Kinh nghiệm: Tìm phép biến đổi trên phần tử đại diện để tìm lời giải về tính tổng trong bài toán tổ hợp

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Kinh nghiệm dạy toán tính tổng trong đại sô tổ hợp. 1. Tìm phép biến đổi trên phần tử đại diện để tìm lời giải vÒ tÝnh tæng trong bµi to¸n tæ hîp. (NguyÔn TiÕn Minh T.H.P.T Hång lam Hång LÜnh Hµ TÜnh). Trong các bài toán tính các tổng liên quan đến tổ hợp, cái khó là việc định hướng tìm lời giải sao cho dễ tiếp thu, không máy móc tiếp thu thụ động. Việc tìm ra các phép biển đổi trên phần tử đại diện mà cụ thể là trên số hạng tổng quát ở nhị thức Niu-Tơn , từ đó trình bày lời giải một cách tự nhiên rất có hiệu lực để gi¶i lo¹i to¸n nµy. Bài viết này nhằm đưa ra các ví dụ mà mấu chốt là việc trình bày ý tưởng nói trên . I. C¸c vÝ dô minh ho¹ 1. Bµi to¸n1.. TÝnh tæng S  12 C n  2 2 C n2  ...  n 2 C nn .. Ph©n tÝch:. Ta h·y xuÊt ph¸t tõ khai triÓn:. 1  x n.  C n0  C n1 x  C n2 x 2  ...  C nn x n. (*) .. Ta h·y t×m mèi liªn quan gi÷a sè h¹ng tæng qu¸t cña tæng S vµ sè h¹ng tæng qu¸t cña (*). Hay nói cách khác là từ số hạng tổng quát của (*) bằng các phép toán nào để biÕn thµnh sè h¹ng tæng qu¸t cña S ? -. Sè h¹ng tæng qu¸t cña (*) lµ u k  x k C nk .. -. Sè h¹ng tæng qu¸t cña S lµ v k  k 2 C nk. Tìm các phép toán biến đổi sao cho từ u k  v k  x k  ?  ...  k 2 .ở đây mỗi mòi tªn biÓu thÞ mét phÐp to¸n cÇn t×m. Ta b¾t ®Çu. k x  ( x k ) / ( lấy đạo hàm)  kx k 1 ( nhân với x)  kx k (lấy đạo hàm)  k 2 x k 1 (cho x= 1 )  k 2 Vì các phép toán đã tìm được ở trên phần tử đại diện . nên phải thực hiện trên 2 vế của tổng S. Theo sơ đồ đó ta có thể ghi lại một cách tự nhiên lời giải như sau. Lêi gi¶i: n + XuÊt ph¸t tõ khai triÓn 1  x   C n0  C n1 x  C n2 x 2  ...  C nn x n . -. + Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: n1  x . n 1.  C n1  2 xC n2  3 x 2 C n3  ...  nx n C nn .. + Nh©n c¶ 2 vÕ víi x ta cã: nx(1  x) n 1  xC n1  2 x 2 C n2  3 x 3 C n3  ...  nx n C nn . + Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: n(1  x) n 1  (n  1)(1  x) n  2 .nx  C n1  2 2 xC n2  3 2 x 2 C n3  ...  n 2 x n 1C nn . + Cho x =1 ta cã : S = n(n  1).2 n  2.. 1 Nhi thức NiuTơn nâng số mũ cuộcđời @@ NguyễnTiến Minh Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Kinh nghiệm dạy toán tính tổng trong đại sô tổ hợp. 2. NhËn xÐt: râ rµng viÖc tr×nh bµy lêi gi¶i chØ lµ mét “ viÖc ghi l¹i” mµ th«i. 2 2  1 1 23  1 2 2 n 1  1 n 0 Cn  C n  ...  Cn . Bµi to¸n 2. TÝnh tæng S  C n  2 3 n 1 Ph©n tÝch: - Sè h¹ng tæng qu¸t cña (*) lµ x k C nk .(1) 2 k 1  1 x k 1 1k 1  (2) . k 1 k 1 k 1 2 k 1  1 - Ta phải tìm các phép biến đổi từ x k  . k 1 nhËn xÐt r»ng sè mò k ë x k n©ng lªn mò (k+1) cã ®­¬c nhê phÐp lÊy nguyªn hµm cña hµm x k b 1 k 1 b b k 1 a k 1 Phép biến đổi 1:  x k dx  x   . (3) a k 1 k 1 k 1 a PhÐp tÝnh 2: So s¸nh (3) vµ (2) ta suy ra : b = 2 vµ a = 1. vËy tÝch ph©n cÇn lÊy ë phép biến đổi có cận đã xác định.. -. Sè h¹ng tæng qu¸t cña S lµ. Lêi gi¶i Ta cã :. 