Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân (phần 2)

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Nguyeân haøm – Tích phaân. CHÖÔNG III NGUYÊN HAØM, TÍCH PHÂN VAØ ỨNG DỤNG. II. TÍCH PHAÂN 1. Khaùi nieäm tích phaân  Cho haøm soá f lieân tuïc treân K vaø a, b  K. Neáu F laø moät nguyeân haøm cuûa f treân K thì: F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là. b.  f ( x )dx .. a b.  f ( x )dx  F (b)  F (a). a.  Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: b. b. b. a. a. a.  f ( x )dx   f (t)dt   f (u)du  ...  F (b)  F (a).  Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường b. S   f ( x )dx. thaúng x = a, x = b laø:. a. 2. Tính chaát cuûa tích phaân . 0. . f ( x )dx  0. . 0. . b. . a. a. b. f ( x )dx    f ( x )dx b. b. b. b. a. a. a. a.   f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx.  Neáu f(x)  0 treân [a; b] thì. b.   kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k: const) . a. b. c. b. a. a. c.  f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx. b.  f ( x )dx  0. a.  Neáu f(x)  g(x) treân [a; b] thì. b. . a. b. f ( x )dx   g( x )dx a. 3. Phöông phaùp tính tích phaân a) Phương pháp đổi biến số b. . f  u( x ) .u '( x )dx . u( b ). . f (u)du. u( a ). a. trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xaùc ñònh treân K, a, b  K. b) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b  K thì: b. b. b.  udv  uv   vdu. a. a. a. Chuù yù: – Caàn xem laïi caùc phöông phaùp tìm nguyeân haøm. Trang 84 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Nguyeân haøm – Tích phaân b. – Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho  vdu dễ tính a. b. hôn  udv . a. VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: b.  f ( x )dx  F (b)  F (a). a. Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm. – Nắm vững phép tính vi phân. Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau:. a). 2. 2.  (x. 3.  2 x  1)dx. 1. d). 2. x. . 1 x. 2. 2. e). dx. g)  ( x  1)( x  x  1)dx 1. k). x2  2x. . x3. 1. 1. . x. 4. 2. 2. 2. 3 b)  ( x   e 3 x 1 )dx x 1 2. 2. 4 dx x2. 2. 1. 1. 3. 2 x  5  7x dx x. . 1. x 1 dx x2. f)  ( x  i). 1. e2.  e. 2. h)  ( x  x x  x )dx l). dx. . c). 2. . 1 1   x 2 )dx 2 x x. . 4. x  23 x  44 x dx. 1. 8 1 m)   4 x   3 1 3 x2.  dx  . Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau:. a). 2. x  1dx. . b). 1. d). 5. . x2  x 2. 2. 2. 0. xdx. dx. 1  x2 Baøi 3. Tính caùc tích phaân sau:. e). 2. dx 2. 0 3. 3x 2 1  x3. dx. c)  ( x 2  x x  3 x )dx 1. f).  . a)  sin( 2 x  0.  6. )dx. b). 2.  (2sin x  3cosx  x )dx. c). . 4. 0 x. x 2  9dx.  6.   sin 3x  cos 2 x  dx. 0. 3. d). . . 4. 3. . 0. tan x .dx 2. cos x. e). . 2  3tan x dx. f). 4.  (2 cot. . . 4. 6. Trang 85 Lop12.net. 2. x  5) dx.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Nguyeân haøm – Tích phaân g). k). . . 2. 2. dx  1  sin x 0. h). 1  cos x  1  cos x dx 0. . . 3. 2. . . (tan x  cot x )2 dx. l).  6.  2. i).  sin. x.cos2 xdx. 0. . . sin(  x ) 4 dx. . 2. m). . 4.  cos.  2. sin(  x ) 4. 