Giáo án môn Giải tích 12 tiết 56-58: Các phương pháp tìm nguyên hàm

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Tiết PPCT:56-57-58 Ngày:11/02/2009. §2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM. I.Mục tiêu 1.Về kiến thức: - Hiểu được phương pháp đổi biến số và lấy nguyên hàm từng phần . 2. Về kĩ năng: - Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số không quá phức tạp. 3. Về tư duy thái độ: - Phát triển tư duy linh hoạt. -Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác. II.Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Giáo viên: - Lập các phiếu học tập, bảng phụ. 2. Học sinh: Các kiến thức về : - Vận dụng bảng các nguyên hàm, tính chất cơ bản của nguyên hàm, vi phân. III. Phương pháp: Gợi mở vấn đáp IV.Tiến trình bài học TIẾT 1 Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi: a/ Phát biểu định nghĩa nguyên hàm . b/ Chứng minh rằng hàm số F(x) =. (2 x 2  1) 5 là một nguyên hàm của hàm số 5. f(x) = 4x(2x2 +1)4. - Cho học sinh khác nhận xét bài làm của bạn. - Nhận xét, kết luận và cho điểm. Hoạt động 1: Xây dựng phương pháp đổi biến số. Hoạt động của học sinh. Hoạt động của giáo viên. Ghi bảng. - Thông qua câu hỏi b/ , hướng dẫn hsinh đi đến phương pháp đổi biến số..  4 x(2 x  1) dx = =  (2 x  1) (2 x  1)' dx 2. 2. - Nếu đặt u = 2x2 + 1, thì 2 4  4 x(2 x  1) dx =.  (2 x. 2.  1) 4 (2 x 2  1)' dx. u5 =  u du = +C= 5 (2 x 2  1) 5 +C 5. 4. 4. 2. -Nếu đặt u = 2x2 + 1, thì biểu thức ở trên trở thành như thế nào, kết quả ra sao?. 4. - Phát biểu định lí 1.. Hoạt động 2 :Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng PPĐBS.. Lop12.net. -Định lí 1 : (sgk).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Hoạt động của học sinh. Hoạt động của giáo viên. - HS suy nghĩ cách biến đổi về dạng  f [u ( x)]u ' ( x)dx - Đ1:. . 2x x2 1. 3. . . H1:Có thể biến đổi về dạng. . Ghi bảng. 2x. dx. x2 1 Bg: f [u ( x)]u ' ( x)dx được 2x 3. . 1. 2 2  ( x  1) 3 ( x  1)' dx. Đặt u =.  (x. 2. x2+1. , khi đó :. 2. 3 3 = u 3 + C = (x2+1) 3 + C 2 2. - HS suy nghĩ cách biến đổi về dạng  f [u ( x)]u ' ( x)dx. x2 1. dx. .  1)( x 2  1)' dx. Đặt u = (x2+1) , khi đó : 2 2  sin( x  1)( x  1)' dx =.  sin udu. . 1 3. dx =  ( x  1) ( x 2  1)' dx 2. 2. . 1 3. . 1 3.  1) ( x  1)' dx =  u du 2. 2. 3 3 3 u + C = (x2+1) 3 + C 2 2. - Nhận xét và kết luận.. Vd2:Tìm  2 x sin( x 2  1)dx. H2:Hãy biến 2  2 x sin( x  1)dx về. Đ2:  2 x sin( x 2  1)dx = 2. 3. 2. =. 1  3.  1) ( x 2  1)' dx =  u du.  sin( x. 2. 3.  (x. 1  3. 2. 