Tải bản đầy đủ (.pdf) (20 trang)

Giới thiệu các đề thi về hệ phương trình Từ năm 2000 đến năm 2012

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (226.4 KB, 20 trang )

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Tư liệu:. Giới thiệu các đề thi về hệ phương trình Từ năm 2000 đến năm 2012 Các đề thi ĐH năm 2000. Bµi 1: §HSP Hµ Néi KA: Giải hệ phương trình :.  y  xy 2  6x 2  2 2 2 1  x y  5x. 1  2. Gi¶i : Tõ (2) suy ra x ≠ 0 , chia c¸c vÕ cho x2 : y  1   y y2 x  x  y  6   6  x 2 x    Û  2  1  y2  5  1  y   2 y  5   x 2  x x   v2  5  v2  5 u   uv  6  y 1  u  2 §Æt u  ; v   y ta ®­îc hÖ :  2  2  2 x x  v  2u  5  v  5 .v  6  v3  5v  12  0   2. (*) Û (v-3)(v2+3v+4) = 0 Û v=3; u = 2 1  x  y  3  1  1  1  2  x ; x   1 .y  2  y  2  y  1  x. 1 . VËy hÖ cã nghiÖm lµ (1;2) hoÆc  ;1 2 . Bµi 2: §HSP Hµ Néi K B,D: Giải hệ phương trình :. 2 2  x  y  xy  7  4 4 2 2  x  y  x y  21. Giải : Đây là hệ đói xứng loại 1 , Biến đổi về dạng :  x  y 2  xy  7  x  y 2  xy  7     2 2 2 2 2 2 2 2 2  x  y   x y  21   x  y   2xy   x y  21   x  y 2  7  xy  x  y  3  x  y   7  xy     xy  2  xy  2 2 2 2  7  xy   x y  21   x; y   1; 2  ,  2;1 ,  1; 2  ,  2; 1 2. Bµi 3 : §HSP tp HCM-K A,B. Lop12.net.  *.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Giải hệ phương trình :.  x 2  2xy  3y 2  9  2 2 2x  2xy  y  2. 1  2. HD: Tõ (1) vµ (2) ta cã : 2(x2+2xy+3y2=9(2x2+2xy+y2) Û16x2+14xy+3y2=0 (3) 1 x   y 2 x x Dễ thấy x=0 không thoả mãn hệ, do đó (3) Û 16    14    3  0   3 x y y y  8  x 1 Với    y  2x . Thế vào (2) ta có x2=1Û x  1 .Từ đó hệ có hai nghiệm là : y 2 2. (1;-2), (-1;2) Víi. 3 17 x 3 8 9    y   x. ThÕ vµo (2) ta cã x2=   Từ đó hệ có hai 17 y 8 3 17.  3 17 8 17   3 17 8 17  ; ;  ;    17 17 17 17      3 17 8 17   3 17 8 17  §S : hÖ cã 4 nghiÖm lµ (1;-2), (-1;2),  ; ;  ;    17 17 17 17    . nghiÖm lµ . Bµi 4 : §HGTVT Hµ Néi Giải hệ phương trình :.  xy  x  y  11  2 2  x y  xy  30. HD : Đây là hệ đối xứng loại 1 . §S: HÖ cã 4 nghiÖm lµ : 1;5  ,  5;1 ,  2;3 ,  3; 2  Bµi 5 : §HTCKT Hµ Néi.  x log8 y  y log8 x  4 1 Giải hệ phương trình :  log 4 x  log 4 y  1  2  x x Gi¶i : Tõ (2) : log 4  1   4  x  4y . Thay vµo (1) : y y.  4y . log8 y.  y log8 4y  4  4log8 y.y log8 y  y log8 4 y log8 y  4. L­u ý : 4 2 3. log8 y. 2. 2log8 y. 2y .y log8 y  4  y . 2. 2  log8 y 3. 2 log 2 y 3. 2. y. 2 log 2 2 3. 2 3.  y ; vµ y. log8 4. y. 2 log 2 2 3. 2 3.  