Phần ôn tập củng cố kiến thức các bước giải bài toán 12

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHẦN ÔN TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN 12 Dùng cả cho ôn thi TN , Chủ đề I,II,III) Chủ đề I :. A/SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: 8 bước( 8 dấu :+ ) I / Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) . 1) Tập xác định : +/ D = R . 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên :  y’ = 3ax2 + 2bx + c .  y’ = 0 <=> xi = ? ; f(xi) = ? . +/ trên các khoảng (….) và (…..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến . Trên khoảng (….) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến . +/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số . Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = …. Hàm số đạt cực Đại tại x = …., yCĐ = …. + / Giới hạn ở Vô cực : ; lim y  ? x  . lim y . ?.. x  . +/ Bảng biến thiên : x -∞ ? y’ ? y ?. ? ? ?. ? ? ?. +∞. 3) Đồ thị : + ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = d .  Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? ., Các điểm khác : … +) Đồ thị : y. 0. x. II / Hàm số y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0) . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1) Tập xác định : +/ D = R . 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên :  y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b ) .  x  0  f (0)  c  y’ = 0 <=>  x  ?   f ( x)  . x  ?  f ( x)   . +/ trên các khoảng (….) và (…..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến . Trên khoảng (….) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến . +/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số . Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = …. Hàm số đạt cực đại tại x = …., yCĐ = …. + / Giới hạn ở Vô cực : ; lim y  ? x  . lim y . ?.. x  . +/ Bảng biến thiên : x -∞ ? y’ ? ? y. ? ? ?. ? ? ?. +∞. 3) Đồ thị :  Hàm số đã cho là hàm số chẵn, do đó đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng.  Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? . Các điểm khác … Đồ thị : y. 0. x. III / Hàm số : y . Lop12.net. ax  b cx  d.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1) Tập xác định : +/ D = R /{ -. d .} c. 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên :  y’ =. ad  bc . (cx  d ) 2.  y’ > 0 ( y < 0 ) , x  D +/ : Hàm số đồng biến ( Nghịch biến ) . trên các khoảng (….) và (…..) +/ Cực trị : Hàm số không có cực trị . + / Tiệm cận và Giới hạn : a a a lim y  c và lim y  c => tiệm cận ngang : y = c . x   x  . lim y  ? x. a c. Và. lim y  ? x. => tiệm cận đứng :. x=. a c. +/ Bảng biến thiên : x -∞ ? y’ ? ? y. d . c. ? ? ?. 3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x =. +∞. b . d. d a b , Đồ thị nhận giao điểm I( ; ) của hai đường c c a. tiệm cận làm tâm đối xứng y. 0 x. B/ CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3 2 1/ y = ax + bx + cx + d ( C ) Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2/ y = ax4 + bx2 + c (C) BÀI 1 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: a’x3 + b’x2 + c’x + n = 0 (2).  (2)  ax3 + bx2 + cx + d = k.m ; (  ax4 + bx2 + c = k.m )  Số nghiệm phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị ( C) với đường thẳng d: y = k.m (vẽ d)  Nhận xét số giao điểm d: với ( C ) , theo yCT và yCĐ của ( C ). Bài 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại : 1) Đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) € ( C ) . 2) Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ). 3) Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p HƯỚNG DẪN : 1/ Đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) € ( C ) :  Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 (*)  k = f’(x0) ; thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm . 2/ Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ).  Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 (*) k = f’(x0 )  giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0 .  Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm. 3/ Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p  Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 (*)  Trong đó k.k’ = -1  k =. 1 . k'. thế k = f’(x0 )  giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0 .  Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm. 4/ Các dạng khác : cho biết x0 hoặc y0 tìm các yếu tố còn lại suy ra có (*) 3/ y . ax  b cx  d. (C). Bài toán : Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) tại t đểm phân biệt ? Hướng dẫn : Số giao điểm của f(x;m ) với ( C ) , bằng số nghiệm phương trình : f( x ) = f ( x ; m ) . Từ đó ta tìm ra điều kiện của m cần tìm . Chủ đề II :. C/ Hàm sô lũy thừa, Mũ và logarit. 1)Phương trình, Bất phương trình mũ và Lô ga rít. a)Phương trình mũ : Bước 1/ Dùng tính chất của luỹ thừa, đưa phương trình mũ đã cho về phương trình đặt được ẩn phụ với luỹ thừa phù hợp. ( t = aX , t > 0 ). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bước 2/ Giải phương trình với ẩn t, tìm ra nghiệm của biến t. Bước 3/ Dựa vào cách đặt và điều kiện để tìm ra nghiệm của bài toán. Và kết luận nghiệm. b)Phương trình logarít: Bước 1/ Dùng tính chất của lô ga rít, đưa phương trình lô ga rít đã cho về phương trình đặt được ẩn phụ với luỹ thừa phù hợp. ( t = logaX , điều kiện X > 0 ). Bước 2/ Giải phương trình với ẩn t, tìm ra nghiệm của biến t. Bước 3/ Dựa vào cách đặt và điều kiện để tìm ra nghiệm của bài toán. Và kết luận nghiệm . c) Bất phương trình : Biến đổi tương tự các bước giải phương trình chứa ẩn số ở luỹ thừa hay dưới dấu lô ga rít . 2) Gía trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : y = f(x) trên đoạn [ a ; b ] ? Bước 1: Tìm tập xác định D của f(x) : D = ?, xét xem [a ; b ]  D ? Bước 2 : */Tìm đạo hàm y’ = f’(x) = ? */ Giải phương trình y’ = 0 => xi = ? loại các giá trị xi  [ a ; b ] */ Tính các giá trị : f(a) ; f(b) ; f(xi) . Bước 3 : So sánh các giá trị vừa tìm được . Tìm ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất . Chủ đề III: D/ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN: I/ Tìm thể tích hình chóp: 1/ Các loại bài toán : a) Cho hình chóp S.ABC ( Đáy tam giác : thường, vuông, đều, cân, hinh vuông, thoi, chữ nhật, hình bình hành …) Có SA ┴ ( ABC) ( SO ┴ (ABC)…. ) biết cạnh SA , góc giữa SB và đáy ( (ABC) và đáy ) là α . 1) Tính thể tích S.ABC. 2) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC. Cách giải : gồm 2 bước: Bước 1 : Vẽ hình : Mục đích : Xác định các yếu tố về giả thiết bài toán. Tìm các yếu tố : Góc , đường cao . Vẽ từ đáy vẽ lên Xây dựng được hình vẽ đã cho. 0.25đến 0.5 đ).. Bước 2: Tính toán: a)Tính Thể tích hình chóp VS.ABC = 1/3B.h Trong đó B = SABC ; h = SO ( SH: đường cao ). b)Tìm tâm và bán kính: + Xác định tâm đáy ( tam giác : tâm đường tròn ngoại tiếp, tứ giác(hcn): giao điểm 2 đường chéo..). Xác định trục d đáy : vuông góc đáy qua tâm. + Xác định mặt phẳng trung trực: 1 cạnh bên, hoặc trung trực đường cao. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Giao của trục d và mp vừa vẽ, ký hiệu I : là tâm mặt cầu cần tìm Khoảng cách IA = IB = IC = IS = R là bán kính. Tìm vị trí I , R . Kết luận. Chú ý : Các bài toán đã học phải giải đúng sơ đồ trên mới đạt điểm tối đa. Giaỉ cách khác, nếu đúng , chỉ đạt điểm tối đa từng phần. Phần kết luận kết quả bài toán ( đáp số ) chiếm 0.25 điểm mỗi bài. II/ Bài toán hình hộp, lăng trụ: Các bước giải tương tự bài toán hình chóp. ÔN TẬP CHỦ ĐỀ IV : NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN A/Nguyên hàm: I .