2x. x 1 Đặt u = x2+1 , khi đó :. không? Từ đó suy ra kquả?. dx =. . Vd1: Tìm. đổi Bg: dạng 2  2 x sin( x  1)dx = f [u ( x)]u ' ( x)dx ? Từ đó suy ra sin( x 2  1)( x 2  1)' dx. . kquả?. Đặt u = (x2+1) , khi đó : 2 2  sin( x  1)( x  1)' dx =  sin udu. - Nhận xét và kết luận.. = -cos u + C = - cos(x2+1) +C. = -cos u + C = - cos(x2+1) +C -HS suy nghĩ cách biến đổi về dạng  f [u ( x)]u ' ( x)dx. H3:Hãy biến đổi về dạng. Đ3:  e cos x sin xdx = = - e. cos x. e. cos x. sin xdx.  f [u ( x)]u ' ( x)dx. ? Từ. đó suy ra kquả?. (cos x)' dx. Đặt u = cos x , khi đó : cos x cos x  e sin xdx = -  e (cos x)' dx. - Nhận xét và kết luận.. Vd3:Tìm  e cos x sin xdx Bg: cos x cos x  e sin xdx = -  e (cos x)' dx Đặt u = cos x , khi đó : cos x cos x  e sin xdx = -  e (cos x)' dx = -  e u du = -eu + c = - ecosx + c. = -  e u du = -eu +C = - ecosx +C. * chú ý: có thể trình bày cách khác: cos x cos x  e sin xdx = -  e d (cosx) = - ecosx + C. Hoạt động 3: Củng cố ( 10 phút) . Hoạt động nhóm. Hoạt động của học sinh. Hoạt động của giáo viên. Ghi bảng. - Các nhóm tập trung giải quyết . - Theo dõi phần trình bày của nhóm bạn và rút ra nhận xét và bổ sung.. - Cho HS hđ nhóm thực hiện phiếu HT1 . - Gọi đại diện một nhóm trình bày. - Đại diện nhóm khác cho nhận xét. - GV nhận xét và kết luận.. * Chú ý: Đổi biến số như thế nào đó để đưa bài toán có dạng ở bảng nguyên hàm.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài tập về nhà: 6, 7 trang 145 Câu 1.Tìm kết quả sai trong các kết quả sau: 2 2 1 1 2 ln x 1 dx =  ln xd (ln x) = ln 2 x + C a/  e x xdx =  e x d ( x 2 ) = e x + C ; b/  2 2 x 2 1 d (1  x ) dx = 2  c/  dx = 2 ln(1+ x ) + C ; d/  xsinxdx = -xcosx + C x (1  x ) 1 x Câu 2. Tìm kết quả sai trong các kết quả sau: 3 3 1 1 3 1 a/  e x x 2 dx =  e x d ( x 3 ) = e x + C ; b/  sin 2 x. cos xdx =  sin 2 x.d (sin x) = sin 3 x + C 3 3 3 1 d (1  x ) dx =  c/  = ln(1+ x ) + C ; d/  x cosxdx = x.sinx + C 2 x (1  x ) 1 x TIẾT 2 Hoạt động 4:Giới thiệu phương pháp lấy nguyên hàm từng phần . Hoạt động của học sinh. Hoạt động của giáo viên. Đ: (u.v)’= u’.v + u.v’   (uv)' dx =  u 'vdx +  uv' dx. H: Hãy nhắc lại công thức đạo hàm một tích ? Hãy lấy nguyên hàm hai vế, suy ra  udv = ?.   udv =  (uv)'dx +  vdu   udv = uv -  vdu. - GV phát biểu định lí 3 - Lưu ý cho HS: đặt u, dv sao cho  vdu tính dễ hơn  udv .. Đ:Đặt u = x, dv = sinxdx Khi đó du = dx, v = -cosx Ta có :  x sinxdx =- x.cosx +  cosxdx. - H: Từ đlí 3 hãy cho biết đặt u và dv như thế nào? Từ đó dẫn đến kq? - yêu cầu một HS khác giải bằng cách đặt u = sinx, dv = xdx thử kq như thế nào. = - xcosx + sinx + C. Ghi bảng. -Định lí 3: (sgk)  udv = uv -  vdu. -Vd1: Tìm.  x sinxdx. Bg: Đặt u = x,dv = sinxdx Khi đó du =dx,v =-cosx Ta có :  x sinxdx =- x.cosx +.  cosxdx = - xcosx + sinx. +C Hoạt động 5: Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng pp lấy nguyên hàm từng phần. Hoạt động của học sinh - Học sinh suy nghĩ và tìm ra. Hoạt động của giáo viên H :- Dựa vào định lí 3, hãy đặt u, dv Lop12.net. Ghi bảng - Vd2 :Tìm. x.  xe dx.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> hướng giải quyết vấn đề. Đ :Đặt u = x ,dv = exdx  du = dx, v = ex Suy ra :.  xe. x. như thế nào ? Suy ra kết quả ?. x. dx = x. ex -  e dx. Bg : Đặt u = x ,dv = exdx  du = dx, v = ex Suy ra :.  