1  x n.  C n0  C n1 x  C n2 x 2  ...  C nn x n .  0 x2 1 x3 2 1 n 1 n  2 n  ( 1  x ) dx  C x  C n  C n  ...  x C n   1  n 2 3 n 1  1 1  x n1 2   2C 0  2 2 C 1  2 3 C 2  ...  2 n1 C n    C 0  1 C 1  1 C 2  ...  1 C n    n n n n n n n n  n 1 1 2 2 2 2 3 n 1   2. 3 n 1  2 n 1 S. n 1. Bµi to¸n 3. XÐt tæng S = 2 2 2 2 2 2C 20n  c 22n  C 24n  C 26n  ...  C 22nn  2  C 22nn Víi n > 4. TÝnh n biÕt: S 3 5 7 2n  1 2n  1 8192 . = 13 Ph©n tÝch: - sè h¹ng tæng qu¸t cña (*) lµ: x k C 2kn . Để “lấp đầy” các số hạng trong tổng đầy đủ khi sử dụng (*) ta xét: 2 2 2 2 2 2 P  C 20n  C 21n  C 22n  C 23n  C 24n  ...  C 22nn . 1 2 3 4 5 2n  1. 2 Nhi thức NiuTơn nâng số mũ cuộcđời @@ NguyễnTiến Minh Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Kinh nghiệm dạy toán tính tổng trong đại sô tổ hợp. 3. 2  1  C 2kn .  2. C 2kn  . k 1  k 1  - Từ đó ta có các phép biến đổi đi từ số hạng tổng quát của (*) đi đến số hạng tổng qu¸t cña P nh­ sau: 1 1 k 1 1 1 1.  x k dx  x  . 0 k  1 k  1 0 2. Nh©n víi 2. 3. Tìm Mối liên hệ giữa P và S từ đó suy ra S và tìm đươc n.. Sè h¹ng tæng qu¸t cña P lµ:. -. Lêi gi¶i. Ta cã : 1  x  1.  1  x  0. 2n. 2n.  C 20n  C 21n x  C 22n x 2  ...  C 22nn x 2 n . . 1 1 1  1 dx   C 20n x  C 21n x 2  C 22n x 3  ...  C 22nn .   2 3 2n  1  0. (1  x) 2 n 1 1 1 1 1 1  C 20n  C 21n  C 22n  C 23n  ...  C 22nn .  2n  1 0 2 3 4 2n  1. . . 2 2 2 n 1  1 2 2 2  2C 20n  C 2 n1  C 22n  ...  C 22nn (1) 2n  1 2 3 2n  1 1. MÆt kh¸c:.  (1  x) 0. 2n. 1 1 1 1 dx  C 20n  C 21n  C 22n  C 23n  ...  C 22nn .  2 3 4 2n  1. 2 2 2 2 2  2C 20n  C 21n  C 22n  C 23n  ...  C 22nn . (2). 2n  1 2 3 4 2n  1. Trõ 2 vÕ cña (1) vµ (2) ta cã : 2 2 n 1 8192   n  6 . (dễ dàng chứng minh đó là nghiệm duy nhất). S= 2n  1 13 Bµi to¸n 4. TÝnh tæng S  2 n 1 C n1  2.2 n  2 C n2  3.2 n 3 C n3  ...  nC nn . Ph©n tÝch: -Sè h¹ng tæng qu¸t cña S lµ : k .2 n  k C nk . = 2 n .(k .x k ) cho x= 2 1 . - sè h¹ng tæng qu¸t (*) lµ : x k C nk . ta có các phép biến đổi sau: 1.lấy đạo hàm của (x) k là kx k 1 2.nh©n víi 2 n . 3.Cho x= 2 1 . 4.Chia cho 2. Lêi gi¶i. Tõ : (1+x) n  C n0  C n1 x  C n2 x 2  ...  C nn x n . §¹o hµm c¶ 2 vÕ ta cã:. 3. Nhi thức NiuTơn nâng số mũ cuộcđời @@ NguyễnTiến Minh Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Kinh nghiệm dạy toán tính tổng trong đại sô tổ hợp. 4. n(1  x) n 1  C n1  2 xC n2  3 x 2 C n3  ...  nx n 1C nn . Nh©n c¶ 2vÕ víi 2 n : 2 n.n(1  x) n 1  2 n C n1  2.2 n xC n2  3.2 n.x 2 C n3  ...  n.2 n x n 1C nn .Cho x=2 1 ta cã: 2 .n.3 n 1  2 n.C n1  2 n 1 C n2  3.2 n  2 C n3  ...n.2C nn . Chia 2 vÕ cho 2 ta cã: S = n.3 n 1 .. . . n. Bài to¸n 5. T×m hÖ sè cña x10 trong khai triÓn: 1  x  x 3  x 4 biÕt r»ng C 2nn11  C 2nn21  ...  