Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán phương trình, bất phương trình

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Sáng kiến kinh nghiệm. Nguyễn Hà Hưng. I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu Trên thực tế học sinh THPT đã được học rất nhiều dạng toán về PT, BPT và hệ PT cụ thể là : Lớp 10 có PT, BPT, hệ PT quy về bậc hai, chứa ẩn dưới dấu căn và chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối. Lớp 11 có PT lượng giác. Lớp 12 có PT, BPT, hệ PT mũ và logarit. Trong đó có khá nhiều dạng bài toán cần phải thực hiện phương pháp đặt ẩn phụ khi tiến hành lời giải và hầu hết đó là các bài toán không chứa tham số. Tuy nhiên trong các đề thi tuyển sinh Đại học và đề thi học sinh giỏi thường có các bài toàn đề cập đến PT, BPT chứa tham số hoặc tìm GTLN, GTNN mà khi tiến hành lời giải thì phải đặt ẩn phụ và tìm ĐK của ẩn phụ. Với mười năm làm nghề dạy học tôi đã may mắn được tham gia giảng dạy cho khá nhiều lớp ôn thi Đại học và ôn thi học sinh giỏi tôi thấy có một số vấn đề cần phải giải quyết: Một là: Viếc biến đổi PT, BPT hoặc đặt ẩn phụ để quy PT đã cho về các PT bậc cao thì học sinh được giải quyết khá nhiều ở lớp 10 và lớp 11, nhưng khảo sát hàm số bằng cách ứng dụng đạo hàm thì đến lớp 12 mới được học nên khi làm bài cần phải kết hợp hai việc trên với nhau thì học sinh rất lúng túng nên lời giải nhiều khi không chặt chẽ. Hai là: Khi học sinh làm bài tập về PT, BPT hoặc tìm GTLN, GTNN của biểu thức có ĐK mà trong lời giải có bước đặt ẩn phụ thì tôi thấy nhiều học sinh mắc phải một trong những sai lầm: hoặc là đặt ẩn phụ mà không nghĩ đến tìm ĐK của ẩn phụ hoặc tìm sai ĐK của nó, hoặc đã tìm chính xác ĐK của ẩn phụ nhưng khi lập luận trên PT, BPT theo ẩn phụ thì lại không xét trên ĐK ràng buộc của nó nên dẫn đến kết luận không chính xác. Ba là: Từ năm 2006 sách giáo khoa không nói đến định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, trong khi đó sách tham khảo suất bản trước đó có rất nhiều bài toán sử dụng định lý đó để thực hiện việc so sánh các nghiệm của một tam thức bậc với các số cho trước nên học sinh đọc sách rất hoang mang. Do đó người giáo viên phải định hướng cho học sinh biến đổi về bài toán sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nếu là tình huống không thể giải quyết đơn thuần theo kiểu tính biệt thức đenta. Những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn đề tài:. Ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán phương trình, bất phương trình. Lop12.net 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Sáng kiến kinh nghiệm. Nguyễn Hà Hưng. 2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau: Một là: Làm sáng tỏ sự liên hệ giữa số nghiệm của PT một ẩn với số giao điểm của hai hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của PT đó, nghiệm của PT chính là hoành độ các giao điểm nghĩa là từ các giao điểm mà chiếu vuông góc lên trục hoành ta sẽ tìm được các nghiệm tương ứng. Hai là: Trong khi giải quyết các bài toán về PT, BPT hoặc bài toán tìm GTLN , GTNN của một biểu thức có ĐK mà phải thực hiện việc đặt ẩn phụ thì việc tìm ĐK của ản phụ là rất cần thiết, việc tìm ĐK của ẩn phụ thực ra là tìm tạp giá trị của ẩn phụ trên tập xác định của bài toán đã cho. Sau khi tìm được ĐK của ẩn phụ thì những yêu cầu của đề bài đối với bài toán theo ẩn chính phải được quy về những yêu cầu tương ứng cho bài toán theo ẩn phụ trên ĐK của nó. Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về bài toán PT, BPT có tham số hoặc bài toán tìm GTLN, GTNN có liên quan đến phép đặt ẩn phụ.. 3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về PT, BPT và các bài toán tìm GTLN, GTNN đặc biệt là các bài toán về PT, BPT chứa tham số và trong lời giải có việc đặt phụ. Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần: PT, BPT, hệ PT quy về bậc cao một ẩn. PT, BPT chứa ản dưới dấu căn bậc hai và chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối. PT lượng giác. PT, BPT mũ và logarit.. 4 . Kế hoạch nghiên cứu Trong quá trình dạy học với những trăn trở như đã trình bày trong phần cơ sở thực tiến để đưa ra lý do chọn đề tài tôi đã cho các em học sinh từ lớp 10 làm các bài toán về PT, BPT quy về bậc hai, PT, BPT chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai có liên quan đến tham số và đặt ẩn phụ. Các em học sinh lớp 11 làm các bài toán về PT lượng giác có liên quan đến tham số, bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thưc lượng giác nói trung là đều phải đặt ẩn phụ. Khi đó học sinh có thể làm được các bài toán mà sau khi đặt ẩn phụ quy về PT bậc hai có thể tính toán đơn thuần thông qua biệt thức đenta hoặc sau khi biến đổi cô lập tham số ta được một vế là hàm số bậc hai đối với ẩn phụ, nhưng nhiều em vẫn làm không chính xác do không để ý tìm ĐK của ẩn phụ hoặc có tìm ĐK của ẩn phụ nhưng tìm không chính xác. Với các bài toán có tham số mà sau khi đặt ẩn phụ lại quy về PT, BPT có chứa hàm số đa thứ bậc ba, bạc bốn hoặc hàm số phân thức thì học sinh. Lop12.net 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Sáng kiến kinh nghiệm. Nguyễn Hà Hưng. không thể giải được vì khi đó các em chưa được học khảo sát các loại hàm số này. Các vướng mắc nói trên sẽ được giải quyết toàn diện khi học sinh đã học về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số. Do đó từ đầu năm học 2009 – 2010 tôi đã nghiên cứu đề tài nói trên thông qua một số tiết tự chon nâng cao tại hai lớp 12A4, 12A6 và từ đó xây dựng, hoàn thiện bài viết của mình.. Lop12.net 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Sáng kiến kinh nghiệm. Nguyễn Hà Hưng. II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lý luận a) Tìm số nghiệm của phương trình Xét PT f ( x)  g (m) , (1) . Trong đó x là ẩn thực và m là tham số thực - Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f ( x) ( có thể nhận thấy hình dạng đồ thị hàm số thông qua BBT của nó ) và đường thẳng y  g (m) là đường thẳng vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ bằng g ( m) . - các nghiệm. x1 , x2 ,..., xn của PT (1) chính là hoành độ của các giao điểm.. b) Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số * Từ việc lập BBT của hàm số f ( x) trên tập xác định của nó ta sẽ tìm thấy những điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó chính là GTLN ( GTNN ) của hàm số . * Nếu hàm số f ( x) xác định và liên tục trên đoạn  a; b  thì ta có thể tìm GTLN và GTNN theo các bước sau : - Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên đoạn  a; b  mà tại đó f ' ( x) bằng 0 hoặc. f ' ( x) không xác định - Tính các giá trị f (a ), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ) - Số