Thiết kế bài giảng lớp 1 - Tuần 11

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức (thường dùng trong phổ thông). Phương pháp 1 :Phương pháp dùng quy ước A > B  A – B > 0 (dùng định nghĩa để chứng mimh) A.Phương pháp: muốn chứng minh A>B ta xét hiệu A-B>0 và phân tích hiệu thành tổng hoậc là tích các dương. I.¸p dông vÝ dô 1: cho a,b,c lµ 3 sè cïng dÊu vµ a > b > c .Chøng minh: a3b2 + b3a2+c3a2  a3 c 2+c 3b 2+b 3a2. Gi¶i : XÐt hiÖu : A= a3b2 + b3a2+c3a2- a3 c 2+c 3b 2+b 3a2 =(c-a)(b-a)(c+a)(ab+bc+ca) v× a,b,c cïng dÊu nªn ab+bc+ca > 0 do a>b>c nen c-a<0; b-a>0  A  0 a3b2 + b3a2+c3a2  a3 c 2+c 3b 2+b 3a2. Vd2: Cho a,b c lµ 3 sè thùc ma a+b+c  0 .CM: a 3  b3  c3 3abc  abc abc. XÐt hiÖu : a 3  b3  c3 3abc a 3  b 3  c 3  3abc = =  abc abc abc 1 (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a ) 2  0 2 a 3  b3  c3 3abc vËy : .  abc abc. Vd3: CMR nÕu 0 <x  y  z th× ta cã: 1 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1 1 1 1 1 y(  )  ( x  z)  (  )( x  z) . x z y x z. Vd4:. CTR: a , b  0 th× (ax  by)(bx  ay)  (a  b) 2 xy.. Vd5: Cho a,b,c là 3 số dương tuỳ ý  [0;1].CMR : a 2  b 2  c2  1  a 2 b  b 2c  c2a. Vd6: Cho. .. ab>1.CMR: 1 1 2   2 2 1 a 1  b 1  ab. phương pháp 2 :Sử dụng bất đẳng thức đã biết và các phép to¸n. A.KiÕn thøc : a.Bất đẳng thức cauchy: Cho n số không âm : a1 ,….,an..ta có bất đẳng thức : a1  ......  an  2 n a1.......... a n n. dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi a1 =…….=an b.Bất đẳng thức bunhiacôpski: cho 2 cÆp sè (a,b)vµ (c,d) ta cã bÊt ®Èng thøc: ( ac +bd )  ( a2+c2)(b2+d2). DÊu ’’ =’’ khi vµ chØ khi c: .Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối |x| - |y|  |x+y|  |x| +|y| |x| - |y|  |x-y|  |x| + |y| | a+ 1 | a. . 2. d.§¼ng thøc trong tam gi¸c: a-c<b<a+c 2 Lop10.com. a c. =. b d. ..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a–b<c<a+b b – c < a < b + c. B.¸p dông: Vd1: Cho a,b, c > 0 .chøng minh r»ng : a 3b a 3 c b 3 a b 3 c c 3 a c 3b       6abc. c b c a b b. Gi¶i: ¸p dông B§T Cauchy cho 6 sè khong ©m ta ®­îc : a 3 b .a 3 c .b 3 a b 3 c c 3 .a c 3 b       66 a 6 b 6 c 6  6abc. c b c .a b .a. dÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a=b=c. vd2 : Chøng minh c¸c B§T sau : 1 a , (sin x  a cos x )(sin x  b cos x )  [1  ab  (1  a 2 )(1  b 2 ) 2 .a  b 2. b, ((sin x  a cos x )(sin x  b cos x )  1  ( ) . 