y thì phương trình trên là :. log8 2 2 2  log8 y  log y 2   log8 y  3 3 log8 y. 2 1  log8 y  3 3log8 y. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Đặt t  log8 y thì phương trình thành : 2t 1 log8 y  1  y     8. log8 y  1   3 y  2. +3t2=1Û. 3t2.  t  1 +2t – 1 = 0Û  1 t   3. 1 1 Từ đó hệ có hai nghiệm là  8; 2  ,  ;  2 8 . . Bµi 6 : §HM§C Hµ Néi x  y  a  1 Giải và biện luận theo tham số a hệ phương trình :  a x  y  xy 2. 2 .4. 2. 1  2. HD : Tõ (2) : 22 x  y  xy   21a  2  x  y  xy   1  a 2 Tõ (1) : y =1-x-a 2. y  1  x  a.  y  1  x  a   2 2 2x  2y 1  x   1  a 2x  2 1  x  a 1  x   1  a. HÖ trë thµnh : . 1  x  a  2 2 2x  2 1  a  x  1  a   0.  *.  '  1  a   2 1  a    1  a   0 2. 2. 2. Với a=1 thì phương trình (*) có nghiệm là x=0  y=0. Vậy hệ có một nghiệm là (0;0) Với a≠ 0 thì phương trình (*) vô nghiệm  hệ vô nghiệm Bµi 7: §H ngo¹i ng÷ 2x 2  y 2  z 2 Giải hệ phương trình :   xyz  64 Với điều kiện ba số log y x, log z y, log x z theo thứ tự đó tạo thành một cấp số nhân. Gi¶i : Tõ gi¶ thiÕt ta cã : log y x.log x z  log 2z y  log y z  log 2z y  log 3z y  1  log z y  1  y  z 2x 2  2y 2. HÖ trë thµnh : . 2  xy  64. xyz4. Bµi 8: §H An ninh K-A Tìm tất cả các giá trị a để hệ phương trình :  x 2  2xy  3y 2  8  2 2 4 3 2 2x  4xy  5y  a  4a  4a  12  105. Cã nghiÖm . Giải : Đểgọn ta đặt vế trái của phươngtrình (2) bằng m. Lop12.net. 1  2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> XÐt hÖ :.  x 2  2xy  3y 2  8  2 2 2x  4xy  5y  m. 1 Các phương trình của hệ có vế trái đẳng cấp bậc hai  2. đối với x và y..  x 2 1  2t  3t 2   8  3 Từ (1) suy ra x≠ 0, ta đặt y=tx , dẫn tới hệ :  2 2  x  2  4t  5t   m  4  1 Tõ (3) suy ra 1-2t-3t2> 0  1  t  3. Chia tõng vÕ cña (3) cho (4) ta cã : 1  2t  3t 2 8   ...   2m  40  t 2  2  m  16  t  16  m  0 * 2 2  4t  5t m 1 Vậy phương trình (*) phải có nghiệm thoả mãn 1  t  3. Gọi f(t) là vế trái của phương trình (*) Ta xét hai trường hợp : 1 1 Trường hợp 1: có một nghiệm thoả mãn : 1  t  Û f  1 .f     0  3. 3. DÔ kiÓm nghiÖm thÊy ®iÒu kiÖn nµy kh«ng tho¶ m·n Trường hợp2: có cả hai nghiệm thoả mãn : 1  t . 1 3.  '  0   3m  40  .f (1)  0    3m  40  f   1   0  ...  m  3  105     3  S 1 1    2 3  m  3  a 4  4a 3  4a 2  12  105  3  105.  a 4  4a 3  4a 2  9  0   a  1 a  3  a 2  2a  3  0   a  1   a  3. Bµi 9: §HCSND-KA.  x  xy  y  m  2 1 Cho hệ phương trình :  2 2  x y  xy  m  1.  2. 1. Gi¶I hÖ víi m = -3 2. Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  x  y   xy  m  2. Giải : Hệ đã cho  .  