Chuyên đề Phương trình đường thẳng

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phương trình đường thẳng Loại 1. Các dạng phương trình đường thẳng A. Tóm tắt lý thuyết 1. Phương trình tổng quát * Định nghĩa: Phương trình:  : ax  by  c  0 , với a 2  b 2  0 là PTTQ của đường thẳng   nhận n  a;b  làm vectơ pháp tuyến. * Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng: +)  : ax  c  0 , ( a  0 )   song song hoặc trùng với Oy . +)  : by  c  0 , ( b  0 )   song song hoặc trùng với Ox . +)  : ax  by  0 , ( a 2  b 2  0 )   đi qua gốc tọa độ. +) PTĐT dạng đoạn chắn: :. x y   1   qua A  a;0  và B  0;b  ( ab  0 ) . a b. +) PTĐT dạng hệ số góc:  : y  kx  m , ( k được gọi là hệ số góc của  ). * Chú ý: +) Ý nghĩa hình học của hệ số góc: Nếu k  0 đặt M    Ox , gọi Mt là nửa. đường thẳng  ở phía trên Ox . Khi đó. y t.  (Hình 1). k  tan xMt. +) Điều kiện để PTĐT có thể quy được về dạng hệ số góc: PTĐT ax  by  c  0 có thể đưa được về dạng hệ số góc nếu. O. M. x. b  0 . Như vậy, đường thẳng có phương. thẳng đứng ( b  0 ) không có dạng hệ số. Hình 1. góc.. 2. Phương trình tham số và phương trình chính tắc  x  x0  at * Phương trình tham số: Hệ  , ( a 2  b 2  0 ) là PTTS của đường thẳng  qua  y  y 0  bt.  x0 ;y 0 . . và nhận u  a;b  làm véc-tơ chỉ phương, với t là tham số. 1. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> * Chú ý: +) Ý nghĩa của PTTS: - Thay mỗi t   vào PTTS, ta được một điểm M  x; y    . - Điểm M  x; y    thì có một số t sao cho x , y thỏa mãn hệ. +) Một đường thẳng luôn có vô số PTTS. * Phương trình chính tắc:. x  x0 y  y 0  a b. ( ab  0 ) là PTCT của đường thẳng qua.  M 0  x0 ;y 0  và nhận u  a;b  là một vectơ chỉ phương. * Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm: Xét A  x A ;y A  , B  xB ;y B  .  x  xB x  xA y  yA +)  A  đường thẳng AB có PTCT là AB :  . xB  x A y B  y A y A  yB. +) x A  xB  AB : x  x A . +) y A  y B  AB : y  y A . 3. Một số bài toán cơ bản Bài toán 1. Viết PTĐT biết vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc đường thẳng   qua M  x0 ;y 0    : a  x  x0   b  y  y 0   0 .      n  a;b . Bài toán 2. Viết PTĐT biết vectơ chỉ phương và một điểm thuộc đường thẳng   qua M  x0 ;y 0    qua M  x0 ;y 0      : b  x  x0   a  y  y 0   0 .      / / u  a;b     n  b;  a . Bài toán 3. Viết PTĐT đi qua một điểm và song song với một đường thẳng   qua M  x0 ;y 0    qua M  x0 ;y 0     : a  x  x0   b  y  y 0   0 , ( M   ).      n a;b   / /  ' : ax  by  c  0   . Bài toán 4. Viết PTĐT đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng   qua M  x0 ;y 0    qua M  x0 ;y 0     : b  x  x0   a  y  y 0   0 .      n b;  a     ' : ax  by  c  0   . Bài toán 5. Viết PTĐT đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước.   qua M  x0 ;y 0    : y  k  x  x0   y 0 .    coù heä soá goùc k Bài toán 6. Viết PTĐT đi qua hai điểm 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  Đường thẳng đi qua hai điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A và nhận vectơ AB làm vectơ chỉ phương (Bài toán 2). Bài toán 7. Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng Quy về Bài toán 1: trung trực của đoạn thẳng AB chính là đường thẳng đi qua trung điểm I của  đoạn thẳng này và nhận AB làm vectơ pháp tuyến. Bài toán 8. Viết PTĐT đi qua một điểm và tạo với Ox góc cho trước.   : y  k  x  x0   y 0  đi qua M  x0 ;y 0  và tạo với Ox góc  ( 0o    90o )   . k   tan  Bài toán 9. Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng Giả sử cần tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng  , ta làm như sau * Lập phương trình đường thẳng  ' qua M , vuông góc với  (Bài toán 4). * H là hình chiếu vuông góc của M lên   H     ' . Bài toán 10. Tìm điểm đối xứng với một điểm qua một đường thẳng Giả sử cần tìm điểm M ' đối xứng với điểm M qua đường thẳng  , ta làm như sau * Tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng  (Bài toán 9) * M ' đối xứng với M qua  '  M ' đối xứng với M qua H .. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Đưa các PTĐT sau đây về dạng tổng quát 1)  : x  2 .. 2)  : x   1 . 2 3. 3)  : y  1 x  7 . 2.  x  1  2t 5)  :  .  y   2  5t.  x  1  2t 6)  :  .  y  2. y. y2. 4)  : x 1  . 7 5. Giải 1)  : x  2   : x  2  0 . y. 2)  : x   1   : 3x  2y  6  0 . 2 3 3)  : y  1 x  7   : x  2y  14  0 . 2 y2. 4)  : x 1  7 5.   : 5x  7y  19  0 ..  x  1  2t y2 5)  :    : x 1    : 5x  2y  9  0 . 2 5  y   2  5t  x  1  2t 6)  :    : y  2   : y  2  0 .  y  2. 3. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Ví dụ 2. Lập PTĐT  trong các trường hợp sau  1)  qua M  2; 1 và nhận n  3; 1 làm vectơ pháp tuyến..  2)  qua M  1 ;3 và nhận u  2;0  làm vectơ chỉ phương.. . . 2. 3)  qua M  1;4  và song song với đường thẳng  ' : x  2y  12  0 .. . . 4)  qua M 1; 3 và vuông góc với đường thẳng  ' :  x  3y  12  0 . 4. 5)  qua M  1;4  và có hệ số góc bằng 5 . 6)  đi qua hai điểm A  2;4  và B  2; 1 . 7)  đi qua hai điểm A  3;0  và B  0; 1 . 8)  là trung trực của đoạn thẳng với hai đầu mút A  1;7  và B  2; 4  ..  . 9)  qua M 3; 2 và tạo với Ox góc 30o . 3 Giải   qua M  2; 1 1)    : 3  x  2   1  y  1  0   : 3x  y  7  0 .    n 3;  1   . .   qua M  1 ;3  2 2)     / /u  2;0 . . .   qua M  1 ;3  2       n  0;1. . . .   : 0 x  1  1 y  3  0 2.   :y  3  0.    qua M  1;4   qua M  1;4  3)       n   / /  ' : x  2y  12  0  1; 2  .   : 1  x  1  2  y  4   0   : x  2y  7  0 .. .   qua M 1;  3   qua M 1;  3  4 4 4)         n  3;1    ' :  x  3y  12  0. . . . . .   : 3  x  1  1 y  3  0 4.   : 3x  y  15  0 . 4 4. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>   qua M  1;4  5)    : y  5  x  1  4   : y  5x  1 .   coù heä soá goùc 5 6) Ta thấy x A  xB  2   : x  2 .   qua A  3;0  7)  đi qua hai điểm A  3;0  và B  0; 1      / / AB  3; 1   qua A  3;0       AB  1; 3  .   : 1 x  3  3  y  0  0   : x  3y  3  0 .  x  x A  xB  1  I 2 2 8) I là trung điểm AB    I 1;3 . 2 2 y A  yB yI  3  2 2.  .  .   qua I 1 ; 3  2 2  là trung trực của đoạn thẳng AB       AB  3; 11. . . . .   : 3 x  1  11 y  3  0 2. 2.   : 3x  11y  15  0 .. 9).  3.  đi qua M 3; 2 và tạo với Ox góc 30. .  : y  k  x  3      k   tan 30   . 2 3 1 3.  : y  1  x  3  2 3 3    1 2   : y   3  x  3   3  : y  1 x  3  2 3 3    . 1 x 3  2  : y    3 3. . . Ví dụ 3. Lập phương trình các cạnh của ABC biết M  2; 3  , N  1 ;0 , P  7;4  lần lượt 2 là trung điểm của các cạnh AB , BC , CA của tam giác. Giải. 5. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  AB qua M  2;  3     AB / /NP  13 ;4 / /  13; 8   2. . .  AB qua M  2; 3     AB   8;13 .  AB : 8  x  2   13  y  3   0  AB : 8x  13y  10  0 .. . BC qua N  1 ;0  2   BC / /PM  9; 7 . . . BC qua N  1 ;0  2    BC / /PM  7;9 . . . .  BC : 7 x  1  9  y  0   0 2.  BC : 7x  9y  7  0 . 2 CA qua P  7;4     5 CA / /MN  2 ;3 / /  5; 6 . . . CA qua P   7;4    CA   6;5 .  CA : 6  x  7   5  x  4   0  CA : 6x  5y  22  0 .  x  1  2t Ví dụ 4. Cho  :  .  y  1  t. 1) Tìm điểm M   sao cho MA  5 với A  1; 5  . 2) Điểm N  2;7  có thuộc  không? Giải 1) M    tọa độ M có dạng M  1  2t; 1  t  ..  2 2 Ta có MA  2t  2;t  4   MA 2   2t  2    t  4   5t 2  20 . Do đó  M  3;  2  . MA  5  MA 2  25  5t 2  20  25  t 2  1  0  t   1    M  1;0  t   3  2  1  2t 2  t   . Vậy N   . 2) Ta có     7  1  t t   8 . Ví dụ 5. Cho A  1;2  và B  3;7  . Tìm điểm C thuộc đường thẳng d : y  x  4 sao cho 1) ABC vuông tại C .. 2) ABC cân tại C . Giải 6. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 1) C  d  tọa độ C có dạng C  c;c  4  ..  CA   c  1;  c  2  Ta có   CB   c  3;  c  3     CACB   c  1 c  3    c  2  c  3    2c  3  c  3   2c 2  3c  9 .  C  3;7  c  3   2  Do đó ABC vuông tại C  CACB  0  2c  3c  9  0   . 3   C  3;5  c   2 2 2 . . 2. 2. . 2. 2) Ta có CA 2   c  1   c  2   2c2  6c  5 , CB 2  2  c  3   2c 2  12c  18 . Do đó ABC cân tại C.  CA  CB  CA 2  CB 2  2c2  6c  5  2c 2  12c  18. . .  c  13  C 13 ; 85 . 18 18 18  x  2  2t y Ví dụ 6. Cho hai đường thẳng  1 : x  2  và  2 :  . Hãy tìm điểm A  1 và 3 1 y  t. 2 . B  1 sao cho đoạn thẳng AB nhận I 13 ;1 làm trung điểm. Giải  x  2  3s 1 có PTTS là:  ( s là tham số).  y  s. A  1 , B  1 tọa độ của A , B có dạng A  2  3s;  s  , B  2  2t;t  .. AB nhận I là trung điểm.  x A  xB  x   2  3s    2  2t  13  I  2  2 2     y A  yB  s  t   1  yI  2  2.  A  5; 1  3s  2t  9 s  1       .  s  t  2 t  3 B  8; 3  Chú ý: Trong một bài toán, nếu đồng thời sử dụng PTTS của nhiều hơn một đường thẳng thì ký hiệu tham số của các đường thẳng khác nhau bắt buộc phải khác nhau. Trong Ví dụ 6, hai tham số của hai đường thẳng 1 và  2 lần lượt là s và t . Ví dụ 7. Cho hai đường thẳng 1 : mx  y  m 2  1  0 và  2 :  2  m  x  my  2  0 . Biện luận theo m vị trí tương đối giữa hai đường thẳng nói trên. Giải 7. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> mx  y  m 2  1  0 Xét hệ gồm hai phương trình 1 và 1 :   1 .  2  m  x  my  2  0 mx  y  m 2  1 Ta có  1   .  2  m  x  my  2 D. m. 1. 2m m.  m2  m  2 ,. Dx . m2  1 1  m3  m  2 , 2 m. Dy . m m2  1  m 3  2m 2  3m  2 . 