lớn nhất ( bé nhất ) trong các số trên là GTLN (GTNN ) của hàm số f ( x) trên đoạn  a; b  c) Tìm tham số trong bài toán bất phương trình Nếu hàm số f ( x) có GTLN và GTNN trên tập xác định D khi đó BPT : f ( x)  g (m) thỏa mãn x  D khi và chỉ khi min f ( x)  g (m) D. f ( x)  g (m) thỏa mãn x  D khi và chỉ khi m ax f ( x)  g (m) D. f ( x)  g (m) có nghiệm x  D khi và chỉ khi max f ( x)  g (m) D. f ( x)  g (m) có nghiệm x  D khi và chỉ khi min f ( x)  g (m) D. Trong trường hợp hàm số f ( x) không có GTLN hoặc GTNN trên tập D ta phải kết hợp với BBT hoặc đồ thị của nó để có kết luận thích hợp. Lop12.net 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Sáng kiến kinh nghiệm. Nguyễn Hà Hưng. 2. Thực trạng của vấn đề Để thực hiện được đề tài của mình tôi đã thực hiện khảo sát thực tế như sau: Trong đợt ôn tập hè năm 2009 cho các em học sinh lớp 11 chuẩn bị lên lớp 12 trong phần ôn tập môn toán có một số tiết ôn tập về phần PT, BPT đã học ở lớp 10 và lớp 11 tôi đã cho học sinh làm một số bài về PT, BPT có chứa tham số và có phải thực hiện việc đặt ẩn phụ và dặn các em về ôn tập thêm để đến đầu năm học lớp 12 tôi cho học sinh lớp 12A4 và 12A6 làm bài kiểm tra khảo sát 55 phút trong giờ tự chọn nâng cao với đề kiểm tra như sau: Câu I. ( 3 điểm ) Tìm tham số m để PT sau có nghiệm duy nhất: x 2  4 x  3  2m  0, (1) x 1 Câu II. ( 3 điểm ) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 4x 2x y  cos  c os 2 1  x2 1  x2 Câu III. ( 4 điểm ) Cho PT: sinx  2  sin 2 x  sinx. 2  sin 2 x  m, (2) 1. Giải PT (2) khi m  3 2. Tìm tham số m để PT (2) có nghiệm Kết quả thu được với các mức điểm được tính tỉ lệ phần trăm như sau: Điểm Lớp Lớp 12A4 ( 55 HS ) Lớp 12A6 ( 55 HS ). 1 – 2,5 3 – 4,5 5 – 6,5. 7 – 8,5. 9 – 10. 11%. 27%. 42%. 16,5%. 3,5%. 18%. 36%. 35%. 11%. 0%. Để phân tích lý do có kết quả thấp như trên tôi xin trình bày một lời giải đúng: Câu I . ĐK x  1 ; PT (1)  x 2  4 x  3  2m  0  x 2  4 x  3  2m, (1a) PT (1) có nghiệm duy nhất  PT (1a) có đúng một nghiệm thỏa mãn x  1 tức là đường thẳng y  2m cắt đồ thị hàm số y  f ( x)  x 2  4 x  3 tại đúng một điểm trên khoảng 1;  f ( x) là hàm số bậc hai có hệ số a dương nên có bảng biến thiên sau:. Lop12.net 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Sáng kiến kinh nghiệm. Nguyễn Hà Hưng 1. x. +. 2. . 0. f ( x). -1  m0  2m  0 Từ BBT suy ra   1 là ĐK phải tìm m   2 m   1   2. Câu II . TXĐ:  ;. Đặt  . 2x 1  x2. 2x  1    1     1;1 1  x2 Ta được y  cos2  cos  2  2cos 2  cos  1 Đặt t  cos ,    1;1  t   cos1;1 ( để học sinh hiểu rõ tính chất trên cần biểu diễn trên đường tròn lượng giác ) Thì y  f (t )  2t 2  t  1, với t   cos1;1 Bảng biến thiên của hàm số bậc hai f (t ) Theo BĐT Cosi : 1  x 2  2 x 2  2 x . t. 1. 4. cos1. 1. f (1). f (t ) f (cos1) Từ BBT suy ra max y  f (1)  2;. min y  f (cos1)  2cos 21  cos1  1. . Câu III. TXĐ:  ; Đặt t  sinx  2  sin 2 x  t 2  sinx  2  sin 2 x. t2  2  sinx. 2  sin x  2 1 2 t  t  1  m, (2a) PT (2) trở thành: 2 t2 1. Khi m  3 ta có PT: t 2  2t  8  0   t  4 2. Với t  2  sinx  2  sin 2 x  2  2  sin 2 x  2  sinx 2  sin 2 x   2  sinx   sinx  1  x  2. Lop12.net 6. . 2.  k 2. . 2.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Sáng kiến kinh nghiệm. Nguyễn Hà Hưng. Với t  4  sinx  2  sin 2 x  4 , vô nghiệm vì vế trái  1  4 Vậy khi m  3 PT đã cho có nghiệm x  3. Ta phải tìm ĐK của t. . 