Các chuyên đề Luyện thi đại học - Chương 7: Tích phân

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (766.62 KB, 17 trang )

(1)Chương 7. Tích phân 7.1 Các dạng toán cơ bản về nguyên hàm Vấn đề 1 : Chứng minh một hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x). . .c. Bài 7.1 :. om. Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là một nguyên hàm của f trên K nếu F ′ (x) = f (x) với mọi x ∈ K. 1. Chứng minh rằng. tb. F(x) = 4 sin x + (4x + 5)ex + 1. ng. là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 4 cos x + (4x + 9)ex .. ao tra. 2. Chứng minh rằng hàm số F(x) = |x| − ln(1 + |x|) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3. Chứng minh rằng. là một nguyên hàm của hàm số f (x) =. 8 x2 x2 > < ln x − +1. 2 :1. F(x) = 8 < x ln x :. 0. khix > 0 khix = 0. 4. x . 1 + |x|. khix > 0 khix = 0. trên [0; +∞).. √ Bài 7.2 : Xác định các hệ số a, b, c để hàm số F(x) = (ax2 + bx + c) 3 − 2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) = √ x 3 − 2x. 2x − 3 Bài 7.3 : 1. Tìm m để hàm số F(x) = ln(x2 + 2mx + 4) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 . x − 3x + 4 2. Cho hàm số f (x) = −xex và F(x) = (ax + b)ex . Với giá trị nào của a và b thì F(x) là một nguyên hàm của f (x).. Vấn đề 2 : Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản. . Ta có bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản sau. Lop12.net 149.

(2) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. 2.. 3.. R. 0 dx = C;. R. R. 1 dx = x + C;. (b). R xα+1 1 (ax + b)α+1 + C; (ax + b)α dx = . +C α+1 a α+1 (với α , −1, a , 0);. (c). R. dx =. xα dx =. R 1. x. dx = ln |x| +C;. R. (d). 1 1 dx = ln |ax + b| +C (a , 0); ax + b a 5.. 4. Với a là hằng số khác 0 (a). R. sin(ax + b) dx = −. cos(ax + b) + C; a. R R R. cos(ax + b) dx = e(ax+b) dx = α x dx =. sin(ax + b) + C; a. e(ax+b) + C; a. αx + C (với 0 < α , 1); ln α. R. 1 dx = tan x + C; cos2 x R 1 (b) dx = − cot x + C. sin2 x (a). Bài 7.4 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :. 2.. √. . 3.. x+1. x−. 7. √. . 2x − 1 ; ex. 8. e3−2x ;. x+1 ;. . x3 + 1 5. ; 1 − x2. 11.. 6.. 12.. 14.. x4 − 2 ; x3 − x. π (1 + sin 2x); 4 16. sin x sin 2x cos 5x;. 2. ;. 3x2 + 3x + 3 ; x3 − 3x + 2. 17. sin6 x + cos6 x; 1 18. √ ; 2 + sin x − cos x 19. sin x cos2 x.. tb. 1 ; (1 + x)(1 − 2x). 1 − x2 x. 1 ; x(1 + x)2. 15. sin x −. 1 1 10. √ − √3 ; x x. cos 2x 4. ; sin x + cos x. 13.. . 9. x(x + 1)(x + 2);. 1 ; sin x cos2 x 2. om. √ x+1 √3 ; x. .c. 1.. x+. Bài 7.5 :. ng. Vấn đề 3 : Tìm hằng số C 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =. x3 + 3x2 + 3x − 1 1 , biết rằng F(1) = . 2 x + 2x + 1 3. ao tra. 1 + sin x , biết rằng F(0) = 2. 1 + cos x Bài 7.6 : Tìm các hàm số thỏa mãn các điều kiện sau : 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =. 1. f ′ (x) = 2x + 1, đồ thị của nó đi qua điểm (1; 5);. 2. f ′ (x) = 2 − x2 và f (2) =. Bài 7.7 : Tìm hàm số y = f (x) có đồ thị đi qua điểm (−1; 2) và thỏa mãn f ′ (x) = ax +. 7 . 3. b , ở đây f (1) = 4 và f ′ (1) = 0. x2. Vấn đề 4 : Phương pháp nguyên hàm từng phần. . Công thức. Z. u dv = uv −. Z. v du.. Về việc chọn u, v như thế nào chúng ta xem phần phương pháp tích phân từng phần.. Bài 7.8 : Tính các nguyên hàm sau :. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 150.

(3) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. 2.. R R. 3. 4.. (1 − 2x)e3x dx;. 8.. (x2 + 2x − 1)e x dx;. 9.. x sin(2x + 1) dx; R. (x − 1) sin x dx;. 11.. 2. x ln(1 − x) dx; R √ 6. x ln2 x dx; R. R. 10.. 5.. 7.. R. 12.. R. e x sin x dx;. 15.. e3x sin 5x dx;. 16.. e3x cos 7x dx;. 17. 18.. xe cos x dx; x. R. x ln x dx;. 22.. x2 e x dx;. 23.. 3 x cos x dx; R. 24.. xe sin 2x dx; x. 25.. 1 + sin x x 19. e dx; 1 + cos x R 20. sin(ln x) dx; √ 21. ln x + 1 + x2 dx;. xe sin(2x + 1) dx; R x 13. x sin dx; 2 R 14. x2 cos x dx;. e x cos x dx;. R √. 2x. R R. 1+x dx; 1−x. cos (ln(tan x)) dx;. R x cos x R. 26. 27.. x ln. sin2 x. dx;. x2 x dx; xe−x dx;. R. 25e3x cos 4x dx.. Vấn đề 5 : Phương pháp đổi biến số. . Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] và hàm số f (u) liên tục sao cho f [u(x)] xác định trên [a; b]. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f , tức. R. f (u) du = F(u) + C thì Z. f [u(x)] u′ (x) dx = F [u(x)] + C.. om. Việc chọn u = u(x) như thế nào chúng ta xem thêm phần đổi biến tích phân.. R. 11.. 7 dx; 4 − 3x R 3 √ 3. dx; 2x + 1 R −4x √5 4. e + 3x + 2 dx;. R. 7. 8.. . cos. π . 2. x −. 2 6x + 5. . dx;. (2x + 1)4 dx;. 2x(x2 + 1)3 dx; R. √. x. 2. 3x2 dx; x3 + 1 R x 14. dx; 2 (3x + 9)4 √ R 15. 2x e x2 +4 dx; 13.. ao tra. 6.. R. R. ng. 2.. 5.. R. √ 3x2 x3 + 1 dx; √ R 12. 2x3 4 − x4 dx;. 2(4x − 1)6 dx;. tb. 1.. .c. Bài 7.9 : Tìm các nguyên hàm sau :. dx;. x3 − 4 √ R 9. x x − 1 dx; √ R 10. 2x x2 + 1 dx;. R. 2x + 4 16. dx; x2 + 4x − 5 √ R 3 17. x 2 − t2 dx; 18.. R. 19. 20.. R. 21.. cos xesin x dx; ex dx; x e +1 cos x sin4 x dx; √ x x + 1 dx;. R. cos x dx; 1 + sin x R x 23. dx; x2 + 4 √ R 24. (x + 1) x − 1 dx; 22.. 25. 26. 27. 28. 29. 30.. R tan x. sin2 x R R. dx;. 4x dx; (1 − 2x2 ) 4x dx; (1 − 2x2 )2. R ln x. x. dx;. R. e−x dx; 1 + e−x. R. 1 dx. x ln x. R. x √ dx; 2x + 3. R. x dx; (1 + x2 )2. R. dx ; e x − e−x. Bài 7.10 : Tính các nguyên hàm sau : 1.. R. (2x + 1)20 dx;. x dx; x2 + 1 √ R 3. x2 x3 + 5 dx; 2.. 4. 5.. R. e3 cos x sin x dx; ln4 x dx; x. R. e2x √ dx; ex + 1 √ R 7. 3x 7 − 3x2 dx; 6.. 8. 9.. R R. 9x2 √ dx; 1 − x3 √. 1 √ dx; x(1 + x)3. Lop12.net Download tài li u h c t p t i : . 10. 11. 12. 13.. R ln2 x. x. dx;. Trang 151.