2m 2. Do đó m  1 * D0   : Hệ có nghiệm duy nhất  hai đường thẳng cắt nhau.  m  2. * m  1  D  Dx  Dy  0 : Hệ có vô số nghiệm  hai đường thẳng trùng nhau. D  0 * m  2  : Hệ có vô nghiệm  hai đường thẳng song song.  Dx  0. 8. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> C. Bài tập Bài 1. Viết phương trình tổng quát của 1) Đường thẳng Ox . 2) Đường thẳng Oy . 3) Đường thẳng đi qua M  x0 ;y 0  và song song với Ox . 4) Đường thẳng đi qua M  x0 ;y 0  và song song với Oy . 5) Đường thẳng OM với M  x0 ;y 0  khác O . Bài 2. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng  trong các trường hợp sau  1)  qua M  1;2  và nhận n  1;3  làm vectơ pháp tuyến..  2)  qua M 3; 1 và nhận u  0; 1 làm vectơ chỉ phương.. . 3. . 3)  qua M  4;1 và song song với đường thẳng  ' : 2x  y  12  0 .. . . 4)  qua M  3 ;2 và vuông góc với đường thẳng  ' : x  2y  12  0 . 4. 5)  qua M  1;4  và có hệ số góc bằng 5 . 6)  đi qua hai điểm A  2;4  và B  2; 1 . 7)  đi qua hai điểm A  3;0  và B  0; 1 . 8)  là trung trực của đoạn thẳng với hai đầu mút A  1;7  và B  2; 4  ..  . 9)  qua M 3; 2 và tạo với Ox góc 30o . 3 Bài 3. Tìm tọa độ điểm A trong các trường hợp sau 1) A là giao điểm của các đường thẳng  : 3x  4y  3  0 và  ' : 10x  4y  10  0 . 2) A là giao điểm của các đường thẳng  : x  2y  5  0 và  ' : 4x  5y  14  0 . 3) A là hình chiếu vuông góc của B  3; 1 lên đường thẳng  : x  3y  4  0 4) A đối xứng với B  1; 2  qua đường thẳng  : x  2y  0 . Bài 4. Viết phương trình các cạnh của ABC biết trung điểm của các cạnh là M  2;1  , N  5;3  , P  3;  4  .. Bài 5. Cho A  3;5  và B  2;3  . Tìm điểm C thuộc đường thẳng d : x  3y  10  0 sao cho ABC cân tại C .. 9. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Bài 6. [ĐH11B11Chuẩn] Cho  : x  y  4  0 và d : 2x  y  2  0 . Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng  tại điểm M thỏa mãn OM.ON  8 .. Bài 7. Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác cân ABC biết B  3; 2  , C  5;2  và A nằm trên đường thẳng d : x  2y  7  0 . ĐS: A  1;4  . Bài 8. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng 1) d1 : 2x  5y  3  0 và d 2 : 5x  2y  3  0 . 2) d1 : x  3y  4  0 và d 2 : 0, 5x  1, 5y  4  0 . 3) d1 : 10x  2y  3  0 và d 2 : 5x  y  1, 5  0 . Bài 9. Biện luận theo m vị trí tương đối của cặp đường thẳng d1 : mx  y  2  0 , d1 : x  my  m  1  0 .. 10. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Loại 2. Các bài toán về tam giác A. Tóm tắt lý thuyết Cho ABC . Ta có  Trực tâm tam giác là giao điểm của ba đường cao.  Trọng tâm tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến. Cách xác định tọa độ trọng tâm theo tọa độ các đỉnh:  x  x A  x B  xC  G 3 . G là trọng tâm ABC    y G  y A  y B  yC 3 .  Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực. T là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  IA  IB  IC . Đường tròn ngoại tiếp tam. giác là đường tròn tâm T , bán kính R  IA  IB  IC .  Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong. I là tâm đường tròn nội tiếp ABC. . I nằm phía trong tam giác và. d  I, AB   d  I, BC   d  I,CA  . Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn tâm I ,. bán kính r  d  I, AB   d  I, BC   d  I,CA  .. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho ABC có A  2; 5  , B  0;7  , C  1;2  . 1) Hãy lập phương trình các cạnh, các đường cao, trung tuyến, trung trực của tam giác. 2) Hãy xác định tọa độ trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Ví dụ 2. Cho ABC có A  1; 2  . Đường cao kẻ B , C có phương trình lần lượt là d1 : 3x  5y  11  0 , d 2 : x  3y  7  0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác. Giải.  AB qua A  1; 2    AB  d 2 : x  3y  7  0.  AB qua A  1; 2     AB   3; 1.  AB : 3  x  1    y  2   AB : 3x  y  5  0 .  AC qua A  1;  2   AC qua A  1; 2      AC  d1 : 3x  5y  11  0  AC   5;3 .  AC : 5  x  1  3  y  2   AC : 5x  3y  1  0 .. 11. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>  3x  y  5  0 B  AB  d1  B :   B  3;4  .  3x  5y  11  0  5x  3y  1  0 C  AC  d 2  C :   C  2;3  .  x  3y  7  0 BC : x  3  5. y 4 1.  BC : x  5y  17  0 .. Vậy AB : 3x  y  5  0 , AC : 5x  3y  1  0 , BC : x  5y  17  0 . Ví dụ 3. Cho ABC có AB : 4x  3y  7  0 , trung tuyến qua A là d : x  4y  5  0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác, biết AC cắt Ox tại điểm I có hoành độ bằng  3 và I là trung điểm 2 của AC . Giải 4x  3y  7  0 A  AB  d1  A :   A  1;1 .  x  4y  5  0. . . . Dễ thấy I  3 ;0 . AC qua A  1;1 và I  3 ;0 2. 2. . y 1.  AC : x 51  1  2.  AC : 2x  5y  3  0 .  xC  2xI  x A  4 I là trung điểm AC    C  4; 1 .  y C  2y I  y A  1. . . B  AB  tọa độ B có dạng B b; 4b  7 . 3.  x  y B  yC  J 2  J b  4 ; 2b  2 . J là trung điểm BC   2 3 xB  xC yJ   2. . . J  d  b  4  4. 2b  2  5  0  b  2  B  2;5  . 2. 3. Vậy A  1;1 , B  2;5  , C  4; 1 . Ví dụ 4. Cho ABC có A  3;4  , đường cao qua B , trung tuyến qua C và trung trực của BC lần lượt là d1 : 2x  5y  13  0 , d 2 : x  1 và d 3 : y  1 x  1 . Tìm tọa độ các đỉnh B , C của 2 tam giác. Giải.  AC qua A  3;4  *   AC : 5  x  3   2  y  4   0  AC : 5x  2y  7  0 .  AC  d1 : 2x  5y  13  0. . . C  AC  tọa độ C có dạng C c; 5c  7 . 2. 12. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> * Gọi M là trung điểm của AB  tọa độ M có dạng M  1;m  (vì M  d 2 ).  xB  2x M  x A  2  3  1 M là trung điểm AB    B  1;2m  4  .  y B  2y M  y A  2m  4. . . * Gọi N là trung điểm BC  N c  1 ; 5c  4m  15 . 2 4 N  d 3  5c  4m 15  c 1  1  c  m  9  1 . 4 4 2   * Ta có BC c  1; 5c  4m 1 , d 3 : x  2y  2  0  n  1; 2  .. . 2. .   Vì BC / /n nên 2  c  1  5c  4m  1  9c  4m  5 2.  2 .. c  1 B  1;3  * Giải hệ  1 ,  2  ta được   .  7 m  2 C  1; 1. Vậy B  1; 3  , C  1; 1 . Ví dụ 5. [ĐHA02] Cho tam giác ABC vuông tại A , BC : 3x  y  3  0 , A và B thuộc trục hoành , bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC . Giải.  3x  y  3  0  B  1;0  . B  BC  Ox  B :   y  0. C. . . C  BC  tọa độ C có dạng C c; 3  c  1 .. Ta thấy A là hình chiếu của C lên Ox  A  c;0  .  