Định nghĩa và ký hiệu: 1. Định nghĩa : F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) 2. Ký hiệu:  f ( x).dx  F ( x). 3. Định lí :.  f ( x).dx  F ( x). + C. II. Tính chất: 1.  f ' ( x).dx  f(x) +C 2. 3..  k. f ( x).dx  k. f ( x).dx  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx. Chú ý 1 : Nguyên hàm dạng tích , và hữu tỷ không có công thức phải biến đổi đưa về tổng hiệu: Ví dụ 1 : Tìm Nguyên hàm : A =  sin 3x. cos 5 xdx . Ví dụ 2 : Tìm Nguyên hàm : B =. x. 2. 2x  1  3.x  4. III .Công thức: 1. Nhóm 1: Hàm số lũy thừa. 1.1 /  kdx  k .x  C . k  R . 1.3 /. . 1.2 /.   x .dx =. x  1  C .   1  1. dx = ln x + C . x. 2 . Nhóm II: Hàm số lượng giác 2.1 /  sin xdx   cos x  C 2.2 /  cos xdx  sin x  C 2.5 /. dx.  cos. 2. x.  tan x  C. 2.3 /  tan xdx   ln cos x  C 2.4 /  cot xdx  ln sin x  C 2.7 /. dx.  tan. Lop12.net. 2. x.   x  cot x  C.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 2.6 /. dx.  sin. 2. x. 2.8 /.   cot x  C. dx.  cot. 2.   x  tan x  C. x. 4. Nhóm III: Hàm số Mũ : 3.1 /. x  a dx . ax C ln a. 3.2/  e x dx  e x  C. Chú ý 2 : Nếu : F(x)’ = f(a) , thì :. 1.  f (ax  b)dx  a F (ax  b)  C. B/ Phương pháp tính tích phân: b.  f ( x).dx  F ( x). Công thức :. b a.  F (b)  F (a ). a. I/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 1. Dạng 1: Tính : I. b.  f u ( x).u ' ( x).dx a. Phương pháp chung : Bước 1 : Đặt. : t=u(x). dt = u’(x).dx. . Bước 2 : Đổi cận :. x. a u(a). t. b u(b). Bước 3 : Tính I : u (b ). I=.  f (t )dt  F (t ). u (b ) u(a).  F [u (b)]  F [u (a )]. u(a). CÁC DẠNG CƠ BẢN THƯỜNG GẶP : 2. Dạng 2 : Tính : I =. b.  f ( x).dx. ; Với f(x) = x  (a.x  1  b)  .   R*. a. Phương pháp: Bước 1 : Đặt t = (a.x  1  b)  dt = a .(  1).x  dx .  x  .dx  Bước 2 : Đổi cận :. x t. a u(a). b u(b). Bước 3 : Tính I : u (b ). I=. t  .dt 1  t (  1)  (  1).a (  1).(   1).a u(a). Ví dụ 3: Tính các tích phân sau : Lop12.net. u (b ) u(a). .. dt (  1).a.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 2. 2. 1. A =  x (2 x  1) dx .. x3 ;B=  4 dx . 5 1 ( 2 x  1). 2. C =  x 3 (2 x 4  1) 5 dx.. . ( Ta đặt t = (2 x 4  1)5 ). 3. 4. 5. 1 2. 1. b.  f ( x).dx. 3. Dạng 3 : Tính : I =. ; Với f(x) = cos x.(a. sin x  b) .. a. Phương pháp: Bước 1 : Đặt t = (a. sin x  b)  dt = a . cos x.dx .  cosx.dx = f(x)dx =. dt . a. 1  t dt . ta đưa về bài toán quen thuộc. a. Ví dụ 4 : Tính các tích phân sau : . 4.D=. . 3.  cos x(2 sin x  3) dx.. 3. . ;5.E=. 3. 0. 0. cos x dx . (2 sin x  3) 3. . 6.G=. 3.  cos x. 4. ; Ta đặt t = (2 sin x  3)3 .. (2 sin x  3) 3 dx.. 0. 4 Dạng 4 : Tính : I =. b.  f ( x).dx. ; Với f(x)dx =. a. dx . b  x2 2. Phương pháp: b dt  b(1  tan 2 t ) .dt. 2 cos t 1 b2 + x2 = b2.( 1 + tan2t) .  f(x).dx = dt . b. Bước 1 : Đặt x = b.tant ,  dx =. Bước 2:. Đổi cận, tính kết quả .. 5. Dạng 5 : Tính : I =. b.  f ( x).dx. . ; Với. a.  f ( x)dx . . =.  . dx a2  x2. dx . (a> 0). Phương pháp: Bước 1 : Đặt x = a.sint  dx = a.cost.dt ; a 2  x 2  a 2 .(sin 2 t )  a cos t . Bước 2:. Đổi cận, tính kết quả .. II/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 2.1 Dạng áp dụng phương pháp tích phân từng phần : b. I =  U.dV . a. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Phương pháp: u  u ( x) dv  v'.dx. Đặt : . du  u ' ( x).dx  v   v'.dxv'.  b.  U.dV = U.V. . ;. b. b a. a.   V .dU . a. 2.2 Các dạng tích phân thường gặp : Dạng 1 : Tính : I =. b.  f ( x).dx. ; Với f(x)dx = P(x). cosx.dx , hoặc P(x).sinx.dx .. a. Ta đặt : U = P(x) ; dv = sinx.dx. Dạng 2 : Tính : I =. b.  f ( x).dx. ; Với f(x)dx = P(x). ex.dx .. a. Ta đặt : U = P(x) ; dv = ex.dx . Dạng 3 : Tính : I =. b.  f ( x).dx. ; Với f(x)dx = P(x). ln(x).dx .. a. Ta đặt : U = ln(x) ; dv = P(x).dx . Chú ý 3 : Thông thường bài toán tích phân cho dưới dạng : b. I =  [ f ( x)  h( x)].g ( x).dx , a. ta khai triển thành tổng hai tích phân, rồi áp dụng các phương pháp trên để tính , xong cộng kết quả lại. Ví dụ 5: Tính các tich phân sau : . 