(4) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 14. 15. 16.. R R R. √3. R. sin x cos x √ , (a2 , b2 ); 2 a sin2 x + b2 cos2 x R dx 18. ; cos x sin2 x R √ 19. x 1 + x2 dx;. 1 + ln x dx; x. 17.. cos x sin3 x dx; cos x + sin x √ dx; sin x − cos x. 20. 21. 22.. R R R. sin2 x cos3 x dx; e3 sin x cos x dx; (3x + 2)10 dx.. Bài 7.11 : Tính các nguyên hàm sau : 1.. R. 2. 3.. x3 e−x dx; √ sin x dx;. R ln(ln x). sin(ln x) dx; √ 7. cos2 x dx; R 1 1 8. − dx; ln2 x ln x R x cos x 9. dx; sin2 x R √ 10. sin x + 1 dx;. dx;. x R 2 4. cos (ln x) dx; 5.. e. √. x. R. 6.. 2. dx;. 11.. R ln (tan x). cos2. dx;. x x x 12. sin cos dx; 3 3 R 1 1 1 13. sin cos dx; x2 x x R. 14.. R. 15.. R. dx ; sin x + cos x. R. dx ; 8 − 4 sin x + 7 cos x. 5. dx ; 3 + 5 cos x. 16.. 17.. R 4 sin x + 6 cos x + 5. sin x + 2 cos x + 2. dx.. 7.2 Các dạng toán tích phân. om. Vấn đề 1 : Sử dụng tích phân cơ bản. . Z. b. .c. Nếu F là một nguyên hàm là một nguyên hàm của f trên [a; b] thì f (x) dx = F(x). R2. 2.. R 0. 3.. R2 1 2. 4.. R2. 5.. . 9.. 2x2 + cos x dx;. (2 cos x − sin 2x) dx; 1 dx; x(x + 1). ex. +1. dx;. π 6. R. 6.. 0. R8. 7.. 1 4x − √3 3 x2. 1. R1 . 8.. 0. 10.. (sin 6x sin 2x − 6) dx; . 3x − e. x 4. . . R4 1. 0. ln R 2 e2x+1 0. = F(b) − F(a).. ng π. x(x + 1)2 dx;. 0 π 2. ao tra. Bài 7.12 : Tính các tích phân sau : 1.. a. tb. a. b. π 3. R π 6. 11.. dx;. dx ; 2 x (x + 1) 3. sin x dx; 1 − cos x. R2 √ 0 π. 12.. dx;. R3 π 6. π. 13.. R4 0. dx ; (1 + tan2 x) cos4 x. π. 14.. R2. cos2 2x dx;. − π2 π. x3 − 2x2 + x dx;. dx ; 2 sin x cos2 x. 15.. R2. sin 2x sin 6x dx;. − π2 π. 16.. R6. tan x dx.. 0. Vấn đề 2 : Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối. 1. Công thức tách cận tích phân. Z. b. f (x) dx =. Z. a. 2. Tích phân chứa dấu trị tuyệt đối. Rb a. c. f (x) dx +. a. Z. b. f (x) dx.. c. | f (x)| dx (giả sử a > b).. (a) Giải phương trình f (x) = 0, được các nghiệm xi ∈ [a; b], giả sử a ≤ x1 < x2 < · · · < xn ≤ b.. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 152.

(5) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC (b) Dùng công thức tách cận Zb a. Zx1. | f (x)| dx =. | f (x)| dx +. a. Zx1. =. Zx2. | f (x)| dx + · · · +. x1. Zx2. f (x) dx +. a. Zb. f (x) dx + · · · +. x1. xn. Zb. | f (x)| dx f (x) dx .. xn. Chú ý : Sau khi tách cận chúng ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối chứ không nhất thiết phải đưa giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân.. Bài 7.13 :. 1. Cho. R5 0. f (t) dt = −3 và. R7. f (u) du = 4, tính. 0. R7. f (x) dx.. 5. 2. Xác định hàm số f (x) = A sin πx + B, biết rằng f ′ (1) = 2 và. R2. f (x) dx = 4.. 0. Bài 7.14 :. 1. Cho hàm số f (x) = a.3 x + b, biết rằng f ′ (0) = 2 và. R2. f (x) dx = 12. Tìm các giá trị của a và b.. 1. 2. Cho hàm số f (x) = a sin 2x + b, biết rằng f ′ (0) = 4 và. R2π. f (x) dx = 3. Tìm các giá trị của a và b.. 0. 1. Cho. 2. Cho a ∈. . R4. f (x) dx = 1 và. 0. R6. f (t) dt = 5. Tính tích phân I =. 0. . R1 π 3π ; và thoả mãn cos(x + a2 ) dx = sin a. Tính giá trị của a. 2 2 0. 2.. 0. 0 √. 0. R2 0. 1 + x2. dx;. |x − 2| dx;. |x2 − 1| dx;. R4 √ 1. 1 − cos 2x dx;. R 3 |1 − x2 |. 4.. −3. 8.. .c. 7.. R2π √. 3.. 5.. |x2 − x| dx;. R3. 11.. tb. R2. 6.. R5. −2. 9.. 12.. x2 − 6x + 9 dx;. 0. 10.. R2 0. |2 x − 4| dx;. 13.. 16.. 4 − |x| dx;. Rπ √. 17.. π 6. |x2 + 2x − 3| dx;. 15.. tan2 x + cot2 x − 2 dx;. 19.. Rπ √ 0. 1 − sin 2x dx;. √ cos x cos x − cos3 x dx;. π. 18.. R3 √. R2. − π2. R2. − π2. π. 14.. x3 − 4x2 + 4x dx;. 1 + cos x dx;. 0. 1 − sin x dx;. −π. R2π √ π. R1 √ −1. (|x + 2| − |x − 2|) dx;. R3 √. R3 0. ng. 0. |1 − x| dx;. ao tra. R2. f (x) dx.. 4. Bài 7.16 : Tính các tích phân sau : 1.. R6. om. Bài 7.15 :. | sin x| dx;. Rπ √. 1 + cos 2x dx;. 0. 20.. R2π √. 1 + cos x dx.. 0. Vấn đề 3 : Phương pháp tích phân từng phần. Zb. b. u dv = uv −. Zb. a. a. v du.. a. Dùng phương pháp tích phân từng phần khi tích phân của chúng ta vừa chứa lẫn lộn các hàm : hàm đa thức, hàm mũ, hàm lôga (hoặc chỉ chứa hàm lôga), hàm lượng giác, hoặc chứa hàm vô tỉ. Nếu chứa lôga chúng ta thường đặt u là lôga và dv là phần còn lại hoặc đặt u là đa thức và dv là phần còn lại. Chú ý :. • Tích phân I =. R. e x sin x dx đặt u = e x và dv = sin x dx . . .;. • Trước khi dùng tích phân từng phần chúng ta phải kiểm tra xem có làm được bằng phương pháp đổi biến số không đã; Lop12.net Download tài li u h c t p t i : . Trang 153.