2.  k 2. x    sinx  1 và 2  sin 2 x  1  t  0; t  0  sinx  1. Mặt khác theo tính chất. . a  b.  t  sinx  2  sin x 2. 2. 2.  a 2  b 2  2ab  2(a 2  b 2 ).   2 sin x  2  sin x   4 2. 2.  t  2; t  2  sinx  1 Vậy x    t   0;2 PT (2) có nghiệm  PT (2a) có nghiệm t   0;2 1 Xét hàm số f (t )  t 2  t  1 trên đoạn  0;2 2 Có bảng biến thiên -1 0 t. 2. 1 3. f (t ) -1 Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là 1  m  3 Những sai lầm của học sinh trong khi làm bài kiểm tra : Câu I : Sau khi biến đổi về PT (1a) - Một số trường hợp chỉ yêu cầu biệt thức đenta bằng không mà không quan tâm đến ĐK - Một số trường hợp đã tính các nghiệm và so sánh với số 1 nhưng xét chưa hết các trường hợp Câu II : Sau khi đặt t  cos - Một số trường hợp không có ĐK của t - Một số trường hợp cho rằng t   1;1 Câu III : a. Một số trường hợp không có lời giải mặc dù ý này có thể giải theo nhiều cách: đặt một ẩn phụ như trên hoặc đặt hai ẩn phụ và quy PT đã cho về hệ PT. b. Hầu hết học sinh làm sai vì không nghĩ đến việc tìm ĐK của ẩn phụ hoặc có tìm ĐK nhưng tìm không chính xác.. Lop12.net 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Sáng kiến kinh nghiệm. Nguyễn Hà Hưng. 3. Các phương pháp đã tiến hành Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài và phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 12, bắt đầu là phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học tự chọn nâng cao, tôi đã lồng ghép các bài tập liên quan đến tìm tham số và đặt ẩn phụ. Nhưng vì thời gian không có nhiều, hơn thế để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi cho học sinh một số bài tập để các em về nhà nghiên cứu tìm lời giải. Trên lớp tôi cho một số học sinh lên bảng làm bài và một số học sinh khác nhận xét lời giải. Sau đó tôi phân tích lời giải cho cả lớp để các em tìm được lời giải tối ưu và nhấn mạnh một số điểm quan trọng trong mỗi bài, qua mỗi dạng. Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết của mình thành bốn phần sau: - Phương trình , bất phương trình bậc cao một ẩn - Phương trình , bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn - Phương trình lượng giác - Phương trình , bất phương trình mũ và logarit. PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO MỘT ẨN Bài 1. Tìm tham số a để PT: x3  3 x 2  a  0 , (1) có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm bé hơn 1 Giải PT (1)  x3  3 x 2  a , (1a) . Yêu cầu của đề bài tương đương với PT (1a) có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 sao cho x1  1  x2  x3 tức là đường thẳng y  a phải cắt đồ thị hàm số y  f ( x)  x3  3 x 2 tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1  1  x2  x3 x  0 Ta có f ' ( x)  3 x 2  6 x ; f ' ( x)  0   x  2  3 lim f ( x)  lim x3 1     ; x  x   x Bảng biến thiên của hàm số f ( x). Lop12.net 8. lim f ( x)  . x .