0. 2. ( x  1).dx. 1e. 4. x dx. Baøi 4. Tính caùc tích phaân sau:. a) d). 1 x. . e  e x. 0e. ln 2. 0. . g) k). x. e. x. b) e). dx ex  1. . e ln x. x. . sin xdx. dx. c). 2. x  x ln x. 1. ex. 2 e cos x 0. 1. dx. 2 x e (1  1. . 4e. h). 1. l). 1. 0. x. x. e x )dx x. dx. 2. xe x dx. 0 0. i). 1. m). e 1. . 4. x. e 2. 1e. f). 2x. x. 2x. dx. dx. 1  ln x dx x 1. x 0 1 e. dx. VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số b. Dạng 1: Giả sử ta cần tính  g( x )dx . a. Nếu viết được g(x) dưới dạng: g( x )  f  u( x ) .u '( x ) thì Dạng 2: Giả sử ta cần tính. b. u( b ). a. u( a ).  g( x )dx . . f (u)du. .  f ( x )dx .. . Đặt x = x(t) (t  K) và a, b  K thoả mãn  = x(a),  = x(b) thì. . b. b. . a. a.  g(t)  f  x(t) .x '(t).  f ( x )dx   f  x(t) x '(t)dt   g(t)dt. Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau: f(x) có chứa a2  x 2. a2  x 2. x 2  a2. Cách đổi biến x  a sin t,. hoặc. hoặc. hoặc. . . t. . x  a cos t,. 2 2 0t . x  a tan t,. . x  a cot t, a x , sin t a x , cos t Trang 86 Lop12.net. . t. . 2 2 0t     t    ;  \ 0  2 2   t   0;   \   2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Nguyeân haøm – Tích phaân Bài 1. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):. a). 1. 19  x(1  x) dx. b). 0. d). 1. g). 2 3. dx. . x x2  4. 5. k). ln3. e dx. n). l).  e  1. 0. 3. x. e. 1.  1. . 2. 2. sin 2 x. o). dx. 0. 3. i). dx. 1 x2. a). 1 2. dx. . 1 x. 0. d). 3. x 0. g). dx 3. 1. e) h). x2  2x  2. cos x. sin x 0 1  sin 2 x dx. k). 3. . 2. 1. . p). dx. l). x x2  1. e. dx. 1  3 ln x ln x dx x. . 4 x.  (x 2. . 2 2. . 0. 2. c). 2. x 1 dx x3 2. 1  x2.  2 sin. sin 2 x dx x  cos 2 x. 2. 2. x. 2. 4  x 2 dx. 1. dx  1)( x 2  2). x2. 6. 0. x 2 dx. 1. 1. 2. 1  ex. . 0. dx. ex. 1. 3. 0. 2. 0. . b). 2. . m). cos 2 x  4 sin 2 x Bài 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2): 0. ln 2 0. 2  ln x dx 2x. . . x  2x. 0. x. . . h). 5. x5 0 x 2  1 dx. f)  x 3 1  x 2 dx. 0. 3. 1. c). e)  x 1  x 2 dx. 2x  1. 0. x3 0 (1  x 2 ) 3 1. xdx. . 1. f). 1. x. 4. 0. i). 1. xdx  x2 1 dx. . 1  x . 2 5. 0. 2. m)  x 2 x  x 2 dx. dx. 0. VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: b. b. b. b. a. a. a. a. x  P( x ).e dx. u dv. P(x) x. e dx.  P( x ).cos xdx P(x) cos xdx.  P( x ).sin xdx.  P( x ).l n xdx. P(x) sin xdx. lnx P(x). Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau: . . a). 4.  x sin 2 xdx. b). 0. d). . 0. 2  ( x  sin x) cos xdx 0. 2 4. 2. c). 2. x. 2. cos xdx. 0. . x cos. xdx. e). 3. . x tan2 xdx. . 1. f)  ( x  2)e 2 x dx 0. 4. Trang 87 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Nguyeân haøm – Tích phaân g). ln 2. x  xe dx. h). 3.  x ln xdx. i)  ln( x 2  x)dx. 1. 0. 2. .  2. 2. k)  e sin 5 xdx. l)  e. 3x. 0. o). e. 3. m)  ln 3 xdx. sin 2 xdx. 1. 0. e. x. e. cos x. p). ln 2 xdx. 1. e. ln x dx 2 1 x. . q). 0.  x (e. 2x.  3 x  1)dx. 1. e. VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ. Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau:. a). 2. . b). x  2 dx. 0. d) g). 3. . 2.  0. x 2  1 dx. e). 