Kỳ thi giải toán trên máy tính casio, vinacal cấp thành phố năm học 2011 - 2012 môn: Toán lớp 9 thcs thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chương 5. Hàm số. om. 5.1 Tính đơn điệu. .c. Vấn đề 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số. tb. . ng. Xét chiều biến thiên của hàm số y = f (x) ta tiến hành các bước như sau : 1. Tìm tập xác định D của hàm số;. tra. 2. Tính đạo hàm y′ = f ′ (x);. ao. 3. Tìm các giá trị của x ∈ D để f ′ (x) = 0 hoặc f ′ (x) không xác định (gọi là các điểm tới hạn của hàm số); 4. Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu y′ = f ′ (x) trên từng khoảng x ∈ D;. ht tp. ://. 5. Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ ta suy ra các khoảng đơn điệu của hàm số.. Bài 5.1 : Xét sự biến thiên của các hàm số sau : 1. y = x3 − 3x2 ; 2. y = x3 − 2x2 + 18x − 1 ; 3. y = −x3 − 3x2 + 24x + 26 ; 4. y = x3 + 3x2 + 3x + 2 ; 5. y = x4 − 2x2 + 7 ;. 10. y =. x+2 ; x−1. 11. y =. −x2 + 2x − 1 ; x+2. 12. y =. x2 + 4x + 3 ; x+2. 4 ; x √ 14. y = x + 1 − x2 ; 13. y = x +. 1 6. y = − x4 + 2x2 − 1 ; 4 7. y = x4 + 2x2 − 3 ;. √. 8. y = x4 − 6x2 + 8x + 1 ;. 15. y =. 9. y =. 16. y = sin x với x ∈ (0; 2π).. 2x − 1 ; x+1. Lop12.net 83. 3x2 − x3 ;.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC. Download tài li u h c t p t i : . Bài 5.2 : Chứng minh rằng hàm số : 1. y =. x+1 nghịch biến trên mỗi khoảng xác định; 2x − 1. 4. y =. √. 4 − x2 nghịch biến trên [0; 2];. 5. y = sin x + x đồng biến trên R;. x3 2. y = − x2 + x + 5 đồng biến trên R; 3. 6. y = x3 + x − cos x − 4 đồng biến trên R;. 2 3. y = − x3 + 6x2 − 20x + 5 nghịch biến trên R; 3. 7. y = cos 2x − 2x + 3 nghịch biến trên R.. Vấn đề 2 : Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu trên một miền. . 1. Hàm số y = f (x) đơn điệu tăng trên D khi và chỉ khi f ′ (x) ≥ 0 với mọi x ∈ D.. .c. 2. Hàm số y = f (x) đơn điệu giảm trên D khi và chỉ khi f ′ (x) ≤ 0 với mọi x ∈ D.. om. Sử dụng điều kiện cần : Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên D = (a; b) và f ′ (x) = 0 tại không quá hữu hạn giá trị.. tb. Chúng ta các bài toán sau :. ng. Bài toán 1 : Tìm các giá trị của tham số để hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên R hoặc trên (−∞; a) và (a; +∞).. tra. Cơ sở bài toán là định lí sau : Định lí 1 : Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c (a , 0).. ao. :. ∆ ≤ 0.. 8 <a < 0. ://. • f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ R khi và chỉ khi. 8 <a > 0. :. ht tp. • f (x) ≤ 0 với mọi x ∈ R khi và chỉ khi. ∆ ≤ 0.. Chú ý : Định lí 1 còn đúng khi điều kiện của ta không phải là mọi x ∈ R mà thay bàng điều kiện với mọi x khác x1 , x2 , . . .. Bài toán 2 : Tìm các giá trị của tham số để hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên (a; b) trong đó ít nhất a hoặc b là hữu hạn. Cơ sở bài toán là định lí sau : Định lí 2 : Cho hàm số y = f (x) liên tục trên miền D và đạt GTLN, GTNN tương ứng là max f (x), min f (x).. • f (x) ≥ m với mọi x ∈ D khi và chỉ khi min f (x) ≥ m; • f (x) ≤ m với mọi x ∈ D khi và chỉ khi max f (x) ≤ m. Một cách tổng quát với bài toán phương trình, bất phương trình có tham số chúng ta làm như sau :. • Chuyển vế phương trình, bất phương trình về dạng một vế chỉ chứa ẩn (vế trái) và một vế chỉ chứa tham số; • Lập bảng biến thiên của hàm số vế trái (hạn chế bảng biến thiên với điều kiện của ẩn đang xét); • Tính đầu và cuối tất cả các mũi tên (tính trực tiếp hoặc qua các giới hạn cơ bản); • Sử dụng định lí 2.. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 84.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài toán 3 : Tìm các giá trị của tham số biết độ dài của khoảng đồng biến hoặc nghịch biến. Với bài toán này ta phải lập bảng biến thiên và tính trực tiếp các nghiệm của y′ = 0 hoặc sử dụng định lí Viét.. 1 Bài 5.3 : Tìm m để hàm số : y = − x3 + 2x2 + (2m + 1)x − 3m + 2 nghịch biến trên R. 3 3 Bài 5.4 : Tìm m để hàm số : y = x + (m − 1)x2 + (m2 − 4)x + 9 đồng biến trên R.. x3 + (m + 1)x2 + 3x + 5. Tìm m để hàm số đồng biến trên R. 3 Bài 5.6 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 3x2 + 3mx + 3m + 4 đồng biến trên R. Bài 5.5 : Cho hàm số y = (m2 − 1). Bài 5.7 : Với những giá trị nào của tham số m thì hàm số :. om. y = x3 + (m − 1)x2 + (m2 − 4)x + 9 đồng biến trên R.. .c. Bài 5.8 : Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 3mx + 3m + 4. Tìm m để hàm số đồng biến trên R.. (m + 1)x2 − 2mx − (m3 − m2 + 2) nghịch biến trên các khoảng xác định. x−m Bài 5.10 : Tìm m để hàm số y = x + m sin x đồng biến trên R.. tb. Bài 5.9 : Tìm m để hàm số : y =. ng. Bài 5.11 : Tìm m để hàm số y = 3 sin x − 4 cos x − mx + 1 đồng biến trên R.. tra. Bài 5.12 : Tìm m để hàm số y = x + m(sin x + cos x) đồng biến trên R. Bài 5.13 : Tìm m đếh y = (2m + 3) sin x + (2 − m)x đồng biến trên R. –. (k2. ™. x2 − 2k) + kx + 3 x đồng biến trên tập xác định. 3. ://. Bài 5.15 : Xác định k để hàm số y =. ao. Bài 5.14 : Tìm m để hàm số y = (m − 3)x − (2m + 1) cos x nghịch biến trên R.. x2 + mx − 1 có hai khoảng đồng biến trên toàn miền xác định của nó. x−1 (m + 1)x2 − 2mx − 3m3 + m2 − 2 Bài 5.17 : Cho hàm số y = . Tìm m sao cho hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác x−m định.. ht tp. Bài 5.16 : Tìm m để hàm số y =. Bài 5.18 : Chứng minh rằng hàm số :. y = x3 − (m + 1)x2 − (2m2 − 3m + 2)x + 2m(2m + 1) không thể luôn đồng biến Bài 5.19 : Cho hàm số y = −x3 − 3x2 + mx + 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞).. Bài 5.20 : Tìm a sao cho hàm số : 1. y = x2 (a − x) − a tăng trong khoảng (1; 2).. 