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Sáng kiến kinh nghiệm x. Nguyễn Hà Hưng. -  . '. f ( x). 0 +. 0. 1 -. 2 -. 0. 0. f ( x). + + . -2 -4. . Từ BBT suy ra điều kiện phải tìm là 4  a  2 Nhận xét: Nghiệm của (1a) là hoành độ giao điểm của đường thẳng y  a với đồ thị hàm số y  f ( x) tức là từ mỗi giao điểm ta chiếu vuông góc lên trục hoành sẽ suy ra vị trí các nghiệm. 3. Bài 2. Biện luận theo a số nghiệm của PT: x  1  3( x  1) 2  a  0 , (2) Giải Đặt t  x  1 , x    t  0 PT (2) trở thành t 3  3t 2  a  0  a  t 3  3t 2 , (2a) Xét hàm số f (t )  t 3  3t 2 với t  0 có f ' (t )  3t 2  6t  0, t  0 lim f (t )   t . Bảng biến thiên của hàm số f (t ) t. -. f ' (t ) f (t ). +. 0. 0. . Từ BBT ta thấy - Nếu a  0  ( 2a) không có nghiệm t  0 nên ( 2) vô nghiệm - Nếu a  0  ( 2a) có một nghiệm t  0 nên ( 2) có một nghiệm x  1 - Nếu a  0  ( 2a) có một nghiệm t  0 nên ( 2) có hai nghiệm phân biệt Nhận xét: - Thay vì việc khai dấu giá trị tuyệt đối ta thực hiện việc đặt ẩn phụ để có lời giải ngắn gọn hơn - Lưu ý quan hệ giữa số nghiệm theo ẩn t và số nghiệm theo ẩn x. Lop12.net 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Sáng kiến kinh nghiệm Bài 3.. Nguyễn Hà Hưng. Tìm tham số a để PT:  x3  ax 2  4  m , ( 3) có ba nghiệm phân biệt m   4;0 . Giải Yêu cầu của đề bài tương đương với m   4;0  đường thẳng y  m phải cắt f 0 đồ thị hàm số y  f ( x)   x3  ax 2  4 tại ba điểm phân biệt   CD (*) f CT  4   x0 ' 2 ' Ta có f ( x)  3 x  2ax ; f ( x)  0   2a x  3  2a Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi 0   a  0, 3 2a khi đó x  0 và x  là các điểm cực trị của hàm số  các giá trị cực trị là 3 3  2a  4a 4 f (0)  4 và f     3  27 4a 3 Theo ĐK (*) suy ra số -4 phải là giá trị cực tiểu do đó số  4 sẽ là giá trị 27 4a 3 cực đại  4 0a3 27 2a Thử lại : Khi a  3   0 .Lập bảng xét dấu f ' ( x) suy ra x  0 là điểm 3 2a cực tiểu , x  là điểm cực đại và các giá trị cực trị thỏa mãn ĐK (*) 3 Vậy ĐK phải tìm là a  3. Tổng quát: Xét hàm số f ( x)  ax3  bx 2  cx  d với a  0 ' - Hàm số f ( x) có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi PT f ( x)  0 có hai nghiệm phân biệt - PT f ( x)  g (m) có ba nghiệm phân biệt điều kiện cần và đủ là fCT  g (m)  fCD Bài 4. Biện luận theo m số nghiệm của PT sau : 2 x 4  17 x3  51x 2  (36  m) x  m  0 , ( 4 ) Giải PT ( 4) tương đương với. Lop12.net 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Sáng kiến kinh nghiệm. Nguyễn Hà Hưng. 2 x 4  17 x3  51x 2  36 x  m( x  1)  ( x  1)(2 x3  15 x 2  36 x)  m( x  1) x 1   3 2  2 x  15 x  36 x  m ; (4a ) Để biện luận số nghiệm của PT (4) trước hết ta biện luận số nghiệm của PT (4a) Xét hàm số f ( x)  2 x3  15 x 2  36 x x  2 f ' ( x)  6 x 2  30 x  36; f ' ( x)  0   x  3. 15 36  15 36    lim f ( x)  lim x3  2   2    ; lim f ( x)  lim x3  2   2    x  x  x  x  x x  x x    Bảng biến thiên x. 1. . +. f ' ( x). 2 +. 0. 3 -. 0. 28. f ( x). . + . 27 23 . Từ BBT suy ra: - Nếu m  28 hoặc m  27 và m  23 suy ra PT (4a) có một nghiệm khác 1 nên PT (4) có hai nghiệm phân biệt - Nếu m  28 hoặc m  27 suy ra PT (4a) có đúng hai nghiệm khác 1 nên PT (4) có ba nghiệm phân biệt - Nếu m  23 suy ra PT (4a) có một nghiệm bằng 1 nên PT (4) chỉ có một nghiệm - Nếu 27  m  28 suy ra PT (4a) có ba nghiệm phân biệt khác 1 nên PT (4) có bốn nghiệm phân biệt Lưu ý: - Việc biện luận số nghiệm của PT (4) trở thành biện luận số nghiệm khác 1 của PT (4a) - Khi biến đổi từ PT (4) có nhiều trường hợp ta không quy về PT tích được thì có thể chia cả hai vế cho biểu thức khác 0 để cô lập tham số và khảo sát hàm số phân thức. Lop12.net 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Sáng kiến kinh nghiệm. Nguyễn Hà Hưng. Bài 5. Chứng minh rằng a  0 hệ PT sau có nghiệm duy nhất:  2 a2 2 x  y  y   2 2 y 2  x  a  x Giải ĐK : x  0, y  0  2 x2 