xy  x  y   m  1. . §Æt u=x+y; v=xy th× hÖ trë thµnh:. u  v  m  2  u.v  m  1. Víi m=-3 th× hÖ trë thµnh : v  1  u  1  v u  v  1 u  1  v u  2   2     v  2 u.v  2 v  v  2  0  v  1  v   2   u  1  y   x  2  x  y  2  x  1    x   x  2   1  y  1  xy  1. Víi u=-2; v=1 ta cã hÖ : .   x  1   x  y  1  y  1  x y  2 Víi u=1; v=-2 ta cã hÖ :    x  2  xy  2  x 1  x   2    y  1. VËy hÖ cã ba nghiÖm lµ  1; 1 ,  1; 2  ,  2; 1  x  xy  y  m  2 1 Xét hệ phương trình  2 2  x y  xy  m  1.  2. Phương trình (2)Û(x+y+xy)-(x2y+xy2)=(m+2)-(m+1) Û x  y  1  xy  1. Û(x+y-1)(1-xy) =0 Û .  x  y   xy  m  2 A   x  y  1 Hệ đã cho tương dương với hai hệ:  x  y   xy  m  2  B   xy  1 x  y  1 XÐt hÖ (A) : HÖ (A) Û  . Đây là hệ đối xứng loại 1, vì thế để hệ có  xy  m  1. nghiÖm duy nhÊt th× ph¶i cã x=y. 1  x   2x  1  2  Víi x=y th× hÖ trë thµnh  2  x  m  1 m   3  4. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> x  y  m  1  xy  1. XÐt hÖ (B) : HÖ (B) Û . x  1  2x  m  1  m  1 Víi x=y th× hÖ trë thµnh :  2    x  1 x  1   m  3. Thử lại ta thấy hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=1;m= . 3 4. Bài 10 : ĐH Thương Mại  x  ay  a  o. Cho hệ phương trình ; . 2 2 x  y  x  0. 1.Tìm các giá trị của a để hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt 2.Gọi  x1 ; y1  ,  x 2 ; y 2  là các nghiệm của hệ đã cho, hãy chứng minh:.  x 2  x1    y2  y1  2. 2.  1.. DÊu b»ng x¶y ra khi nµo? Giải : Ta giải hệ này bằng phương pháp hình học  x  a(y  1)  0  HÖ ®­îc viÕt l¹i lµ :  1 2 2 1  x    y  2 4 . 1.  2. Phương trình (1) biểu thị một đường thẳng  quay quanh một điểm A(0;1) cố định. 1 1 Phương trình (2) biểu thị một đường tròn (C) tâm I  ;0  , bán kính R= . 2 2 . . HÖ cã hai nghiÖm Û  c¾t ®­êng trßn (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt Û Û d  I,    R . 1 a 2. . 4 1  3a 2  4a  0  0  a  3 2. 1 a 4 2. Víi 0<a< th×      C   M, N vµ 3 2. . MN  2R=1.  x 2  x1    y2  y1  2. Bµi 11 :§H Thuû Lîi. 3x   x.log 2 3  log 2 y  y  log 2 2 GiảI hệ phương trình :   x.log 12  log x  y  log 2y 3 3 3  3. Lop12.net. 2.  1  ®pcm.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  x y 3x log 2 (3 .y)  log 2 (2 . 2 ) GiảI : TXĐ : x>0; y>0. Khi đó ta có :  log (12 x.x)  log (3y. 2y ) 3  3 3 3  x 3 y y x 3 .y  2 x.2  2 x.2  3 .y 1  Û  12 x.x  2 y.3y 12 x.x  2 .3y.y  2    3 3. Chia tõng vÕ cña (1) cho (2) ta ®­îc : 3 2 y 3 3x . x  . y  6 y  36 x  6 y  62x  y  2x  3 2 12 2 3 3 Thay (3) vµo (1) ta ®­îc : x.22x  3x.2x  4x 1  3x 1  x  1  0  x  1 2. y=2. VËy nghiÖm cña hÖ lµ (1;2) Bµi 12 : §H N«ng NghiÖp 1-KA. 1  2.  