(6) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC • Một cách tổng quát, chúng ta đặt u là biểu thức dễ xác định đạo hàm, dv là phần còn lại dễ xác định nguyên hàm.. Bài 7.17 : Tính các tích phân sau : ln R2. 1.. xe2x dx;. 9.. R1. 10.. (2x2 + x + 1)e x dx;. 3.. R 0. 11.. (1 − x) sin x cos x dx;. R4. 12.. x sin x dx;. 5.. 13.. 2x ln x dx;. 6.. x + 1e. √. x+1. Rπ. dx;. 19.. 14.. x3 ln2 x dx;. 0. 1. 2. √. x. dx;. 20.. (x2 + 2x + 3) cos x dx;. e2x sin 3x dx;. (x − 1) sin x dx;. 21. 22.. 8.. 16.. e cos 2x dx;. R2 x − sin x π 3. Rπ. (ln(x − 1) − ln(x + 1)) dx; e x cos2 x dx;. R1. e x sin2 (πx) dx;. 1 + cos x. dx;. 23.. R2. x2 cos x dx;. 0 π. 24.. R3 0. (2 − x) sin x dx.. .c. 0. R3. π. π. x. √ 1 + x2 dx;. 0. x cos x sin2 x dx;. 0. 0. Rπ. R2. . x ln x +. 0. om. 7.. 15.. R1. 2. π. π. R2. x ln2 x dx;. 0. π. R2. Re. 2x ln(x − 1) dx;. 1. 0. 1. Re. 18.. (2x − 1)e−2x dx;. R3 √ R1. R5 2. 0. 0. R3. 17.. 0. π. 4.. R1 0. 0 π 2. (x2 + 1)e2x dx;. 0. 0. 2.. R1. 1. Phương pháp đổi biến số đơn giản f (ax + b) dx =. ao tra. 1R f (ax + b) d(ax + b); a R 1R 1 (2x − 3)3 VD : (2x − 3)2 dx = (2x − 3)2 d(2x − 3) = + C. 2 2 3 1 Chú ý : d(ax + b) = a dx ⇒ dx = d(ax + b). a R 1 (b) f (xn+1 )xn dx = f (xn+1 ) d(xn+1 ), đặt t = xn+1 ; n+1 R R VD : I = (4x3 + 1)2 x5 dx = (4x3 + 1)2 x3 .x2 dx. 1−t Đặt t = 4x3 + 1 ⇒ dt = 12x2 dx và x3 = . 4 3 R 1−t dt Vậy I = t2 = ··· 4 12 (c) Về cơ bản khi có căn chúng ta thường đặt t là toàn bộ căn, rồi lũy thừa hai vế cho mất căn; nếu biểu thức trong các hàm (a). R. ng. tb. Vấn đề 4 : Phương pháp đổi biến số. sin, cos, tan, cot, ln hoặc lũy thừa là phức tạp thì ta thường đặt t là biểu thức phức tạp đó. VD : √ √ R t dt t dt x2 2x3 + 1 dx, đặt t = 2x3 + 1 ⇒ t2 = 2x3 + 1 ⇒ 2t dt = 6x2 dx ⇒ x2 dx = , nên I = t. = ··· 3 3 R R R dt 2 2 ii. I = x3 .e x +1 dx, đặt t = x2 + 1 ⇒ dt = 2x dx và x2 = t − 1, nên I = x2 .e x +1 x dx = (t − 1)et rồi dùng phương 2 pháp nguyên hàm từng phần. R 1 R 1 1 1 dx 1R iii. I = sin cos dx, đặt t = ⇒ dt = − 2 , nên I = − sin t cos t dt = − sin 2t dt. x2 x x x x 2 i. I =. R. 2. Phương pháp đổi biến số tích phân lượng giác Tích phân chỉ chứa các hàm số lượng giác sin, cos, tan, cot chúng ta biến đổi về một trong các dạng sau :. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Http:/a/ otrangtb.com.

(7) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC (a). R. f (sin x) cos x dx, hàm f (sin x) là tính theo sin x (chú ý rằng cos2 x = 1 − sin2 x và nói chung lũy thừa bậc chẵn của cos x. đều đưa được về sin x), đặt t = sin x ⇒ dt = cos x dx (tức là tích phân chứa sin x mũ lẻ). (b). R. f (cos x) sin x dx, hàm f (cos x) là tính theo cos x (chú ý rằng sin2 x = 1 − cos2 x và nói chung lũy thừa bậc chẵn của sin x. đều đưa được về cos x), đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x dx (tức là tích phân chứa cos x mũ lẻ). R dx dx (c) f (tan x) 2 , đặt t = tan x ⇒ dt = (tức là tích phân có lũy thừa của sin x và cos x cùng tính chẵn lẻ). Trường cos x cos2 x 2t 1 − t2 hợp đặc biệt, tích phân chứa tan x, sin 2x, cos 2x cũng đặt t = tan x, khi đó sin 2x = , cos 2x = . 2 1+t 1 + t2 R dx dx (d) f (cot x) 2 , đặt t = cot x ⇒ dt = − 2 . sin x sin x π (e) Tích phân chứa (sin x + cos x) dx hoặc sin x + dx đặt t = sin x − cos x. 4 π (f) Tích phân chứa (sin x − cos x) dx hoặc sin x − dx đặt t = sin x + cos x. 4 R cos x dx R R dx 1 1 = = cos x dx = cos x dx, đặt t = sin x. 2 2 cos x cos x cos x 1 − sin2 x √ 3. Phương pháp đổi biến với tích phân chứa ax2 + bx + c √ π π (a) Nếu chứa a2 − x2 đặt x = a sin t, − ≤ t ≤ . 2 2 √ a π π 2 2 (b) Nếu chứa x − a đặt x = , − ≤ t ≤ và t , 0. sin t 2 2 √ π π (c) Nếu chứa x2 + a2 đặt x = a tan t, − < t < . 2 2 R. om. VD : I =. VD :. √ √ dx π π √ , đặt x = 2 sin t (− ≤ t ≤ ) ⇒ dx = 2 cos t dt. Ta được : 2 2 2 2−x √ √ √ √ √ R 2 cos t dt R 2 2 2 √ 2 − x = 2 − 2 sin t = 2 cos t = 2 cos t, và I = = dt = t + C. 2 cos t √ R √ π π dt 1 (b) I = x2 + 1 dx, đặt x = tan t, − < t < , nên dx = và x2 + 1 = . Ta được : 2 2 cos2 t cos t 2 R dt R R d(sin t) 1 (sin t + 1) − (sin t − 1) I= = = d(sin t) = . . . cos3 t (sin t + 1)(sin t − 1) (1 − sin2 t)2 2 √ R dx (c) I = √ , đặt x = tan t và ta được I = ln |x + x2 + a2 | + C. x2 + a 2 x (d) Một cách tổng quát tích phân chứa sin x, cos x, tan x, cot x chúng ta đặt t = tan . 2. .c. R. ao tra. ng. tb. (a) I =. 4. Phương pháp đổi biến với tích phân chỉ chứa hàm mũ Ta đặt t là cả hàm mũ đó, chẳng hạn :. R t dt ex dt dx, đặt t = e x ⇒ dt = e x dx = t dx ⇒ dx = , vậy thì I = = . . .. x e +1 t t+1 t R dx R t lndt2 dt x x (b) J = , đặt t = 2 ⇒ dt = 2 ln 2 dx = t ln 2 dx ⇒ dx = , vậy thì J = = ... 2x + 1 t ln 2 t+1. (a) I =. R. 5. Phương pháp đổi biến tích phân chứa lôga và phân thức R dx dx I = f (ln x). , đặt t = ln x, ta được dt = . x x R ln x + 1 R dx VD : Tính I = dx, đặt t = ln x + 1 ⇒ dt = , vậy I = t dt. x x. Bài 7.18 : Tính các tích phân sau :. Lop12.net Download tài li u h c t p t i : . Trang 155.

