Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2009 môn thi : Toán, khối B, D

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bám sát cấu trúc Bộ Giáo Dục và Đào tạo ĐỀ THAM KHẢO. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009 Môn thi : TOÁN, khối B,D. Ngày thi : 02.03.2009 Thi thử miễn phí thứ 2;5;CN (sau 12h30) hàng tuần. ĐỀ 03 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) 2x + 3 Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : y = C x −2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. ( ). ( ). ( ). 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng 2x − y + m = 0 cắt C tại 2 điểm phân biệt mà 2 tiếp. ( ). tuyến của C tại đó song song với nhau. Câu II: ( 2 điểm ). ) (. )(. (. ). 2 2 1. Giải phương trình : 2x + 1 2 + 4x + 4x + 4 + 3x 2 + 9x + 3 = 0.   π π 2. Giải phương trình : sin  3x −  = sin 2x .sin  x +  4 4   π 2. Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân I =. ∫ 0. sin x. (sin x +. 3 cos x. ). 3. dx. Câu IV: ( 1 điểm ) Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có cạnh bên bằng a ,góc ở đáy của mặt bên là α . 2 Chứng minh : V = a 3 cos2 α sin α + 300 sin α − 300 . 3 1 Câu V: ( 1 điểm ) Chứng minh rằng phương trình ln ( x + 1) − ln ( x + 2 ) + = 0 không có nghiệm thực. x +2 II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ). 1. Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a ( 2 điểm ) Trong không gian cho hai tứ diện ABCD, A ' B 'C ' D ' , trong đó A 5; 3;1 , B 4; −1; 3 ,C −6;2; 4 , D 2;1; 7. (. ) (. ). (. (. ). (. ). (. ) (. ) (. ) (. ). ). A ' 6; 3; −1 , B ' 0;2; −5 ,C ' 3; 4;1 . 1. Tìm tọa độ điểm D ' sao cho hai tứ diện ABCD, A ' B 'C ' D ' có cùng trọng tâm.





















