Đề khảo sát học sinh lớp 11 Môn Toán

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Sở GD & ĐT Hải Dương. Trường THPT Phúc Thành ----------o0o------------. §Ò kh¶o s¸t häc sinh líp 11 m«n to¸n (Thêi gian lµm bµi : 150 phót ). §Ò chÝnh thøc CAÂU I ( 3 ®iÓm ) Giải các phương trình và bất phương trình sau: 1). x  4  x 2  2  3x 4  x 2. 2). x 2  4 x  3  2 x 2  3x  1  x  1. 3). (1  2sin x) 2 .cos x  1  2 sin( x .  4. ).. CAÂU II ( 3 ®iÓm ) 1  3x  1  2 x x2 2) Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau. Tính xác suất để lấy được 5 bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung ? Biết m, n là nghiệm của hệ sau: 9 19 1  m2 2 Cm  Cn 3   Am 2 2   Pn 1  720. 1) TÝnh giíi h¹n : I  lim x 0. 3. 3) Tam gi¸c ABC cã c¸c gãc tho¶ m·n: 1 1 1 1 1 1      sin A sin B sin C cos A cos B cos C 2 2 2 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều. CAÂU III ( 3 ®iÓm ) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên nửa đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, ta lấy điểm S sao cho góc. ˆ  60 SCB. a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng BC và SD. ( theo a) b) Gọi   là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Tính diện tích thiết diện tạo bởi   và hình chóp S.ABCD.. ( theo a). CAÂU IV ( 1 ®iÓm ) Cho tứ diện OABC với OA = a, OB = b, OC = c và OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi  ,  ,  lần lượt là góc của OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). a) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC theo a, b, c. b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña: Q = sin  .sin   sin  .sin   sin  .sin  .......................................................HÕt.......................................................... Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm ! 0 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm to¸n 11 1) §iÒu kiÖn x  [2; 2] - 1 ®. §Æt t = x  4  x 2 => t 2  4  2 x 4  x 2 => x 4  x 2 . 0.25. t2  4 2. Khi đó phương trình có dạng: 3(t 2  4) t=2+ 2. t  2  t   4 3 . 0.25. Víi t = 2 ta cã x  4  x 2 = 2  4  x 2  2  x => x = 0 ; x = 2 4 4 Víi t = - 4/3 ta cã x  4  x = -  4  x 2    x => 3 3 2  14 2  14 9 x 2  12 x  10  0  x  x ( §èi chiÕu víi §K ) 3 3 2  14 KÕt luËn : Pt cã ba nghiÖm x = 0 ; x = 2; x  3 2 x  4x  3  0 1 2) §iÒu kiÖn  2  x  (;   3;    1 2 2 x  3 x  1  0 2. C©u I 3 NhËn xÐt x = 1 lµ 1 nghiÖm cña bpt. ® 1 NÕu x  chia c¶ hai vÕ cña BPT cho 1  x ta cã: 2 3  x  1 2x   1 x  3  x  1 x  1 2x. 0.25. 0.25 0.25 0.25.  4  2 x  2 (3  x).(1  x)  1  2 x  3  (3  x).(1  x)  0. BPT đúng với mọi x . 1 2. NÕu x  3 chia c¶ hai vÕ cña BPT cho. x  1 ta cã: x  3  2x 1  x 1  x  3  2x 1  x 1.  x  3  3 x  2  2 (2 x  1).( x  1)  (2 x  1).( x  1)  1  2 x. 0.25. V« lý do vÕ tr¸i kh«ng ©m cßn vÕ ph¶i ©m.. 1 VËy BPT cã nghiÖm  x  (;   1. 0.25. 3) Pt đã cho tương đương với: (sinx + 1).( 2sin2x -1 ) = 0. 0.5. 2. .  sinx = -1  x    k 2 (k  Z ). 0.25. 2.   x   k  1 (k  Z )  sin2x    12 5  2 x   k  12. 0.25. 1) Cã 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 0.25.  3 1  3 x  (1  x) 1  2 x  (1  x)  I  lim    2 x x2 x 0    1  3 x  (1  x)3 1  2 x  (1  x) 2  I  lim   2 x 0  x 2  3 (1  3 x ) 2  (1  x ). 