2. HD: a) sử dụng cong thức lượng giác và áp công thức bunhiacôpski cho 2 cËp sè(a+b;ab-1)vµ (sin2x;cos2x). b)áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương 1+a2,1+b2. vd3: Cho tam gi¸c ABC.CMR: 1 1 1 1 1 1    2(   ) pa pc pb .a .b c. (HD: ¸p dông B§T Cau chy ) vd4: Chøng minh tg 2. A B C  tg 2  tg 2  1 víi mäi tam gi¸c. 2 2 2. (HD:¸p dômg B§T Cauchy) Vd5: 3 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Cho a,b,c là độ 3 cạnh của một tam giác.CMR: a , )a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca ). b, ).....abc  (a  b  c)(b  c  a )(c  a  b). c)a 3 (b 2  c 2 )  b 3 (c 2  a 2 )  c 3 (a 2  b 2 )  0;. víi a<b<c. (HD: ¸p dông B§T trong tam gi¸c) Phương pháp 3: áp dụng tam thức bậc 2 1.Phương pháp: +tính chất thường được áp dụng là f ( x)  ax 2  bx  c(a  0). af(x)  0 x  R    b 2  4ac  0 . +) ®iÒu kiÖn cã nghiÖm cña tam thøc bËc 2: xÐt   b 2  4ac  0(  0;   0 ) 2.VÝ dô ¸p dông: vd1: Cho ABC lµ mét tam gi¸c bÊt kú .CMR 1. x ta. đều có:. 1 2 x  cos A  x(cos B  cos C )(1) 2. gi¶i tacã. 1  x. 2.  2(cos B  cos C ) x  2(1  cos A)  0(2). '  (cos B  cos C ) 2  2(1  cos a ) BC BC A A BC  4 cos 2 cos 2  4 sin 2  4 sin 2 (cos 2  1)  0 2 2 2 2 2 BC v× cos 1 2. vậy (2) đúng mọi x nên (1) đúng. Vd2: CMR: 4 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> nÕu. a  c (a  b  c) < 0 th×. (b 2  c 2 ) > 4a (a  b  c). Gi¶i: XÐt tam thøc bËc 2 : f(x) = ax 2  (b  c) x  a  b  c Ta cã f (0). f (1)  2(a  b  c)(a  c) < 0 (gt) Vậy f(x) có hai nghiệm ,do đó  > 0 nghĩa là :   (b  c) 2  4a (a  b  c) > 0  (b  c) 2 > 4a (a  b  c)  ®pcm.3 Vd3: Cho a3 > 36 vµ abc = 1. CMR: a3  b 2  c 2 > ab  bc  ca (1). 3. Vd4: cho 4 sè a,b,c,d thùc .CMR: (a 2  b 2 )(c 2  d d )  (ac  bd ) 2. vd5: x  R ta đều có:. CMR. 4 sin 3 x  5  4 cos 2 x  5 sin x. vd5: CMR : NÕu 3 sè a,b,c tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: ab +bc +ca >0; abc > 0; a +b+c>0; th× a>0 ; b >0 ; c >0 vd5: cho 3 số a.b,c lần lượt là độ dài ba cạnh của một tam giác .CMR: 1 a 2 b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 > (a 4  b 4  c 4 ) 2. vd 6: CMR: nÕu 3 sè a,b,c tho¶ m·n ®k:. a th×. 2.  b 2  c 2 =2 (1). ab  bc  ca =1 (2) 4 4 4 4 4 4   a  ;  b  ;  c  ; 3 3 3 3 3 3. 5 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> phương pháp 4 Dùng phép chứng minh phản chứng. 1,pp chung : giả sử cần phải chứng minh BĐT nào đó đúng .ta giả sử bđt đó sai và kết hợp với gt để suy ra đièu vô lý: +,®iÒu tr¸i víi gt’ +trái vưói một điều đúng. +sai vô lý là hai điều trái ngược nhau. 2.c¸c vÝ dô ¸p dông: vd1: nÕu a + b < 2 th× mét trong 2 sè a vµ b nhá h¬n 1. Gi¶i . Giả sử 2 số a và b đều lớn hơn hoặc bằng 1 tức là a  1 và b  1  a+b  2(tr¸i víi gt). vËy a<1 hoÆc b < 1. Vd2: CMR nếu a1a2  2(b1  b2 ) thì ít nhất một trong hai phương tr×nh x 2  a1 x  b1  0; x 2  a2 x  b2  0 cã nghiÖm. Gi¶i: Giả sử cả hai pt đã cho vô nghiệm ,khi đó : 1  a12  4b1 < 0 ;  2  a 22  4b2 < 0  1   2 <. 