2. y = −x3 + (a − 1)x2 + (a + 3)x tăng trong khoảng (0; 3).. Bài 5.21 : Cho hàm số : y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m. Với những giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). Bài 5.22 : Tìm m để hàm số : y = (m + 1)x3 − 2mx2 + x đồng biến trên khoảng (0; 1). Lop12.net Download tài li u h c t p t i : . Trang 85.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.23 : Cho hàm số : y = − (0; 3).. x3 + (m − 1)x2 + (m + 3)x − 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng 3. Bài 5.24 : Tìm m để hàm số : y = x2 (m − x) − m đồng biến trên khoảng (1; 2). 1 Bài 5.25 : Cho hàm số : y = x3 − mx2 + (2m − 1)x − m + 2. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịc biến trên khoảng 3 (−2; 0). Bài 5.26 : Cho hàm số : y = 2x3 + 3mx2 − 2m + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2).. .c. om. Bài 5.27 : Xác định m để hàm số : y = x3 − 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên cả hai khoảng (−∞; −1) và (2; +∞). 1 Bài 5.28 : Cho hàm số y = − x3 − mx2 + (2m − 1)x − m + 2. 3 Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho nghịch biến trên (−2; +∞). m 1 Bài 5.29 : Tìm m để : y = x3 − (m − 1)x2 + 3(m − 2)x + đồng biến trên khoảng (2; +∞). 3 3 1 3 Bài 5.30 : Tìm m để : y = x − (m + 1)x2 + m(m + 2)x + 7 đồng biến trên [4; 9]. 3 x+3 Bài 5.31 : Cho hàm số y = . Tìm m sao cho hàm số : x−m 2. giảm trên (−∞; 2). x2 − 2mx + 3m2 . x − 2m. ng. Bài 5.32 : Cho hàm số : y =. tb. 1. tăng trên (1; +∞) ;. 2. Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (1; +∞).. tra. 1. Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.. 2x2 + (1 − m)x + 1 + m . Xác định m để hàm số nghịch biến trên (2; +∞). −x + m 2x2 + kx + 2 − k Bài 5.34 : Tìm k để hàm số y = đồng biến trên khoảng (1; +∞). x+k−1 x2 − (m + 1)x + 4m2 − 4m − 2 Bài 5.35 : Cho hàm số y = . Xác định m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞). x − (m − 1). ://. ao. Bài 5.33 : Cho hàm số : y =. Bài 5.37 : Bài 5.38 : Bài 5.39 : Bài 5.40 : Bài 5.41 :. ht tp. 2x2 − 3x + m . Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3; +∞). x−1 x2 − 2mx + 2 + m Cho hàm số : y = . Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞). x−m 2x2 + (1 − m)x + 1 + m Tìm m để : y = đồng biến trên (1; +∞). x−m mx2 + x + m Cho hàm số : y = . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞). mx + 1 mx2 + 6x − 2 Tìm m để : y = nghịch biến trên (1; +∞). x+2 Tìm m để hàm số : y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến trên (−1; 1).. Bài 5.36 : Cho hàm số y =. Bài 5.42 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên các khoảng (−∞; −1] và [2; +∞). m Bài 5.43 : Tìm m để hàm số : y = x3 + 2(m − 1)x2 + (m − 1)x + m đồng biến trên các khoảng (−∞; 0] và [2; +∞). 3 Bài 5.44 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 6mx2 + 2(12m − 5)x + 1 đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (3; +∞). m−1 3 Bài 5.45 : Tìm m để hàm số : y = x + mx2 + (3m − 2)x đồng biến trên R. 3 Bài 5.46 : Tìm m để hàm số : y = x3 − mx2 − (2m2 − 7m + 7)x + 2(m − 1)(2m − 3) đồng biến trên [2; +∞). Bài 5.47 : Tìm m để hàm số :. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 86.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2 3 x + (m + 1)x2 + (m2 + 4m + 3)x − m2 đồng biến trên [1; +∞). 3 Bài 5.49 : Tìm m để hàm số : y = x3 − (m + 1)x2 − (2m2 − 3m + 2)x + 1 đồng biến trên [2; +∞). Bài 5.48 : Tìm m để hàm số : y =. ng. tb. .c. om. Bài 5.50 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 3(m − 1)x2 + 3m(m − 2)x + 1 đồng biến trên các đoạn [−2; −1] và [1; 2]. • ‹ 1 Bài 5.51 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 2x2 + mx − 1 đồng biến trên 0; . 3 2 2x − 3x + m Bài 5.52 : Tìm m để hàm số : y = đồng biến trên (3; +∞). x−1  ‹ −2x2 − 3x + m 1 Bài 5.53 : Tìm m để hàm số : y = nghịch biến trên − ; +∞ . 2x + 1 2 2 mx − (m + 1)x − 3 Bài 5.54 : Tìm m để hàm số : y = đồng biến trên [4; +∞). x (2m − 1)x2 − 3mx + 5 Bài 5.55 : Tìm m để hàm số : y = đồng biến trên [2; 5]. x−1 x2 − 2mx + 3m2 Bài 5.56 : Tìm m để hàm số : y = đồng biến trên (1; +∞). x − 2m x2 − 2mx + m + 2 Bài 5.57 : Tìm m để hàm số : y = đồng biến trên (1; +∞). x−m 2x2 + mx + 2 − m Bài 5.58 : Tìm m để hàm số : y = đồng biến trên (1; +∞). x+m−1 x2 − 8x Bài 5.59 : Tìm m để hàm số : y = đồng biến trên (1; +∞). 8(x + m) Bài 5.60 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3.. tra. Bài 5.61 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1.. ao. Bài 5.62 : Tìm các giá trị của m để hàm số y = −x3 + 6x2 + mx + 5 đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 1.. ht tp. . ://. Vấn đề 3 : Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến số. Bài toán 1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b]. 1. Tính y′ = f ′ (x), giải phương trình f ′ (x) = 0 được các nghiệm xi ∈ [a; b]. 2. Tính y(a) = f (a), y(b) = f (b), y(xi ) = f (xi ). 3. GTLN trong các giá trị trên là max f (x), GTNN trong các giá trị trên là min f (x). x∈[a;b]. x∈[a;b]. Bài toán 2 : GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên miền D tổng quát. 1. Lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x) chỉ xét với x ∈ D. 2. Tính các giá trị dầu và cuối mũi tên (tính trực tiếp hoặc qua các giới hạn cơ bản). 3. Căn cứ bảng biến thiên ta có được GTLN, GTNN (nếu có) của hàm số.. 3x − 1 trên [0; 2]. x−3 Bài 5.64 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: Bài 5.63 : Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y =. Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Trang 87.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC •. ˜. 9. y = x +. √. 2. y = 1 + 4x − x2 ;. 10. y = x +. √. 3. y = x4 − 2x2 + 5 (x ∈ [−2; 3]);. x+1 11. y = √ trên [−1; 2]; x2 + 1. 4. y =. √. x−2+. (x>0);. √. 4 − x;. 12. y =. 2x2 + 4x + 5 ; x2 + 1 √ 6. y = 2x − 1 − x2 ; 5. y =. 4 − x2 ;. •. 15. y = 2 sin x + cos 2x; 16. y = sin5 x +. √. 