2 ab. 3a 2 − b 2 . = ab, AO = ⇒ VS.ABC = VA.SBC = 2 2 12. Lop12.net.

(13) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH. Bài 10.. HD:. Bài 11*.. HD:. Bài 12.. HD:. Bài 13*.. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân ñỉnh A, AB = a 2 . Gọi I là trung ñiểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt ñáy (ABC) thỏa mãn IA = −2IH , góc giữa SC và mặt ñáy (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . Tam giác ABC vuông nên S∆ABC = a 2 và BC = 2a ⇒ IC = a ⇒ IA = a . Từ hệ thức a a 5 , tam giác IA = −2IH suy ra IH = . Tam giác vuông HIC tính ñược HC = 2 2 a 15 a 3 15 vuông SHC tính ñược SH = HC.tan 600 = . Do ñó VS.ABC = . 2 6 Cho hình chóp vuông S.ABC có SA = a, SB = b ,SC = c các cạnh ñó ñôi một vuông góc với nhau. Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối chóp O.SBC. abc Nếu ñề bài yêu cầu tính thể tích hình chóp S.ABC thì rất ñơn giản, VS.ABC = . 6 Nhưng ở ñây yêu cầu bài toán là tính thể tích hình chóp O.SBC , với O là hình chiếu, là chân ñường cao hạ từ ñỉnh S của hình chóp. Cách 1. Các mặt bên là những tam giác vuông nên ta tính ñược các cạnh của tam giác ABC, dùng công thức hêrông tính ñược diện tích tam giác ABC, từ ñó suy ra SO 3V = S.ABC . Trong hai tam giác vuông SOC và SOB ta tính ñược OB và OC, lại dùng S∆ABC hêrông ñể tính diện tích tam giác OBC, từ ñó tính ñược thể tích hình chóp O.SBC. Cách 2. ðây là một bài tập trong sách giáo khoa lớp 11, ta ñi chứng minh hình chiếu của S xuống mặt ñáy chính là trực tâm của tam giác ABC. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi. Hai ñường chéo AC = 2 3a , BD = 2a và cắt nhau tại O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt a 3 phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ ñiểm O ñến mặt phẳng (SAB) bằng . Tính 4 thể tích khối chóp S.ABCD. Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai ñường chéo SABCD = 2 3a 2 . Gọi M là trung ñiểm AB, trong tam giác SOM kẻ OH ⊥ SM , ta dể dàng chứng minh ñược OH chính là khoảng cách từ O ñến mặt phẳng (SAB). Trong tam giác vuông OAB ta tính ñược a 3 a a3 3 . Trong tam giác vuông SOH ta tính ñược SO = . Vậy VS.ABCD = . OM = 2 2 3 Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi. SA = a ; 0 < a < 3 các cạnh còn. (. ). lại ñều bằng 1. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo a. HD:. ∆SBD = ∆CBD ( c − c − c ) suy ra SO = CO . Trong tam giác SAC có SO =. 1 AC nên 2. tam giác SAC vuông tại S, từ ñó tính ñược AC = 1 + a 2 . Dùng công thức hêrông tính diện tích tam giác ACD rồi sau ñó nhân 2 ta ñược diện tích hình thoi 1 SABCD = 1 + a 2 . 3 − a 2 . Gọi H là hình chiếu của S xuống mặt phẳng ABCD, vì 4 SB = SD nên HB = HD , suy ra H ∈ CA . Trong tam giác vuông SAC có SH là ñường cao, áp dụng hệ thức lượng ta tính ñược SH =. Lop12.net. a 1+ a2. . Vậy V =. a 3 − a2 . 6.

(14) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH. Bài 14. HD:. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAD) là tam giác ñều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích của khối tứ diện CMNP. (Chính thức…….khối A năm 2007) Gọi H là trung ñiểm AD, dể dàng chứng minh ñược SH ⊥ ( ABCD ) , suy ra. SH ⊥ BP . Trong tam giác SHB, từ M kẻ MK / /SH , khi ñó MK ⊥ ( ABCD ) và. SH a 3 a2 a3 3 . S∆CNP = . = ⇒ VC.MNP = VM.CNP = 2 4 8 96 1 1 1 Cách 2. Dùng tỉ số thể tích: Ta có VS.AMC = VS.ABC = . VS.ABCD ⇒ VS.AMCD 2 2 2 3.VM.ABC 3 1 = VS.ABCD ⇒ VM.ABC = VS.ABCD . Suy ra d ( M, ( ABC ) ) = . Cách này khá S∆ABC 4 4 dài dòng, nhưng giúp cho việc rèn luyện về tỉ số thể tích. MK =. Bài 15.. Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , ñáy là tam giác cân tại A, ñộ dài trung tuyến AD bằng a, cạnh bên SB tạo với ñáy một góc α và tạo với mặt phẳng (SAD) một góc β . Tính thể tích khối chóp S.ABC.. HD:. , góc giữa SB và mặt phẳng Trước hết xác ñịnh góc giữa SB và ñáy là góc SBA . Gọi AB = x , suy ra BD = x 2 − a 2 . Tam giác vuông SBD có (SAD) là góc BSD SB =. x2 − a2 , SD = sin β. x2 − a2 . Tam giác vuông SBA có SA = tan β.  x2 − a2 giác vuông SAD có SD 2 = SA 2 + AD 2 ⇔   tan β . ra: x 2 − a 2 =. a.sin β cos β − sin α 2. 2. . Do ñó SA =. 2. 2.   x 2 − a 2 .sin α   =  + a 2 . Suy    sin β   . a.sin α cos β − sin α 2. x 2 − a 2 .sin α . Tam sin β. 2. , BC =. 2a.sin β cos 2 β − sin 2 α. 1 1 1 a 3 .sin α .sin β  . Vậy VS.ABC = .S∆ABC .SA = .  .AD.BC  .SA = . 3 3 2 3 ( cos 2 β − sin 2 α ) . Bài 16*.. = α . SBC là Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ABC vuông tại A, góc ABC tam giác ñều cạnh a và ( SAB ) ⊥ ( ABC ) .. 1) Tìm ñiều kiện α ñể tồn tại hình chóp S.ABC thỏa mãn các ñiều kiện nói trên. 2) Khi α = 450 . Tính thể tích khối chóp SABC. HD:. 1) Kẻ SH ⊥ AB , vì tam giác SBC ñều nên SB = SC , do ñó HB = HC . Mặt khác H ∈ AB . Suy ra H là giao ñiểm của AB và ñường trung trực của ñoạn BC. Vì. Lop12.net.

