Giáo án Giải tích 12 - Tiết 53 – 54 : Tích phân

<span class='text_page_counter'>(1)</span>GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 – BAN CƠ BẢN. TÝch ph©n. Tiết 53 – 54 :. i. môc tiªu: 1. Kiến thức cơ bản: Khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích phân (phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần) 2. Kỹ năng: Hiểu rõ khái niệm tích phân, biết cách tính tích phân, sử dụng thông thạo cả hai phương pháp tính tích phân để tìm tích phân của các hàm số. 3. Thái độ: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội. 4. Tö duy: Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ. ii. chuÈn bÞ: 1. Gi¸o viªn: Gi¸o ¸n, hÖ thèng c©u hái. Phiếu học tập, bảng phụ. 2. Häc sinh : -. ¤n tËp nguyªn hµm.. -. Đọc qua nội dung bài mới ở nhà.. iii. phương pháp: - Vấn đáp gợi mởi, quy về quen, kết hợp thảo luận nhoựm vaứ hỏi ủaựp. - Phöông tieän daïy hoïc: SGK. iv. TiÕn tr×nh bµi d¹y: 1.Ổn định lớp : KiÓm tra sü sè. 2.Kiểm tra bài cũ : 5’ - Viết công thức tính nguyên hàm của một số hàm số hàm số thường gặp. - Tính :  ( x  1)dx -. GV nhắc công thức :. f '  x0   lim. x  x0. f  x   f  x0  x  x0. 3. Bài mới Hoạt ñộng của Gv I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN. 1. Diện tích hình thang cong: Hoạt động 1 : Yªu cÇu HS th¶o luËn ?1 SGK. y 7 B H f(t)=t+1 3 1 -1 O. A D 2. G. C. t. 6. x. Hoạt ñộng của Hs. Thảo luận nhóm để: + Tính diện tích S của hình T khi t = 5. (H46, SGK, trang 102) + Tính diện tích S(t) của hình T khi t  [1; 5]. + Chứng minh S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1, t  [1; 5] và diện tích S = S(5) – S(1).. ( Hình 1) -Dựng hình thang ABCD khi biết các đường thẳng: AB: f(x)=x+1,AD: x=2, CB: x=6 và y = 0 (trục hoành) -Tính diện tích S hình thang ABCD GIÁO VIÊN : HOÀNG THÀNH TRUNG. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 – BAN CƠ BẢN 73 .4  20 S= -Lấy t  2;6 . Khi đó diện tích hình thang AHGD bằng bao 2 nhiêu? 3  t 1 t2 (t  2)   t  4 S(t) = 2 2 -S’(t) = ?.Khi đó S(t) và f(t) có liên hệ như thế nào ? t  2;6 -Tính S(6) , S(2) ? và S ABCD ? S’(t) = t+1= f(t)  S(t) là nột nguyên hàm Từ lập luận trên dẫn đến k/n hình thang cong và công thức tính của f(t) = t+1 d/t nó. S(6) = 20,S(2) = 0 và S ABCD = S(6)-S(2) Gv giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa sau : “Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a ; b] .Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b được gọi là hình thang cong (H47a, SGK, trang 102)” Gv giới thiệu cho Hs vd 1 (SGK, trang 102, 103, 104) để Hs hiểu rõ việc tính diện tích hình thang cong. Thảo luận nhóm để chứng minh y F(b) – F(a) = G(b) – G(a). B SMNEQ = S(x) – S(x0) y= f (x) A SMNPQ < SMNEQ < SMNEF lim f  x   f(x0). x. O a b -Giáo viên đưa ra bài toán: Tính diện tích của hình thang cong aABb Giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y = f(x) , f(x)  0, trục Ox và các đương thẳng x = a , x = b (a<b) -Cho học sinh đọc bài toán 1 sgk -Kí hiệu S(x) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và các đường thẳng đi qua a, x và song song Oy. Hãy chứng minh S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]. lim. x  x0. S ( x)  S ( x0 )  f(x0) x  x0. S = S(b) – S(a) y. x  x0. x  x0. S ( x)  S ( x0 )  f(x0) (2) x  x0 x  x0 S ( x)  S ( x0 ) lim  f(x0) (3) x  x0 x  x0 lim. S(x) = F(x) +C (C: là hằng số). -Giả sử x0 là điểm tùy ý cố định thuộc (a ; b) *Xét điểm x  (a ; b ] -Diện tích hình thang cong MNEQ? -Dựa vào hình 4 so sánh diện tích SMNPQ , SMNEQ và SMNEF *f(x) liên tục trên [ a; b] lim f  x   ? - Suy ra lim. x  x0. y=f(x) F. f(x). S ( x)  S ( x0 ) ? x  x0. f(x 0 ). *Xét điểm x  [a ; b ) S ( x)  S ( x0 ) ? Tương tự lim x  x0 x  x0. 