(8) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC π. 22. 12.. 3x + 5 dx;. 0. 0. R1. 13.. x3 (1 + x4 )3 dx;. 3.. 2 3x3. xe. 14.. dx;. π. R2 0. 5.. sin x dx; 1 + cos x. a 2. 15.. dx. R. 16.. √ , (a > 0); a 2 − x2 Ra dx 6. , (a > 0); 2 2 0 a +x R1 0. 8.. R2 1. 9.. R1 0. 10. 11.. π 3. R. 0 √. 17.. R8. √ √. 18.. R1 0. 19.. 24.. x + 2x + 10x + 1 dx; x2 + 2x + 9 x+1 √3 dx; 3x + 1. 20.. π 2. R 0. 21.. π 4. R 0. dx;. 25.. 22.. R2. 26. 27.. π. √ dx; cos2 x + 2 sin2 x dx ; (sin x + 2 cos x)2. 31.. 5.. 13.. sin x sin 2x cos 5x dx;. 14. 15.. 6. R3 √. . 1 + cos x. 9.. 17.. 5π. 10.. tb. R2. dx.. dx ; 1 + sin x + cos x. R4 3 sin 2x + 4 cos 2x + 5 0 π. 25.. dx;. 3 cos 2x − 4 sin 2x + 5. R2 3 cos x + sin x + 2 0. 2 sin x + cos x + 1. dx;. dx;. π. 26.. cos x. √ dx; 1 + cos2 x. R6 tan4 x 0 π. . 27.. tan2 x + tan4 x dx;. R4 0. R2 sin x + 7 cos x + 5. 29.. dx;. cos 2x dx ; cos4 x. R2. sin3 x cos2 x dx;. 0 π. 18.. 4 sin x + 3 cos x + 5. R2 9 sin x − 2 cos x. cos x + 2 sin x + 1. 20.. π 2. R 0. √ √ ; sin 2x + 2 3 cos2 x + 2 − 3 √ π π R3 2 sin x − 4 11. dx; cos x 0 π 12. 24.. 28.. 0. dx. x. e. π. π. 19.. sin 2x sin 5x dx;. Re2 ln(ln x). 41.. π. dx;. π. − π2. R12. ;. dx ; (sin x + 2 cos x)2. R4. 0. dx;. xe x cos x dx;. π. π. π. R2. R4. e2x sin2 (e x ) dx;. 0. 0. π. R2 4 sin3 x 0. R2. 0. tan2 x + cot2 x − 2 dx;. Rπ. 40.. 23.. dx ; 1 + cos 2x 1 + cos x. x dx ; + x2 + 1. 0. 0. π. sin x + cos x dx; 6. π ln R2. 39.. e x ln(e x + 1) dx;. cos3 x. x4. 0. √ dx; ex + 1. cos 3x cos 5x dx;. R2 4 sin3 x. 0. π. 8.. R. π. 16.. π 6. π 4. 0. cos4 x dx;. π R2 . R1. 38.. xe x. R4 x sin x dx. sin x ln(tan x) dx;. π 4. x dx ; 1 + sin 2x. π. . 0. 7.. R3. 0. 0. 6.. π. R3. π. 32.. . esin x + cos x cos x dx;. 0. dx; 37.. ng. 12.. cos10 x + sin10 x − sin4 x cos4 x dx;. Rπ. 36.. cos x ln(sin x) dx ;. 0. π. cos 3x tan x dx;. π R3 . 0. x. R2. 0. . (x + sin2 x) cos x dx;. π. − π2. 0. 4.. 35.. cos(ln x) dx;. ln R3. R1. (1 + sin x)1+cos x dx; 1 + cos x. 0. 0. esin x + cos x cos x dx;. ao tra. Rπ. 0. 30.. 0. 0. 3.. 29.. sin 2x. sin4 x cos4 x dx;. R2. π 4. R4. ;. π. 2. Re 1 + x ln x. R2. ln. 0. π. 28.. 1 + 4 sin x cos x dx;. π. 2.. Re. R2. 34.. x3 e x dx;. 1. 1+x dx; x. 0. R3. R1. π. dx;. 1. Bài 7.19 : Tích phân các hàm số lượng giác Rπ. x. cos2 x. 0. 0. 1 + ln x dx; x. π. √ x5 1 + x2 dx;. 0. 1.. Re5 ln(ln x). 0. 2. cos x dx;. e2. √ x2 2 − x2 dx;. R1 √. 33.. 0. √ e x − 1 dx;. 3. x(1 − x)5 dx;. R3. Re 1. dx ; 2 x +x+1. 3. ln R2 0. 0. 7.. x. 1. 0. 4.. Re ln2 x. R4. 23.. 2x √ dx; 1 + x2. 1. 0. R1. R2. 4 − cos2 x. π. R3 x dx. π2. ;. om. 2.. R2 sin 2x dx. .c. 1.. R3 √ 3. 21.. π 4. R. dx;. 0 π. 30.. R6 0. π. sin x dx; 3 + cos2 x. 31.. sin2 x cos4 x dx;. 32.. R4 0. π. 0. R2. − π2. √ cos x cos x − cos3 x dx;. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. π. 33.. cos7 x. dx; dx. . cos x cos x +. R2 π 3. π ; 4. dx √ ; 2 + sin x − cos x. R4 sin x dx 0. π. 22.. R4 sin5 x. 1 + sin 2x. ;. dx . sin 2x − 2 sin x. Trang 156.