(15) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH. BH < BS ⇔ BH < a . Gọi O là trung ñiểm BC, xét tam giác vuông BOH ta có:. a a BO 1 = 2 > 2 = . Suy ra α < 600 . cosα = BH BH a 2 2) Khi α = 450 thì ∆ABC vuông cân tại A. Ta dễ dàng tính ñược VS.ABC =. a3 2 . 24. Bài 17**. Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa hai ñường thẳng AD và BC, α là góc 1 giữa hai ñường thẳng ñó. Chứng minh rằng: VA.BCD = .AD.BC.d.sinα . 6. HD:. Trong mặt phẳng (ABD) dựng hình bình hành ABED. Suy ra DE / /AB. ⇒ DE / / ( ABC ) . Do ñó: VA.BCD = VD.ABC = VE.ABC = VA.EBC . Gọi MN là ñường vuông góc chung của AD và BC, với M ∈ AD, N ∈ BC . Suy ra VA.EBC = VM.EBC . Vì MN ⊥ AD  MN ⊥ BE ⇒ ⇒ MN ⊥ ( EBC ) .  MN ⊥ BC  MN ⊥ BC. (. ). 1 1 1  Vậy VM.EBC = .S∆EBC .MN = .  .EB.BC.sin EB, BC  .MN 3 3 2 . (. ). 1 = .AD.BC.sin AD, BC .d ( AD, BC ) . 6 Bài 18*.. Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh ñối bằng nhau: AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. ( tứ diện gần ñều). HD1:. (. ). 1 Áp dụng công thức VA.DCB = .AB.CD.sin AB, CD .d ( AB, CD ) . 6 -. ∆ABC = ∆BAD ( c − c − c ) . Gọi M là trung ñiểm AB suy ra MC = MD (2 trung. tuyến tương ứng). Gọi N là trung ñiểm CD, suy ra MN ⊥ CD . Tương tự MN ⊥ AB . Vậy MN = d ( AB, CD ) . -. Xét tam giác ACD có AN là trung tuyến ⇒ AN 2 =. vuông AMN ta có ⇒ MN 2 = AN 2 − AM 2 ⇒ MN =. -. 2b 2 + 2c 2 − a 2 . Xét tam giác 4. b 2 + c2 − a 2 . 2. Gọi P là trung ñiểm của BC, H là trung ñiểm của AC , K là trung ñiểm của BD.. Tương tự ta tính ñược HK =. (. ). a 2 + c2 − b 2 = AB, . Ta có HPK CD . Áp dụng ñịnh 2. (. ). b2 − c2 . Từ ñó suy ra lý hàm số cosin trong tam giác HPK ta có cos HPK = a2. Lop12.net.

(16) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH. (. ). 2 2 2 2 2 2 = a +b −c . a +c −b sin HPK a2 1 2 VA.DCB = .AB.CD.sin AB, CD .d ( AB, CD ) = . a 2 + b 2 − c2 . b 2 + c 2 − a 2 . c2 + a 2 − b 2 6 12. (. HD2:. -. ). Dựng tam giác PQR sao cho B, C, D lần. lượt là trung ñiểm PQ, QR, RP. -. 1 S∆DCR = S∆BCQ = S∆PDB = S∆PQR 4. 1 ⇒ S∆BCD = S∆PQR 4 -. Xét tam giác APR ta có: AD = BC =. 1 PR 2. và D là trung ñiểm PR nên tam giác APR vuông tại A, suy ra AR ⊥ AP . Tương tự AR ⊥ AQ và AP ⊥ AQ . -.  1 1 1 1 1  1  Ta có VA.BCD = .VA.PQR = .VR.APQ = .   .AQ.AP  .AR  = .AQ.AP.AR . 4 4 4 3  2   24. -. Tương tự như HD1. Gọi M, N là trung ñiểm AB và CD, ta tính ñược. b 2 + c2 − a 2 , suy ra AR = 2MN = 2. b 2 + c2 − a 2 . MN = 2 -. AP = 2. c2 + a 2 − b 2 ; AQ = 2. a 2 + b 2 − c2 .. -. Vậy VA.DCB =. 2 . a 2 + b2 − c 2 . b2 + c2 − a 2 . c 2 + a 2 − b2 . 12. TRUNG TÂM LUYỆN THI CHẤT LƯỢNG CAO GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 - 0563.602.929 Thầy KHÁNH (GV TOÁN) 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN. Lop12.net.

(17)

Chuyên đề 1: Thể tích khối chóp

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về