3 cos x.. 2 cos2 +| cos x| + 1 ; | cos x| + 1. 4. y =. 3 cos4 x + 4 sin2 x . 3 sin4 x + 2 cos2 x. ng. 4 3 sin x trên [0; π]; 3. 3. y =. tb. 1 1. y = sin x − cos x + ; 2. .c. Bài 5.65 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau :. 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x2 + 2x − 3| +. tra. Bài 5.66 :. 1 1 sin 2x + sin 3x trên [0; π]; 4 9. 14. y = sin x + cos x;. 9 trên [2; 4]; x. 2. y = 2 sin x −. ˜. x π π + sin2 x trên − ; ; 2 2 2. 13. y = 1 + x + sin x +. x+3 7. y = √ ; x2 + 1 8. y = x +. π 2 cos x trên 0; ; 2. om. x2 + x + 1 1. y = x. •. ˜. 3 1 trên ; 4 . 2 2. ao. 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = |x3 + 3x2 − 72x + 90| trên [−5; 5].. ://. 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 8x2 + 16x − 9 trên (1; 3].. ht tp. Bài 5.67 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x6 + 4(1 − x2 )3 với x ∈ [−1; 1] 1 Bài 5.68 : Tìm x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất y = f (x) = lg2 x + 2 lg x + 2 ln2 x , x ∈ [1; e3 ]. x Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y = x4 − 2x2 + 3 trên [−3; 2]. • ˜ π Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y = x + cos2 x trên 0; . 4 √ √ Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y = x − 1 + 3 − x. 2x 4x Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y = sin + cos + 1. 2 1+x 1 + x2 Cho x, y là các số không âm có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S = x3 + y3 + xy.. Bài 5.69 : Tìm GTLN, GTNN của y = Bài 5.70 : Bài 5.71 : Bài 5.72 : Bài 5.73 : Bài 5.74 :. Bài 5.75 : Cho x, y là hai số không âm, thỏa mãn xy + x + y = 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S = x3 + y3 + x2 y + xy2 − 5xy.. 5 4 1 Bài 5.76 : Giả sử x, y là hai số dương thoả mãn điều kiện x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = + 4 x 4y Bài 5.77 : Cho x, y thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 1. Tìm GTLN, GTNN của P=. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. x y + . y+1 x+1 Lop12.net. Trang 88.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.78 : Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1 1 1 + + =4 x y z Tìm GTLN của 1 1 1 + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Bài 5.79 : Cho x, y, z > 0 thoả mãn xyz = 1 Tìm GTNN của È È √ 1 + x3 + y3 1 + y3 + z3 1 + z3 + x3 + + xy yz zx Bài 5.80 : Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN. Bài 5.81 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN . 1 a+ a. ‹. 1 b+ b. ‹. ‹. 1 c+ . c. om. x y z + + x+1 y+1 z+1. .c. Vấn đề 4 : Sử dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức. tb. . ng. Bài toán 1 : Bất đẳng thức một biến.. • Đưa bất đằng thức về dạng f (x) ≥ c với mọi x ∈ D.. tra. • Xét hàm số y = f (x) với x ∈ D.. ao. • Lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x) với x ∈ D. • Từ bảng biến thiên ta có kết luận bài toán.. ://. Bài toán 2 : Bất đẳng thức "phản" đối xứng hai biến a và b với a ≥ b (tương tự a ≤ b).. ht tp. • Đưa bất đẳng thức về dạng f (a) ≥ f (b).. • Sử dụng định nghĩa về tính đơn điệu : Giả sử y = f (x) xác định trên D = (a; b) và x1 < x2 thuộc khoảng đó (i) y = f (x) đồng biến trên D thì f (x1 ) < f (x2 ); (ii) y = f (x) nghịch biến trên D thì f (x1 ) > f (x2 ). Bài toán 3 : Bất đẳng thức đối xứng hai biến a và b.. • Biến đổi bất đẳng thức về dạng f (a, b) ≥ c hoặc f (a, b) ≤ c với c là hằng số (thường đưa về trường hợp c = 0). Quay về bài toán tìm max f (a, b) hoặc min f (a, b).. • Đặt S = a + b và P = ab với (S 2 ≥ 4P), từ các điều kiện ràng buộc ta đưa f (a, b) theo S (hoặc P) và tìm miền ràng buộc cho S và P tương ứng.. • Từ đó ta quay về bài toán tìm max, min của hàm một biến số. Bài 5.82 : Cho hàm số y = f (x) = tan x + sin x − 2x. Chứng minh rằng Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Trang 89.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC •. ‹. π 1. hàm số đồng biến trên 0; . 2. . ‹. . ‹. π 2. sin x + tan x > 2x với mọi x ∈ 0; . 2. Bài 5.83 : Chứng minh rằng . ‹. 2x π 1. sin x > với x ∈ 0; ; π 2. 1 1 4 π 2. < 2 + 1 − 2 với x ∈ 0; . 2 π 2 sin x x. Bài 5.84 : Cho hàm số y = f (x) = tan x + 2 sin x − 3x.Chứng minh rằng •. 1. hàm số đồng biến trên 0; Bài 5.85 :. ‹. π . 2. . ‹. . 2. 2 sin x + tan x > 3x với mọi x ∈ 0;. ‹. π . 2. π 1. Chứng minh rằng tan x > x với mọi x ∈ 0; . 2 . ‹. •. om. x3 π với mọi x ∈ 0; . 3 2 4x Bài 5.86 : Cho hàm số y = f (x) = − tan x. π 2. Chứng minh rằng tan x > x +. ˜. π . 4. •. ˜. ˜. π ; 2 . 3. cos x < 1 −. tra. •. 1. sin x ≤ x với mọi x ∈ 0;. ng. tb. .c. 4x π 2. Chứng minh rằng ≥ tan x với mọi 0; . π 4 Ê Ê √n √n n n n n Bài 5.87 : Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng 1 + + 1− < 2. n n Bài 5.88 : Chứng minh rằng 1. Xét chiều biến thiên của hàm số y = f (x) trên 0;. ‹. Bài 5.90 :. 4.. . sin x x. ‹3. ‹. . ‹. π > cos x với mọi x ∈ 0; . 2. 2. ex ≥ 1 + x +. ht tp. 1. ex ≥ 1 + x với mọi x ∈ R;. ://. Bài 5.89 : Chứng minh rằng. ao. x3 π 2. sin x > x − với mọi x ∈ 0; ; 3! 2. . x2 x4 π + với mọi x ∈ 0; ; 2 24 2. x2 với mọi x ≥ 0. 2. 1. Cho a < b, chứng minh rằng sin a − sin b < b − a;. 2. Chứng minh rằng sin 2010 − sin 2009 + 1 < 0.  ‹ tan x π π π π π Bài 5.91 : Chứng minh rằng hàm số y = f (x) = đồng biến trên 0; . Từ đó suy ra 4. tan . tan < 3. tan . tan . x 4 36 20 30 18 Bài 5.92 : Chứng minh rằng với 0 < α < β <. √. β− sin β 6 ta có > sin α α −. β3 6 α3 6. .. x2 với mọi x ≥ 0. 2 Bài 5.94 : Tìm số thực a nhỏ nhất để bất đẳng thức ln(1 + x) ≥ x − ax2 đúng với mọi x ≥ 0. Bài 5.93 : Chứng minh rằng ln(1 + x) ≥ x −. Bài 5.95 : Tìm tất cả các số thực dương a để ax ≥ 1 + x với mọi ≥ 0. . ‹. . ‹. 1 b 1 a ≤ 2b + b . a 2 2 x x y y y x Bài 5.97 : Chứng minh rằng (2 + 3 ) < (2 + 3 ) với mọi x > y > 0.  ‹  ‹b x + a x+b a Bài 5.98 : Cho x, a, b > 0 và a , b. Chứng minh rằng > . x+b b Bài 5.99 : Chứng minh rằng x > ln(1 + x) với mọi x > 0. Bài 5.96 : Cho a ≥ b > 0. Chứng minh rằng 2a +. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 90.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.100 : Chứng minh rằng với x ∈ (4; +∞) ta luôn có 2x > x2 .. Vấn đề 5 : Ứng dụng sự biến thiên vào việc giải phương trình, bất phương trình, hệ.  1. Nếu f (x) ≥ c và g(x) ≤ c thì phương trình f (x) = g(x) tương đương với. 8 < f (x) = c :. g(x) = c.. 2. Nếu hàm số y = f (x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f [u(x)] = f [v(x)] tương đương với u(x) = v(x). 3. Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) và hàm số y = g(x) là hàm số nghịch biến trên (a; b) thì phương trình. om. f (x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.. 4. Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (x) = c (với c là hằng số) nếu có. .c. nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.. tb. 5. Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) thì bất phương trình f (u) ≥ f (v) tương đương với u ≥ v.. tra. ng. 6. Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến trên (a; b) thì bất phương trình f (u) ≥ f (v) tương đương với u ≤ v.. 2.. √. È. 3x + 1 +. x+. 5x3 − 1 +. √. 7x + 2 = 4;. √3 2x − 1 + x = 4;. ://. √. 3.. √3. x+2+. √3. x+1=. √3. 4.. √3. x+1+. √3. x+2+. √3. 2x2 + 1 +. √3. 2x2 ;. x + 3 = 0.. ht tp. 1.. ao. Bài 5.101 : Giải các phương trình. Bài 5.102 : Giải bất phương trình 1.. √. 5x − 1 +. √. x + 3 ≥ 4;. √ 5 2. 3 3 − 2x + √ − 2x ≤ 6; 2x − 1 √ √ √ √ 3. (x + 2)(2x − 1) − 3 x + 6 ≤ 4 − (x + 6)(2x − 1) + 3 x + 2; 4.. √. 5.. √. √ √ 2x3 + 3x2 + 6x + 16 < 2 3 + 4 − x; x+9+. √. 2x + 4 > 5.. Bài 5.103 : Giải các hệ phương trình. 1.. 8 1 1 > <x − = y − :√. x. √. y. x + y y = 2.. 2.. 8 < x3 − 3x = y3 − 3y : 6 x + y6 = 1.. 3.. 8√ √ < 2x + 1 − 2y + 1 = x − y : 2 x − 12xy + 9y2 + 4 = 0.. √ Bài 5.104 : Giải phương trình : x5 + x3 − 1 − 3x + 4 = 0. √ √ Bài 5.105 : Giải phương trình : x2 + 15 = 3x − 2 + x2 + 8. Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Trang 91.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC √3 √4 √5 x + 1 + 5x − 7 + 7x − 5 + 13x − 7 < 8. √ √ √ Bài 5.107 : Giải bất phương trình : 2x + x + x + 7 + 2 x2 + 7x < 49. 1 1 1 Bài 5.108 : Giải phương trình : 5x + 4x + 3x + 2x = x + x + x − 2x3 + 5x2 − 7x + 17. 2 3 6 Bài 5.106 : Giải bất phương trình :. √. Bài 5.109 : Tìm x, y ∈ (0; π) thỏa mãn hệ :. 8 <cot x − cot y = x − y :. 5x + 8y = 2π.. Vấn đề 6 : Ứng dụng sự biến thiên vào bài toán số nghiệm phương trình có tham số. . om. Bước 1 : Đặt ẩn phụ (nếu cần) t = u(x), đặt điều kiện chặt cho t. Bước 2 : Từ giả thiết bài toán biến đổi về một trong các dạng sau:. tb. Tức là biến đổi để cô lập m về một vế, còn vế kia độc lập với m.. .c. f (t) = g(m); f (t) ≥ g(m); f (t) ≤ g(m); f (t) > g(m); f (t) < g(m).. ng. Bước 3 : Lập bảng biến thiên của hàm số f (t) trên miền giá trị của t đã tìm được sau bước 1. Bước 4 : Từ bảng biến thiên suy ra miền giá trị của f (t). Sử dụng các kết quả đã nêu ở mục 2, để tìm ra kết luận của bài. tra. toán.. ht tp. ://. ao. Chú ý : điều kiện chặt cho t có nghĩa là tìm các giá trị của t khi x biến thiên để phương trình t = u(x) có nghiệm. 1 Chẳng hạn, nếu đặt t = 3x thì điều kiện t > 0, nhưng vẫn đặt t = 3x , x ∈ [−1; 1] thì điều kiện ≤ t ≤ 3 và nếu đặt 3 √ 2 t = u(x) = 3 −x +2x , x ∈ [0; 2] điều kiện chặt của t phải là 1 ≤ t ≤ 3.. Bài 5.110 : Cho hàm số : y = mx2 + 2mx − 3. 1. Tìm m để phương trình f (x) = 0 có nghiệm trong đoạn [1; 2]. 2. Tìm m để bất phương trình f (x) ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x trong đoạn [1; 3]. 3. Tìm m để bất phương trình f (x) ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x trong đoạn (1; 4). Bài 5.111 : Tìm m để phương trình : 2(sin4 x + cos4 x) + cos 4x + 2 sin 2x + m = 0 •. ˜. π . 2 Bài 5.112 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm : có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;. È. 2x2 − 2(m + 4)x + 5m + 10 + 3 − x = 0.. Bài 5.113 : Tìm m để phương trình : •. ˜. 2 + 2 sin 2x = m(1 + cos x)2. π π có nghiệm trên đoạn − ; . 2 2. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 92.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.114 : Tìm m để phương trình. √. x2 + mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm thực phân biệt. √4 √ √ Bài 5.115 : Tìm m để phương trình 3 x − 1 + m x + 1 = 2 x2 − 1 có nghiệm. Bài 5.116 : Với giá trị nào của m bất phương trình sau đúng với mọi x ∈ [−5; 1] 4. √. 5−4x−x2. + 21+. √. 5−4x−x2. ≤ m.. Bài 5.117 : Cho phương trình 9x − m3x + 2m = 0. 1. Giải phương trình với m = −1;. 2. Tìm m để phương trình trên có nghiệm.. Bài 5.118 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=. √. 1 + sin x +. √. cos6 x + sin6 x = m tan 2x. cos2 x − sin2 x 13 1. Giải phương trình khi m = ; 8. 1 + cos x.. om. Bài 5.119 : Cho phương trình. .c. 2. Tìm m để phương trình vô nghiệm.. √. x)2 − log 1 x + m = 0. 2. Bài 5.121 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm :. ng. 4(log2. tb. Bài 5.120 : Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc (0; 1). tra. 4x − m.2x − m + 3 ≤ 0. •. π 2. ˜. ao. Bài 5.122 : Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;. 2(sin4 x + cos4 x) + cos 4x + 2 sin 2x + m = 0.. ht tp. ://. Bài 5.123 : Tìm a để phương trình sau đây có 4 nghiệm phân biệt :. Bài 5.124 : Tìm m để :. √. √. √. 2|x2 − 5x + 4| = x2 − 5x + a.. 18 + 3x − x2 ≤ m2 − m + 1 nghiệm đúng với mọi x ∈ [−3; 6]. √ √ Bài 5.125 : Tìm a để bất phương trình : x3 + 3x2 − 1 ≤ a( x − x − 1)3 có nghiệm. √ √ √ √ Bài 5.126 : Tìm a để : x x + x + 12 = m( 5 − x + 4 − x) có nghiệm. 