(9) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 7.20 : Tích phân hàm vô tỉ. √. 0. 2.. R2. 0. 5. 6.. 1. R1. dx. É. R1 0. 8.. 1. 9.. 21. 22.. 1−x dx; 1+x. 23. 24. 25.. 11.. R2 1. 12.. R16 1. x dx √ ; 1−x. 26.. x dx √ ; 1+ x−1. 27. 28.. 0. 16.. 2x2 √ dx; 1+x. R9 √3 1. R2 R1 0. 29.. ao tra. 15.. −x(x + 2) dx;. 2x − x2 dx;. x. 2. √. 1. dx √ √ ; x+9− x. 0. R1. √ x 4 − x2 ;. 0. 4−. x2. x 1 − x dx;. 1. 30.. R1 R1 −1. É. R1. x. x+1 x2 − 2x + 2. R1. √. R5. √. 4. 38.. R1. 39.. 40.. x2 + x + 1. dx;. x2 + 1 x2 − 4x + 3. √. É. R1. √. R3. dx. x x2 + 4. 5. 1 3. 41.. 2x − 3. √ 2R 3 √. 1−x dx; 1+x. dx;. x √ dx; 1+ 3x. 0. 42.. R3 1. 43.. ;. 1+x dx; x3. √ x3 x2 + 1 dx;. √ x3 1 − x2 dx;. √ 3 2 R5. x5. p 3. 1 3√ 5. dx; 44.. √ dx; 3 + 2x − x2 dx dx; (x2 + 8)3. 45.. p. 0. 32.. dx;. R1 x2 − 2x + 5 0. 31.. √. 1+x dx; 1−x. 0. dx √ ; 1 + x + x2 + 1. R2. 37.. .. 2. R1 √. R2. 0. dx ; 2 − 2x + 2 2 x x − 2x + 2 − 2x + 2. R0 √. É. 1. 34.. 36.. √ ; (x − 1) x2 − 4x + 3. √ 2+ 2. R0. √. x2. √ dx; 1 − x2. − 12. 0. dx. R4. −1. x dx 13. √ ; 1+x 0 R3 √ 14. x3 − 2x2 + x dx; R1. x+. √. R2 x3 − x5. 0. x dx; 2−x. tb. 0. x−. ng. R. (1 − x). R1. 33.. ;. −1 É. −1. √. 0. 10.. R1. x2. 1. 35.. dx. √. √ 2. 0. (x2 + x) x + 1 dx;. 3 4. √ x 3 + x2 dx;. R2. 0. dx √ √ ; x+1+ x−1. R2 R1. 20.. √ ; 1+ 3x. È. R1 0. dx √ √ ; x+ 3x. R64. 0. 7.. 19.. x dx √ ; 1+ 2+x. R7. R1. 0. x dx √3 ; x+1. R7 0. 4.. dx √4 ; x 0 1+ a √ R 18. x2 a2 − x2 dx, với a > 0; 17.. x+3 √ dx; x 2x + 3. 1. 3.. dx p ; x + 1 + (x + 1)2. om. R3. .c. 1.. R1. (2 − 5x3 )2 dx; dx √n , n ∈ N; 1 + xn. xn ). 0. (1 +. R1. √7 x7 8x4 + 1 dx;. 0. dx √ ; 4 − x2. 46.. R1. √ x15 1 + 3x8 dx.. 0. Vấn đề 5 : Tích phân các hàm hữu tỉ. . R. P(x) dx, với P(x) là một đa thức nào đó. + bx + c 3 2 R 2x + 3x − x VD : Tính I = dx. x2 + 2x + 2 Xét tích phân dạng. ax2. • Chia tử cho mẫu (bậc tử lớn hơn bậc mẫu), được Z. I= vấn đề là cần tính I1 =. R. (2x − 1) dx +. Z. −3x + 2 dx + 2x + 2. x2. −3x + 2 dx. + 2x + 2. x2. Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Trang 157.

(10) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC • Tách tử theo đạo hàm của mẫu : đạo hàm của mẫu là 2x + 2, và tử là −3x + 2 = I1 = − – Với. R (2x + 2) dx. 3 2. Z. Z. (2x + 2) dx +5 x2 + 2x + 2. −3 (2x + 2) + 5, vậy : 2. dx . x2 + 2x + 2. R d(x2 + 2x + 2). = ln |x2 + 2x + 2| + C. x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 2 R dx – Với , ta nhận thấy mẫu x2 + 2x + 2 vô nghiệm, nên x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 (tổng quát : ax2 + bx + c = 2 + 2x + 2 x b 2 ∆ a x+ + ) và ta được 2a 4a Z Z dx dx = x2 + 2x + 2 (x + 1)2 + 1 =. đặt x + 1 = tan t ⇒ dx =. dt 1 và (x + 1)2 + 1 = tan2 t + 1 = , thay vào ta được 2 cos t cos2 t Z. Dạng tổng quát :. R. x2. dx = 2 x + 2x + 2. Z. dt cos2 t 1 cos2 t. (x + 1) dx +. Z. 3x − 5 dx = 2x2 − 3x + 1. Z. om. Z. dt = t + C.. dx , đặt x = a tan t. + a2. Một ví dụ khác với mẫu là đa thức hai nghiệm phân biệt. R 2x3 − x2 + x − 4 VD : Tính I = dx và biến đổi như trên ta được : 2x2 − 3x + 1 I=. Z. =. (x + 1) dx +. 3 4. Z. 4x − 3 11 dx − 2x2 − 3x + 1 4. Z. dx 2x2 − 3x + 1. R d(2x2 − 3x + 1) 4x − 3 dx = = ln |2x2 − 3x + 1| + C. 2x2 − 3x + 1 2x2 − 3x + 1 R dx 1 1 2 2 • Với , nhận thấy mẫu 2x − 3x + 1 có hai nghiệm phân biệt 1 và , nên 2x − 3x + 1 = 2(x − 1) x − . 2x2 − 3x + 1 2 2 1 (x − 1) − x − 1 1 1 1 1 1 2 = .(−2). =− Ta biến đổi 2 = . − . 1 1 2x − 3x + 1 2 2 x − 12 x − 1 (x − 1) x − (x − 1) x − 2 2 Ta được :. .c. R. Z. ao tra. ng. tb. • Với. dx =− 2x2 − 3x + 1. Z . dx dx − x − 12 x − 1. . Z. =−. . d x− x−. 1 2. . 1 2. d(x − 1) − x−1. !. . = − ln x −. . 1 − ln |x − 1| + C. 2. Và cuối cùng ta xét ví dụ với mẫu là đa thức có nghiệm kép. R dx 1R dx 1 R d(x + 1) 1 1 VD : Tính = = =− . + C. 2 2 2x − 4x + 2 2 (x + 1) 2 (x + 1)2 2 x+1 Chú ý rằng :. • Nếu ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 , x2 thì ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ). • Nếu ax2 + bx + c có nghiệm kép x = x0 thì ax2 + bx + c = a(x − x0 )2 . • d(x + a) = dx với mọi số thực a.. Bài 7.21 : Tính các nguyên hàm sau : 1.. 2.. R. dx ; 3x + 1. R x2 + 3x − 1. −2x + 3. 3.. dx;. 4.. R. −2x2 R. dx ; −x+1. dx ; 2 x − 4x + 4. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. 5.. R x3 + 5x2 + 3x − 7. 6.. R x2 − 6x + 10. x2. Lop12.net. x2. + 6x + 9. − 6x + 8. dx;. dx;. 7.. 8.. dx ; + 1). R. x2 (x R. x2. 2x − 7 dx; − 3x + 2. Trang 158.