C 22nn1  2 8  1. (1) Lời giải. Trước hết ta tìm n từ đẳng thức (1). XuÊt ph¸t tõ 1  x 2 n1  C 20n1  C 21n1 x  C 22n1 x 2  ...  C 2nn11 x n1  C 2nn21 x n 2  ...  C 22nn1 x 2 n  C 22nn11 x 2 n1 . (2) Tõ (2) cho x =1 ta cã:. 2 2 n 1  C 20n 1  (C 21n 1  C 22n 1  ..  C 2nn 1 ).  (C 2nn11  C 2nn21  ...  C 22nn1 )  C 22nn11 . Do C 2kn 1  C 22nn11 k  C 21n 1  C 22nn1 :; C 22n 1  C 22nn11 ...; C 2nn 1  C 2nn11  2 2 n 1  2  2(2 8  1)  n  4. Ta cã:. 1  x  x. 3. x.    1  x (1  x )   1  x  (1  x). 4 n. 3. 4. 4. 4. 4.  ( x  1) (1  x )   C x (1) 4. 3 4. k 0. k 4. k. Sè h¹ng tæng qu¸t cña khai triÓn lµ: (1) k .x k 3i C 4k .C 4i víi i; k lµ c¸c sè tù nhiªn 0  k ; i  4 . Theo bµi ra ta cÇn t×m: k + 3i = 10. k. 1. 4.  hÖ sè cña x10 lµ: i. 3. C 41 .C 43  C 44 .C 42  22.. 2. Bµi 6. T×m n biÕt S  2C n0  3C n1  4C n2  ...  (n  2)C nn  320. sè h¹ng tæng qu¸t cña S lµ (k  2)C nk  kC nk  2C nk ta cÇn tÝnh 2 tæng. Lêi gi¶i. XuÊt ph¸t tõ: 1  x n  C n0  C n1 x  C n2 x 2  ...  C nn x n (*) LÊy d¹o hµm c¶ 2 vÕ ta cã:. nx(1  x) n 1  xC n1  2 x 2 C n2  3 x 3 C n3  ...  nx n C nn . Cho x = 1 ta cã: n.2 n 1  C n1  2C n2  3C n3  ...  nC nn . (1) Trong (*) cho x =1. ta cã: 2 n  C n0  C n1  C n2  ...  C nn . Nh©n c¶ 2 vÕ víi 2 th× cã:. 4 Nhi thức NiuTơn nâng số mũ cuộcđời @@ NguyễnTiến Minh Lop12.net. k. 4. C i 0. i i 4. 3. (x ).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Kinh nghiệm dạy toán tính tổng trong đại sô tổ hợp. 5. 2 n 1  2C n0  2C n1  2C n2  ...  2C nn (2). Céng (1) vµ (2) ta cã: n 2 n 1  2 n 1  2C n0  (1  2)C n1  (2  2)C n2  (3  2)C n3  ...  (n  2)C nn   2 n 1 (n  4)  2n  320. n4 . Do n > 4 nªn vÕ ph¶i 5 lín h¬n 1. nªn n < 7 vµ n > 4. Thö ta thÊy chØ cã n = 6. tho· m·n. VËy n = 6 . Bµi 7. Chøng minh r»ng: S = C 20n  3 2 C 22n  3 4 C 24n  ...  3 2 n C 22nn  2 2 n 1 (2 2 n  1) n 2 n 1  2 n 1  S  n 2 n 1  2 n 1  320  2 6.5  2 7  n . Lêi gi¶i: Ta xÐt thªm. P  3C 21n  33 C 23n  35 C 25n  ...3 2 n 1 C 22nn 1 .. Ta cã S + P = C 20n  3C 21n  3 2 C 22n  33 C 23n  3 4 C 24n  ...  3 2 n 1 C 22nn 1  3 2 n C 22nn . Tõ : 1  x   C 20n  C 21n x  C 22n x 2  ...  C 22nn x 2 n cho x = 3 ta cã: S +P = 24n. L¹i cho x = - 3 ta cã: S – P = 22n. 2 4n  2 2n  2 2 n 1 (2 2 n  1) . Tõ hÖ trªn ta suy ra S  2 2n. II. Kết luận. Qua kinh nghiệm phân tích tìm lời giải nhờ việc tìm các phép biến đổi trên phần tử đại diện trong bài toán tính tổng trong tổ hợp dựa vào khai triển Niu-Ton. Ta rút ra lược đồ cách giải như sau: n. Gi· sö cÇn tÝnh tæng S =.  f (k )C k 0. k n. Ta phải trải qua các bước sau.. 1. XuÊt ph¸t tõ khai triÓn: 1  x   C n0  C n1 x  C n2 x 2  ...  C nn x n (*) n. sè h¹ng tæng qu¸t cña S lµ u k  f (k )C nk . Sè h¹ng tæng qu¸t cña (*) lµ x k C nk . 2. Tìm dãy các phép toán thực hiện trên số hạng tổng quát của (*) để biến thành số hạng tổng quát của S . theo sơ đồ: x k  g (k )  ...  