 2. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho 3MA − 2MB + MC + MD = MA − MB .. Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho x, y là hai số không âm và thỏa mãn x + y = 1 .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : A = 32x + 3y 2. Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b ( 2 điểm ) x −1 y z −2 = = 2 1 2 1. Viết phương trình mặt phẳng Q chứa d sao cho khoảng cách từ A đến Q lớn nhất.. (. ). (). Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho A 2;5; 3 và đường thẳng d :. ( ) () ( ) 2. Viết phương trình mặt cầu (C ) có tâm nằm trên đường thẳng (d ) đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng (α ) : 3x + 4y + 3 = 0, ( β ) : 2x + 2y − z + 39 = 0 . Câu VII.b ( 1 điểm ) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : f ( x ) = 2 x + 4 −x 2. GV ra đề : Nguyễn Phú Khánh Đà Lạt . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Đáp án đăng tải tại và một số trang web toán sau 15h cùng ngày . I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) 2x + 3 Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : y = C x −2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số. Học sinh tự làm .. ( ). ( ). ( ). 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng 2x − y + m = 0 cắt C tại 2 điểm phân biệt mà 2 tiếp. ( ). tuyến của C tại đó song song với nhau.. (). ( ). (. ) (. ( ). ). Giả sử d cắt C tại A x 1 ; y1 , B x 2 ; y2 , tiếp tuyến tại A, B lần lượt có hệ số góc là : y ' x 1 =. ( ). y ' x2 =. −7. (x. 2. −7. (x. 1. −2. ). 2. ,. .. ) Đường thẳng (d ) : y = 2x + m cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt mà 2 tiếp tuyến của (C ) tại đó song song với nhau 2. −2. khi và chỉ khi phương trình :. 2x + 3 = 2x + m x −2. (1) có hai nghiệm phân biệt x , x 1. (). Hay phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 khác 2 thỏa mãn. −7. (. x1 − 2. 2. ). =. ( ). −7. (. x2 − 2. 2. ). ⇔ x1 + x 2 = 4.  2 ∆ = m − 6 + 8 2m + 3 > 0  ⇔ 2.22 + m + 6 .2 − 2m − 3 ≠ 0 ⇔ m = −2 6 − m  =4  2. (. ). (. (. ). (. )(. ). Câu II: ( 2 điểm ). ) (. . 2. (1) ⇔ (2x + 1)  2 + (2x + 1) . (). (. ). 4x 2 + 4x + 4 + 3x 2 + 9x 2 + 3 = 0. 1. Giải phương trình : 2x + 1 2 +.   + 3  = −3x  2 +  . (. ). 2. ( −3x ). (1 ).  + 3  ⇔ f 2x + 1 = f −3x . (. ). (. ). Xét hàm số f t = t 2 + t 2 + 3 liên tục trên R. (). Ta có : f ' t = 2 + t 2 + 3 + t .. (). t t2 + 3. Khi đó 2 ⇔ 2x + 1 = −3x ⇔ x = −. (). > 0, ∀t ∈ R ⇒ f t liên tục và đồng biến trên R. 1 . 5.   π π 2. Giải phương trình : sin  3x −  = sin 2x .sin  x +  4 4     π π 3x − = 3t − π ⇒ sin  3x −  = sin(3t − π ) = − sin 3t π 4 4   Đặt : t = x + ⇒  4 2x = 2t − π ⇒ sin 2x = sin  2t − π  = − sin 2t  2 2  Lop12.net. ( ). thỏa mãn y ' x 1 = y ' x 2. 2. ) (2 ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Phương trình cho viết lại : sin 3t = sin 2t. sin t ⇔ 3 sin t − 4 sin 3 t = 2 cos t.sin2 t . Bài toán đến đây khá dễ dàng . Lưu ý trước khi giải bài toán này , ta cần chứng minh sin 3t = 3 sin t − 4 sin 3 t .. (. ). Cách khác : Ta có thể dùng trực tiếp khai triển công thức sin a ± b = sin a. sin b ± cos a. cos b π 2. Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân I =. ∫ 0. sin x. (sin x +. 3 cos x. ). 3. dx. Cách 1 : π. π. 2. I =. ∫ 0. 2. sin x. ( sin x +. 3 cos x ). 3 dx = − ∫ 0. π   d cos  x −   6   cos x − π      6   1. (. ). 3. Cách 2: π 2. I =. ∫ 0. π  π  sin  −  − x   2 sin x  6  6 dx = dx ∫0 3 3 sin x + 3 cos x sin x + 3 cos x π. (. ). ). (. Cách 3: π 2. I =. ∫ 0. π 2. sin x. ( sin x +. 3 cos x ). 3 dx , J =. 0. π   1 π2  I + 3 J = t a n x −    4 6 0      1 − 3J + I = −  2 sin x + 3 cos x  Cách 4 :. (. π 2. ∫. π 2. cos x. ( sin x +. 3 cos x ). dx. ⇒I =?. 2. ). 0. π. π. 2. sin x. 3. 2. π. 1 I =∫ dx = ∫ . dx = 3 dx = ∫ 3 3 2 3 cos x sin x + 3 cos x cos x t a n x + 3 t a n x + 3 0 ( 0 0 ( ) ( ) ). Cách 5: Đặt : t = t a n Cách 6 : Đặt : t = x −. sin x. ta n x. 2. ∫ 0. ta n x. ( ta n x + 3 ). 3. .d ( t a n x ). x 2. π. 6 Câu IV: ( 1 điểm ) Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có cạnh bên bằng a ,góc ở đáy của mặt bên là α . 2 Chứng minh : V = a 3 cos2 α sin α + 300 sin α − 300 . 3. (. ) (. ). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Gọi SH , SI lần lượt là đường cao, trong đoạn của hình chóp .
= α; SB = a . Theo giả thiết , ta có SBC 1 1 BC 2 3 3 V = S ABC .SH = SH = BC 2 .SH 3 3 4 12 ∆SBI vuông, BI = SB.cos α = a. cos α → BC = 2BI = 2.a.cos α ∆SBH vuông, BH =. 2 BC 3 2a 3 . = cos α 3 2 3. SH 2 = SB 2 − BH 2 =. a2 3 − 4 cos2 α 3 − 4 cos2 α → SH = a 3 3. (. ). 1 3 a cos2 α 3 − 4 cos2 α 3 1  1 + cos 2α 3 − 4 cos2 α = 3 − 4 = 2  − cos 2α  = 2 cos 600 − cos 2α 2 2 . V =. (. V =. 2 3 a cos2 α sin α + 300 sin α − 300 3. (. ) (. Câu V: ( 1 điểm ) Chứng minh rằng phương trình ln ( x + 1) − ln ( x + 2 ) +. ). ). 1 = 0 không có nghiệm thực. x +2. 1 , xác định và liên tục trên khoảng ( −1; +∞ ) . x +2 1 1 1 1 1 Ta có f ' ( x ) = − − − > 0, ∀x > −1 ⇒ f ( x ) liên tục và đồng biến 2 = x + 1 x + 2 (x + 2 ) ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 2 )2 trên khoảng ( −1; +∞ ) và lim+ f ( x ) = −∞ lim f ( x ) = 0 , suy ra f ( x ) < 0, ∀x > −1 . Vậy phương trình cho. Xét hàm số : f ( x ) = ln ( x + 1) − ln ( x + 2 ) +. x →1. x →+∞. không có nghiệm thực. II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ). 1. Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a ( 2 điểm ) Trong không gian cho hai tứ diện ABCD, A ' B 'C ' D ' , trong đó A 5; 3;1 , B 4; −1; 3 ,C −6;2; 4 , D 2;1; 7. (. (. ). (. ). (. ) (. ) (. ) (. ). ). A ' 6; 3; −1 , B ' 0;2; −5 ,C ' 3; 4;1 .. 1. Tìm tọa độ điểm D ' sao cho hai tứ diện ABCD, A ' B 'C ' D ' có cùng trọng tâm.. (. ). Giả sử D ' x '; y '; z ' là tọa độ cần tìm và G ,G ' lần lượt là trọng tâm của tứ diện ABCD, A ' B 'C ' D '  5 5 15  G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên có tọa độ G  ; ;  . Theo bài toán hai tứ diện ABCD, A ' B 'C ' D ' 4 4 4   5 5 15  có cùng trọng tâm, nên G '  ; ;  4 4 4  G ' là trọng tâm của tứ diện A ' B ' C ' D ' , nên ta luôn có :  x A ' + x B ' + xC ' + x D ' xG ' = 4 x = −4  y + y + y + y  D'  A' B' C' D' y = ⇔  G' yD ' = −4 ⇒ D ' −4 '− 4;20 4  z = 20  D' z = z A ' + z B ' + zC ' + z D '  G' 4 . (. ). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>





















 2. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho 3MA − 2MB + MC + MD = MA − MB .








