Một số tính chất của nghiệm yếu của phương trình tập mức mặt cực tiểu

<span class='text_page_counter'>(1)</span>MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH TẬP MỨC MẶT CỰC TIỂU SOME PROPERTIES OF WEAK SOLUTIONS OF LEVEL SET MINIMAL SURFACE EQUATIONS. NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng. TÓM TẮT Trong [4], chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại của một loại nghiệm yếu cho phương trình tập mức mặt cực tiểu. Loại nghiệm này nhận được từ giới hạn của một dãy nghiệm cổ điển của phương trình xấp xỉ tương ứng. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số tính chất cơ bản của loại nghiệm yếu này. ABSTRACT In [4], we have proved that there exists a weak solution for level set minimal surface equations. This kind of solution has been obtained as a limit of a sequence of classical solutions of the correspondent approximate equations. In this paper, we will give some properties of the weak solutions.. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Xét phương trình tập mức mặt cực tiểu [4]  ux ux −  δ ij − i 2j  ∇u . Ω  u = 0  xi x j  , trong ,. (1). với điều kiện biên: u ( x) = u 0 ( x), với mọi x ∈ ∂Ω . (2) n Trong đó, Ω là một miền trong R với biên trơn ∂Ω . Trong [4], chúng tôi đã chứng minh được rằng, tồn tại một nghiệm yếu cho phương trình (1) với điều kiện biên (2). Nghiệm này biểu diễn mặt cực tiểu S dưới dạng một tập mức không Γ ∂Ω của nó với biên được cho trên bởi một hàm trơn u 0 . Trước khi nêu ra một vài tính chất của nghiệm yếu, chúng ta nhắc lại các định nghĩa về nghiệm yếu [4]. ĐỊNH NGHĨA NGHIỆM YẾU Ta ký hiệu: C (Ω) = { u : Ω → R | u liên tục trên Ω} . ∈ Định nghĩa: Một nghiệm yếu dưới của phương trình (1) là một hàm u C (Ω) sao cho: ∞ u −φ Với mỗi φ ∈ C (Ω), hàm đạt cực đại địa phương tại một điểm x0 ∈ Ω , thì. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>   φ x ( x0 )φ x j ( x0 )  φ ( x ) ≤ 0 −  δ ij − i 2  xi x j 0   ∇φ ( x 0 )   khi ∇φ (x 0 ) ≠ 0, và − (δ ij − η iη j )φ xi x j ( x0 ) ≤ 0  n η ∈ R , η ≤ 1, khi ∇φ (x 0 ) = 0. ∈ Định nghĩa: Một nghiệm yếu trên của phương trình (1) là một hàm u C (Ω) sao cho: ∞ u −φ Với mỗi φ ∈ C (Ω), hàm đạt cực tiểu địa phương tại một điểm x0 ∈ Ω , thì   φ x ( x0 )φ x j ( x0 )  φ ( x ) ≥ 0 −  δ ij − i 2   xi x j 0 ∇φ ( x 0 )     khi ∇φ (x 0 ) ≠ 0, và. − (δ ij − η iη j )φ xi x j ( x0 ) ≥ 0  n η ∈ R , η ≤ 1, khi ∇φ (x 0 ) = 0.. ∈ Định nghĩa: Một nghiệm yếu của phương trình (1) là một hàm u C (Ω) sao cho u vừa là nghiệm yếu dưới vừa là nghiệm yếu trên của phương trình (1). 2. GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN Định lý 1: (i) Giả sử u k là một nghiệm yếu dưới của phương trình (1) với k=1,2,… và u k → u đều trên Ω . Khi đó u là một nghiệm yếu dưới của phương trình (1). (ii) Khẳng định trên vẫn đúng cho nghiệm yếu trên và nghiệm yếu. ∞ u −φ Chứng minh: Cho φ ∈ C (Ω) và đạt cực đại ngặt địa phương tại một điểm x0 ∈ Ω . Vì ∞ uk → u x đều gần 0 , nên tồn tại một dãy các điểm {x k }k =1 ⊂ Ω thỏa mãn:. x k → x0. khi. k → ∞ uk − φ x ; đạt cực đại địa phương tại điểm k và u k ( x k ) → u 0 ( x0 ). (3). Vì mỗi u k là một nghiệm yếu dưới của (1), nên theo định nghĩa nghiệm yếu dưới, ta có hoặc   φ x ( xk )φ x j ( xk )  φ ( x ) ≤ 0 −  δ ij − i 2  xi x j k   ∇φ ( x k )   khi ∇φ (x k ) ≠ 0, hoặc. Lop12.net. (4).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> − (δ ij − ηiη j )φ xi x j ( xk ) ≤ 0  n η ∈ R , η ≤ 1, khi ∇φ (x k ) = 0.. (5). Tiếp theo ta giả sử ∇φ ( x0 ) ≠ 0 . Khi đó ∇φ ( xk ) ≠ 0 với k đủ lớn và như vậy ta có thể lấy giới hạn của (4) khi k → ∞ và đưa đến  φ x ( x0 )φ xi ( x0 )  −  δ ij − i φ ( x ) ≤ 0. 2   xi x j 0 ∇φ ( x 0 )   Bây giờ, ta giả sử ∇φ ( x0 ) = 0 . Đặt  ∇φ ( x k )  ξ :=  ∇φ ( xk )  ηk  k. Lấy giới hạn khi η ≤ 1.. k →∞. khi ∇φ ( xk ) ≠ 0 khi ∇φ ( xk ) = 0.. k , qua một dãy con nếu cần thiết ta có thể giả thiết ξ → η và khi đó. Vì vậy, ta thu được. (. ). − δ ij − ηi η j φ xi x j ( x0 ) ≤ 0. u −φ Giả thiết đạt cực đại địa phương ngặt tại một điểm x0 ∈ Ω có thể được bỏ đi bằng một phép xấp xỉ. Do đó u là một nghiệm yếu dưới của phương trình (1). Một thủ tục tương tự được thực hiện để kiểm chứng u là một nghiệm yếu trên và một nghiệm yếu dưới của phương trình (1). Định lý 2: Giả sử ϑ : R → R là một hàm liên tục. Khi đó, nếu u là một nghiệm yếu của phương trình (1) thì uˆ := ϑ (u ) là một nghiệm yếu của phương trình (1). Chứng minh: Trước hết ta giả sử ϑ là một hàm trơn với ϑ' > 0. trên R.. (6). ∞ û − φ Cho φ ∈ C (Ω) và giả sử đạt cực đại địa phương tại một điểm x0 ∈ Ω . Cộng thêm một hằng số nếu cần thiết, ta có thể giả sử.  uˆ ( x0 ) = φ ( x0 )   uˆ ( x) ≤ φ ( x) với mọi x gần x0 . −1 ˆ Theo (6), hàm σ := ϑ được xác định và là hàm trơn gần u ( x0 ) , với σ '> 0. Từ (7), ta đưa đến. Lop12.net. (7).

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  u ( x0 ) = ψ ( x0 )   u ( x) ≤ ψ ( x). (8). với mọi x gần x0 và. ψ := σ (φ ). Vì u là một nghiệm yếu dưới của (1), ta kết luận:   ψ x ( x0 )ψ x j ( x0 )   ψ (x ) ≤ 0 −  δ ij − i 2   xi x j 0 ∇ψ ( x 0 )     khi ∇ψ (x 0 ) ≠ 0, hoặc. (9). − (δ ij − ηiη j )ψ xi x j ( x0 ) ≤ 0  n η ∈ R , η ≤ 1, khi ∇ψ (x 0 ) = 0.. (10). ∇ψ = σ ' (φ )∇φ. tại điểm x0 , do đó ∇φ ( x0 ) = 0 nếu và chỉ nếu ∇ψ ( x0 ) = 0 . Hệ quả là (9) cho ta nếu ∇φ ( x0 ) ≠ 0 , thì Mặt khác,.  (σ ' (φ )) 2 φ xi φ x j  − δ ij − 2  (σ ' (φ )) 2 ∇φ . x0   (σ ' (φ )φ + σ ' ' (φ )φ φ ) ≤ 0 xi x j xi x j   tại điểm .. Vì σ '> 0 , nên ta nhận được sau khi rút gọn:  φ x ( x0 )φ xi ( x0 )  −  δ ij − i φ ( x ) ≤ 0. 