3 1  3 x  (1  x ) 2  x 1 2x 1 x      3  x 1  I  lim   2 2 3  1  2 x  1  x x 0  3 (1  3 x )  (1  x ). 1  3 x  (1  x )  . . C©u II 3 ®iÓm. I  1 . .     . 0.25. 0.25. 1 1  2 2. VËy I = -. 1 2. 0.25. 2) XÐt hÖ 9 19 1  m2 2 Cm  cn 3   Am (1) 2 2   Pn 1  720(2) Từ (2): (n  1)! 720  6! n  1  6  n  7 Thay n = 7 vào (1) m! 10! 9 19 m !     . 2!(m  2)! 2!8! 2 2 (m  1)! m(m  1) 9 19   45   m 2 2 2 2  m  m  90  9  19m. 0.25 (3).  m 2  20m  99  0  9  m  11 vì m    m  10. 0.25. Vậy m = 10, n = 7. Vậy ta có 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung, để lấy được ít nhất 3 bông hồng nhung trong 5 bông hồng ta có các TH sau: TH1: 3 bông hồng nhung, 2 bông hồng trắng có: C73 .C102  1575 cách TH2: 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng có: C74 .C101  350 cách TH3: 5 bông hồng nhung có: C75  21 cách  có 1575 + 350 + 21 = 1946 cách. Số cách lấy 5 bông hồng thường. 0.25. C  6188 5 17. P. 3) Bổ đề :. 1946  31,45% 6188. a, b > 0 ta cã:. 0.25 1 1 4   a b ab. 2 Lop12.net. dÊu “ = ” khi a = b. 0.25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 1 4 2 2     sin A sin B sin A  sin B sin A  B cos A  B cos C 2 2 2 ¸p dông ta cã: ( Do gt) 1 1 2 Hay   sin A sin B cos C 2 1 1 2 1 1 2     Tương tự: vµ sin B sin C cos A sin C sin A cos B 2 2. 1 1 1 1 1 1   Céng vÕ theo vÕ ta cã sin A  sin B  sin C  A B C cos cos cos 2 2 2 A B B C CA  cos  cos 1 2 2 2  A BC . Tam giác ABC đều => điều phải chứng minh. a) Khoảng cách giữa BC và SD. 1.25 ( ® )   60 0 Ta coù SO laø truïc hình vuoâng ABCD vaø SCB  SA = SB = SC = SD = CB = a Vaø BC// (SAD) neân d(BC, SD) = d(I,(SAD)) Với I là trung điểm CB. Gọi H là trung điểm AD, ta có: BC  ( SHI ) . Veõ IJ  SH ta coù IJ  ( SAD)  d(BC, SD) = IJ SO.HI Tam giaùc SIH coù IJ   SH. Vaäy d(BC, SD) =. 2 2 a 6 3 3 a. 2. a.a. BCFE. Ta coù: HJ   EF . . a 6 . 3. (EF+BC).IJ 2. 0.25. 0.25 0.25 0.25 0.25. 0.25. b) ( ) Caét hình choùp theo thieát dieän laø hình thang BCFE. Do hình chóp đều neân BCFE laø hình thang caân: S. 0.25.  cos. §¼ng thøc x¶y ra:. C©u III 3 ®iÓm. 0.25. 0.5 ( H×nh vÏ : 0.5 ® ). a 3 a 3 a 3 ; SJ  , SH  3 6 2. a 3 EF SJ 1   6  Do EF//AD neân: AD SH a 3 3 2. a . 3. 0.25. 0.25. 6 a    aa 2a 2 6 3 3   Vaäy S ( §vdt ) ( H×nh vÏ ch­a thËt chuÈn)   BCEF 2 9. 3 Lop12.net. 0.25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> A. N. H. C©u IV 1 ®iÓm. O. C. M B. Gäi H lµ h×nh chiÕu cña O xuèng mp(ABC). DÔ chøng minh H lµ trùc t©m cña 0.25 tam gi¸c ABC. XÐt tam gi¸c vu«ng OBC ta cã Suy ra : OM . bc b2  c2. . XÐt tam gi¸c vu«ng OAM cã. AM 2  OA2  OM 2  AM . b 2 c 2  a 2 c 2  a 2b 2 b2  c2. VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABC : Tam gi¸c vu«ng OAM ta cã 2 MÆt kh¸c sin  . 1 1 1 1 1    2 2 2 2 2 OM OB OC b c. S=. 1 1 2 2 AM * BC  a b  b2c 2  c 2 a 2 2 2. 1 1 1 1 1 1      (1) 2 2 2 2 2 OH OM OA OA OB OC 2. OH 2 OH 2 OH 2 2 2 ;sin   ;sin   (2) OA2 OB 2 OC 2. Tõ (1) vµ (2) => sin   sin   sin   1 2. 0.25. 2. 2. 0.25. 2 2 2 L¹i cã 1  sin   sin   sin   sin  sin   sin  sin   sin  sin . Từ đó giá trị lớn nhất của Q = 1. Khi và chỉ khi a = b = c. ( Kh«ng tÝnh ®iÓm vÏ h×nh ) Chó ý:. Nếu thí sinh làm theo cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa!. 4 Lop12.net. 0.25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>