xe. x. = x.ex – ex + C. = x.ex – ex + C. Đ: Đặt u = x2, dv = exdx du = 2xdx, v = ex Khi đó: 2 x x  x e dx =x2.ex-  x e dx. H : Hãy cho biết đặt u, dv như thế nào ? Suy ra kquả ? - Lưu ý :Có thể dùng từng phần nhiều lần để tìm nguyên hàm.. = x2.ex-x.ex- ex+C - Đ: Đặt u = lnx, dv= dx 1  du = dx, v = x x Khi đó :  ln xdx = xlnx -  dx = xlnx – x + C - Đăt u = lnx, dv = x2dx x3 1  du = dx , v = 3 x Đ :Không được. Trước hết : Đặt t =. x  dt =. x. dx = x. ex -  e dx. 1. dx 2 x Suy ra  sin x dx =2  t sin tdt Đặt u = t, dv = sint dt  du = dt, v = - cost   t sin tdt =-t.cost+  cos tdt = -t.cost + sint + C Suy ra:  sin x dx = = -2 x .cos x +2sin x +C. - H : Cho biết đặt u và dv như thế nào ?. Vd3 : Tìm I=  x 2 e x dx Bg :Đặt u = x2, dv = exdx du = 2xdx, v = ex Khi đó: 2 x x  x e dx =x2.ex-  x e dx = x2.ex-x.ex- ex+C. Vd4 :Tìm  ln xdx - Thông qua vd3, GV yêu cầu HS cho biết đối với  x 2 ln xdx thì ta đặt u, dv như thế nào.. Bg : Đặt u = lnx, dv= dx 1  du = dx, v = x x Khi đó :  ln xdx = xlnx -  dx = xlnx – x + C. H : Có thể sử dụng ngay pp từng phần được không ? ta phải làm như thế nào ? + Gợi ý : dùng pp đổi biến số trước, đặt t= x.. Vd5: Tìm  sin x dx Đặt t = * Lưu ý cho HS các dạng thường sử dụng pp từng phần.  f ( x) sin xdx ,  f ( x) cos xdx.  f ( x )e. x. dx. đặt u = f(x), dv cònlại.  f ( x) ln xdx , đặt u = lnx,dv =f(x) dx. x  dt =. 1. dx 2 x Suy ra  sin x dx =2  t sin tdt Đặt u = t, dv = sint dt  du = dt, v = - cost   t sin tdt =-t.cost+  cos tdt = -t.cost + sint + C Suy ra:  sin x dx = = -2 x .cos x +2sin x +C. * Hoạt động 6 : Củng cố Hoạt động của học sinh. Hoạt động của giáo viên. - Cả lớp tập trung giải quyết . - Theo dõi phần trình bày của bạn và rút ra nhận xét và bổ sung.. - Treo bảng phụ và yêu cầu cả lớp chú ý giải quyết . - Gọi 2 HS trình bày ý kiến của mình. - GV nhận xét và kết luận.. Lop12.net. Ghi bảng.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> V. Bài tập về nhà:7, 8, 9 trang 145 và 146 Dựa vào bảng sau đây, hãy cho biết gợi ý phương pháp giải nào không hợp lý. ( Đối với.  f ( x)dx ). Gợi ý phương pháp giải. Hàm số f(x) = (2x+1)cosx. Đặt u = 2x+1 , dv =cosx. f(x) = xe-x. Đặt u = e-x , dv = xdx. f(x) =. x lnx. f(x) = ex sinx Tiết :3. Đặt u = lnx, dv = x Đặt u = ex ,dv = sinxdx hoặc u = sinx,dv = exdx. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM ( Luyện tập). I.Mục tiêu 1.Về kiến thức: - Học sinh nắm vững hai pp tìm nguyên hàm . 2. Về kĩ năng: - Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số. 3. Về tư duy thái độ: - Phát triển tư duy linh hoạt. -Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác. II.Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Giáo viên : - Bài tập sgk - Lập các phiếu học tập. 2. Học sinh: Biết phân biệt dạng toán dung pp đổi biến số, từng phần III.Phương pháp: IV.Tiến trình bài học Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi 1: Hãy phát biểu phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm? 1 1 Áp dụng: Tìm  cos dx 2 x x Câu hỏi 2:Hãy phát biểu phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm. Áp dụng: Tìm. . (x+1)e x dx. - Yêu cầu một HS khác nhận xét, bổ sung. - Gv kết luận và cho điểm. Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Thông qua nội dung kiểm tra. Lop12.net. Ghi bảng.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> bài cũ Giáo viên nhấn mạnh thêm sự khác nhau trong việc vận dụng hai phương pháp. - Gọi môt học sinh cho biết Bài 1.Tìm cách giải, sau đó một học sinh x 5 x khác trình bày cách giải.  sin 3 cos 3 dx Bg: x 1 Đặtu=sin  5 Khi đó:  sin 2x cos2xdx = 3 2 1 x 1 6 du= cos dx 5 3 3  u du = 12 u + C x x Khi đó:  sin 5 cos dx = 1 6 = sin 2x + C 3 3 12 1 u 5 du  3 x 1 1 = u6 + C= sin6 3 + C 18 18 Hoặc x 5 x  sin 3 cos 3 dx 1 x x =  sin 5 d(sin ) 3 3 3 1 x = sin 6 + C 18 3 - Hs1: Dùng pp đổi biến số Đặt u = sin2x - Hs2: Đặt u = sin2x  du = 2cos2xdx. Bài 2.Tìm -Hs1: Dùng pp đổi biến số Đặt u = 7-3x2 - Hs2:đặt u=7+3x2  du=6xdx Khi đó :.  3x. 2 -Gọi môt học sinh cho biết  3 x 7  3 x dx cách giải, sau đó một học sinh Bg: khác trình bày cách giải. Đặt u=7+3x2  du=6xdx Khi đó :.  3x. 7  3 x 2 dx = 1. 7  3 x 2 dx = 1. 3. 1 1 2 2 =  u 2 du = u +C 2 2 3 1 = (7+3x2) 7  3 x 2 +C 3. 3. 1 1 2 2 u 2 du = u +C  2 2 3 1 = (7+3x2) 7  3 x 2 +C 3. =. H:Có thể dùng pp đổi biến số Bài 3. Tìm được không? Hãy đề xuất cách  x lnxdx giải? Bg: Đ: Dùng pp lấy nguyên hàm từng Đặt u = lnx, dv = x dx phần. 3 1 2 2 Đặt u = lnx, dv = x dx  du = dx , v = x 3 x 3 1 2 2  du = dx , v = x Khi đó: x 3  x lnxdx = Khi đó:. . x lnxdx =. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 3. 3. 3. 3. =. 2 2 2 x 3 3. 1 dx x. =. 2 2 2 x 3 3. =. 2 2 2 2 2 x x + C= 3 3 3. =. 2 2 2 2 2 x x + C= 3 3 3. . 3. x2 3. 3. 3. =-. . x2. 1 dx x. 3. 3. 2 2 x +C 3. =-. 2 2 x +C 3. H:Hãy cho biết dùng pp nào để tìm nguyên hàm? Đ:Dùng pp đổi biến số, sau đó - Nếu HS không trả lời được dùng pp từng phần. thì GV gợi ý. Bài 4. Tìm  e 3 x 9 dx Đổi biến số trước, sau đó từng Đặt t = 3 x  9  t 2 =3x-9 Bg:Đặt t = 3 x  9  t 2 =3xphần.  2tdt=3dx 9 2  2tdt=3dx Khi đó:  e 3 x 9 dx =  te t dt 3 2 Khi đó:  e 3 x 9 dx =  te t Đặt u = t, dv = etdt 3  du = dt, v = et dt t t t Đặt u = t, dv = etdt Khi đó:  te dt=te -  e dt  du = dt, v = et = t et- et + c Khi đó:  te t dt=tet -  e t dt. Suy ra:. . e. 3 x 9. dx=. 2 t 2 t te - e + c 3 3. = t et- et + c Suy ra:. . e. 3 x 9. dx=. 2 t 2 t te - e + c 3 3. Hoạt động 7: Củng cố Với bài toán.  f ( x)dx , hãy ghép một ý ở cột trái với một ý ở cột phải để được một. mệnh đề đúng. Hàm số. Phương pháp. 1/ f(x) = cos(3x+4) 1 2/ f(x) = 2 cos (3 x  2). a/ Đổi biến số b/ Từng phần. 3/ f(x) = xcos(x2) 4/ f(x) = x3ex 1 1 1 5/ f(x)= 2 sin cos x x x. c/ Đổi biến số d/ Đổi biến số e/ Từng phần.. V. Bài tập về nhà: Tìm.  f ( x)dx. trong các trường hợp trên.. * Rút kinh nghiệm:---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>