3+x+. 6−x−. Bài 5.127 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm √ √ √ √ √ m( 1 + x2 − 1 − x2 + 2) = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 Bài 5.128 : Cho phương trình : log23 x +. È. log23 x + 1 − 2m − 1 = 0.. 1. Giải phương trình khi m = 2; √. 2. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 3 ]. √ √ Bài 5.129 : Tìm m để phương trình 3 m − x + x + 2 = 1 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.. 5.2 Cực trị của hàm số Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Trang 93.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Vấn đề 1 : Sử dụng dấu hiệu 1 và dấu hiệu 2 để xác định các điểm cực trị của hàm số Bài 5.130 : Xác định các điểm cực trị của các hàm số sau : √ 1. y = −2x + 3 x2 + 1;. 4. y = x3 (1 − x2 );. 7. y = |x|(x − 2); 8. y = cos x +. 2. y =. 3x + 14 ; (x − 2)(x + 3). √ 5. y = 1 − 2 4x − x2 ;. 3. y =. 2x2 + 3x + 1 ; x2 − 4x + 3. 6. y = √. x2 1−. x2. ;. 9. y =. √. 1 cos 2x; 2. 3 sin x + cos x +. 2x + 3 . 2. Bài 5.131 : Tìm cực trị của các hàm số : √ 1. y = x 3 − x ;. om. x ; x2 + 4. 6. y =. 3. y = 3x4 − 4x3 − 24x2 + 48x − 3 ; Bài 5.132 : Tìm cực trị của hàm số y = sin2 x −. √. 3 cos x, x ∈ [0; π].. x ; ln x. .c. 5. y = xe−3x ;. tb. 2. y =. 4. y = x2 − 2|x| + 2 ;. ng. Bài 5.133 : Cho m là số nguyên dương, hãy tìm cực trị của hàm số : y = xm (4 − x)2 .. tra. Vấn đề 2 : Điều kiện của tham số để hàm số đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại x = x0 hoặc đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm (x0 ; y0 ). ao. . ht tp. ://. Chúng ta làm theo phương pháp điều kiện cần và đủ :. Bước 1 : Giả sử hàm số đạt cực trị tại x = x0 suy ra f ′ (x0 ) = 0, tìm được tham số m. Bước 2 : Với từng giá trị của m vừa tìm được, thử lại xem x0 có đúng là điểm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu). Bước 3 : Kết luận. Chú ý :. • Có thể dùng dấu hiệu 2 để kiểm tả tại bước 2; • Một số lời giải sai lầm là dùng trực tiếp dấu hiệu 2 để giải bài toán trên, chẳng hạn hàm số đạt cực đại tại 8 ′ < f (x0 ) = 0 x = x0 khi và chỉ khi là lời giả sai lầm, ví dụ hàm số y = x4 đạt cực tiểu tại x = 0, nhưng : f ”(x0 ) < 0, ′′ ′′ f (0) = 0 chứ không phải là f (0) < 0.. Bài 5.134 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 3mx2 + (m2 − 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2.. Bài 5.135 : Xác định các số a, b, c để hàm số : y = x3 + ax2 + bx + c có giá trị 0 khi x = 1 và đạt cực trị 0 khi x = −1.. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 94.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.136 : Xác định hàm số bậc ba y = f (x), biết rằng nó có cực tiểu 2 khi x = 1 và nếu đem chia f (x) cho x2 + 3x + 2 thì còn dư −x + 3.. Bài 5.137 : Cho hàm số : y = x3 − (m + 3)x2 + mx + m + 5. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.. Bài 5.138 : Cho hàm số y = (x − m)3 − 3x. Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0. 5 5 Bài 5.139 : Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = a2 x3 + 2ax2 − 9x + b đều là những số dương và x0 = − là điểm 3 9 cực đại.. tb. .c. om. Bài 5.140 : Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − (m2 − 1). Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1. 1 Bài 5.141 : Tìm m để hàm số : y = x3 + (m2 − m + 2)x2 + (3m2 + 1)x + m − 5 đạt cực tiểu tại x = −2. 3 1 π Bài 5.142 : Cho hàm số y = a sin x + sin 3x. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x = . 3 3 2 x + mx + 1 Bài 5.143 : Cho hàm số y = . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2. x+m ax2 + bx + ab Bài 5.144 : Tìm a, b để hàm số y = đạt cực tiểu tại x = 0 và cực đại tại x = 4. bx + a 1 Bài 5.145 : Tìm a, b đẻ hàm số y = x4 − ax2 + b có giá trị cực trị bằng −2 khi x = 1. 4. . tra. 1. Cực trị hàm bậc 3 : y = ax3 + bc2 + cx + d (a , 0). ng. Vấn đề 3 : Tìm điều kiện để hàm số có cực trị và thỏa mãn một vài điều kiện. Hàm số có cực trị (hoặc hai điểm cực trị) khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó hoành độ hai. ao. điểm cực trị là nghiệm của phương trình y′ = 0.. 2. Cực trị hàm bậc 4 : y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e (a , 0). ://. - Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có 3 nghiệm phân biệt;. ht tp. - Khi viết được y′ = (x − x0 )P(x) với P(x) là đa thức bậc 2, khi đó hàm số có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi y′ = 0 đổi dấu 1 lần, tương đương với P(x0 ) = 0 hoặc ∆P(x) ≤ 0.. Chú ý : Hàm bậc 4 có số điểm cực tiểu nhiều hơn cực đại thì a > 0 và số điểm cực đại nhiều hơn cực tiểu thì a < 0. ax2 + bc + c 3. Cực trị của hàm phân thức : y = (a và d khác 0) dx + e Hàm số có cực trị (hoặc hai điểm cực trị) khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó hoành độ hai điểm cực trị là nghiệm của phương trình y′ = 0. Chú ý : - Với bài toán yêu cầu cụ thể điểm nào là điểm cực đại, điểm nào là điểm cực tiểu thì ta cần lập bảng biến thiên để xác định điểm cực trị. - Với bài toán có vai trò của điểm cực đại và điểm cực tiểu là như nhau thì ta thường dùng định lí Viét.. Bài 5.146 : Chứng minh rằng hàm số y = x3 − 3mx2 + (m − 1)x + 2 có cực trị với mọi giá trị của m. 1 Bài 5.147 : Tìm m để hàm số : y = x3 + mx2 + (m + 6)x − (2m + 1) có cực đại, cực tiểu. 3 Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Trang 95.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.148 : Tìm m để hàm số : y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx − 5 có cực đại, cực tiểu.. Bài 5.149 : Cho hàm số : y = x3 − 3mx2 + 2. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu.. Bài 5.150 : Cho hàm số y = mx3 + 3mx2 − (m − 1)x − 1. Với những giá trị nào của m thì hàm số không có cực trị.. Bài 5.151 : Chứng minh rằng : với mọi m, hàm số y = 2x3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 luôn đạt cực trị tại x1 , x2 với x2 − x1 không phụ thuộc vào m.. 1 3 x + (m − 2)x2 + (5m + 4)x + m2 + 1 đạt cực trị tại x1 < −1 < x2 . 