0  a12  a22  4(b1 b2 ) < 0.  a12  a22 < 4(b1  b2 )  2a1a2 ( gt )  (a1  a2 ) 2 < 0.(v« lý).. Vậy có ít nhất một trong hai pt đã cho có nghiệm. 3.bµi tËp ¸p dông: bµi 1:cho a,b,c (0;2) .CMR cã Ýt nhÊt mét trong c¸c B§T sau lµ sai: 9 9 9 ; b(3  c) > ; c(3  a) > . 4 4 4 Bµi 2: cho a,b,c  0.chøng minh cã Ýt nhÊt 1 trong c¸c pt sau cã. a (3  b) >. nghiÖm: ax 2  2bx  c =0; 6 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> bx 2  2cx  a =0; cx 2  2ax  b =0. bµi 3: cho a,b,c  (0;1) .CMR có ít nhất một trong các bất đẳng sau la sai: 1 1 1 a (1  b) > ; b(1  c) > ; c(1  a ) > . 4 4 4. Bµi 4: Cho a,b,c.CMR cã Ýt nhÊt mmét trong c¸c B§T sau lµ sai: a ( 2-b)>1;b(1-c)>1;c(1-a)>1; bai5: CMR trong 3 BĐT sau đây có ít nhất một BĐT sau là đúng: (b  c) 2 2 (c  a ) 2 2 ( a  b) 2 2 2 a b  ;b  c  ;c  a  ; 2 2 2 2. 2. phương pháp 5: Phương pháp quy nạp I.Phương pháp chung : Có 2 cách cơ bản để chưngs minh bằng quy nạp: cách 1:tiến hành theo các bước sau: 1.chưng tỏ BĐT đúng với n = n0(với n0 là một số tự nhiên bé nhất từa nhận được yêu cầu của đề bài). 2.giả sử BĐT đúng với n = k. 3.từ đó suy ra BĐt đúng với n= k +1. NÕu thùc hiÖn ®­îc c¸c ®iÒu kiÖn trªn th× theo nguyªn lý quy n¹p kÕt luËn B§T đúng với mọi số tụ nhiên n  n0 C¸ch2: quy n¹p theo kiÓu cauchy: gi¶ sö cÇn chøng minh B§ T đúng mọi số tự nhiên n  2 . ta cã tiÕn hµnh nh­ sau: 1,CM BĐT đúng với n = 2. 7 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 2,giả sử BĐT đúng với n=k. ta sẽ chứng minh BĐT đúng với n = 2k. 3,giả sử BĐT đúng với n=k (k  4) ta sẽ chứng minhBĐT đúng với n=k-1. II,C¸c bµi to¸n minh ho¹: a  b n a n  bn Bµi 1: cho a,b  0 n lµ sè tù nhiªn n  1.CM: ( )  (*) 2 2. Gi¶i : ab ab  (đúng). 2 2. +) n=1 B§T trë thµnh Vậy (*) đúng với n=1;. a  b k a k  bk +)giả sử BĐT (*) đúng với n=k ta có: ( )  (1) 2 2. +) ta sẽ chứng minh BĐT đúng với n=k+1 nghĩa là chứng minh a  b k 1 a k !  b k 1 (2) ( )  2 2 ab a  b k 1 a k 1  b k 1 a  b tõ (1) ta cã ( )  0 nªn suy ra ( ) ( )( )(3) 2 2 2 2. để CM (2) ta cần chứng minh: a k  bK a  b a k 1  b k 1 ( )( ) (4) 2 2 2  (a k  b k )(a  b)  2(a k 1  b k 1 )  a k 1  b k 1  a k b  ab k  0  (a  b)(a k  b k )  0  (a  b) 2 (a k 1  a k  2 b  .......  ab k  2  b k 1 )  0(5) do a  0; b  0  (5). vậy (4) đúng . theo nguyên lý quy nạp suy ra BĐT (*) đung với mọi số nguyên dương n. đẳng thức xảy khi: 8 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> + n=1 thì đẳng thức xảy ra a , b  0 . + nÕu n>1 th× d¼ng thøc x¶y ra khi a=b. bµi tËp 2: CMR víi n nguyªn ,n>1 th× 1 1 1   ......  > 1 2 n. n (*). gi¶i : +n=2 ta cã. 1 1 2  =1+ >2 2 1 2. vậy BĐT đúng với n=2. +giả sử BĐT đúng với n=k tức là:. 1 1 1   ....  > k (1) 2 2 k. +ta CM BDT đúng với n=k+1 nghĩa là : 1 1 1 1   + .......  > k  1 (2) 1 2 k k 1. tõ (1) ta cã : 1 1 1  .....   > 1 k k 1 k  1  (2)dung. 1 k k 1 1 k 1 = > = k 1 k 1 k 1. k. chứng tỏ BĐT đúng với n =k+1. theo nguyên lý quy nạp BĐT đúng vơi mọi số nguyên lớn hơn 1. Bµi tËp 3: CMR víi mäi sè tù nhiªn n  1 ta cã : 1 1 1   ...   n  1  n  2 (*) 2 2 n 1 1 1  ....  HD: đặt S =  ta sÏ CM: S  n  1  n  2 1 2 n. bằng phương pháp quy nạp. Bµi tËp 4 CMR: a) a , b  1.....CMR...... 1 1 2   2 2 1 a 1 b 1  ab 9. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> b) a,b c  1.........CMR...... 1 1 1 3    1  a 3 1  b 3 1  c 3 1  abc. bµi tËp 5: cho a 1 , a 2 ,....., a n  1.CMR : 1 1 1 n   .....   1  a1 1  a 2 1  a n 1  n a 1 ...a n. HD. CM BĐT trên bằng phương pháp quy nạp Cau. chy. Bµi tËp 6: CMR víi mäi sè nguyen ®­¬ng n>1 ta cã: 1 1 1 13 >   ....  n 1 n  2 2n 24. bµi tËp. CMR. với mọi số nguyên dương n ta có: 2n! 4n  (n!) 2 n 1. bµi tËp 8: x 1 , x 2 ,....., x n  0 1  cho  1 CMR (1-x1)……(1-xn)  2 x 1  .......  x n  2. phương pháp 6: Phương pháp hình học I. Phương pháp chung: -¸p dônh cho c¸c bµi to¸n chøa c¨n thøcvµ biÓu thøc trong c¨n cã thểbiến đổi thành tổng các bình phương.Sau đó ta đặtchung vào tam giác,tứ giác…. rồi áp dụngcác bất đẳng trong tam giác để chứng minh bất đẳng thức. II.Bµi tËp minh ho¹: Bµi t¹p 1:CMR: x 2  6x  34  x 2  6x  10  4 gi¶i: đặt:S =. ( x  3) 2  5 2  ( x  3) 2  1. +) nÕu x=3 th× S =4. +) nÕu x  3 .ta dùng tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã 10 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> AC = 5; AB = x  3. trªn AC lÊy ®iÓm D sao cho AD. =1. ta thÊy r»ng BC= AD 2  AC 2 = ( x  3) 2  5 BD = AB2  AD 2 = ( x  3) 2  1 mà theo bất đẳng thức trong tam giác ta có: BC  BD  DC =AC-AD=5-1=4 .  4  S <4 (2). ( x  3) 2  5 2  ( x  3) 2  1. tõ (1) (2) ta cã S < 4suy ®iÒu ph¶i ch­ng minh. Bài tập 2:CMR với x,y,z ,tdương thì: ( x 2  z 2 )( y 2  z 2 )  ( x 2  t 2 )( y 2  t 2 )  ( x  y)(z  t ). HD: do x,y,z,t >0 nªn tån t¹i mét tø gi¸c ABCD sao cho AC vu«ng gãc BD t¹i O đặt OA =x;OB=y;OC=z;OD=t .rồi sau đó ta áp dụng các tính chất của tam giác để chứng minh. Bài tập 3: gọi a,b,c là 3 cạnh của một tam giác có đương tương øng la CMR: (a  b  c) 2 .. 1  4. h  h 2b  h c2 2 a. HD: qua C kÎ Cx//AB.lÊy ®iÓm D ®x víi A qua Cx(AC=CD).trong tam gi¸c vu«ng Ta xét tính chất: AD 2  AB2 =BD2< (BC+CD)2 từ đó suy ra phải ch­ng minh. Bai tËp 4:CMR: m 2  n 2  p 2  q 2  ( m  p) 2  ( n  q ) 2. bµi tËp 5: x,,y,z lµ 3 sè tuú ý.CMR: ( x 2  xy  y 2 )  ( x 2  xz  z 2 )  ( y 2  yz  z 2 ) . 