2. 6. I   (sin x  x).cos xdx ; 3. 0. e. 7. I   2 x(1  ln x) dx ; 1. . 1. x x 8 . I  02 1  sin  cos dx ; . 2. 9 . I   e x (e x  x) dx. 2. 0. C / Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích: 1) Diện tích hình phẳng: Cơ sở lí thuyết:  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và y = 0 (trục hoành) được tính bởi: S =. b. . f ( x) dx (1).. a.  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a; x= b được tính bởi: S =. b. . f ( x)  g ( x) dx (2).. a. Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Giải: Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S =. b. . f ( x) dx. a. 2. x. thì S =. 2.  1dx. 0.  Phương trình: x2 -1= 0  x =  1 , nghiệm x = 1  [0;2] 1. 1. 2. 2. x3 x3  Vậy S =  ( x  1)dx +  ( x  1)dx = (  x) + (  x) = 2 (đvdt) 3 3 0 1 0 1 2. 2. Vídụ 7:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và y =x. Giải:  Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2 = x  x2 + x – 2 = 0  x = 1 và x = -2  Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức . S=. b. . f ( x)  g ( x) dx thì S =. 1. . x 2  x  2 dx. 2. a.  Vậy S =. 1. . 2. 1. 1. x3 x 2 9   2x = (đvdt) x  x  2 dx =  ( x  x  2)dx = 3 2 2 2 2 2. 2. * Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân nếu hàm số dưới dấu tích phân không đổi dấu trên [a; b]. 2) Thể tích vật thể tròn xoay: Cơ sở lí thuyết: Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay b. quanh trục Ox được tính bởi: V =   f 2 ( x)dx (3) a. Ví dụ 8: a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x2 và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox., Giải:  Phương trình 2x – x2 = 0  x = 0 và x = 2 b.  Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V =   f 2 ( x)dx a. 2. 0. 0. 0. 4 3. Ta có V =   (2 x  x 2 )2 dx    (4 x 2  4 x3  x 4 )dx =  ( x3  x 4 . x 2 16 )0 = (đvtt) 5 15 5. b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2 và y = x3. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox. Giải:  Phương trình – x2 = x3  x = 0 và x = –1. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> = –.  Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đó quay quanh Ox:. x2,. 0. 1 5. Có V1 =   ( x 2 )2 dx =  1. =. x3,.  Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y x = 0, x = -1 và trục Ox…: 0. 1 7. Có V2 =   ( x3 )2 dx =  1. Vậy thể tích V cần tính là: V = V1  V2 =. 2  (đvtt) 35. Chú ý:4 Khi tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) khi nó quay b. quanh trục Ox, học sinh có thể ngộ nhận và dùng công thức V    ( f ( x)  g ( x))2 dx dẫn đến kết a. quả sai KQs : V =. 1  đvtt. 105.  Các bài tập tự luyện: 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = – x2 + 4x và trục hoành. KQ: S =. 32 ñvdt 3. 2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (P): y = – x2 và y = – x – 2 . KQ: S =. 9 ñvdt 2. 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 5x4 – 3x2 – 8, trục Ox trên [1; 3] KQs: S = 200 ñvdt 4) Tính thể tích các hình tròn xoay sinh bởi các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau ñaây khi quay quanh truïc Ox: a) (P): y 2 = 8x vaø x = 2 KQ: 16  ñvtt 162 ñvtt 5  2 2 KQ: ñvtt 8. b) y = x2 vaø y = 3x x 2. c) y = sin ; y = 0; x = 0; x =. KQ:.  4. D/ Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x +1 và y = x -1 (TNTHPT năm 2001 – 2002 ) 1 x 3  3x 2  3x  1 , bieát F(1) = 2 3 x  2x  1 2 2x  10x  12 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= vaø x2. Bài 2: 1.Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá y =. trục hoành Ox.. (TNTHPT năm 2002 – 2003 ). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bài 3: Cho haøm soá y =. 1 3 x – x2 (C). Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới 3. hạn bởi (C) và các đường y = 0, x =0, x = 3 quay quanh trục Ox. (TNTHPT năm 2003 – 2004 )  /2. Bài 4: Tính tích phaân: I =.  ( x  sin. 2. (TNTHPT năm 2004 – 2005 ). x). cos x.dx. 0. Bài 5: a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số : y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1.  /2. b. Tính tích phaân: I =.  0. sin 2 x dx 4  cos 2 x. (TNTHPT năm 2005– 2006). e. ln 2 x dx . Bài 6:Tính tích phân J =  x 1. (TNTHPT năm 2006– 2007). 1. Bài 7: Tính tích phân I   x 2 (1  x3 )4 dx. (TNTHPT năm 2007– 2008). 1. . Bài 8: Tính tích phân I =  x(1  cos x)dx. (TNTHPT năm 2008– 2009). Bài 9: Tính tích phân I   x 2 ( x  1)2 dx. (TNTHPT năm 2009– 2010). 0 1. 0. ÔN TẬP CHỦ ĐỀ IV CÁC DẠNG BÀI TOÁN CƠ BẢN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN. Dạng I : Viết phương trình : Mặt Cầu, mặt phẳng, đường thẳng. Bài toán 1.1/ Viết phương trình mặt cầu (S): Tâm I(a, b , c), bán kính R: (S): x2 + y2 + z2 – 2ax + 2by + 2cz + D = 0. (1). Thường được cho dưới dạng : a) Cho 2 điểm A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ): Viết phương trình mặt cầu (S), nhận AB làm đường kính Cách giải : Gọi I(a ; b ; c ) là tâm mặt cầu (S), bán kính R : Ta có I là trung điểm AB : x A  xB  a  2  y A  yB  b  2  z A  zB  c  2 . ;R=. AB 1 = 2 2. ( xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2  ( z B  z A ) 2. Thay kết quả vừa tìm được vào (1), ta có kết quả cầm tìm. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> b) Cho 3 điểm : A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ). Tìm trọng tâm G của tam giác ABC, Viết phương trình mặt cầu (S) Tâm G, đi qua A . Cách giải : Gọi G(a ; b ; c) là tâm mặt cầu (S), bán kính R : Ta có G là trọng tâm Δ ABC : x A  x B  xC  a  3  y  y  A B  yC b  3  z  z  A B  zC c  3 . ; R = AG = ( xG  x A ) 2  ( y G  y A ) 2  ( z G  z A ) 2 .. 1.2/ Tìm tâm, bán kính mặt cầu (S) có phương trình : (S): x2 + y2 + z2 + mx + ny + pz + D = 0. (1). Cách giải : Gọi I(a ; b ; c) , R là tâm và bán kính mặt cầu (S), có phương trình (1), ta có :  2 a  m   2b  n   2c  p . m  a  2  n  ;  b  2  p  c  2 . R = a2  b2  c2  D .. Kết luận : I(a ; b ; c ) ; R. 1.3/ Cho 4 điểm A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ). D(xD ; yD ; zD ). Viết phương trình mặt cầu (S )đi qua A,B,C,D. Cách giải : phương trình mặt cầu (S) có dạng (S): x2 + y2 + z2 – 2ax + 2by + 2cz + D = 0. (1) Trong đó gọi I(a ; b ; c) là tâm mặt cầu (S) Lần lượt thay tọa độ A, B, C, D vào (1), ta có hệ phương trình : X 2 A  Y 2 A  Z 2 A  2 2 2 X B  Y B  Z B  2 2 2 X C  Y C  Z C X 2 D  Y 2 D  Z 2 D .  2ax A  2bYA  2cZ A  D  0,  2aX B  2bYA  2cZ A  D  0  2aX C  2bYC  2cZ C  D  0. ( 2).  2aX D  2bYD  2cZ D  D  0. Giải hệ ( 2 ) , với 4 ẩn số :a , b , c , D thế vào (1) ta có phương trình (S) cần tìm. Chú ý : bài toán đơn giản khi A(xA ; 0 ; 0 ) , B(0 ; yB ; 0 ) , C(0 ; 0 ; zC ). D(xC ; yD ; zD ). Áp dụng : 1/ bài thi TN THPT năm 2010: Câu 4.a/1: “… Cho 3 điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2; 0) và C(0 ; 0 ; 3). Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC . “ 2/ Bài 9.b/ trang 100- sgk hh 12 cơ bản. --------------------------------------------------------------------Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Bài toán 2.1/  Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ pháp tuyến n (A ; B ; C). Ta có : (α ) : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.  