(11) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC R. x−1 dx; + 3x + 2)2 R 2x + 5 10. dx; 9x2 − 6x + 1 R 2x + 1 11. dx; 2 (x − 4x + 4)3 9.. (x2. 12.. 13.. R 3x + 1. (x +. R. 1)3. dx;. 14.. x3 dx; (x2 + 1)2. 15.. x dx ; (x2 + 1)2. R. R x2 + 2x + 1. x2 + 1. 16.. dx;. 17.. R x4 − 1. x3 − x. R. dx;. (x2 + 1) dx ; (x − 1)3 (x + 3). Bài 7.22 : Tính các tích phân sau :. 3.. R1 0. 4.. R1 0 1. 6.. R2 0. 7.. R1 0. 8.. R2 1. 9.. R1 0. 10.. x dx ; 4 x + x2 + 1. 13.. R2 1 − x2 1. 5.. 12.. 1+. x4. dx ; 3x2 − 2x − 1 dx ; x2 − 4x + 5 dx ; x2 − 2x + 2. 0. 15.. R4 R1 0. 16. 17.. R2 −1. 18.. ;. 20.. R1 0. R1. 21.. (x − 4) dx ; 2x3 − 4x2 + 6x − 12. 22.. 3x + 8 dx; x2 − 9x + 14. 23.. x dx ; x4 + 4x2 + 3. 24.. x2 dx; (1 + x)2. 25.. dx;. x2 + x . x−1 x+2. 2. (2x + 1)3. 0. R2. (x2. 1. 2. R1 (1 − 3x)4 0. 19.. x dx ; +x+1. R4 2x + 1 2. x dx ; x4 − 5x2 + 4 x2 + 1. R1. 0. dx ; x4 + 4x2 + 3. R1 x2 dx 0. 0. 14.. dx;. R1. x2. 26. dx;. 27. 28.. dx;. x3 dx ; (x2 + 1)2. R−1 (x2 + 1) dx dx ; 31. ; 2 + 3x − 1)(x + 5x − 1) (11 + 5x)2 2. (x2 − 4) dx (x2 + 1) dx ; 32. R2 2 2 2 2 1 (x − 3x + 4)(x − 2x + 4) 1 (x + 5x + 1)(x − 3x + 1) 2 1 R 6x + x + 2 dx; R2 (4x + 2) dx (4x + 1)(x2 + 1) 0 33. ; 2 2 1 (x + x)(x + x + 2) 4 2 1 R x + 5x + 4 dx; R2 x(x2 + 2)2 (x2 − 6) dx 1 2 34. 2 2 1 (x + 3x + 2)(x + 9x + 18 R1 4x − 2 dx; 2 2 R0 x 0 (x + 2)(x + 1) 35. dx; √ √ 2 2+ 6 −1 x − 3x + 2 R2 x2 + 1 dx; x4 + 1 R1 x dx 1 36. ; 2 2 R1 x dx 0 (x + 1) ; 3 0 (x + 1) R2 5x + 3 37. dx; 2 1 R x −1 3 2 1 x − 2x − 3x dx; 4 1 x + 1 2 3 R2 dx R1 2x + 1 2 38. ; 3 − 4x x dx; 1 x+1 0 R2. om. 0. −1. 3x dx ; 2 x + 2x + 1 3. R1. 29.. x5 dx ; 6 4x + 4x3 + 1. 30.. R1 0. x2 dx; 2 (x + 1)2. 1. 39.. R2 3x2 − 8x + 13 0. (x + 3)(x − 1)2. dx.. ao tra. 2.. R2. 11.. .c. 0. x3 dx ; x2 − 3x + 2. tb. R2. ng. 1. 1.. Vấn đề 6 : Tích phân một số hàm đặc biệt. . 1. Đối với hàm chẵn, lẻ. (a) Nếu hàm số y = f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên [−a; a] thì Za. f (x) dx = 2. −a. Za. f (x) dx.. 0. (b) Nếu hàm số y = f (x) là hàm số lẻ, liên tục trên [−a; a] thì Za. f (x) dx = 0.. −a. Nhận xét : Như vậy, trước khi tính tích phân ta cần chú ý đến hai cận, nếu thấy hai cận đối nhau ta cần để ý đến tính chẵn lẻ của hàm số dưới dấu tích phân rồi áp dụng kết quả khẳng định trên. 2. Tích phân kết hợp giữa hàm chẵn và hàm mũ Cho f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên [−a; a]. Khi đó : Za −a. f (x) dx = mx + 1. Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Za. f (x) dx.. 0. Trang 159.

(12) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 3. Tính bất biến của tích phân khi biến số thay đổi cận cho nhau Ta có hệ thức :. Rb a. f (a + b − x) dx =. Rb. f (x) dx.. a. 4. Tích phân hàm tuần hoàn Nếu hàm số y = f (x) liên tục, tuần hoàn với chu kì T thì a+T Z. f (x) dx =. a. ZT. f (x) dx.. 0. 5. Hàm số dưới dấu tích phân có trục đối xứng thẳng đứng Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và f (a + b − x) = f (x) thì Zb. a+b x f (x) dx = 2. a. Đặc biệt :. Rπ. x f (sin x) dx =. 0. Zb. f (x) dx.. a. π Rπ f (sin x) dx. 20. 6. Tích phân của các hàm số đối xứng nhau - tích phân liên kết lượng giác π. R2. π. f (sin x) dx =. 0. Đặc biệt. π. Z2. sink x = (sin x + cos x)n. 0. π. cosk x ; (sin x + cos x)n. 7. Biến đổi tách đôi hàm số và co cận tích phân R2a. f (x) dx =. 1. Chứng minh rằng. R1. 0. cosk x . sin x + cosn x n. 0. ( f (x) + f (2a − x)) dx.. R1. ecos x dx = 2 ecos x dx.. −1. 0. ao tra. 2. Tính các tích phân sau:. Z2. ng. 0. Bài 7.23 :. Ra. 0. π. sink x = sinn x + cosn x. tb. Nếu f (x) là hàm liên tục trên [0; 2a], thì. Z2. .c. 0. f (cos x) dx.. 0. π. Z2. R2. om. Nếu f (x) liên tục trên [0; 1] thì. Z2. I1 =. ln(x +. 1. √. Z2. x2 + 1) dx; I2 =. −2. . cos x ln − 12. 1+x 1−x. . dx.. Bài 7.24 : Tính các tích phân sau : π. 1.. R3. 1. cos7 x dx;. 8.. − π3. 2.. − 12. R1 x6 + tan x. x2 + 1. −1. 3.. Ra. x2. 5.. −1. 6.. R1 −1. 7.. . ln x +. R1. . √. 1 + x2. 2007. (2 x. 3. x2 |sin x| ; 2009 x + 1. π. 10.. dx; . r. dx √ ; (e x + 1) 1 − x2. R2 sin x sin 2x cos 5x. ex + 1. − π2. . 3x x 2+x x + cos 6x + sin sin ln 2 2 2−x. x4 sin4 x + cos4 x. R2. − π2. . 2. R1 −1. 9.. √ sin x + a2 − x2 dx (a > 0);. R1 . −1. π. dx;. . −a. 4.. R2. dx;. x5 − x3 + x − sin x dx; x4 + x2 + 1 + cos x. dx ; + 1)(x2 + 1). TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. 11.. √ R1 x ln 1 + 1 + x2. −1. 12.. √ dx; (3 x + 1) 1 + x2. R1 x2 ln(1 + x2 ) −1 1. 13.. dx;. 2x + 1. R2 x ln − 12. Lop12.net. . 1+x 1−x. ex + 1. dx;. . dx;. Trang 160.