0. Q xo a. E P x. M N b Hình 4 *Xét điểm x  (a ; b ]. x. GIÁO VIÊN : HOÀNG THÀNH TRUNG. 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 – BAN CƠ BẢN SMNEQ là S(x) – S(x0) Từ (2) và (3) suy ra gì? Ta có:SMNPQ < SMNEQ < SMNEF  f(x0)(x-x0)<S(x)-S(x0)<f(x)(x-x0) S(x) - S(x 0 ) <f(x) (1  f(x0)< x - x0 Vì lim f  x   f(x0) S(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên x  x0 [ a; b ] ta biểu diễn S(x)? S ( x)  S ( x0 )  f(x0)(2) (1)  lim x  x0 x  x0 * SMNEQ = S(x) – S(x0)  S =? *Xét điểm x  [a ; b ) S ( x)  S ( x0 ) -Giáo viên củng cố kiến thức BT1  f(x0)(3) Tương tự: lim x  x0 x  x0 + Giả sử y = f(x) la một hàm số liên tục và f(x)  0 trên [ a; b ]. Khi đó diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) Từ (2) và (3)ta có: của hàm số y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng S ( x)  S ( x0 ) lim  f(x0) x = a, x = b là S = F(b) – F(a) trong đó F(x) là một nguyên x  x0 x  x0 hàm bất kì của hàm số f(x) trên [ a; b ] Hay S’ (x) = f(x0) Suy ra S’ (x) = f(x) (vì x  (a ; b ) nên suy ra S’ (a) = f(a),S’(b) = f(b) 2. Định nghĩa tích phân : Vậy S(x) là 1 nguyên hàm của f(x) Hoạt động 2 : Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b], F(x) và G(x) trên [ a; b ]  S(x)= F(x) +C (C: là hằng số) là hai nguyên hàm của f(x). Chứng minh rằng F(b) – F(a) = S = S(b) – S(a) G(b) – G(a). (tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc = (F(b) +C) – (F(a) + C) chọn nguyên hàm). = F(b) – F(a) Gv giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa sau : “Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu: b.  f ( x) dx a. b. Ta cßn ký hiÖu: F ( x) a F (b) F (a) . b. Vậy:. F ( x)  f ( x)dx . b a. F (b) F (a ). a. Qui ước: nếu a = b hoặc a > b: ta qui ước : a. b. a. a. a. b.  f ( x) dx  0;  f ( x) dx   f ( x) dx Gv giới thiệu cho Hs vd 2 (SGK, trang 105) để Hs hiểu rõ định nghĩa vừa nêu. Nhận xét: + Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể ký hiệu là b. b. a. a.  f ( x) dx hay  f (t ) dt . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào hàm f, các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t. + Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì GIÁO VIÊN : HOÀNG THÀNH TRUNG. 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 – BAN CƠ BẢN b.  f ( x) dx là diện tích S của hình thang giới hạn bởi đồ thị của a. f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b. (H 47 a, trang 102) b.  f ( x) dx. Vậy : S =. a. II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN. + Tính chất 1: b. b. a. a.  kf ( x) dx  k  f ( x) dx + Tính chất 2: b. b. b. a. a. a. Thảo luận nhóm để chứng minh các tính chất 1, 2..  [f ( x)  g ( x)] dx   f ( x) dx   g ( x) dx + Tính chất 3: b. c. b. a. a. c.  f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx. ( a  c  b). Hoạt động 3 : Hãy chứng minh các tính chất 1, 2. Gv giới thiệu cho Hs vd 3, 4 (SGK, trang 106, 107) để Hs hiểu rõ các tính chất vừa nêu. III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN. 1. Phương pháp đổi biến số: Hoạt động 4 : 1. Cho tích phân I =  (2 x  1) 2 dx 0. a/ Hãy tính I bằng cách khai triển (2x + 1)2. b/ Đặt u = 2x + 1. Biến đổi (2x + 1)2dx thành g(u)du. u (1). c/ Tính:. . g (u ) du và so sánh với kết quả ở câu a.. u (0). Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý sau: “Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [; ] sao cho () = a; () = b và a  (t)  b với mọi t thuộc [; ] . Khi đó:” b.  a. . f ( x) dx   f ( (t )). ' (t ) dt . Gv giới thiệu cho Hs vd 5 (SGK, trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu. Chú ý: b. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tính.  f ( x) dx a. ta chọn hàm số u = u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục trên [a; b] và u(x) thuộc [; ]. Ta biến đổi f(x) = g(u(x)).u’(x). Khi đó ta có:. Thảo luận nhóm để: GIÁO VIÊN : HOÀNG THÀNH TRUNG. 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 – BAN CƠ BẢN u (b ). b. . f ( x) dx =. . + Tính  ( x  1)e x dx bằng phương pháp. g (u ) du. u (a). a. nguyên hàm từng phần. Gv giới thiệu cho Hs vd 6, 7 (SGK, trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu. 2. Phương pháp tính tích phân từng phần: Hoạt động 5 :. 1. + Tính:  ( x  1)e x dx 0. a/ Hãy tính  ( x  1)e x dx bằng phương pháp nguyên hàm từng phần. 1. b/ Từ đó, hãy tính:  ( x  1)e x dx 0. Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý sau: “Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì b. b.  u ( x)v ( x) dx  (u ( x)v( x)). b a. b. b. a. a. '. a.   u ' ( x)v( x) dx a. Hay  u dv  uv ba   v du ” Gv giới thiệu cho Hs vd 8, 9 (SGK, trang 110, 111) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu. IV. Củng cố: + Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc trong bài để Hs khắc sâu kiến thức. + Dặn BTVN: 1..6 SGK, trang 112, 113.. LUYỆN TẬP. Tiết 55 – 56 : Hoạt động của thầy. Bµi 1 (SGK) H1. Ta nên đổi biến bằng cách đặt t= ? Tính tích phân đó ( víi c©u a, b, d, e) ? H2. B¹n nµo cã c¸ch gi¶i kh¸c? H3. Nêu cách tính tích phân hữu tỷ? Tính tích phân đó? (C©u e) .. Hoạt động của trò HS lªn b¶ng gi¶i, nhËn xÐt, ph¶n diÖn 1 2. a)  . 3. 1  x . 1 2. 2. 2. 1 2. 2. dx    1  x  3 d 1  x  . 5 3   1  x  3 5. e) . 1 2. 1 2 . 1 2. . 1 2. . . 3 33 9 1 3 10 4. 2. 1 1  1 dx     dx x 1  x  x 1  1 x.  ln. 2. x x 1. 2 1 2. . 4  3ln 2 3. Baøi 2 : Tính caùc tích phaân. GIÁO VIÊN : HOÀNG THÀNH TRUNG. 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 – BAN CƠ BẢN a.. 1. . x.e-x. 1. 2. dx b.  e3x 1 dx. 0. c.. 0. 1. dx. 1 x 0. Giaûi :. Bµi 2 (SGK) a.. 1.  x.e-x. 2. dx = -. H1. Nên đặt ẩn phụ t= ? Từ đó biểu diễn theo t và 0 tính tích phaân ?  e * Giáo viên hướng dẫn cách không cần chuyển qua 2 1 bieán t dx c.  = b. Hướng dẫn : Đặt t =1+x 1 x 0 H2 Gọi học sinh thực hiện. 1. 2 2   .  e-x d(- x2  = - e-x  0 .  0. =. 1.  d(1  x) = ln|x+1| = ln2 0 1 x 0. . Baøi 3 : Tính caùc tích phaân : a.. . 1  2.  2. 1  lnx dx b.  sin3 xcosxdx x 0.  esinx .cosxdx. c.. Bµi 3 (SGK). e. d.. 0.  6. . 1  4sinx .cosxdx. 0. Giaûi : a. Ñaët t=1+lnx . Neân dt = Khi x=e thì t=2 . Ta coù. a. Hướng dẫn : đặt t=1+lnx Gọi học sinh thực hiện.  2.  1.  t. t dt = (2  -1) . b.Hướngdẫn : Đặt t=sinx Gọi học sinh thực hiện. e. dx . Khi x=1 thì t=1 . x 2  1  lnx dx =  t dt =  x 1.  2. .  sin x 2 b.Tacoù  sin xcosxdx =  sin xd(sinx) = 4 0 0 0 3.  . =. Bµi 4 (SGK). 3. Bài 4: Tính các tích phân sau ( với a > 0 ) a.. H1Khi ñaët t=atgt thì dx=? Khi x=0 thì t = ? Khi x=a thì t = ?. a. dx.  a2  x2. b.. 0. a. Ta coù I=. a. dx Từ đó tính  2 =?  x2 0 a.  0. a. dx.  a2  x2 0. => dx=. a 2. a dt 2. cos t. dx . . a x Giaûi :   . Ñaët x = atgt t     . . Khi x=0 thì t=0 ; khi x=a thì t=. GIÁO VIÊN : HOÀNG THÀNH TRUNG. 6 Lop12.net.  .