AB  c  1;0   AB  c  1 . O. B. A. x.  AC 0; 3  c  1  AC  3 c  1 .. . . ABC vuông tại A  BC  AB 2  AC2  2 c  1 .. Do đó: nửa chu vi tam giác là p  AB  CB  CA  3  3 c  1 , diện tích tam giác 2. 2. c 1 2 S  AB.AC  3  c  1  bán kính đường tròn nội tiếp r  S  .. 2. 2. Giả thiết p  2 . p. c 1 3 1.  2  c 1  2. . 3 1. . 3 1. . . c  1  2 3  1     c  1  2 3  1. .  13. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> A   c  2 3  3  C      c  2 3  1 A    C  .  2 3  3;0   2 3  3;6  2 3   2 3  1;0  2 3  1; 6  2 3 .   7  4 3 6 2 3   G  3 ; 3    .  G   1  4 3 ; 6  2 3   3   3 . Vậy G  7  43 3 ; 6  23 3  hoặc G  134 3 ; 632 3  .    . 14. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> C. Bài tập Bài 1. Cho tam giác ABC với A  1;2  , B  1;  2  , C  3; 3  . Hãy lập phương trình tổng quát các cạnh và các đường cao của tam giác. ĐS: AB : 2x  y  0 , BC : x  4y  9  0 , CA : 5x  2y  9  0 . Gọi d A , dB , dC lần lượt là các đường cao qua A , B , C , ta có d A : 4x  y  2  0 , dB : 2x  5y  8  0 , dC : x  2y  3  0 . Bài 2. Viết phương trình tổng quát của các đường trung trực của ABC biết trung điểm các cạnh là M  1; 1 , N  1;9  , P  9;1 . Bài 3. Cho ABC có AB : 5x  3y  2  0 và các đường cao đi qua A , B có phương trình lần lượt là d1 : 4x  3y  1  0 và d 2 : 7x  2y  22  0 . Lập phương trình của hai cạnh còn lại và đường cao còn lại của tam giác. ĐS: AC : 2x  7y  5  0 , BC : 3x  4y  22  0 , đường cao còn lại: 3x  5y  149  0 . 7. . . Bài 4. [ĐHB04] Cho hai điểm A  0;2  và B  3, 1 . Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB . Bài 5. ĐS: Trực tâm H. . . . . 3; 1 , tâm đường tròn ngoại tiếp I  3;1 .. Bài 6. Viết phương trình các cạnh của ABC biết B  4; 5  và phương trình hai đường cao: d1 : 5x  3y  4  0 và d 2 : 3x  8y  13  0 .   90 . Biết M  1; 1 là trung điểm Bài 7. [ĐHB03] Cho tam giác ABC có AB  AC , BAC.  . cạnh BC và G 2 ;0 là trọng tâm tam giác ABC . Tìm tọa độ các đỉnh A , B , C . 3 ĐS: A  0;2  , B  4;0  , C  2; 2  . Bài 8. [CĐ09Chuẩn] Cho tam giác ABC có C  1;2  , đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình l5x  y  9  0 và x  3y  5  0 . Tìm toạ độ các đỉnh A và B.. Bài 9. Viết phương trình các cạnh của ABC biết C  4; 1 , đường cao và trung tuyến kẻ từ cùng một đỉnh có phương trình lần lượt là d1 : 2x  3y  12  0 và d 2 : 2x  3y  0 . ĐS: Giả sử d1  d 2  A . AB : 9x  11y  5  0 , BC : 3x  2y  10  0 , CA : 3x  7y  5  0 . Bài 10. Viết phương trình các cạnh của ABC biết A  1;3  và hai trung tuyến có phương trình là d1 : x  2y  1  0 và d 2 : y  1  0 . 15. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> ĐS: Giả sử d1 là trung tuyến qua B , d 2 là trung tuyến qua C . AB : x  y  2  0 ,. BC : x  4y  1  0 , CA : x  2y  7  0 . Bài 11. Cho ABC có M  1;1 là trung điểm BC , AB : x  y  2  0 , AC : 2x  6y  3  0 . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.. 4.  4 4 . . ĐS: A 15 ; 7 , B 1 ; 7 , C  9 ; 1 . 4. 