x 5  y2  7. GiảI hệ phương trình : .  x  2  y  5  7. GiảI : TXĐ : x≥2; y≥2. Lúc đó hệ đã choÛ x  y  3  2    x  y  3  2.  x  5 y  2   49  3  x  2  y  5  49  4 . Đây là hệ đối xứng loại 2. Trừ từng vế hai phương trình,ta được :.  x  5 y  2    x  2  y  5. Û…Û x=y Thay kÕt qu¶ nµy vµo (3) : 2x  3  2.  x  5  x  2   49   x  5  x  2   23  x.  2  x  23  2 2  x  11 x  3x  10  23  x    . VËy hÖ cã nghiÖm lµ : x=11 Bài 13 : ĐH Dân lâp Phương Đông –KA 2x 2  3xy  y 2  12 GiảI hệ phương trình :  2 2  x  xy  3y  11. 1  2. GiảI : Đây là hệ phương trình có vế tráI đẳng cấp bậc hai đối với hai ẩn.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  x 2  2  3t  t 2   12 t  2 12 11 §Æt y=tx th× :  2   2  2 2 t  3t  2 3t  t  1  t  0, 2  x 1  t  3t   11.  x  5 x  2  ới t=2 thì y=2x và phương trình (1) trở thành :12x2=12Ûx=±1 Y=±2 Với t=0,2 thì y=0,2x và phương trình (1) trở thành : x 2  . VËy hÖ cã 4nghiÖm  1; 2  ,  5 . 50 2 2  x  5 y 11 11 11. 2 2  ;  11 11 . Bµi 14:§H Thuû S¶n §ît 2  x 1  y 1  3 Cho hệ phương trình : .  x y  1  y x  1  y  1  x  1  m. A. 1. GiảI hệ phương trình với m=6 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm.  x 1  y 1  3. Gi¶I : .  x  1 y  1   y  1 x  1  m §Æt u  x  1; v= y  1; u  0; v  0 , th× hÖ trë thµnh:. u  v  3 u  v  3 u  v  3     2 m 2 u v  v u  m uv  u  v   m uv  3 .  3  4.  B.  u  1 x  0   u  v  3   v  2 y  3 1. với m=6 ta có hệ phương trình :     u  2 x  3 uv  2     v  1   y  0. VËy víi m=6 th× hÖ cã hai nghiÖm lµ :  0;3 ,  3;0  2. Tìm m để hệ có nghiệm: Do u  0; v  0 th× tõ (4) suy ra m>0 Hệ (A) có nghiệm Û Hệ (B) có nghiệm dương Tõ (3) : v=3-u. Thay vÇo (4) : u.  3  u  . m m  u 2  3u   0 (*) 3 3. Bài toán dẫn đến : Tìm m sao cho phương trình (*) có nghiệm thoả mãn : 0  u  3.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Gäi f  u   u 2  3u . m 3. Ta xÐt hai kh¶ n¨ng: a) Phương trinh(*) có một nghiệm thoả mãnđiều kiện 0  u  3 Û Û f  0  .f  3  0 . m m . 0m0 3 3. b) Phương trinh(*) có hai nghiệm thoả mãnđiều kiện 0  u  3 Û. Û. 4m    9  3  0  1.f  0   m  0  27 3 0m  4 1.f  3  m  0  3  b 3 0    3 2a 2 . VËy víi : 0  m . 27 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm 4. Bµi 15 : §H D©n LËp H¶i Phßng-K B,D 7 1 1  x  y  xy  2 Giải hệ phương trình :  3 x  y  xy  2. 