5. ( x  2  x  2 )dx. . 2. 4. 3. x 2  6 x  9dx. h). 1. 2. x. 2.  2 x  3 dx. x.  4 dx. 0. 3. . c). x 2  x dx. f). 3. 2. 0. . i). x 3  4 x 2  4 x dx. 1. 4  x dx. . 1. 0. Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau:. a). d). g). 2. . b). 1  cos 2 x dx. . . 1  sin 2 x .dx. . 0. 0. . 2. . 1  sin xdx. e). . . . 2. tan x  cot x  2dx. h). . f). sin x dx.  2. . . 1  cos 2xdx. 0. 3. 3. cos x cos x  cos xdx i). . . 6. 1  cos xdx. . 0. 2. . . . 3. 2. c). . 2. 1  sin xdx. . 0. 2. VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ. Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau:. a) d) g). 3. dx 1 x  x 3 1. b). x. 1. dx 0 x 2  5x  6 3. x 2 dx. 0.  1  x . 4. 1.  1  2 x . 3. dx 2 x(x  1). dx. e). 9. c) f). 2. h). 4 x  11dx. x 0. 2.  5x  6. Trang 88 Lop12.net. 3. x 3 dx 0 x 2  2x  1 4. x 1. i). 1. 2. dx (1  x). x3  x  1  x  1 dx 0.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Nguyeân haøm – Tích phaân k). 0. 2 x3  6 x2  9x  9. . x 2  3x  2. 1. dx. l). 3. 3x 2  3x  3. . x3  3x  2. 2. Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau: 2. dx a)  2 0 x  2x  2 d) g). 1 0 ( x  2) 2. . 1. k). 2. ( x  3). x (1  x 4 ). 2. 1. . 2 0 4 x. 3x. dx. 2. 1  x 2008. . x (1  x 2008 ). l). 2. . 1  x2. 4 1 1 x. m). x2. . 3 0 (3 x  1). dx. 2. x3  2x 2  4x  9 c)  dx x2  4 0. x3  x  1 dx e)  2 0 x 1 1. dx. 2. 1. h). dx. . 2 dx 2 x 1. 0. 2. 1. . b). 1. . 3. dx. 1. f) dx. i). 1. 0 1. x4. 3. x4. . 2 (x 1. m). dx. x. . . 2. dx dx.  1)2. 2  x4. 2 0 1 x. dx. VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ Xem laïi caùch tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá voâ tæ. Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau:. a). 2 2. . x x 2  1dx. b). 0. d). 2. x. 1. x 1. 10. . k). 0. n). dx. 7 3. . dx. x  2 x 1. 5.  x. x3 x2 1. 0. 1. g). 1. x 1 3. 3x  1. dx. e). 6.  2x  1. 4x  1. 1. 3 2  x x  1dx. f). 2 3. . 5. dx. . x 1  x. dx. 2. x4. . x5  1. 0. i). 0. l). 1. c). 0. dx. 2. h). dx. 1. 4x  3. 2 0. 3. m). 2. x x 4. dx. . 0. 3x  1. x5  x3 1 x. 2. dx. dx. 2. 2 2. 1 x dx 1 x. . 0. o). 3. dx. 2. x x2  1. 3. x2  1. . 2. p). . 1. dx x x3  1. Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau: 1. a)  x. 2. 2. 1  x dx. b). d). 2. . x  2008dx. 1. dx. 1. g). k). . . 0. 3. e)  x. 3. 2. dx. 10  x dx. c). x  x2  1 dx. (1  x 2 )3. h). 2. . 1. l). 2 2. . 0. dx. . (1  x 2 )3. 0. f). 0. 1 1  2 2. x2 x2  1. 1. 0. 2. . 1. 1. . 1  x 2 dx. 1. x 3dx. 0. x  x2  1. 0. dx x 2  2008 2. x dx 1  x2. Trang 89 Lop12.net. i). . m). 5 4. . 1. 12 x  4 x 2  8dx.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Nguyeân haøm – Tích phaân Baøi 3. Tính caùc tích phaân sau:. a). d). g). . . 2. cos xdx. 2. 0. 7  cos 2 x.  2. cos xdx. 0. 0. 2  cos2 x. . . . 2. 2. . . 6. b). 1  cos3 x sin x cos5 xdx. e). 2  sin x cos x  cos xdx. . 0. 0. .  3. 2. cos xdx. 0. 1  cos2 x. . h). .  4. sin 2 x  sin x 1  3cos x. cos x 1  cos2 x. . f). dx. tan x. c). dx. i). 3. cos xdx. 0. 2  cos 2 x. .  2. sin 2 x  sin x. . 1  3cos x. 0. dx. Baøi 4. Tính caùc tích phaân sau:. a). ln3. . g). b). ex  1. 