4 4. Bài 12. Cho ABC có phương trình hai cạnh là 5x  2y  6  0 và 4x  7y  21  0 . Viết phương trình cạnh còn lại của tam giác biết gốc tọa độ chính là trực tâm của tam giác. ĐS: Giả sử AB : 5x  2y  6  0 , BC : 4x  7y  21  0 . CA : y  7  0 . Bài 13. Cho ABC với A  2; 1 và hai phân giác trong của các góc B và C lần lượt là dB : x  2y  1  0 và dC : x  y  3  0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác. ĐS: BC : 4x  y  3  0 , AB : 8x  19y  3  0 , AC : x  4y  6  0 . Bài 14. [ĐHD09] Cho ABC có M  2;0  là trung điểm cạnh AB . Đường trung tuyến và đường cao đi qua A có phương trình lần lượt là 7x  2y  3  0 và 6x  y  4  0 . Viết phương trình đường thẳng AC . ĐS: 3x  4y  5  0 . Bài 15. [ĐHB07] Cho A  2; 2  và d1 : x  y – 2  0 , d 2 : x  y – 8  0 . Tìm toạ độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d 2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A . ĐS: B  1; 3  , C  3;5  hoặc B  3; 1 , C  5;3  . Bài 16. [ĐHB08] Hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thằng AB là H  1; 1  , đường phân giác trong của góc A có phương trình x – y  2  0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x  3y – 1  0 .. . . ĐS: C  10 ; 3 . 3 4. Bài 17. [ĐHA10NC] Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A  6;6  , đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x  y  4  0 . Tìm tọa độ các đỉnh B và C , E  1; 3 . nằm. trên. đường. cao. đi. qua. đỉnh. C. của. tam. giác. đã. cho.. ĐS: B  0; 4  , C  4;0  hoặc B  6;2  , C  2; 6  .. 16. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Bài 18. [ĐHD10Chuẩn] Cho tam giác ABC có đỉnh A  3;  7  , trực tâm là H  3; 1 , tâm đường tṛòn ngoại tiếp là I  2;0  . Xác định toạ độ đỉnh C , biết C có hoành độ dương.. . . ĐS: C 2  65;3 ..  . Bài 19. [ĐH11B11NC] Cho tam giác ABC có đỉnh B 1 ;1 . Đường tròn nội tiếp tam giác 2 ABC tiếp xúc với các cạnh BC , CA , AB lần lượt tại các điểm D , E , F . Cho D  3;1 và. đường thẳng EF có phương trình y  3  0 . Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương. Bài 20. [ĐHD11Chuẩn] Cho tam giác ABC có B  4;1 , trọng tâm G  1;1 và đường thẳng chứa đường phân giác trong của góc A có phương trình x  y  1  0 . Tìm tọa độ các đỉnh A và C.. ĐS: A  4;3  , C  3; 1 .. 17. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Loại 3. Sử dụng tính chất đối xứng vào giải toán A. Tóm tắt lý thuyết * Tính chất đối xứng của tam giác * Tính chất đối xứng của hình thang * Tính chất đối xứng của hình bình hành * Tính chất đối xứng của hình thoi. B. Một số ví dụ C. Bài tập Bài 1. Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ). Biết đường thẳng AB cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 , AD : x  2 , C nằm trên trục hoành, B có tung độ bằng hai lần hoành độ và đường 3 trung bình của hình thang có phương trình d : x  3y  1  0 . Hãy tìm tọa độ các đỉnh của hình thang. Bài 2. Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ). Biết A  1;1 , BC : x  4y  9  0 , đường trung bình của hình thang có phương trình. d : y  12 x và DC  2AB . Hãy lập phương trình các cạnh. và xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang.. . Bài 3. Cho hình thang cân ABCD ( AB / /CD ). Biết M 3; 1 2. . là trung điểm của AB ,. AD : y  3x  12 và đường trung bình của hình thang có phương trình d : 2x  4y  3  0 . Hãy lập phương trình các cạnh còn lại và xác định tọa độ các đỉnh của hình thang. Bài 4. Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD biết rằng hai đường chéo của hình hành này cắt nhau tại gốc tọa độ và các đỉnh A , B , C , D lần lượt thuộc các đường thẳng d1 : y  3x  5 , d 2 : x  y  1  0 , d 3 : 2x  3y  7  0 , d4 : x  2y  1  0 . Bài 5. Tìm tọa độ các đỉnh và lập phương trình các cạnh của hình chữ nhật ABCD biết rằng hai đường chéo của hình chữ nhật cắt nhau tại I.  23 ; 32  , các đường thẳng chứa các cạnh AB , BC ,. 3 . CD lần lượt đi đi qua các điểm M  2;3  , N 4 ;3 , P  2;1 .. Bài 6. [ĐHA09Chuẩn] Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  6;2  là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Điểm M  1;5  thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của CD thuộc đường thẳng  : x  y  5  0 . Viết phương trình đường thẳng AB .. 18. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Bài 7. Cho hình vuông ABCD có I  1; 2  là giao điểm của hai đường chéo. A và C lần lượt nằm trên các đường thẳng d1 : x  y  3  0 và d 2 : x  2y  5  0 . Biết thêm rằng B có hoành độ dương. Hãy xác định tọa độ các đỉnh và viết phương trình các cạnh của hình vuông.. .  . . Bài 8. Cho hình vuông ABCD có I  1 ;  1 là giao điểm của hai đường chéo. Điểm M 1; 5 2 2 4. . . thuộc đường thẳng AB , N 1; 5 là trung điểm của CD . Biết thêm rằng A có hoành độ âm, 2 hãy xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông. Bài 9. Cho hình vuông ABCD có A  4;1 và đường chéo BD có phương trình y  5x  8 . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông. Bài 10. [ĐHA05] Cho 2 đường thẳng d1 : x – y  0 và d 2 : 2x  y – 1  0 . Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1 , C thuộc d 2 và các đỉnh B , D thuộc trục hoành.. D. Đáp số Bài 1. A  2;1 , B  1;2  , C  7;0  , D  2; 3  .. Bài 2. B  1;2  ,. C  5;1 ,. D   1; 2  .. AB : x  2y  3  0 , CD : x  2y  3  0 ,. DA : x  1  0 .. Bài 3. A  4;0  , B  2;1 , C  1;0  , D  5; 3  .. Bài 4. A  2;1 , B  1;0  , C  2; 1 , D  1;0  .. Bài 5. A  5; 2  ,. B  1;4  ,. C  2;1 ,. D   4; 1  , AB : x  3y  11  0 ,. BC : 3x  y  7  0 , CD : x  3y  1  0 , DA : 3x  y  13  0 . Bài 6. AB : y  5  0 hoặc AB : x  4y  19  0 .. Bài 7. A  7;  4  ,. B  3;4  ,. C  5;0  ,. D   1; 8  , AB : 2x  y  10  0 ,. BC : x  2y  5  0 , CD : 2x  y  10  0 , DA : x  2y  15  0 . Bài 8. A  2; 2  , B  2;1 , C  1; 4  , D  3; 2  .. Bài 9. A  4;1 , B  1; 3  , C  1;0  , D  2; 2  hoặc A  4;1 , B  2; 2  , C  1;0  ,. D   1;3  .. Bài 10. ĐS: A  1;1 , B  0;0  , C  1; 1 , D  2;0  hoặc A  1;1 , B  2;0  , C  1; 1 ,. D  0;0  .. 19. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>