(13) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC π. 14.. R2 x2 cos x. ex + 1. − π2. π. dx;. 27.. ln(1 + tan x) dx;. 28.. R1 ln(1 + x). 1+. x2. 29.. 1 + cos10 x. dx; . √. 0 5π. 20.. R4 π. 21.. 0. 22.. Rπ. sin 2x dx; x + sin4 x. 33.. ; 34.. x sin x dx;. 35.. x sin x dx;. 26.. π 2. R 0. Rπ. É 3. sin 5x cos 7x dx; sin 3x. R2π √. 1 + sin x dx;. Rπ. x sin x cos2 x dx;. 0. cos4 x ; sin4 x + cos4 x. 37.. tb. 0. ;. sin x ; (sin x + cos x)3. ng. 25.. R. 1 + sin2 x. 36.. .c. Rπ x sin x d x 0. sin x sin 2x sin 3x dx;. 0. 0. π 2. R3π. 0. 3. 24. I =. R2. om. 23.. ln(sin x) dx;. 0. 0 π. R2. dx dx; 2009 x 1 + tan 0 √ R4 ln(9 − x) 32. √ √ dx; ln(9 − x) + ln(x + 3) 2. cos4. 9 + 4 cos2 x. ln(tan x) dx;. π. 31.. 1 − cos 2x dx;. Rπ x sin x dx. R2. 0. tan2007 2x + sin2009 6x dx;. 2007π R. sinn x ; x + cosn−1 x. π. 30.. 0. 19.. dx;. 0. R π 2. sin. n−1. . π. dx;. R4π sin7 3x cos8 5x 0. 18.. R2 0. 0. 17.. 1 − tan2 (cos x) cos2 (sin x). π. R4 0. 16.. . 0. π. 15.. R2. 38.. π. R2 0. cos3 x dx; sin x + cos x. R1 −1. x4 dx; 1 + 2x. 1.. R1 0. 2.. Ra. ao tra. Bài 7.25 : Chứng minh các hệ thức sau : xm (1 − x)n d x = x3 f (x2 ) d x =. 0. 1 2. R1 0. Ra2. xn (1 − x)m dx;. x f (x) dx (a > 0; x > 0);. 0. 3. Chứng minh rằng nếu y = f (x) là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kì T thì. RT. T. f (x) dx = 2. 0. R2. f (x) dx.. 0. 7.3 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng Bài 7.26 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 1. elíp :. x2 y2 + = 1, (a, b > 0). a2 b2. 2. đồ thị hàm số y = x3 − 1, đường thẳng x = 2, trục tung và trục hoành. 3. đồ thị hàm số y = 4 − x2 , đường thẳng x = 3, trục tung và trục hoành. 4. parabol y = 2 − x2 và đường thẳng y = −x. 5. đường thẳng y = x + 2 và parabol y = x2 + x − 2. √ 6. đồ thị hàm số y = x, trục hoành và đường thẳng y = x − 2. Bài 7.27 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :. Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Trang 161.

(14) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. đồ thị các hàm số y =. 27 x2 ,y = và y = x2 . x 27. 2. parabol y = 2x2 − 4x − 6, trục hoành, và hai đường thẳng x = −2, x = 4. 3. parabol (P) : y = x2 − 4x + 5 và hai tiếp tuyến của (P) tại A(1; 2) và B(4; 5). 4. đồ thị các hàm số y = |x2 − 1| và y = |x| + 5.. √ 5. đồ thị các hàm số y = − 4 − x2 và x2 + 3y = 0. 6. đồ thị các hàm số y = sin |x| và y = |x| − π. 7. đồ thị các hàm số x2 = 4y và y =. x2. 8 +4. Bài 7.28 : Cho parabol (P) : y = x2 + 1 và cho đường thẳng dm : y = mx + 2. 1. Chứng minh rằng với mọi m thì (P) và dm luôn cắt nhau tại hai điểm phân biêt. 2. Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (P) và dm có diện tích nhỏ nhất. Bài 7.29 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : x2 2 8 , y = và y = . 4 x x. om. 1. đồ thị các hàm số y = x2 , y =. 3. đồ thị hàm số y2 + x − 5 = 0 và đường thẳng x + y − 3 = 0.. tb. 4. đồ thị các hàm số x2 = 3y và y2 = 3x.. .c. 2. đồ thị các hàm số y2 = 2x, x − 2y + 2 = 0 và trục hoành.. ng. 5. parabol y = x2 − 2x + 2 và các tiếp tuyến của nó đi qua điểm A(2; −2).. ao tra. 7.4 Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay Bài 7.30 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi parabol y = 2x − x2 và trục hoành. 1. Tính thể tích V x của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox. 2. Tính thể tích Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Oy. Bài 7.31 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 , y = khi quay S quanh trục Ox, Oy (tương ứng).. 27 x2 và y = . Tính thể tích V x , Vy của hình tròn xoay tạo bởi x 27. Bài 7.32 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi các parabol y = 4 − x2 và y = x2 + 2. Tìm thể tích V x , Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox, Oy.. Bài 7.33 : Cho S là hình tròn tâm I(2; 0) và bán kính R = 1. Tìm thể tích V x , Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox, Oy. Bài 7.34 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xe x , trục hoành và đường thẳng x = 1 . Tìm thể tích V x của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox. Bài 7.35 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x, trục hoành, các đường thẳng x = 0 và x = π. Tính thể tích V x của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox. Bài 7.36 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ln x, trục hoành, các đường thẳng x = 1 và x = e. Tính thể tích V x của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox.. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 162.

(15) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC. 7.5 Tích phân trong các kì thi ĐH R1. Bài 7.37 (CĐ09) : Tính tích phân : I =. . e−2x + x e x dx.. 0. R1 2x − 1. Bài 7.38 (CĐ10) : Tính tích phân I =. dx.. x+1. 0. Bài 7.39 (A02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = |x2 − 4x + 3|, y = x + 3. √ 2R 3. Bài 7.40 (A03) : Tính tích phân : I =. √ 5. R2. Bài 7.41 (A04) : Tính tích phân : I =. 1 π. dx √ . x x2 + 4. x √ dx. 1+ x−1. R2 sin 2x + sin x. Bài 7.42 (A05) : Tính tích phân : I =. √ dx. 1 + 3 cos x. 0 π. R2. sin 2x √ dx. 2 0 cos x + 4 sin2 x Bài 7.44 (A07) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = (e + 1)x, y = (1 + e x )x. Bài 7.43 (A06) : Tính tích phân : I =. π. R6 tan4 x. cos 2x. 0. dx.. π. R2. Bài 7.46 (A09) : Tính tích phân : I =. 0. Bài 7.47 (A10) : Tính tích phân I =. . cos3 x − 1 cos2 dx.. R2 x2 + e x + 2x2 e x. 1 + 2e x. dx.. .c. 0. om. Bài 7.45 (A08) : Tính tích phân : I =. Bài 7.48 (B02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y =. tb. Bài 7.49 (B04) : Tính tích phân I =. √ 1 + 3 ln x ln x dx. x. Re π. Bài 7.50 (B05) : Tính tích phân I =. R2 sin 2x cos x. 1 + cos x. ao tra. 0. Bài 7.51 (B06) : Tính tích phân I =. 4−. x2 x2 và y = √ . 4 4 2. ng. 1. r. ln R5. ln 3. dx.. dx . e x + 2.e−x − 3. Bài 7.52 (B07) : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = x ln x, y = 0, x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.. π. Bài 7.53 (B08) : Tính tích phân : I =. R4. R3 3 + ln x. (x + 1)2. 1. Bài 7.55 (B10) : Tính tích phân I =. Re 1. Bài 7.56 (D03) : Tính tích phân : I =. R2 R3 2. dx. .. dx.. |x2 − x| dx. ln(x2 − x) dx.. π. Bài 7.58 (D05) : Tính tích phân : I =. . ln x dx. x(2 + ln x)2 0. Bài 7.57 (D04) : Tính tích phân : I =. π 4. sin 2x + 2(1 + sin x + cos x). 0. Bài 7.54 (B09) : Tính tích phân : I =. . sin x −. R2. . esin x + cos x cos x dx.. 0. R1. Bài 7.59 (D06) : Tính tích phân : I = (x − 2)e2x dx. 0. Bài 7.60 (D07) : Tính tích phân : I =. e. x3 ln2 x dx.. 1. Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - http:/a/ otrangtb.com. Trang 163.