1  2. Giải:Do đk:x≠ 0: y≠ 0.phương trình (2) Û 1 1 1 7 3  1  u.v  x . y  2  xy  2  2    2    1 1 3 u  v  3    1  1  3   x y 2 2  x y 2.  3  4. x  1 u  1    1 y  2  v  2. Lop12.net. 1 1 3    Hệđã cho y x 2 1 x. Víi u  ; v=. 1 y.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> . 1. u x  2 hoÆc  2    v  1. y  1. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là : 1; 2  ,  2;1 Bµi 16 : §HQG Hµ Néi K-B 2x 2  3x  y 2  2 Giải hệ phương trình :  2 2 2y  3y  x  2. 1  2. Giải:Đây là hệ đối xứng loại 2. Trừ từng vế hai phương trình ta được: y  x 2  x 2  y 2   3  x  y     x 2  y 2    x  y  x  y  1  0    y    x  1  2x 2  3x  y 2  2   y  x Hệ đã cho   2 2  2x  3x  y  2   y    x  1 . a  b. Gi¶i hÖ (a) ta ®­îc hai nghiÖm lµ 1;1 ,  2; 2   5  21 7  21  ; , 2   2. Gi¶i hÖ (b) ta ®­îc hai nghiÖm lµ .  5  21 7  21  ;   2   2.  5  21 7  21  ; , 2   2. ĐS: Hệ đã cho có 4 nghiệm là : 1;1 ,  2; 2  , . Các đề thi năm 2001 Bµi 17: §HSP Hµ Néi –Khèi B, M, T  x 3  y3  8 GiảI hệ phươngtrình : .  x  y  2xy  2. 1  2. GiảI : Đây là hệ đói xứng loại 1.. Lop12.net.  5  21 7  21  ;   2   2.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>  x  y   x  y 2  3xy   8 u.  u 2  3v   8    Hệ đã cho   Û u  2v  2  x  y   2xy  2.  3  4. Víi u=x+y; v=xy 2u  2u  u  2 v  v  2 Û   2 v  0 2u 3  3u 2  6u  16  0  u  2   2u 2  7u  8   0   x  0  x  y  2 y  2   x  2  xy  0    y  0. Bµi 18:§HSP Vinh Khèi D, M, T  x 5  y5  1. Giải hệ phương trình : . 9 9 4 4  x  y  x  y. 1  2. Gi¶I : (2) Û x 4 1  x 5   y 4 1  y5   0 (*) (1)  1  y5  x 5  1  x 5  y5 Thay vµo (*) ta ®­îc :. x4.y5+y4.x5=0 . x  0  x  y  x y  0   y  0  y   x. Víi x=0 th× y=1; Víi y=0 th× x=1 Víi y=-x th× x5+y5=0 (lo¹i) VËy hÖ cã hai nghiÖm lµ  0;1 , 1;0  Bµi 19 :§H Thuû Lîi  2x  y  Giải hệ phương trình :  2y  x  . 3 x2 3 y2. 1  2. Lop12.net. 4. 4.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Giải : Đây là hệ đối xứng loại hai đối với hai ẩn. 2x 3  x 2 y  3 Hệ đã cho   3 2 2y  y x  3. 2x 3  x 2 y  3  3 3 2  x  y   xy  x  y   0. XÐt (4)   x  y   2x  2y  3xy   0  x  y v× 2. 2.  3  4. (2x2+2y2+3xy= 2. 2  3  7 2  x  y   y   0) 4  16  . Thay y=x vµo (3) ta ®­îc : x=y=1 Bµi20: §H N«ng NghiÖp 1-KA  x  y 2 y  2 1 Giải hệ phương trình :  3 3  x  y  19  2 .  t  1 y  2 Giải : Đặt x = ty , thì hệ đã cho   3 3  t  1 y  19 2. 3.  t  12 y  2    t 3  1 19   2 2 t  1   .  3  4. 1 7   t  7  y  3 18 , x= 3 18 Gi¶I (4)  2  t 2  t  1  19  t  1  2t 2  17t  21  0    3  t  2  y  2, x=3.  7. 1 . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là  3 ; 3  ,  3; 2   18 18  Bµi 21: §H Th¸i Nguyªn – Khèi A, B, T  x 3  1  2y Giải hệ phương trình :  3  y  1  2x. HD: Đây là hệ đối xứng loại hai đối với x, y.  1  5 1  5   1  5 1  5  ; ; ,   2   2 2   2. ĐS : hệ đã cho có ba nghiệm là : 1;1 ,  Bài 22 : ĐH Luật -ĐH Dược Hà Nội .. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Xác định các giá trị của tham số a để hệ phương trình sau đây có nghiệm (x,y) víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè b:  a  1 x 5  y5  1  bx 4 2 e   a  1 by  a. Giải : Vì hệ có nghiệm với mọi b, nên hệ có nghiệm với một giá trị nào đó của b;  a  1 x 5  y5  1  a  1 chẳng hạn với b=0.Lúc đó hệ trở thành :  2 1  a. 5 y  1  y  1 *Víi a=1 hÖ trë thµnh :  bx . HÖ nµy kh«ng cã nghiÖm víi mäi   bx 4 e  2by  1 e  1  2b 1 b,ch¼ng h¹n víi 1-2b<0  b  . VËy a=1 bÞ lo¹i. 2. 2x 5  y5  1 2x 5  y5  1 *Víi a=-1 hÖ trë thµnh :  bx  . bx  0 e  1. Râ rµng víi mäi b, hÖ cã nghiÖm x=0, y=1. VËy a=-1 chÊp nhËn ®­îc. Bài 23 : ĐH Ngoại Thương khối A  x 3  3x  y3  3y Giải hệ phương trình :  6 6  x  y  1. Gi¶i :. x  y  0  6 6  x  y   x 2  y 2  xy  3  0 1 x  y  1  Hệ đã cho   6 6  2    x 2  y2  xy  3  x  y  1   x 6  y 6  1  1 2. HÖ (A) cho nghiÖm x=y=  6. XÐt hÖ (B) :Tõ :x6+y6=1 x  1; y  1;  x 2  1; y 2  1; xy  1. Lop12.net. A  B.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>  x 2  y 2  xy  1. HÖ (B)  . 6 6  x  y  1.  v« nghiÖm.  1. 1  . 1. 1 . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là  6 , 6  ;   6 ,  6  2 2  2 2  Bài 24 : ĐH Thương Mại. 1  x 3 .y3  19x 3. Giải hệ phương trình : . 2 2  y  xy  6x. Giải : Dễ thấy điều kiện cần là x≠0. Hệ đã cho  3  1 y1   1 1  3  y x1  , y1  2  3   3   y   19  x 3  y  19  u  1  u  3uv  19  xx  x 3         2  v  6 x   1 , y  3 uv  6  y  y  6  y  1  y   6 2 2    2  x  x 2  x x . 1 x. y x. ( víi u   y; v= ) Bµi 25 : Häc viÖn QHQT-Khèi D x  y  4 Giải hệ phương trình :  2 2. 3 3 (x  y )  x  y   280. 1  2. Gi¶i : §Æt u=x+y; v=xy L­u ý : x 2  y 2   x  y   2xy  u 2  2v vµ x 3  y3   x  y   x 2  y 2  xy   u(u 2  3v) 2.  u  4  v  3 u  4 u  4 Hệ đã cho   2  2   u  4 2 (4  2v).4 4  3v  280 3v  40v  93  0        v  31   3. x  1 x  3 hoÆc  y  3 y  1. *Víi u=4;v=3 ta ®­îc . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> *Víi  u=4; v=. 