11 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Phương pháp 7:áp dụng giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của hàm sè I. PP chung: B1:tìm ra hàm số để xét sao cho thuận lợi trong việc chưng minh. B2:lËp BBT cña hµm sè vµ tÝnh gi¸ trÞ cùc trÞ. B3.dựa vào BBT để chứng minh. II C¸c vÝ dô ¸p dông : Vd1: cho ba sè x,y,z tho¶ m·n x 2  y 2  z 2 =1.CMR: x y z 3 3  2  2  (1) . 2 2 2 y z z x x y 2 2. Gi¶i: Từ gt ta có 0 < x,y,z <1.khi đó (1) x2 y2 z2 3 3     (2) 2 2 2 . x (1  x ) y(1  y ) z(1  z ) 2. XÐt hµm sè f(t)=t(1-t2) = -t3+t víi t (0;1) f ' (t). =-3t2+1;. f ' (t). = 0; t=. 1 v× t > 0 3. ta cã BBT sau: T F’(t) F(t). 1 3. 0 +. 0. -2. 0. Tõ BBT ta cã: f(t) . 1. 3 3. 2 3 3. 0. t  (0;1) .do đó 0<x(1-x2)  12 Lop10.com. 2 3 3. (1).

<span class='text_page_counter'>(13)</span> x2 2   (1) .tương tự: x (1  x 2 ) 3 3. y2 2 2  y(1  y 2 ) 3 3 z2 2  (3). 2 z(1  z ) 3 3. céng (1) (2) (3) tõng vÕ ta ®­îc §pcm. CMR:. Vd2:. 1 + ln(x+ 1  x 2 )  1  x 2 vd3: vd4:. cho a,b  0.CMR : (. a  b 2 a n  bn . )  2 2. cho sè nguyªn n>1.CMR:. Vd5:. (1  x ) n  (1  x 2 )  2 n .. cho x,y,z [o;1]. CM: 2( x 3  y 3  z 3 )  ( x 2 y  y 2 z  z 2 x )  3 .. Phương pháp 8: BĐT tích phân. I.phương pháp chung: Ta thươngf sử dụng các tích chất sau: b. 1)nÕu f ( x )  0, x  a , b  f ( x )dx  0 . DÊu “=” khi vµ chØ khi .a. f(x)= 0.. x  a , b b. b. .A. A. 2)nếu f ( x )  g( x ), x  a , b  f ( x )dx   g( x )dx .đấu “=” khi và chỉ khi f(x) = g(x) x  a , b. b. b. a. a. 3) ta cã  f ( x )dx   f ( x )dx b. 4) nÕu m  f ( x )  M, x  a , b m(b  a )   f ( x )dx  M(b  a ). A. 13 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> khi giải các bài tập dạng này chúng ta thường dùng các BĐT,khảo sát hàm số,tính bị chặn của hàm sinx,cosx ,để chặn hàm dưới dấu tích phân.Sau đó dùng các tính chất trên dể giải. II.bµi tËp: Bµi tËp 1:ch­ng minh c¸c B§t tÝch ph©n sau: 1. a )  x (1  x )dx  0. 1 4. 2 x 1 b)   2 dx  5 .x  1 2.  2. (cos .x dx  ln 2. 1 x 0. 1.  .dx  c)    2 16 0 5  3 cos x 10. d. . HD: a) v×: 2. x  (1  x )  1  ; .x  0,1. ¸p dông B§t Cauchy ta cã: x (1  x )    2 4  1 1 1 1 vËy  x (1  x )dx   .dx  . 4 0 4 0. b)áp dụng tính đơn điệu của hàm sốvà sử dụng tính chất b. m  f ( x )  M, x  a , b m(b  a )   f ( x )dx  M (b  a ). A. c,t­ong tù c©u b. d,sö dông tÝnh chÊt bÞ chÆn cña hµm cosx vµ sö dông tÝnh chÊt 4. Bµi tËp 2: Cho f(x) ,g(x) lµ hai hµm sè liªn tôc ,x® trªn [a,b].CMR: 2. 1 1  1 2 2   f ( x )g ( x )dx    f ( x )dx  g ( x )dx . 0  0 0. HD: Víi mäi sè thùc y ta cã 2. 