<span class='text_page_counter'>(7)</span> GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 – BAN CƠ BẢN .Vaäy I= Câu b tương tự gọi học sinh giải.  a.  4. dt. .  4.  cos2 t(1  tg2 t) = a  dt = 0. 0. b. Ta goïi I=. a 2. dx. . .Ta ñaët x=asint t . .  a x. 0.  a. a       . Khi x=0 thì t=0 ; khi x= 2 thì t=  .Vaø  . dx=acostdt .Vaäy I=. Baøi 5 : Tính a..  6. acost .dt = acost 0. .  x. e3x dx 1.  x2  e-x dx. Giaûi : du  -dx u  2 - x  c. Ñaët  ta coù   dv  sin3xdx v    cos3x   6-. * Nêu công thức tính tích phân từng phân u  2 - x du   H1 Ñaët  thì  .Từ đó tính dv  sin3xdx v    6.  6.   (x-2)cos3x cos3xdx =    0  0. Vaäy I=. u  x  du  2xdx d. . Ñaët  ta coù  . Do đó I= -x2.e-x -x -x v   e dv  e dx  0. 1. +  2x.e-x dx = 0.  + e. 1.  2x.e-x dx . 0. 1.  (2 - x)sin3xdx. Gọi J=  2x.e-x dx . Tính tương tự ta có J= -. 0. du   2 - x)dx H2i Neáu ñaët  thì có tính được I= 2-  v  sin3x  e.  (2 - x)sin3xdx. 0. 0. 0. Bµi 5 (SGK).  6. d.. 0.  . b.  (x - 1)cosxdx. 0. c.  (2 - x)sin3xdx.  dt =.  2. 1.  6.  6. ?. 0. Baøi 6 : Tính : a.. 0.  2.  x2 sinxdx.  2.  ex .cosxdx. b.. 0. c.. e. 5. 1. 2.  lnxdx d.  2x.ln(x - 1)dx.  + 2 . Vaäy e. 0. e. e.  (lnx)2 dx 1. Giaûi : GIÁO VIÊN : HOÀNG THÀNH TRUNG. 7 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 – BAN CƠ BẢN u  x2 du  xdx a. Ñaët  , ta coù  . Vaäy I= v  cosx dv  sinxdx  2+.  2.  2. x2.cosx  2xcosxdx . Goïi J=  2xcosxdx u  x2 du   Hoûi Ñaët  thì  .Từ đó tính 0 0 0 v   dv  sinxdx tương tự ta có J= -2 . Vậy I= -2  2 u  ex 2 b.Hướ n g daã n : Ñaë t   x sinxdx =? dv  cosxdx 0. Cñng cè : 1. Nhắc lại các phương pháp tính tích phân. 2. Đọc trước bài 3. 3. Lµm thªm bµi tËp: . a.  (2cos3x  3sin2x) dx c.. 0  4.  cotgxdx. b..  4.  tgxdx 0  2. sinx dx 1  3cosx 0. d .. 6. GIÁO VIÊN : HOÀNG THÀNH TRUNG. 8 Lop12.net. Tính.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>