Ax + By + Cz + D = 0. (2). Chú ý 1:  véc tơ pháp tuyến n (A ; B ; C) , được xác định tùy từng trường hợp cụ thể a. Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm không thẳng hàng : A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ).. . Cách giải : Khi đó ta chọn M0 là điểm A. n = [ AB , AC ] = ( A ; B; C ) . Chú ý rèn luyện cách tính tích có hướng của 2 véc tơ [ AB , AC ] . Với : AB = (a1 ; b1 ; c1 ).  AC = (a2 ; b2 ; c2 ). Ta có n = [ AB , AC ].  n =.  a1 ; b1 ; c1  a1   = (b1.c2 – b2.c1 ; c1.a2 – c2.a1 ; a1.b2 – a2.b1 )  a 2 ; b2 ; c 2  a 2. Tính theo tích chéo : “ Giữa – Cuối ; Cuối – Đầu ; Đầu – Giữa “ b. Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A(xA ; yA ; zA ) , và vuông góc đường thẳng :  x  x 0  a 1 .t Δ :  y  y 0  a 2 .t ; z  z  a .t 3 . Cách giải : (α ) qua điểm A(xA ; yA ; zA ) và vuông góc với đường thẳng Δ nên (α ) nhận  véc tơ chỉ phương của Δ : a = ( a1 ; a2 ; a3 ) làm véc tơ pháp tuyến n = a = ( a1 ; a2 ; a3 ) . Ta có : (α ) : a1.( x – xA ) + a2. (y – yA ) + a3. (z – zA ) = 0  a1.( x ) + a2.(y ) + a3.(z ) + D = 0 . Chú ý 2 : Nếu đường thẳng Δ cho dưới dạng chính tắc : Δ:. x  x0 y  y 0 z  z 0   ; a1 b1 c1. Thì khi giải chú ý dạng chính tắc các ẩn số x , y , z có hệ số là + 1, Nếu đề chưa cho đúng thì phải biến đổi sắp xếp dạng chính tắc đã nêu. Ta cho cả 3 phân số trên = t, chuyển về dạng tham số của Δ, ta tìm được véc tơ chỉ phương của Δ : a = ( a1 ; b1 ; c1 ) Ví dụ: Cho đường thẳng Δ có phương trình : Δ:. x  5 1 y z  2   ; và điểm I( -1 , 3 ; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua I và (α 2 3 2. ) vuông góc Δ. Giải: Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> x  5  2 t  x  5  2t  x  5 1 y z  2 1  y   t   y  1  3t ;   Cho : =t   2 3 2  3  z  2  2t  z  2  2 t . Ta có véc tơ chỉ phương của Δ là a = ( 2 ; - 3 ; 2 ) . Mặt phẳng (α ) qua I ( -1 , 3 ; 2), và (α ) vuông góc Δ : (α ) : -1(x – 2) + 3( y + 3) + 2( z - 2) = 0.  (α ) : -x + 3y + 2z + 7 =0. c) Cho tứ diện A.BCD , Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua AB và song song CD . Ta có : véc tơ pháp tuyến : n = [ AB , CD ] . d) Cho mặt phẳng ( β ) : A( x – a) + B ( y – b ) + C ( z – c ) = 0 . ( * ) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) và song song mp ( β ) Ta có : véc tơ pháp tuyến : n = [ A ; B ; C ] . Áp dụng giải bài tập trang 80, 81 skg hh12 cơ bản Bài toán 3.1/ Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ chỉ phương a (a1 ; a2 ; a3 ). Giải : Gọi M(x ; y ; z )  Δ, ta có : phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ chỉ phương a (a1 ; a2 ; a3 ) :  x  x0  a1 .t Δ :  y  y 0  a 2 .t ;  z  z  a .t 0 3 . Các dạng bài tập : 3.1/a : Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) , và vuông góc mặt phẳng : (α ) : Ax + By + Cz + D = 0. (1). Giải : Ta có véc tơ chỉ phương a của đường thẳng Δ , là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng. . (α ) : a = n = (A ; B ; C). Vậy phương trình tham số của đường thẳng Δ là :  x  x0  A.t Δ :  y  y 0  B.t ;  z  z  C.t 0 . 3.1/b :. (2). Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) , và song song với đường thẳng d:. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>  x  x0  a1 .t d:  y  y 0  a 2 .t ;  z  z  a .t 0 3 . Giải : Ta có véc tơ chỉ phương a của đường thẳng Δ , là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d : a = (a1 ; a2 ; a3). Vậy phương trình tham số của đường thẳng Δ là ( 2 ) 3.1/c : Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) ; M1(x1 ; y1 ;z1 ) . Giải : Ta có véc tơ chỉ phương a của đường thẳng Δ , là véc tơ : a= M 0 M 1 = (x1 – x0 ; y1 – y0 ; z1 – z0 ) = (a1 ; a2 ; a3). Vậy Vậy phương trình tham số của đường thẳng Δ là ( 2 ) Áp dụng giải bài tập 1 trang 89 SGK HH 12 CB. Bài tập 4 trang 92. Dạng II : Xét vị trí tương đối : Mặt Cầu, mặt phẳng, đường thẳng. Bài 2.1.a / Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình :  x  x0  a1 .t d1:  y  y 0  a 2 .t  z  z  a .t 0 3 . (1) ;.  