0  y.f ( x )  g ( x )  y 2 f 2 ( x )  2 yf ( x )g ( x )  g 2 ( x ).. Khi đó b. b. b. .a. a. a  x  b  y  f ( x )dx  2 y  f ( x )g ( x )dx   g 2 ( x )dx . 2. 2. .a. 14 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Sau đó ta áp dụng địng lý về dấu của tam thức bậc đối với y. Bµi tËp 3:cho hµm sè liªn tôc x® trªn [0,1] va f(x)  1, x  0,1. 1. 1. CMR:  1  f 2 ( x )dx  1  (  .f ( x )dx ) 2 0. 0. . Bµi tËp 4:CMR:  e sin x .dx  2. 0. 3 2. Phương pháp 9: Sử dụng lượng giác. I,phương pháp chung: +) ta có thể áp dụng pp lượng giác để CM một bài toán ĐT đặc biệt trong BĐT có chứa số hạng nằm trong[-1,1](ta đặt thành sin , cos ) hoặc nếu có hệ thức xy=1 thì ta có thể đặt x  tg, y  cot g . II.bµi tËp: Bµi 1: Cho 4 sè thùc x,y,u,v tho¶ m·n x2+y2=u2+v2= 1.CMR:  2  u ( x  y)  v( x  y)  2. HD: u  cos b .x  cos a vµ   y  sin a v  sin b. Có thể đặt  Khi đó :. u ( x  y)  v( x  y)  cos b(cos a  sin a )  sin b(cos a  sin a )  2 cos(b  a  450 ). Do đó u ( x  y)  v( x  y)  2vi cos(b  a  450 )  1. suy ra dpcm. Bµi tËp 2: CMR với mọi số dương a,b,c,d ta có: ab  cd  (a  d )(c  d )(1). HD: ta cã (1) . 1 d c (1  )(1  ) a b. . 15 Lop10.com. 1  1 (2) d c ab(1  )(1  ) a b.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> a  2. tg x  0  d để CM (2) ta có lấy x,y là 2 góc nhọn đặt :  tg 2 y  c  0  b. khi đó (2) có:cos(x-y)  1 .vậy ta có điều phải CM. Bµi tËp 3:CMR: (1  x 2 ) sin y  2 x cos y 1 1 x2. HD:đặt x= tga .   sin a víi a [ ; ] 2 2 cos a. Bµi tËp 4:cho a,b,c,d thùc v¬i a  c 1  d 2 ; b  d 1  c 2 . CMR: a  b  1. HD:đặt d  cos a; c  cos b với 0  a , b .  2. Bài tập 5:CMR từ 4 số cho trước luôn có thể chọn ta được 2 số x,y sao cho: 0. Hd:¸p dông c«ng thøc tg (a  b) . xy  1. 1  xy tga  tgb . 1  tga.tgb. Phương pháp 10: áp dụng tính đơn điệu của hàm số: I.Phương pháp chung: Ta áp dụng dấu của đạo hàm để biết tính tăng hay giảm của hàm sè vµ suy ra kÐt qu¶ cña B§T.  )f ' ( x )  0, x  D  f t¨ng trong D +) f’(x)  0, .x  .D  f gi¶m trong D (dÊu “=” chØ x¶y ra t¹i c¸c ®iÓm rêi r¹c). II.bµi tËp ¸p dông: Bµi tËp1: 16 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> CMR:. 1+xln(x+ 1  x 2 )  1  x 2 víi mäi x  0.. Gi¶i : §Æt f(x) =1+ xln( x  1  x 2 )  1  x 2 lµ biÓu thøc hµm sè liªn tôc trong [o, + ] có đạo hàm f’(x) = ln( x  (1  x 2 )  0, x  0 . Vậy hàm số tăng trªn [o, + .] do vËy ta cã:  f ( x )  f (0)  0  1  x ln(x  1  x 2 )  1  x 2  0, x  0.  1  x ln(x  1  x 2 )  1  x 2 , x  0.. khi x=0 th× f(0)= 0 nªn ta ®­îc: 1+xln(x+ 1  x 2 )  1  x 2 víi mäi x  0. bài tập 2: cho 4 số dương a,b,c,d.Đặt a+b+c+d= e. CMR: a). 3 4. 3 4. 4 3. 4 3. 3 4. 