0. d). dx ln2 x. ln 2. x ln x  1. e). dx. ln3. ex. 0. (e x  1) e x  1. . . 0. . e2 x dx. e. c). ex  1. 0. ln3. . ln 2. 1. x (e2 x  3 x  1)dx. f). ln 2. h). 1. ex. 0. e x  e x. . e x dx. . (e x  1)3. 0. 1. dx. 1  3ln x ln x dx x. . dx. i). ln 2. . e x  1dx. 0. VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác. Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau: . . 4. 4. a)  sin 2 x. cos xdx. b). 0. .  tan xdx. 2. sin x.  1  3 cos x dx. c). 0. 0. . . 2. e)  sin 2 xdx. d)  sin 3 xdx. 0. 0. . g). . 2 4  sin x cos xdx. 2. h)  sin 2 x cos 3 xdx. 2.  2. 0. . . 4. 3.  tan. 3. l). o). xdx.  tan. 4. xdx. m). p). q). . 0. . 3. sin x 2. 1  cos x. dx. r). 4. x cos5 xdx. 2. sin 2 x cos x dx 1  cos x 0.   3. .  4. 4. 2.  sin. 0. . 0. . 2. . 3. cos x  cos x  1 dx 0. 3 3  (sin x  cos x )dx. i). 0. . n). 0. . 2. 0. k). . f)  cos 2 3 x. cos3 x  1  cos x dx 0. 2. Trang 90 Lop12.net. s). dx sin x.cos3 x.  /3. .  /6 sin. dx 4. x.cos x.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Nguyeân haøm – Tích phaân Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau:. a). . .  2. . 1  cos 3 x sin x cos 5 xdx. 0. 1  sin 2 x  cos 2 x b)  dx sin x  cos x  2. 3.   cos x. c). 6. dx. . 2. 4 4  cos 2 x(sin x  cos x )dx. e). 0. g). 1  cos 2 x. 4. . d). tan x.  3.  sin x.ln(cos x )dx. h). 0. . . 4 0. (tan x  e sin x cos x)dx. f).  1  sin x  2. 3. 2. sin 2 xdx. 0.  4. 3. sin x. . 2 2 5 0 (tan x  1) .cos x. dx.  3. i). 1. . 2 2  sin x  9 cos x. . 3. Baøi 3. Tính caùc tích phaân sau:. a). . . . 2. 2. . . 1 dx sin x. b). dx 2  cos x. . 0. 2. c). 1.  2  sin x dx. 0. 3. d). . . 2. 2. cos x  1  cos x dx 0. e). k). 0. 1  sin x  cos x  1 dx 0. . . . . 2. 3. 0. (1  sin x ) cos x (1  sin x )(2  cos2 x ). dx. l). sin x.  2  sin x dx. 0. . 2. h). 2. f). . 2. . cos x dx 2  cos x. . . g). . . sin x  cos x  1 dx sin x  2 cos x  3. i). 4. dx. 0. cos x cos( x  ) 4. . . 2. . dx. . . 3. m). sin x cos( x  ) 4 4. . dx. . . sin x sin( x  ) 6 6. . Baøi 4. Tính caùc tích phaân sau: . . 2. 4. 0. xdx 0 1  cos 2 x. . . 2. 2. a)  (2 x  1) cos xdx d). 3  sin xdx. b). e). 0. g)  cos(ln x )dx. h). e. 2x. 2. sin xdx. l). 0.  sin 2 x.e. sin e. 0. x. sin x cos3 xdx. o). 2 x 1. dx.  3. ln(sin x ) 2. 6. cos x. dx. i). 2.  x tan. 2. xdx. m). .  x sin x cos. 0 . 4.  ln(1  tan x )dx. 0. Trang 91 Lop12.net. 2. xdx. 2. xdx.  (2 x  1) cos. 0.  2. dx. 0. 0.  2. 4. x. 2. f). . . 2. 0. x 2 cos xdx. . . x.  cos. 0. 1. n). 3. c). . . . 2. k). . p). 4. dx.  cos 0. 4. x. dx.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Nguyeân haøm – Tích phaân VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên haøm. Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau: 1. e x dx a)  x 0 1 e d). ln 8. . ex 1. k). 2. 1. . x 1 1 e e. e). dx. h). dx. ln x. .  0. ex. ln 3. g). b). ln 2. l). dx 1 x (ln x  1) 2. . dx x e 5. ln 8. 2. e. . . x. i). ln 2. 1 ex dx 1 ex. 1. 1. 4. e x. . x 1 0e. ln3. m). dx. dx. 0e. x. . f). dx. e2 x. 0e. 1. . 0. 2x. x 0 e 1 1. c). e x  1.e 2 x dx. ln 3. 