(16) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC R2 ln x. Bài 7.61 (D08) : Tính tích phân : I =. x3. 1. R3. Bài 7.62 (D09) : Tính tích phân : I =. 1. Bài 7.63 (D10) : Tính tích phân I =. Re. dx.. dx . ex − 1. . 1. 2x −. 3 x. . dx.. 7.6 Bài tập tổng hợp Bài 7.64 : Tính tích phân : I =. R2 x3 dx. x2 + 1. 0. Bài 7.65 : Tính tích phân : I =. ln R3. e x dx . (e x + 1)3. p. 0. Bài 7.66 : Tính tích phân : I =. .. . R0. x 22x +. √3. . x + 1 dx.. −1 π. x dx. 1 + cos 2x. 0. Bài 7.68 : Tính tích phân : I =. R1 0. Bài 7.69 : Tính tích phân : I =. √ x3 1 − x2 dx.. ln R5 ln 2. Bài 7.70 : Tính tích phân : I =. R1. e2x dx √ . ex − 1. om. Bài 7.67 : Tính tích phân : I =. R4. x3 e x dx. 2. x. 1. ln x dx.. tb. Bài 7.71 : Tính tích phân : I =. .c. 0. Re x2 + 1. Bài 7.72 : Tính tích phân : I =. sin2 x tan x dx.. 0. Bài 7.73 : Tính tích phân : I =. R7 x + 2. √3. x+1. dx.. ao tra. 0. ng. π. R3. Bài 7.74 : Tính tích phân : I =. Re. x2 ln x dx.. 1. π. R4. Bài 7.75 : Tính tích phân : (tan x + esin x . cos x) dx. 0. Re. 3. Bài 7.76 : Tính tích phân : I =. 1. ln2 x √ dx. x ln x + 1. π. R2. Bài 7.77 : Tính tích phân : I = (2x − 1) cos2 x dx. 0. Bài 7.78 : Tính tích phân : I =. R6 2. dx √ . 2x + 1 + 4x + 1. Bài 7.79 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol : y = x2 − x + 3 và đường thẳng d : y = 2x − 1. Bài 7.80 : Tính tích phân : I =. √. R e 3 − 2 ln x 2. Bài 7.81 : Tính tích phân : I =. R10 5 π. R2. √ dx. x 1 + 2 ln x. dx √ . x−2 x−1. Bài 7.82 : Tính tích phân : I = (x + 1) sin 2x dx. 0. R2. Bài 7.83 : Tính tích phân : I = (x − 2) ln x dx. 1. Download tài li u h c t p t i : . Lop12.net. Trang 164.

(17) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 7.84 : Tính tích phân : I =. R4 0. √ 2x + 1 √ dx. 1 + 2x + 1. x(1 − x) . x2 + 1 √ Bài 7.86 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 và y = 2 − x2 . Bài 7.85 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0 và y =. Bài 7.87 : Tính tích phân : I =. R1 x(x − 1). x2 − 4. 0. Bài 7.88 : Tính tích phân : I =. R2. dx.. x2 cos x dx.. 0. 3x x2 và y = . 4 x+1 √ Bài 7.90 : Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3−x 2x + 1; y = 0; x = 1 xung Bài 7.89 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = quanh trục Ox. Bài 7.91 : Tính thể tích khối tròn xoay nhận được do quay quanh trục Oy hình phẳng được giới hạn bởi các đường y2 = x và 3y − x = 2. Bài 7.92 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = |x2 − 4x| và y = 2x.. Bài 7.93 : Cho D là hình hình giới hạn bởi (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1. Tính thể tích vật thể khi quay D quanh trục Ox. Bài 7.94 : Tính các tích phân sau :. 1 e. 3.. e+1 R 2. 4.. 0. 5.. x2 ln(x − 1) dx;. R5 1. 7.. 11.. x sin x cos x dx;. 0. 6.. cos3 x 9. dx; π cos x − sin x 2 π π cos x − 4 R 4 dx; 10. 0 4 − 3 cos x. dx √ ; x + 1 − x2. R1 Rπ. R. .c. 0. (2x − 1)2 e3x dx;. tb. R1. ng. 2.. π R2 x + sin x 8. dx; 0 1 + cos x. ln x dx; (1 + x)2. x2 + 1 √ dx; x 3x + 1. R3 ln(x2 + 3). x2. 1. om. Re. ao tra. 1.. dx;. R2 0. R1 x3 − x2 0. √3. x 3x − 4. Rπ 0. sin 2x dx; 1 + cos4 x. π R4 x sin2 x dx 15. ; π sin 2x cos2 x 6 16.. Re 1. x dx √ √ ; 2+x+ 2−x. π R4 x sin x 12. dx; 3 0 cos x 13.. 14.. ln3 x dx; x(ln2 x + 1). π 17.. R2 . . 3x(x − 1) + e1+cos x sin 2x dx;. 0 π. − 1 dx;. 18.. R4. cos2. − π4. dx . x 1 + e−3x. Bài 7.95 : Tính các tích phân sau : 1.. √ lnR 3 0. 2.. π. dx √ ; 1 + 1 − x2. R2. . R1 0. 3.. e2x dx √ ; 3e x + 1 0 1+ √ R2 x x − 1 8. dx; x−5 1. dx ; 2x e +1. 7.. . cos 2x sin4 x + cos4 x dx;. 9.. 4.. 0. 5.. dx ; 4 x + 4x2 + 3. R2 √ 0. 10.. R2 0. . x(2 − x) + ln(4 + x2 ) dx;. π R3 x + sin2 x 6. dx; 0 1 + cos 2x. R1 −1. 0. R1. 3Rln 2. 11.. 12.. π R3 0. 13.. 2. x ln(x + 1) + x x2 + 1. 3. √ dx; 1+ x sin x √ dx; cos x 3 + sin2 x. Lop12.net Download tài li u h c t p t i : . sin3 x. π 4. 14.. dx √ ; 1 + x + 1 + x2. R1 1 + x 0. π. R2 x cos x. dx;. ln R5 ln 2. (10.e−x. dx √ ; − 1) e x − 1. π. 15.. R4 x sin x 0. cos3 x. dx;. π. 16.. 17.. R2 sin 2x − 3 cos x 0. 2 sin x + 1. R2. √ 4 − x2 dx; x2. 1. dx;. Trang 165.

(18)

Các chuyên đề Luyện thi đại học - Chương 7: Tích phân

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về