y  y 2  a2 (1) Hệ PT đã cho   2 2 2 (2) 2 y x  x  a Từ (1)  2 x 2 y  0  y  0 ; từ (2)  2 y 2 x  0  x  0 Lấy (1) trừ (2) theo vế  2 xy ( x  y )  y 2  x 2  2 xy ( x  y )  ( x  y )( x  y )  0  ( x  y )(2 xy  x  y )  0  x  y  0 ( vì 2 xy  x  y  0 )  y  x thế vào (1) Suy ra 2 x3  x 2  a 2  2 x3  x 2  a 2 (*) Ta thấy số nghiệm dương của PT (*) là số nghiệm của hệ PT đã cho Xét hàm số f ( x)  2 x3  x 2 với x  0 x  0 ' 2 ' f ( x)  6 x  2 x; f ( x)  0   1 x  3  1  lim f ( x)  lim x3  2     x  x  x  Bang biến thiên  0 1/3 x. f ' ( x). f ( x). 0. -. 0. + . 0. . 1 27. Từ BBT suy ra a  0 đường thẳng y  a 2 luôn cắt đồ thị hàm số y  f ( x) tại đúng một điểm có hoành độ dương suy ra hệ PT đã cho có đúng một nghiệm Nhận xét: - Khi giải hệ PT đố xứng loại hai có dạng như hệ PT (1) và (2) nói trên cách giải truyền thống là lấy các PT trừ cho nhau để tính một ẩn theo ẩn còn lại sau đó thế lại một trong hai PT đã cho - Hệ PT trên có lời giải rất ngắn gọn như vậy vì ta nhân xét được tính chất x  0, y  0. Lop12.net 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Sáng kiến kinh nghiệm. Nguyễn Hà Hưng. - Sau khi biến đổi về PT (*) là PT bậc ba nên nếu không sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số thì việc tìm lời giải là vô cùng khó khăn x 2  3x  0  Bài 6. Tìm tham số m để hệ sau có nghiệm  3 3  x  2 x x  2  m  20m  0 Giải Hệ đã cho 0 x3   x3  2 x x  2  m3  20m với ĐK x   0;3  3 3  x  2 x x  2  m  20m. Đặt f ( x)  x3  2 x x  2 Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi BPT f ( x)  m3  20m có nghiệm x   0;3.  max f ( x)  m3  20m 0;3. - Nếu x   0;2  f ( x)  x  2 x(2  x)  x3  2 x 2  4 x 3. có f ' ( x)  3 x 2  4 x  4 ; f ' ( x)  0  x . 2 hoặc x  2 ( loại ) 3. 40 2 f (0)  0; f (2)  8; f      max f ( x)  8 0;2 27 3 - Nếu x   2;3  f ( x)  x3  2 x( x  2)  x3  2 x 2  4 x. có f ' ( x)  3 x 2  4 x  4  0, x   2;3 f (2)  8; f (3)  21  max f ( x)  21  2;3. Vậy max f ( x)  21 nên ta phải có m  20m  21  m  1 3. 0;3. Tóm lại ĐK phải tìm là m  1 Nhận xét: Việc tìm tham số để hệ BPT đã cho có nghiệm được quy về bài toán tìm tham số để một BPT có nghiệm trên một tập cho trước và đã được chuyển về bài toán tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số. Bài 7. Cho hàm số y  4 x3  (a  3) x 2  ax Hãy tìm tham số a để y  1, x   1;1 Giải Giả sử y  1, x   1;1 suy ra. Lop12.net 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Sáng kiến kinh nghiệm. Nguyễn Hà Hưng.  y (1)  1  4  a  3  a 1    4  a  3  y (1)  1  4  a  3  a  1    1   1 a3 a 1    1  3  a    a  3  y  1    3 4 2  2  2    1   1 a3 a  5  a  3  1  y  1   4 2  2   2  Thử lại: Khi a  3  y  4 x3  3 x là hàm số liên tục trên đoạn  1;1 1 y '  12 x 2  3; y'  0  x   2 1  1  và y (1)  1; y (1)  1; y    1; y    1 suy ra max y  1 và min y  1  1;1  1;1 2  2  nên y  1, x   1;1 Vậy ĐK phải tìm là a  3. Nhận xét: Trong lời giải của bài toán trên việc giả sử y  1, x   1;1 chỉ có thể suy ra điều kiện của a , có thể là một khoảng nào đó nhưng sẽ rúp ta dễ dàng tìm được điều kiện thỏa mãn yêu cầu đề bài trong bước kiểm chứng ngược lại. Bài 8. Chứng minh rằng BPT : qx 4  px3  1  0, (8) thỏa mãn x khi và chỉ khi 256q 3  27 p 4 Giải - Nếu x  0, BPT (8) trở thành 1  0 đúng 4. 