1. dx. 1. . ex  1. 0. dx. Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau:  2. a)  e sin xdx. b). x. 2.  xe. 2x. d)  (e  cos x) cos xdx. e). x. g).  e. k). 2. . 1. 1.  x ln1  x dx. f). ln x  ln(ln x ) dx x. e.  ln x h)    ln 2 1  x ln x  1. e. .  x dx . i). e3. ln(ln x ) dx x 2 e. . ln x x2. l). dx. 3. . . dx. 1  ln2 x dx x. 1. 0. 0. x. 0. . e2.  xe. c). dx. 0. 0. 2. 1. ln(sin x ) dx cos2 x. m). . 1. ln( x  1) dx x  1 0. . 6. VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Daïng 1. Tích phaân cuûa haøm soá chaün, haøm soá leû.  Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø laø haøm soá leû treân [-a; a] thì. a. . f ( x )dx  0. a.  Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø laø haøm soá chaün treân [-a; a] thì. a. . a. a. f ( x )dx  2  f ( x )dx 0. Vì caùc tính chaát naøy khoâng coù trong phaàn lyù thuyeát cuûa SGK neân khi tính caùc tích phaân có dạng này ta có thể chứng minh như sau: a 0 a 0 a   Bước 1: Phân tích I   f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx  J   f ( x )dx; K   f ( x )dx    a a 0 a 0   Bước 2: Tính tích phân J . 0. . f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x.. a. Trang 92 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Nguyeân haøm – Tích phaân – Neáu f(x) laø haøm soá leû thì J = –K  I = J + K = 0 – Neáu f(x) laø haøm soá chaün thì J = K  I = J + K = 2K Daïng 2. Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø haøm chaün treân R thì: . . f (x). dx   f ( x )dx (với   R+ và a > 0)  a  1 0 Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.  0  0   f (x) f (x) f (x) f (x) f (x)  J   I  dx   dx   dx dx; K   dx  x x x x x    a  1  a  1 0 a 1  a  1 0 a 1   Để tính J ta cũng đặt: t = –x.. . x. . . 2.   Daïng 3. Neáu f(x) lieân tuïc treân  0;  thì  2. . f (sin x )dx . 0. 2. . f (cos x )dx. 0. . t. x 2 Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và f (a  b  x )  f ( x ) hoặc f (a  b  x )   f ( x ). Để chứng minh tính chất này ta đặt:. thì ñaët: t=a+b–x Ñaëc bieät, neáu a + b =  thì ñaët t=–x neáu a + b = 2 thì ñaët t = 2 – x Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Ta thực hiện các bước như sau: Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x), tức là:  F ( x )  G( x )  A( x )  C1 (*)   F ( x )  G( x )  B( x )  C2 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x ) . 1  A( x )  B( x )  C laø nguyeân haøm cuûa f(x). 2. Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau (daïng 1): . a). 5. . 3. 4. x  x  x  x 1. . cos4 x. . . d). 7. dx.  ln  x . 1 x. 2.  dx. e). 1. . g). 2. . . . 5. sin x 1  cos x. dx. cos x ln( x  1  x 2 )dx c). . . 4. 1. 2. b). . 1 x.  2. h). 4.  x2  1. xdx. .   2. 2. x dx. 2. 4  sin x. f).  1 x  cos x.ln  dx 1  x   1. . . 2 1. . 1 2. 2. 1. . 1. i).  2. .   2. x 4  sin x x2  1. dx. x  cos x 4  sin2 x. dx. Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau (daïng 2):. a). 1. x4.  x dx 1 2  1. b). 1. . 1  x2. 1. 1 2. x. dx. Trang 93 Lop12.net. c). 1. . 1 (e. dx x.  1)( x 2  1).