3 4. a b c d e 4 3. 4 3. b) a b c d e gi¶i: HD: a e. 3 4.. 4 3. b e. c e. d e. tõ a+b+c+d =e ta cã :     1 vµ v× a,b,c,d >0 nªn 0 <. a b c d    1 . e e e e. Xét hàm số mũ cơ số dương nhỏ hơn 1 là nghịch biến có d¹ng:  . 3 4. 4. a  a  a 3      . Khi đó ta sẽ có điều phải CM. e e e. Bµi tËp 3: cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C . CMR víi mäi sè tù nhiªn n>2 ta cã B§T: n <c . với mọi x>0 ta đều có : Bµi tËp 4: chøng minh r»ng 17. Lop10.com. an +bn.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> x3  sin x  x. 6. x. HD: đặt f(x ) = sinx-x bµi tËp 5: chøng minh r»ng víi 0<a<1 vµ mäi x>0 ta cã: 1  x a  1  ax . Hd: đặt f(x)= 1  x a  1  ax và chứng tỏ giảm trong[0;+) với 0<a<1. Phương pháp 11: áp dụng định lý Lagrange. I.Phương pháp : Hµm sè f: y=f(x) liªn tôc trªn [a,b] vµ kh¶ vi trong(a,b)  c(a , b) : f ' (c) . f (a )  f ( b ) . ba. II.bµi tËp ¸p dông”  ab ab víi 0 <a  b   tga  tgb  2 2 2 cos b cos b  HD: f(x) = tgx liªn tôc trong (0; ). 2  1 đạo hàm f ' ( x )  2 tồn tại trong (0; ). Theo định lý Lagrange 2 cos x  1 tga  tgb cho hµm sè trong [b,a]  (0; ). Ta cã : 2  víi cosa 2 cos c ab. Bµi1: Ch­ng minh r»ng:. <cosc < cosb nªnta cã : ab ab .  tga  tgb  2 cos b cos 2 a. Bµi 2: Ch­ng minh r»ng nÕu 0<a<b th×: Bµi 3: 18 Lop10.com. ab a ab  ln  a b b.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Chứng minh rằng với hai số a,b bất kỳ ta đều có : arctga  arctgb  a  b . HD: Dặt f(x)=arctgx là hàm số liên tục trong R và có đạo hàm f ' (x) . 1 sau đó áp dụng định Lagrange. 1 x2. Phương pháp 12: Biến đổi tương đương. I.Phương pháp : Giả sử cần chứngminh bất đẳng thức A  B. ta dùng tính chất cơ bản và các phép toán về BĐT ta biến đổi tương đương A  B  C  D.. NÕu B§T. C  D đúng thì BĐT. A  B đúng .. Ta ®­îc ®iÒu ph¶i chøng minh. II.Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: chứng minh rằng với mọi số thực a,b ta đều có: a 2  b 2  1  ab  a  b . (1) HD: Biến đổi (1) về dạng: (a-b)2 +(b-1)2 +(a-1)2  0 .(2).luôn đúng mọi a,b. VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. Bµi 2: chøng minh r»ng víi mäi sè thùc a,b,x,y ta cã:. ax  by . 2.  (a 2  b 2 )( x 2  y 2 ).. HD: ®­a vÒ d¹ng (ax + by)2  0 . Bµi 3: Chứng minh rằng nếu a,b là các số thực dương thì ta có B§T: 1 1 4 .   a b ab. Bµi 4: 19 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Cho a,b,c là ba số dương .Chứng minh: a b c2 abc    bc ca ab 2 2. 2. Bµi 5: Chøng tá r»ng mäi a,b kh«ng ©m th×: (ax  by)(bx  ay)  (a  b) 2 xy.. Bµi 6: chøng minh r»ng. nÕu a+b  2 th× a 3  b 3  a 4  b 4 .. 20 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>