1 1 - Nếu x  0  x  0, BPT (8)  q  p     0 x x 1 Đặt u  , x  0 thì u  0 . Ta được BPT: f (u )  u 4  pu  q  0, (8a) x Vậy (8) thỏa mãn x khi và chỉ khi (8a) thỏa mãn u  min f (u )  0 4. Ta có f ' (u )  4u 3  p  0  u 3  . p p  u  3 4 4. Bảng biến thiên của hàm số f (u ). Lop12.net 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Sáng kiến kinh nghiệm. u. Nguyễn Hà Hưng. 3.  . f ' (u ). p 4. 0. . +. f (u ) min f (u ).  p 3p 3 p Từ BBT  min f (u )  f   3    q 4 4 4  . 3p 3 p 3p 3 p 27 p 3 p 3 min f (u )  0   q0q q  .  27 p 4  256q 3 4 4 4 4 64 4. Từ đó suy ra điều phải chứng minh Nhận xét: Việc biến đổi BPT (8) về BPT (8a) như trên là rất cần thiết để việc khảo sát hàm số trở thành đơn giản Baì 9. Cho ab  0 hãy tìm GTNN của biểu thức a 4 b4  a 2 b2  a b A 4  4  2  2    b a b a  b a Giải a b a b a b a b Đặt u    u     (vì .  1  0 ) b a b a b a b a u2 a b mà  2 u 2  b a u  2 2. a 2 b2  a b  Khi đó 2  2      2  u 2  2 b a b a 2. 2 a 4 b4  a 2 b2   4   2  2   2   u 2  2   2  u 4  4u 2  2 4 b a b a  Suy ra A  u 4  5u 2  u  4 Xét hàm số f (u )  u 4  5u 2  u  4 với u  2 hoặc u  2. f ' (u )  4u 3  10u  1 f '' (u )  12u 2  10  0, u thỏa mãn u  2 hoặc u  2. Lop12.net 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Sáng kiến kinh nghiệm. Nguyễn Hà Hưng. Bảng biến thiên -2. . u. 2. +. +. f '' (u ). . 11. f ' (u ). 13. f (u ). 2. 2. Từ BBT  min A  2 đạt được khi u  2 . a b   2  a  b b a. Nhận xét: a) Trong lời giải bài toán trên cần lưu ý: - Nhát thiết phải tìm ĐK chính xác cho ẩn phụ u - Trong BBT ta thấy u  2  f ' (u )  11  f ' (u )  0 u  2  f ' (u )  13  f ' (u )  0 b) Với ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số ta có thể giải quyết bài toán tìm tham số, tìm GTLN, GTNN của một biểu thức và những bài toán giải PT, BPT, hệ PT  y 3  9 x 2  27 x  27  0  3 2  z  9 y  27 y  27  0  x3  9 z 2  27 z  27  0 . Bài 10. Giải hệ PT Giải.  y 3  9 x 2  27 x  27  Hệ PT đã cho   z 3  9 y 2  27 y  27  x3  9 z 2  27 z  27 . (1) (2) (3). 2  3 3 3  3  27 Từ (1)  y  9  x  3 x  3  9  x       y 3  y 2 2  4  4 4  3 3 x Từ (2) và (3) tương tự suy ra z  , 2 2 3 Xét hàm số f (t )  9t 2  27t  27 với t  2 3. 2. Lop12.net 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Sáng kiến kinh nghiệm. Nguyễn Hà Hưng.  y 3  f ( x)  Hệ PT trên trở thành  z 3  f ( y )  x3  f ( z )  3 3 suy ra hàm số f (t ) đồng biến t  2 2 3 3 3 Nếu x  y  z  f ( x)  f ( y )  f ( z )  y  z  x  y  z  x mà x  y  z suy ra x  y  z Các trường hợp còn lại ( chẳng hạn z  y  x ) tương tự đều suy x  y  z Từ x  y  z thế vào một trong ba PT đã cho  x3  9 x 2  27 x  27  x3  9 x 2  27 x  27  0  x  3  x  y  z  3 Vậy hệ PT đã cho có mộ nghiệm x  y  z  3 Nhận xét: Trong lời giải bài toán trên ta chỉ khai thác được tính đơn điệu của hàm số khi 3 đã chứng tỏ được x, y, z  2. Ta có f ' (t )  18t  27  0, t . Bài 11. Tìm tham số m để BPT mx 4  4 x  m  0 , (11) thỏa mãn x Giải 4x 4x BPT (11)  m( x 4  1)  4 x  m  4 (11a) . Đặt f ( x)  4 x 1 x 1 BPT (11) thỏa mãn x khi và chỉ khi BPT (11a) thỏa mãn x  max f ( x)  m. f ( x)  '. Ta có. 4  12 x 4. x. 4.  1. . 3. 1 f ' ( x)  0  x   4 ; 3. 4(1  x 2 3)(1  x 2 3). x.  1. 4. lim f ( x)  lim. x . x . 3. 4 1 x  x 3.  0;. lim f ( x)  0. x . Bảng biến thiên x. .  . f ' ( x). 1 3. 1 3. 4. 0. . 4. +. 0. 0 4. . 27. f ( x).  4 27. Lop12.net 17. 0.