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Nguyeân haøm – Tích phaân . d). sin2 x. . . g). x. 3 1. 3. x2 1 e)  dx x 31  2. dx. f). . 2. sin x sin 3 x cos 5 x. 4. sin x  cos x. . 1  ex. . 6x  1. . . dx. h). . . 2. dx. . 1 (4. . . 6. 1. 6. dx. i).  1)( x 2  1). 2. x 2 sin2 x. . 1  2x. . . 4. x. dx. 2. Baøi 3. Tính caùc tích phaân sau (daïng 3): . a) . 0. cos x n. n. cos x  sin x. . d). 2. . 0. . n. 2. sin. 2009. dx (n  N*) b). sin x. . 7. sin2009 x  cos2009 x. dx. e).  2. . 0. dx. 7. sin x  cos x. 0. x. . 7. 2. 4. cos x cos4 x  sin 4 x. dx. c). 2. sin x. 0. sin x  cos x. .  2. f). sin 4 x. . cos4 x  sin 4 x. 0. dx. dx. Baøi 4. Tính caùc tích phaân sau (daïng 4):. a). . . 0. x.sin x 2. 4  cos x. b). dx. 4. 2. 4  sin x.  ln(1  tan x )dx. e). 2. . 2. . 0. 3. x.cos xdx. f). .  x.sin. x sin x dx h)  2  cos x 0.  4.  sin 4 x ln(1  tan x )dx. l). . . 0. 0. 3. xdx. 0. . x dx g)  1  sin x 0.  1  sin x .  ln  1  cos x dx. c). dx. 0. 0. k). x  cos x. . 0. . d). . . x sin x 2. 9  4 cos x. i). . 0 1  cos. m). dx. x sin x. . 2. x. dx. .  x sin x cos. 4. xdx. 0. Baøi 5. Tính caùc tích phaân sau (daïng 5):. a). . . 2. 2. sin x  sin x  cos x dx 0. b). . 2. 2. . g). cos x  sin x  cos x dx 0. . cos x d)  dx sin x  cos x 0 6. 2. . 0. sin x sin6 x  cos6 x. e). . . 0. 4. sin x sin 4 x  cos4 x. . dx. h). cos6 x. 2. . 0. sin6 x  cos6 x. 2. c). sin x.  sin x  cos x dx. 0. . dx. f). cos4 x. 2. . 0. sin 4 x  cos4 x i). dx.  2.  2sin. 2. x.sin 2 xdx. 0. . k). 2.  2 cos. 0. 2. x.sin 2 xdx. l). 1. . ex. 1 e. x.  e x. dx. Trang 94 Lop12.net. m). 1. . 1 e. e x x.  e x. dx. dx.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Nguyeân haøm – Tích phaân n). 1. ex. . 1 e. x.  e x. o). dx. 1. e x. . 1 e. x.  e x. dx. VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi b. Giả sử cần tính tích phân I n   f ( x , n)dx (n  N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta a. thường gặp một số yêu cầu sau:  Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn In theo các In-k (1  k  n).  Chứng minh một công thức truy hồi cho trước.  Tính một giá trị I n cụ thể nào đó. 0. Bài 1. Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau:  2. a) I n   sin n xdx 0. n 1   Ñaët u  sin x dv  sin x.dx.  2. b) I n   cosn xdx 0. n 1   Ñaët u  cos x dv  cos x.dx.  4. c) I n   tan n xdx.  Phaân tích: tan n x  tan n2 x  tan2 x  1  tan n2 x. 0. . d) I n . 2. x. n. cos x.dx. 0. n   Ñaët u  x. dv  cos x.dx. . Jn . 2. x. n. sin x.dx. 0. 1. e) I n  x n e x dx 0. e. f) I n   ln n x.dx 1. 1. g) I n   (1  x 2 )n dx. n   Ñaët u  x. dv  sin x.dx. n   Ñaët u  x x. dv  e .dx. n   Ñaët u  ln x. dv  dx.  Ñaët x  cos t. . 0. 1. h) I n  . dx. 0 (1 . x 2 )n.  Phaân tích 1. Tính Jn  . 1 (1  x 2 )n x2. 2 n 0 (1  x ). 1  x2 (1  x 2 )n. dx .. Trang 95 Lop12.net. . 2n  Ñaët u  sin t dv  sin t.dt. . x2 (1  x 2 )n. u  x  x Ñaët  dv  dx  (1  x 2 )n .

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Nguyeân haøm – Tích phaân 1. i) I n   x n 1  x .dx 0. n   Ñaët u  x. dv  1  x .dx. . k) I n . 4. . 0. dx n. cos x. dx.  Phaân tích. 1 n. cos x. . cos x cos. Trang 96 Lop12.net. n 1. x.  Ñaët t . 1 cosn1 x.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>