3 1 Bài 5.153 : Tìm m để hàm số : y = x3 + (m + 3)x2 + 4(m + 3)x + m2 − m đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn −1 < x1 < x2 . 3 3 Bài 5.154 : Cho hàm số : y = 2x − 3(m + 2)x2 + 6(5m + 1)x − (4m3 + 2). Tìm m để hàm số có : Bài 5.152 : Tìm m để hàm số : y =. 1. đúng một điểm cực trị lớn hơn 1.. om. 2. hai điểm cực trị nhỏ hơn 2.. .c. 3. ít nhất một điểm cực trị (−1; 1).. tb. 4. ít nhất một điểm cực trị lớn hơn 9. 5. ít nhất một điểm cực trị có giá trị tuyệt đối lớn hơn 4.. ng. Bài 5.155 : Cho hàm số y = x3 − (m − 3)x2 + (4m − 1)x − m. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 , x2 thoả mãn điều. kiện x1 < −2 < x2 .. tra. 1 3 1 x − (m − 1)x2 + 3(m − 2)x + . 3 3 Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu lần lượt là x1 , x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 1.. ao. Bài 5.156 : Cho hàm số y =. Bài 5.157 : Chứng minh rằng với mọi a, hàm số :. ://. y = 2x3 − 3(2a + 1)x2 + 6a(a + 1)x + 1. ht tp. luôn đạt cực trị tại x1 , x2 . Tìm a sao cho các giá trị cực trị tương ứng y1 , y2 thỏa mãn y1 + y2 = 1. Bài 5.158 : Cho hàm số : y = mx3 − 3mx2 + (2m + 1)x + 3 − m. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu luôn đi qua một điểm cố định. 2 Bài 5.159 : Giả sử hàm số : y = x3 + (cos a − 3 sin a)x2 − 8(cos 2a + 1)x + 1 đạt cực trị tại x1 , x2 . Chứng minh rằng : 3 x21 + x22 ≤ 18 với mọi a. 1 1 3x Bài 5.160 : Cho hàm số : y = x3 − (sin a + cos a)x2 + sin 2a. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 , x2 thỏa 3 2 4 mãn : x1 + x2 = x21 + x22 . 2 Bài 5.161 : Cho hàm số : y = x3 + (m + 1)x2 + (m2 + 4m + 3)x. 3 1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. 2. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất một điểm lớn hơn 1. 3. Gọi các điểm cực trị là x1 , x2 . Tìm max của A = |x1 x2 − 2(x1 + x2 )|. Bài 5.162 : Tìm m để đồ thị hàm số y = Bài 5.163 : Tìm m để hàm số y =. 1 3 x − mx2 − x + m + 1 có khoảng cách giữa các điểm cực trị là nhỏ nhất. 3. 1 3 x − mx2 + mx − 1 đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn |x1 − x2 | ≥ 8. 3. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 96.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.164 : Tìm a để các điểm cực trị của đồ thị hàm số : y = x3 − 3ax2 + 4a3 đối xứng qua đường thẳng y = x. Bài 5.165 : Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số : y = x3 − 3(m − 1)x2 + 2(m2 − 3m + 2)x − m(m − 1). Bài 5.166 : Cho hàm số y = 4x3 − mx2 − 3x + m. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực đại, cực tiểu của hàm số là trái dấu.. Bài 5.167 : Cho hàm số y = mx3 − 3mx2 + (2m + 1)x + 3 − m. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định.. om. Bài 5.168 : Cho hàm số y = x3 + 2(m − 1)x2 + (m2 − 4m + 1)x − 2(m2 + 1). Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 1 1 1 sao cho : + = (x1 + x2 ). x1 x2 2 Bài 5.169 : Cho hàm số y = x3 − 3x2 − mx + 2. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng y = x − 1.. Bài 5.170 : Tìm m để đồ thị hàm số : y = 2x3 + 3(m − 1)x2 + 6m(1 − 2m)x có các điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường. .c. thẳng y = −4x.. tb. Bài 5.171 : Tìm m để đồ thị hàm số : y = x3 + mx2 + 7x + 3 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị vuông góc với đường. ng. thẳng y = 3x − 7.. ao. tra. Bài 5.172 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + 3(m − 1)x2 + (2m2 − 3m + 2) − m(m − 1) có đường thẳng đi qua hai điểm cực 1 trị tạo với đường thẳng y = − x + 5 một góc 45◦ . 4 1 5 Bài 5.173 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + m2 x + m có các điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng y = x − . 2 2 Bài 5.174 : Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x3 − 3(3m + 1)x2 + 12(m2 + m)x + 1 có cực đại, cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó.. ://. Bài 5.175 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 7m + 2)x − 2m(m + 2) có cực đại, cực tiểu. Viết phương. ht tp. trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó.. Bài 5.176 : Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường. thẳng y = x + 2.. Bài 5.177 : Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − 3mx2 + (2m + 1)x + 3 − m có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng, khi đó. đường thẳng đi qua hai điểm cực trị luôn đi qua một điểm cố định.. Bài 5.178 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + mx2 + 2 có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng, khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5.179 : Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − x2 + 2x − 8m có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng, khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị luôn đi qua một điểm cố định.. Bài 5.180 : Tìm m để độ thị hàm số y = x3 − (2m + 1)x2 + (3m + 1)x − m − 1 có đường thẳng đi qua hai đường thẳng cực 19 x + 1 một góc 45◦ . trị tạo với đường thẳng y = 13 Bài 5.181 : Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = x3 + 3mx2 − 3x − 3m + 2 luôn có cực đại, cực tiểu. Tìm m để cực đại, cực x 1 tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = − . 4 4 4 3 Bài 5.182 : Tìm a để hàm số y = x − 2(1 − sin a)x2 + (1 + cos 2a)x + 1 đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn : x21 + x22 = 1. 3 1 3 1 3 sin 2a Bài 5.183 : Cho hàm số y = x − (sin a + cos a)x2 + x. 3 2 3 Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Trang 97.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. Tìm a để hàm số đồng biến trên R. 2. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = x21 + x22 . Bài 5.184 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 −. 3m 2 x + m có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng 2. y = x.. mx2 + (2 − m2 )x − (2m + 1) có cực trị. x−m x2 − 2x + m + 2 Bài 5.186 : Cho hàm số y = . Viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số trên. x+m−1 Bài 5.187 : Tìm m để các hàm số sau có cực trị : Bài 5.185 : Tìm m để hàm số y =. 1. y =. x2 + 2m2 x + m2 ; x+1. 3. y =. x2 + 2mx − m ; x+m. 5. y =. x2 + (m + 2)x + 3m + 2 ; x+1. x2 + (m + 1)x − m x2 + (m − 1)x − m mx2 + (m + 1)x + 1 ; 4. y = ; 6. y = . x+1 x+1 mx + 2 −x2 + mx − m2 Bài 5.188 : Cho hàm số y = . Tìm m để đồ thị hàm số có cực trị, viết phương trình đường thẳng qua các x−m điểm cực trị trên. Bài 5.189 : Tìm α để các hàm số sau có cực đại, cực tiểu.. x2 cos α + x + sin2 α cos α + sin α . x + cos α  ‹ (x − a cos α)(x − a sin2 α) π Bài 5.190 : Tìm tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số sau : y = với a > 0 và α ∈ 0; . x 2 x2 + mx − 2m − 4 Bài 5.191 : Tìm m để hàm số y = có cực đại và cực tiểu. x+2 2m2 x2 + (2 − m2 )(mx + 1) Bài 5.192 : Tìm m để hàm số : y = có cực trị. mx + 1 x2 + mx − 8 Bài 5.193 : Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = . x−m (m + 1)x2 − 2mx − (m3 − m2 − 2) Bài 5.194 : Tìm m , −1 để hàm số y = có cực trị thuộc khoảng (0; 2). x−m ax2 + bx + c Bài 5.195 : Tìm a, b, c để y = có cực trị bằng 1 khi x = 1 và đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số vuông x−2 1−x góc với đường thẳng y = . 2 x2 + m2 x + 2m2 − 5m + 3 Bài 5.196 : Tìm m > 0 để hàm số y = đạt cực trị tại x0 ∈ (0; 2m). x 2x2 + (m − 2)x Bài 5.197 : Tìm m để đồ thị hàm số y = có cực trị và tìm quỹ tích hai điểm cực trị đó. x−1 x2 + mx − m − 1 Bài 5.198 : Cho hàm số y = . Tìm m để đồ thị hàm số trên có cực trị. Tìm quỹ tích các điểm cực trị đó. x+1 −x2 + 3x + m Bài 5.199 : Tìm m để hàm số y = có |ycđ − yct | = 4. x−4 2x2 + 3x + m − 2 Bài 5.200 : Tìm m để hàm số y = có |ycđ − yct | < 12. x+2 x2 − (m + 1)x − m2 + 4m − 2 Bài 5.201 : Tìm m để hàm số y = có cực trị và ycđ .yct nhỏ nhất. x−1 x2 − mx + m Bài 5.202 : Cho hàm số y = . Chứng minh rằng với mọi m đồ thị hàm số có cực trị và khoảng cách giữa hai x−1 điểm cực trị không đổi.. ng. 2. y =. ht tp. ://. ao. tra. 1. y =. x2 + 2x cos α + 1 ; x + 2 sin α. tb. .c. om. 2. y =. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 98.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC mx2 + 3mx + (2m + 1) có cực trị nằm hai phía Ox. x−1 x2 + (m + 1)x − m + 1 Bài 5.204 : Tìm m để đồ thị hàm số y = có cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía Ox. x−m −x2 + 2mx − 5 Bài 5.205 : Tìm m để đồ thị hàm số y = có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đường thẳng y = 2x. x−1 x2 + 3x + a Bài 5.206 : Cho hàm số : y = . x+1 Bài 5.203 : Tìm m để đồ thị hàm số y =. 1. Với những giá trị nào của tham số a thì đồ thị hàm số ấy có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất của hệ trục tọa độ. 2. Chứng minh rằng khi đó, đồ thị của hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu. x2 + 2m2 x + m2 có cực đại và cực tiểu. x+1 2m2 x2 + (2 − m2 )(mx + 1) Bài 5.208 : Cho hàm số : y = . Chứng minh rằng với mọi m , 0 hàm số luôn có cực đại và cực mx + 1 tiểu. x2 − 2kx + k2 + 1 Bài 5.209 : Cho hàm số y = . Chứng minh rằng với mọi k, hàm số luôn có giá trị cực đại, cực tiểu trái x−k dấu. x2 − (3m + 2)x + m + 4 Bài 5.210 : Cho hàm số : y = . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đồng thời khoảng cách x−1 giữa hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số nhỏ hơn 3.. ng. tb. .c. om. Bài 5.207 : Với giá trị nào của m thì hàm số : y =. x2 + mx + 3 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu x+1 của đồ thị hàm số nằm về hai phía của đường thẳng 2x + y − 1 = 0. của hàm số cùng âm.. x2 − (m + 3)x + 3m + 1 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu x−1. ao. Bài 5.212 : Cho hàm số y =. tra. Bài 5.211 : Cho hàm số y =. đại.. ht tp. ://. Bài 5.213 : Cho hàm số : y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực Bài 5.214 : Cho hàm số : y = x4 + (m + 3)x3 + 2(m + 1)x2 . Chứng minh rằng : với mọi m , −1 hàm số luôn có cực đại,. đồng thời xcđ ≤ 0.. Bài 5.215 : Cho hàm số : y = x4 + 8ax3 + 3(2a + 1)x2 − 4. Với giá trị nào của a thì hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực đại.. Bài 5.216 : Cho hàm số y =. 1 4 1 x − mx2 + . 2 2. 1. Xác định m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. 2. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác : (a) đều ;. (b) vuông ;. 1 (c) có diện tích bằng . 2. Bài 5.217 : Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + m − 1. Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. Bài 5.218 : Tìm m để đồ thị hàm số : y = x4 − 2mx2 + 2m + m4 có ba điểm cực trị lập thành tam giác đều.. Bài 5.219 : Chứng minh rằng : hàm số y = x4 + mx3 + mx2 + mx + 1 không thể có đồng thời cực đại và cực tiểu với mọi m ∈ R. Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Trang 99.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.220 : Chứng minh rằng : x4 + px3 + q ≥ 0∀x ∈ R ⇔ 256q ≥ 27p4 .. Bài 5.221 : Tìm m để hàm số : y = x4 − 4x3 + x2 + mx − 1 có cực đại và cực tiểu.. Bài 5.222 : Cho hàm số : y = x4 + 2x3 + mx2 . Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.. Bài 5.223 : Tìm m để y = −x4 − 8mx3 − 3(2m + 1)x2 + 4 chỉ có cục đại mà không có cực tiểu. 1 3 Bài 5.224 : Tìm m để hàm số y = x4 − mx2 + chỉ có cực tiểu mà không có cực đại. 4 2 Bài 5.225 : Tìm m để y = mx4 + (m − 1)x2 + (1 − 2m) chỉ có đúng một cục trị. Bài 5.226 : Cho hàm số : y = 3x4 + 4mx3 + 6mx2 + 24mx + 1. 1. Biện luận theo m số cực trị của hàm số. 2. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x0 ∈ [−2; 2]. 1 4 3 x − 2x3 + (m + 2)x2 − (m + 6)x + 1. Tìm m để hàm số có ba cực trị. 4 2 1. Chứng minh rằng : x4 + px + q ≥ 0∀x ∈ R ⇔ 256q3 ≥ 27p4 .. Bài 5.228 :. om. Bài 5.227 : Cho hàm số : y =. .c. 2. Cho 256q3 ≥ 27p4 . Chứng minh rằng : qx4 + px3 + 1 ≥ 0 ∀x ∈ R.. tb. Bài 5.229 : Chứng minh rằng : y = 2x4 − 6mx2 + (m2 + 1)x + 3m2 luôn có ba cực trị, đồng thời gốc tọa độ là trọng tâm của. ng. tam giác tạo bởi ba đỉnh là ba cực trị đó.. tra. 5.3 Tiệm cận. P(x) , với P(x), Q(x) là các đa thức. Q(x). ht tp. 1. Nếu y =. ://. . ao. Vấn đề 1 : Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số. (a) Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x = x0 thì đường thẳng x = x0 là đường tiệm cận đứng. hệ số cao nhất của P(x) (b) Nếu P(x) và Q(x) có bậc bằng nhau thì đường thẳng y = . hệ số cao nhất của Q(x) (c) Nếu bậc của P(x) bằng bậc của Q(x) cộng 1 thì đồ thị hàm số có một đường tiệm cận xiên (là thương khi chia tử cho mẫu). 2. Để xác định hệ số a, b trong đường tiệm cận xiên y = ax + b với a , 0 của đồ thị hàm số y = f (x) ta làm bước sau : f (x) , và b = lim ( f (x) − ax) ; x→+∞ x x→+∞ f (x) (b) hoặc a = lim , và b = lim ( f (x) − ax). x→−∞ x x→−∞ (a) a = lim. Chú ý rằng nếu ở trên ta tính được a = 0 thì đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên mà chỉ có tiệm cận ngang y = b.. Bài 5.230 : Tìm tiệm cận của các hàm số sau:. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 100.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC x+1 1. y = ; 2x + 1 2. y =. 3 4. y = 2x − 1 − ; x+2. 2x2 − 1 ; x2 − 3x + 2. 3. y = 4 +. x+3 ; x+1 √ 8. y = x2 − x + 1; 7. y =. 2x2 + x + 1 ; x+1 √ 6. y = x2 − 1; 5. y =. 1 ; x−2. √. 9. y = x +. √. x2 + 2x.. Bài 5.231 : Cho đồ thị các hàm số : a) y =. 3x2 + x + 1 ; x−1. b) y =. x2 − 4x + 5 ; 2x + 1. c) y =. −x2 + x − 1 . x+3. 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiệm cận xiên đồ thị các hàm số trên chắn trên hai trục tọa độ.. om. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 với các tiệm cận của đồ thị các hàm số trên.. 2x + 1 có đồ thị (C)1 . M là một điểm tùy ý trên (C). Tiếp tuyến với (C) tại M cắt tiệm cận x−2 ngang và tiệm cận đứng tại A và B.. tb. .c. Bài 5.232 : Cho hàm số y =. ng. 1. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB.. 2. Chứng minh rằng khi M di động trên (C) thì tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.. tra. 3. Chứng minh không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm của hai tiệm cận. Bài 5.233 : Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số y =. ao. diện tích nhỏ nhất.. x+1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai tiệm cận một tam giác có x−1. . ht tp. ://. Vấn đề 2 : Các bài toán về tiệm cận có tham số. ax + b a r 1. Đồ thị hàm số y = = + (với a và c khác 0) có tiệm cận đứng (ngang) khi và chỉ khi r , 0. Khi đó cx + d c cx + d a d y = là đường tiệm cận ngang và x = − là đường tiệm cận đứng. c c ax2 + bx + c r = px + q + (với a và d khác 0) có tiệm cận đứng (xiên) khi và chỉ khi r , 0. dx + e dx + e e Khi đó y = px + q là đường tiệm cận xiên và x = − là đường tiệm cận đứng. d. 2. Đồ thị hàm số y =. x2 có tiệm cận. x−m 2x2 − 3x + m Bài 5.235 : Tìm m để đồ thị hàm số y = không có tiệm cận đứng. x−m mx2 + 6x − 2 Bài 5.236 : Tìm m để hàm số y = không có tiệm cận đứng. x+2 Bài 5.234 : Tìm m để hàm số y =. 1. Các khẳng định của bài này đúng cho mọi hàm số phân thức y =. ax + b ax2 + bx + c và y = cx + d dx + e. Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Trang 101.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC −x2 + x + a có tiệm cận xiên đi qua A(2; 0). x+a x2 + mx − 1 Bài 5.238 : Cho hàm số y = . Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên và tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa x−1 độ một tam giác có diện tích bằng 8. Bài 5.237 : Tìm a để y =. Bài 5.239 : Cho hàm số y =. x2 + 2x cos α + 1 , với α ∈ [0; π]. x + 2 sin α. 1. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. 2. Tìm α để khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiệm cận xiên đạt giá trị lớn nhất. Bài 5.240 : Cho hàm số y =. mx2 + (3m2 − 2)x − 2 có đồ thị là (C). x + 3m. 1. Tìm m để góc giữa hai đường tiệm cận của (C) bằng 45◦ .. .c. 5.4 Tâm đối xứng và trục đối xứng. Điểm thuộc đồ thị. om. 2. Tìm m để (C) có tiệm cận xiên cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4.. tb. Vấn đề 1 : Tâm đối xứng, trục đối xứng. ng. . tra. 1. Điểm M(x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f (x) nên y0 = f (x0 ).. ://. ao. 2. Hai điểm M, N đối xứng qua điểm I khi và chỉ khi I là trung điểm MN, tức là. :y I =. 2 y M + yN . 2. 8 −u < MN⊥→ ∆ :. ht tp. 3. Hai điểm M, N đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi. 8 x + xN > < xI = M. Trung điểm I của MN thuộc ∆.. x2 + 2m2 x + m2 có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. x+1 Tìm m để trên đồ thị hàm số y = x3 + mx2 + 9x + 4 có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. 3x + 4 Tìm trên đồ thị hàm số y = các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(1; 1). 2x − 1  ‹ x2 + x + 2 5 Tìm trên đồ thị hàm số y = các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I 0; . x−1 2 2 x Tìm trên đồ thị hàm số y = các cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x − 1. x−1. Bài 5.241 : Tìm m để trên đồ thị hàm số y = Bài 5.242 : Bài 5.243 : Bài 5.244 : Bài 5.245 :. Vấn đề 2 : Khoảng cách.  1. MN =. È. (xM − xN )2 + (yM − yN )2 ;. 2. M(x0 ; y0 ) và ∆ : Ax + By + C = 0 thì d(M, ∆) =. |Ax0 + By0 + C| √ . A2 + B2. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 102.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>