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Sáng kiến kinh nghiệm. Nguyễn Hà Hưng. Từ BBT  max f ( x)  4 27 . Vậy ĐK phải tìm là m  4 27 Nhận xét: Trong đề bài trên bậc của tham số m bằng nhau nên ta có thể nhóm m làm thừa số chung và thực hiện việc chia cả hai vế cho biểu thức dương để cô lập tham số Bài 12. Tìm tham số m để BPT m 2 x 4  2 x 2  m  0, (12) thỏa mãn x Giải Đặt t  x 2 ; x    t  0 Bài toán trở thành tìm tham số m để f (t )  m 2t 2  2t  m  0, t  0  min f (t )  0 0; . - Nếu m  0  f (t )  2t 2  0, t  0 là vô lý suy ra m  0 bị loại 1 - Nếu m  0, f ' (t )  2m 2t  2 ; f ' (t )  0  t  2  0 m Bảng biến thiên t f ' (t ). 1 m2. 0 . f (t ). 0. . +. m3  1 m2. m3  1 m3  1  0  m 1 Từ BBT suy ra min f (t )  ; do đó 0;  m2 m2 Vậy ĐK phải tìm là m  1 Nhận xét: Trong lời giải bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta được một hàm số bậc hai do đó không cần sử dụng đạo hàm ta vẫn lập được BBT của hàm số. Tuy nhiên tôi vẫn trình bày ở đây để tiện liên hệ với bài 11 trong trường hợp không cô lập được tham số Bài 13. Biện luận theo tham số m số nghiệm của PT x 4  (m  1) x3  3 x 2  (m  1) x  1  0 (13) Giải 4 3 2 3 PT (13)  x  x  3 x  x  1  m( x  x) Dễ thấy x  0 không thỏa mãn PT (13) . x  0  x3  x  0. Lop12.net 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Sáng kiến kinh nghiệm. Nguyễn Hà Hưng. x 4  x3  3x 2  x  1 PT trên   m (13a) x3  x x 4  x3  3x 2  x  1 Xét f ( x)  , x  0 x3  x Ta thấy số nghiệm của PT (13) bằng số nghiệm của PT (13a) và là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f ( x) và đường thẳng y  m f ' ( x) . Ta có. x6  1. x. 3.  x. 2. ;. f ' ( x)  0  x  1. 3 1 1  2 3 x x x   ; lim f ( x)  lim x  x  1 1 2 x lim f ( x)   ; lim f ( x)   x 1. lim f ( x)   ;. x 0 . x . x 0. Bảng biến thiên x. -1. . +. f ' ( x). 0 . f ( x). 0 -. -. 3 2. . 1 0. . . + + . 7 2. Từ BBT suy ra: 3  m    2 - Nếu  PT (13) có hai nghiệm phân biệt  m7  2 3  m   2  PT (13) có đúng một nghiệm - Nếu  7  m  2 3 7 - Nếu   m   PT (13) vô nghiệm 2 2 Nhận xét: - Mặc dù PT trên là PT bậc bốn đối xứng có thể giải theo cách chia cả hai vế cho x 2  0 sau đó đặt ẩn phụ để quy về PT bậc hai tuy nhiên cách giải. Lop12.net 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Sáng kiến kinh nghiệm. Nguyễn Hà Hưng. đó khá phức tạp trong PT chứa tham số, đặc biệt là liên quan đến số nghiệm. - Với cách giải ứng dụng đạo hàm như trên ta có lời giải rất rõ ràng hơn thế còn có thể so sánh nghiệm của PT đó với các số cho trước. Bài tập tương tự 1.Tìm tham số a để PT sau có nghiệm duy nhất: x3  ax 2  4  0 2. Biện luận theo m số nghiệm của PT x 2  (3  m) x  3  2m  0 so sánh các nghiệm đó với các số -3 và -1 3. Tìm tham số m để PT sau có ba nghiệm dương phân biệt: x3  x 2  18mx  2m  0 1 4. Cho hàm số f ( x)   x3  3mx  4 . Tìm tham số m để f ( x)   3 , x  1 x 2 x 2 x 9 5. Biện luận theo m số nghiệm âm của PT:  m( x  2)  2 x 2 6. Tìm tham số m để hệ PT sau có nhiều hơn hai nghiệm: x ym   2 ( x  1) y  xy  m( y  2)  x2  5x  4  0 7. Giải hệ BPT  3 2  x  3 x  9 x  10  0 Hướng dẫn: Khảo sát hàm số f ( x)  x3  3 x 2  9 x  10 trên khoảng  4;1 là tập nghiệm của BPT thứ nhất 8. Tìm tham số m để hệ BPT sau có nghiệm: x 2  3x  4  0   3 3  x  3 x x  m  15m  0  4 x2 1  4 x 2  y   4 y2 9. Giải hệ PT: z  2 1  4 y   4z2 x  1  4 z 2 Hướng dẫn : Từ hệ PT suy ra x, y, z là các số không âm. 4t 2 Xét hàm số f (t )  trên nửa khoảng  0;  1  4t 2. Lop12.net 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>