  Giả sử tồn tại điểm I x 0 ; y 0 ; z 0 thỏa mãn hệ thức 3IA − 2IB + IC + ID = 0 .

 IA = x − 2; y − 4; z + 1 0 0 0 










 IB = x 0 − 1; y 0 − 4; z 0 + 1 Ta có : 


 ⇒ 3IA − 2IB + IC + ID = 3x 0 − 8; 3y 0 − 10; 3z 0 − 1 = x 0 − 2; y 0 − 4; z 0 − 3 IC

  ID = x 0 − 2; y 0 − 2; z 0 + 1 3x − 8 = 0








   0  8 10 1  Tọa độ điểm I x 0 ; y 0 ; z 0 thỏa mãn hệ thức 3IA − 2IB + IC + ID = 0 ⇔ 3y 0 − 10 = 0 ⇔ I  ; ;  . 3 3 3 3z − 1 = 0  0







































 3MA − 2MB + MC + MD = 3MI + 3IA − 2IB + IC + ID = 3MI , ∀I . MA − MB = AB .. (. ). ( ( ( (. ) ) ) ). (. (. ). ). ). (.



























 1 3MA − 2MB + MC + MD = MA − MB ⇔ 3MI = AB ⇔ MI = AB . 3  8 10 1  1 1 Vậy quỹ tích điểm M là mặt cầu tâm I  ; ;  , bán kính R = AB = và có phương trình mặt cầu : 3 3 3 3 3 2. 2. 2.  8  10   1 1  x −  + y −  +  z −  = . 3  3   3 9  Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho x, y là hai số không âm và thỏa mãn x + y = 1 .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : A = 32x + 3y 2. Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b ( 2 điểm ) x −1 y z −2 = = 2 1 2 1. Viết phương trình mặt phẳng Q chứa d sao cho khoảng cách từ A đến Q lớn nhất.. (. (). ). Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho A 2;5; 3 và đường thẳng d :. ( ). ( ). (). ( ). Giả sử mặt phẳng Q có phương trình dạng : ax + by + cz + d = 0, a 2 + b 2 + c 2 > 0 . 
  d có vectơ chỉ phương là u = 2;1;2 và qua điểm N 1; 0;2 , Q có vectơ pháp tuyến là n = a;b; c ≠ 0 .
  d = a + b n ⊥ u 2a + b + 2c = 0  Mặt phẳng Q chứa d khi  ⇔ ⇔ 1 . 2a + b a + 2c + d = 0 N ∈ Q c = −   2  2a + b  2a + 5b + 3  −  + a +b 2a + 5b + 3c + d 2   Khoảng cách từ A đến Q : d A/ Q = do 1 = ( ( )) 2 a 2 + b2 + c2  2a + b  a 2 + b2 +  −  2   Thu gọn rồi chia hai trường hợp : • b = 0 , trường hợp này không thỏa đề bài . • b ≠ 0 , chia cả tử và mẫu cho b . Khoảng cách từ A đến Q lớn nhất khi a = 1, b = −4 ⇒ c = 1, d = −3 .. (). (. ( ). (). ). (. ) ( ). (. (). ( ). (. ( ). ( ). ( ). Mặt phẳng Q : x − 4y + z − 3 = 0 . Cách khác ( hay ) Lop12.net. ). (). ).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> M ∈ d Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d , khi đó 



  ⇔ ... ⇔ M 3;1; 4 . AM ⊥ u. (). (). (. ). (). ( ) ( ) Mặt phẳng (Q ) chứa (d ) sao cho khoảng cách từ A đến (Q ) lớn nhất chính là mặt phẳng chứa (d ) đồng thời ( ). Giả sử P là mặt phẳng tùy ý chứa d , khi đó M ∈ P .Kẻ AH ⊥ P , khi đó AH ≤ AM .. vuông góc với AM . qua M 3;1; 4




 Vậy Q :  ⇔ Q : x − 4y + z − 3 = 0 . vtpt n / / AM = 1; − 4;1 . ( ). (. ). (. ). ( ). (). ( ). 2. Viết phương trình mặt cầu C có tâm nằm trên đường thẳng d đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng. (α ) : 3x + 4y + 3 = 0, ( β ) : 2x + 2y − z + 39 = 0 . Câu VII.b ( 1 điểm ). ( ). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : f x = 2x +. 4 −x 2. GV ra đề : Nguyễn Phú Khánh –Đà Lạt .. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>