x  x1  b1 .t ' d2 :  y  y1  b2 .t ' ; ( 2 )  z  z  b .t ' 1 3 . Cách giải : Bước 1 : Đường thẳng d1 đi qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) ; có véc tơ chỉ phương a = (a1 ; a2 ; a3 ) . Đường thẳng d2 có véc tơ chỉ phương : b = ( b1 ; b2 ; b3 ). Nếu : a = k. b : Đúng (Đ) , và M0(x0 ; y0 ; z0 )  d2 . Ta có d1 // d2 . : a = k. b : Sai ( S ) , Bước 2 : ta xét hệ :  x0  a1 .t  x1  b1 .t '   y 0  a 2 .t  y1  b2 .t '  z  a .t  z  b .t ' 3 1 3  0. (*);. Ta lấy 2 trong 3 phương trình ( * ), giải tìm được t và t’ , thế vào phương trình còn lại . Nếu Đ thì hệ ( * ) có đúng 1 nghiệm thì d1 cắt d2 . Nếu S hệ ( * ) vô nghiệm thì d1 chéo d2 . Kết luận: Bài 2.1.b / Xét vị trí tương đối của đường thẳng Δ và mặt phẳng (α ), có phương trình : Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span>  x  x0  a1 .t Δ :  y  y 0  a 2 .t ; (1) ;  z  z  a .t 0 3 . (α ) : Ax + By + Cz + D. = 0. (2).. Cách giải : Gỉa sử Δ cắt (α ) tại M( x ; y ; z ) , thế tọa độ M  (1 ) vào ( 2 ). A ( x0  a1.t ) + B ( y0  a2 . t ) + C( z0  a3 .t ) = 0 ( 3 ) . Nếu : + Phương trình ( 3 ) có 1 nghiệm t , thì Δ cắt (α ). + Phương trình ( 3 ) có vô số nghiệm t , thì Δ  (α ). + Phương trình ( 3 ) vô số nghiệm t , thì Δ // (α ). Bài 2.1.c / Xét vị trí tương đối của mặt phẳng ( α ) và mặt cầu ( S ), có phương trình : (α ) : + By + Cz + D = 0 . (1) 2 2 2 (S): x + y + z – 2ax + 2by + 2cz + D = 0 . ( 2 ). Ax. Cách giải : Bước 1 : Tìm tọa độ tâm I ( a ; b ; c ) và bán kính R của mặt cầu ( S ); ( bài toán 1.2/ ). Bước 2 : Tìm khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( α ) : d(I ; (α )) =. A.a  B.b  C.c  D A2  B 2  C. 2. =m.. Bước 3 : So sánh và kết luận : Nếu m > R : mặt phẳng (α ) không cắt mặt cầu (S) . Nếu m = R , mặt phẳng (α ) tiếp xúc mặt cầu (S) . Nếu m < R , mặt phẳng (α ) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn ( C ), Tâm H, bán kính r = IH . Trong đó H là hình chiếu I trên (α ). Áp dụng : Bài tập 5, trang 92. Đề thi TN THPT 4a.1 năm 2009. Đề thi CĐ Khối B năm 2010 . -------------------------------------------------------------------------------------------Dạng III : 1)Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M trên mặt phẳng (α) , 2)Trên đường thẳng Δ Bài : 3.1 : cho điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) . Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 . (1) Cách giải : Gọi H (x ; y ; z ) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) . H  (α) , và H  MH vuông góc (α) . Đường thẳng MH đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc (α) , nên nhận véc tơ pháp  tuyến của (α) làm véc tơ chỉ phương a = n = (A ; B ; C): Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span>  x  x0  A.t MH :  y  y 0  B.t ( 2 ) ;  z  z  C.t 0 . Thay ( 2 ) vào ( 1 ) ta tìm được t , thay vào ( 2 ) ta tìm được tọa độ H. Áp dụng Bài tập 8 trang 91 sgk ; Bài 9 trang 93 sgk . Đề thi CĐ Khối B năm 2010 Bài : 3.2 : cho điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) . Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng Δ có phương trình :  x  x0  a1 .t Δ :  y  y 0  a 2 .t  z  z  a .t 0 3 . (1);. Cách giải : Gọi H (x ; y ; z ) là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng Δ: H  Δ . . H  (α )qua M0 , và (α ) vuông góc đường thẳng Δ . Mặt phẳng (α ) đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc (α) , nên nhận véc tơ véc tơ chỉ  n = a = (a1 ; a2 ; a3) . phương a = (a1 ; a2 ; a3) của Δ làm véc tơ pháp tuyến của (α) : Ta có (α) : a1(x – x0 ) + a2 (y – y0 ) + a3(z – z0 ) = 0 ( 2 ). Thế ( 1) vào ( 2 ) , ta tìm được t . Thế t vào ( 1 ) ta tìm được toa độ H. Kết luận . Áp dụng Bài tập 7 trang 91 sgk ; Bài 12 trang 93 sgk . --------------------------------------------------------------------------------------------Dạng IV : Bài toán tổng hợp : Cho 4 điểm : A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ). D(xD ; yD ;zD ). 1) Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ) . 2) Tính góc A, B của tam giác ABC. 3) Tính diện tích tam giác ABC . 4) Chứng minh D.ABC là tứ diện. Tính thể tích hình chóp D.ABC . Cách giải : 1) Bài toán 2.1/ Chú ý a) ( 2) Ta có cosA =. a1 .b1  a 2 .b2  a3 .b3 . AB.. AC = = m. AB. AC . a12  a 22  a32 . .b11 .  b22  b33 .. Sử dụng MTCT tính góc A. 3) SABC =. 1 AB . AC . sinA .( kết quả ở 2) ) 2. 4) Thế tọa độ D(xD ; yD ; zD ) vào (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 (1). AxD + ByD + CzD + D = 0  m = 0 : Sai ( S), ta có D  (ABC). Kết luận D.ABC là tứ diện. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Gọi : VD.ABC là thể tích tứ diện D.ABC . Ta có : VD.ABC = ( Với Sđ = SABC = h = d(D,(ABC))=. 1 AB . AC . sinA , 2 m . a12  a 22  a32 . .b11 .  b22  b33 .. 1 Sđ. h. 3. ). Ta có thể tích cần tìm.. ******. ÔN TẬP CHỦ ĐỀ VI SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI: A/ TỐT NGHIỆP THPT 2 1. Bài 1 : Giải phương trình : 2x – 5x + 4 = 0 . trên tập số phức. TN THPT Năm : 2006. ; Đáp số : x1 =. 5 7 5 7  i ; x2 =  i . 4 4 4 4. 2. Bài 2: Giải phương trình : x2 -4x + 7 = 0 . trên tập số phức. TN THPT Năm : 2007 (lần 1) ; Đáp số : x1 = 2 + i 3 ; x2 = 2 - i 3 . 3. Bài 3: Giải phương trình : x2 – 6x +25 =0 . trên tập số phức. TN THPT Năm : 2007 (lần 2.) ; Đáp số : x1 = 3 + 4i ; x2 = 3 - 4i . 4. Bài 4 : Tìm giá trị biểu thức : P = ( 1 + i 3 )2 + ( 1 - i 3 )2 . TN THPT Năm : 2008 ( lần 1) ; Đáp số P = 4 . 5. Bài 5: Giải phương trình : x2 - 2x + 2 = 0 . trên tập số phức. TN THPT Năm : 2008 ( lần 2 ) ; Đáp số : x1 = 1 + i ; x2 = 2 + i . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 6. Bài 6: Giải phương trình : 8z2 – 4z + 1 ; Trên tập số phức. TN THPT Năm : 2009 ( Cơ bản ) ; Đáp số : z1 =. 1 1  i 4 4. ; z2 =. 1 1  i 4 4. 7. Bài 7: Giải phương trình : 2z2 – iz + 1 = 0 trên tập số phức. TN THPT Năm : 2009 (NC). ; Đáp số : z1 = i ; z2 = -. 8. Bài 8: Giải phương trình :2z2 + 6z + 5 = 0 ;. 1 i 2. trên tập số phức.. TN THPT Năm : 2010 (GDTX) ; Đáp số : z1 =-. 3 1 3 1  i ; z2 = -  i 2 2 2 2. 9. Bài 9 : Cho hai số phức: z1 = 1 + 2i , z2 = 2 – 3i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1 -2z2 . TN THPT Năm : 2010 ( Cơ bản ) ; Đáp số : Phần thực : -3 ; Phần ảo : 8. 10. Bài 10 : Cho hai số phức: z1 = 2 + 5i , z2 = 3 – 4i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1.z2 . TN THPT Năm : 2010 ( NC) ; Đáp số : Phần thực : 26 ; Phần ảo : 7.. SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI: CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC Bài 11 : Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. 2 2 Tính giá trị của biểu thức A = z1  z 2 . ĐH Khối A – 2009 (CB) . Đáp số : A = 20. Bài 12 : Tìm số phức z thỏa mãn z  (2  i)  10 và : z.z  25 . ĐH Khối B – 2009 (CB) . Đáp số : z = 3 + 4i và z = 5 . Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện : z  (3  4i)  2 . ĐH Khối D – 2009 . Đáp số : Đường tròn tâm I(3 ; 4 ), bán kính R =2 . Bài 14 : Cho số phức z thỏa mãn : (1 + i)2.(2 – i)z = 8 + I + (1 – 2i )z . Xác định phần thực , phần ảo của Z . CĐ KHỐI A,B,D – 2009 ( CB). Đáp số : Phần thực – 2 ; Phần ảo 5. Bài 15 : Giải phương trình :. 4 z  3  7i z 2iz  i. trên tập số phức.. CĐ KHỐI A,B,D – 2009 ( NC). Đáp số : z1 = 1 +2i ; ; z2 = 3 + i . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>