f (k ). ( nhiều lúc phải viêt f(k) = h(n).g(k) + v(n) u(k). Khi đó các phép toán thực hiện trên xk phải thực hiện theo nhiều bước ). 3. Trình bày lại lời giải tường minh theo các bước đa cho rồi lấy x một giá trị đặc biêt đã được xác định đã định hướng ở tổng S . 4. Việc làm trên giúp người học chủ động tự tìm ra lời giải của loại toán trên , tiếp thu chủ động gây hứng thú trong học tâp, đồng thời có khả năng sáng tạo ra nhiều bµi to¸n míi vµ kh«ng phô thuéc vµo c¸c tµi liÖu cã s½n. III. Mét sè bµi to¸n tù gi¶i theo c¸ch thøc trªn. 2 3 4 2009 1. TÝnh tæng S = 1.2.C 2009  2.3.C 2009  3.4.C 2009  ...  2008.2009.C 2009 . 2. TÝnh tæng S = 2 n 1 C n1  2.2 n  2 C n2  3.2 n 3 C n3  ...  nC nn . 0 1 2 2007 2008 3. TÝnh tæng S = 2009C 2008  2008C 2008  2007C 2008  ...  2C 2008  C 2008 .. . 4. T×m sè h¹ng chóa x5 trong khai triÓn: 1  x  x 2  x 3. . 10. .. 5 Nhi thức NiuTơn nâng số mũ cuộcđời @@ NguyễnTiến Minh Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Kinh nghiệm dạy toán tính tổng trong đại sô tổ hợp. 6. 1 1 1 1 C nn 2 n. 5. TÝnh tæng S = C n0  C n1 .2  .C n2 .2 2  .C n3 .2 3.  ...  2 3 4 n 1 0 1.C n 2.C n1 3.C n2 (n  1)C nn 0 1 2 6. Cho biÕt C n  C n  C n  211 . TÝnh tæng S =  1  1  ...  A11 A2 A3 An11 7.Chứng tỏ tổng sau không chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương n. S = 5 2 n C 20n  5 2 n  2 C 22n  5 2 n  4 C 24n  ...  5 2 C 22nn  2  C 22nn . 8.Gọi a3n 3 là hệ số của x3n-3trong khai triển (x2+1)n(x+2)n .Tìm n để a3n 3  26n. 9. Tìm hệ số của x10trong khai triển (1+x)10(x+1)10từ đó suy ra giá trị của tổng S =. C   C   C  0 2 10. 1 2 10. 2 2 10.  . 2.  ...  C1010 . 10. T×m sè h¹ng kh«ng phô thuéc vµo x khi khai triÓn biÓu thøc: n. 1 2 3 2  x  x  x  với n là số nguyên dương sao cho: C n  2n  An 1 2 2 2 8192 C 22nn  11. T×m sè tù nhiªn n tho· m·n: 2.C 20n  C 22n  C 24n  ...  3 5 2n  1 2n  1 §s: n =6. n.  1  12. T×m hÖ sè cña x trong khai triÓn  x  4  biÕt n tho· m·n: 2 x  2 3 n 1 2 2 2 6560 C nn  2C 0n + C n1  C n2  ...  2 3 n 1 n 1 21 §s: HÖ sè cÇn t×m b»ng . 4 2. 0 1 2 2010 2 0 C 2010 21 C 2010 2 2 C 2010 2 2010 C 2010    ... . (có thể biến đổi trực tiếp 13.TÝnh tæng S = 1.2 2.3 3.4 2011.2012 k k  1k 2 C 2010 .) (k  1)(k  2) 1 §s: 2011 2 4 6 100 14. TÝnh S = 4C100 .  8C100  12C100  ...  200C100. §s: 100. 2 99 0 4 8 2004 2008 15. TÝnh S = C 2009 .  C 2009  C 2009  ...  C 2009  C 2009 §s: 2 1003 2 2007 ( xÐt khai triÓn sè phøc 1  i . 2009. ).. 2. 2 2 2n 121 C nn  15.Tìm n nguyên dương: C n0  C n1  C n2  ...  . 2 3 n 1 n 1 §s: n =4.. 6 Nhi thức NiuTơn nâng số mũ cuộcđời @@ NguyễnTiến Minh Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 7. Kinh nghiệm dạy toán tính tổng trong đại sô tổ hợp. 7 Nhi thức NiuTơn nâng số mũ cuộcđời @@ NguyễnTiến Minh Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>