2   xi x j 0 ∇ φ ( x ) 0   Tiếp theo ta giả sử. ∇φ ( x0 ) = 0. . Khi đó (10) đúng với. η ∈ Rn ,. − (δ ij − ηiη j )(σ ' (φ )φ xi x j + σ ' ' (φ )φ xi φ x j ) ≤ 0. η ≤1. (11) . Khi đó, ta tính được. tại điểm. x0. .. σ '' Vì ∇φ ( x0 ) = 0 , nên số hạng đi với bằng không. Do đó, ta thu được. (. ). − δ ij − η i η j φ xi x j ( x0 ) ≤ 0.. (12). Tương tự, ta thu được các bất đẳng thức ngược lại của (11) và (12) trong trường hợp û − φ đạt cực tiểu địa phương tại một điểm x0 ∈ Ω . Bây giờ, thay vì (6) ta giả sử. ϑ '< 0. trên R.. Khi đó, σ ' < 0 trên R. Hoàn toàn tương tự như trên, ta thu được (11) và (12). Như vậy, ta đã chứng minh được rằng uˆ := ϑ (u ) là một nghiệm yếu của (1) khi ϑ là một hàm trơn và ϑ '≠ 0 .. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Dùng phương pháp xấp xỉ và sử dụng Định lý 1, ta thu được kết quả trên nếu ϑ '≥ 0 hoặc ϑ ' ≤ 0 trên R . Tiếp theo ta giả sử ϑ trơn và tồn tại một số hữu hạn các điểm − ∞ = a0 < a1 < a2 < ... < am < am+1 = +∞ sao cho và. ϑ ϑ. đơn điệu trên các khoảng. là hằng số trên các khoảng. (a j , a j +1 ) ( j = 0,..., m). (13) (14). (a j − γ , a j + γ ) ( j = 0,..., m). (15) γ > 0 với một nào đó. û − φ Giả sử đạt cực đại địa phương tại một điểm x0 ∈ Ω . Khi đó j ∈ { 0,..., m } γ γ  u ( x0 ) ∈  a j − , a j +1 +  2 2  với một . ϑ (a j − γ , a j +1 + γ ) Vì đơn điệu trên khoảng và u liên tục, nên ta có thể áp dụng các bước trên trong một lân cận của điểm x0 để thu được (11) hoặc (12). Bất đẳng thức ngược lại được chứng minh tương tự khi û − φ đạt cực tiểu địa phương.. { } chỉ là hàm liên tục. Khi đó ta xây dựng một dãy các hàm trơn ϑk k =1 n mà mỗi hàm của dãy thỏa mãn giả thiết (13)-(15) và ϑk → ϑ đều địa phương trên R . Do đó Cuối cùng, ta giả sử. ϑ. ∞. uˆ k := ϑk (u ) → uˆ = ϑ (u ) . Khi đó Định lý 1 khẳng định û là một nghiệm yếu của phương trình (1). 3. KẾT LUẬN Kết quả của bài báo đã đưa ra một số tính chất cơ bản của nghiệm yếu cho phương trình tập mức mặt cực tiểu. Công cụ chính trong quá trình tiếp cận là phương pháp xấp xỉ, quá trình này cũng đã được sử dụng để thu được một nghiệm yếu cho phương trình như trong [4]. Trong khuôn khổ của bài báo, chúng tôi đưa ra hai tính chất quan trọng của nghiệm yếu, nhằm từng bước đi đến kết luận về tính duy nhất nghiệm của bài toán biên.. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5]. L. C. Evans, and J. Spruck, Motion of level set by mean curvature I, J. Diff. Geom., 33(1991), 635-681. D. Gilbarg, and N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1983. R. Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial differential equations, Arch. Rat. Mech. Anal., 101(1988), 1-27. Nguyễn Chánh Định, Sự tồn tại một nghiệm yếu của phương trình tập mức mặt cực tiểu, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, số 15+16/2006. Ch. -D. Nguyen, and R. H. W. Hoppe, Amorphous surface growth via a level set approach, J. Nonlinear Analysis & Applications (accepted). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>