31 ta ®­îc 4xy>(x+y)2 v« lý 3. §S : hÖ cã hai nghiÖm lµ (1,3) ; (3,1) Bµi 26: §H Hµng H¶i  x 2  xy  y 2  19  x  y 2 Giải hệ phương trình :  2 2  x  xy  y  7  x  y . Gi¶i : L­u ý x 2  xy  y 2   x  y   3xy  u 2  3v ; x 2  xy  y 2   x  y   xy  u 2  v 2. 2. u 2  3v  19u 2 18u 2  3v (Víi u=x-y; v=xy) th× hÖ trë thµnh:  2 Û  2 u  v  7u.  u  0  6u  v v  0  2   u  1 7u  7u  0    v  6 2. x  y  0 xy0  xy  0. *Víi u=0; v=0 ta cã : . x  3  x  y  1  y  2 *Víi u=1; v=6 ta cã :     x  2  xy  6    y  3. Vậy hệ đãcho có 3 nghiệm là (0,0); (3,2); (-2,-3) Bµi 27: §H An Ninh-Khèi D  x  y  1  2xy. Giải hệ phương trình : . 2 2 x  y  1. Lop12.net. u  7u   v.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>  u  1  v  0 u  2v  1 u  2v  1 Giải : Đặt u=x+y; v=xy thì hệ đã cho   2  2   u  2 u  2v  1 u  u  2  0    v  3   2. x  0 x  1 ; hoÆc  y  1 y  0. Víi u=1;v=0 th× ta cã  Víi u=-2; v=. 3 3 2 thì ta có  x  y   4xy  4  4.  2  0  phương trình vô nghiệm 2 2. ĐS: Hệ đã cho có hai nghiệm là (0,1); (1,0) Bµi 28 : Häc viÖn Qu©n y.  xy xy 2. Giải hệ phương trình : . 2 2 2 2  x  y  x  y  4. 1  2. Gi¶i : Tõ (1) suy ra x  y  x  y  x  y  0. . xy xy. . x 2  y2  x 2  y2.   Với đk này thì hệ đã cho Û Û   . Bµi 29 : §H D©n LËp §«ng §«  x  9  y  7  4 1 Giải hệ phương trình :   y  9  x  7  4.  2. Giải : Đây là hệ đối xứng loại 2. Cách 1 : sử dụng phương pháp đánh giá §k:.  x  7  x  9  y  7  x  9  16  4    y  7  y  9  x  7  y  9  16  4. Lop12.net. . 2. 4. . 2. 5   x 2  y 2  x  2 x  2   2 2  x  y  6  x y  6  16 .

<span class='text_page_counter'>(17)</span> x  7 y  7. Suy ra hÖ cã nghiÖm duy nhÊt : . Cách 2 : sử dụng phương pháp hàm TX§:x,y  7; )  x 9  y7  4 Hệ đã cho Û .  x  9  x  7  y  9  y  7.  3  4. Xét phương trình (4): XÐt hµm sè f  t   t  9  t  7 víi TX§ : t   7; ) f ' t  . t 7  t 9  0  f  t  nghÞch biÕn trªn TX§ 2 t  9. t  7. Suy ra phương trình (4)Û f  t1   f  t 2   t1  t 2  x  y Thay y=x vào phương trình (3) : nghiÖm duy nhÊt lµ x = 7. x  9  x  7  4 . Giải phương trình này ta được. §S : HÖ cã mét nghiÖm lµ (7;7) Bµi 30: §H Hång §øc –Khèi A  x 2  y 2  1  k  x  y  1  1 Cho hệ phương trình :   x  y  xy  1. 1. Gi¶I hÖ víi k= 0 2. Tìm tất cả các giá trị của k để hệ có nghiệm duy nhất. Gi¶i : 1..  x 2  y2  1  1. Víi k=0 th× ta cã hÖ : .  x  y  xy  1. Lop12.net. §K : x 2  y 2  1.

<span class='text_page_counter'>(18)</span>   x  y 2  2xy  1  1  x  y 2  2  xy  1 u 2  2  v  1     x  y  xy  1  x  y  xy  1 u  v  1. 1  2. ( víi u=x+y; v=xy)  u  0 x  y  0   u  2u  v  1   xy  1  Từ đó dễ dàng giải ra    x  y  2 u  v  1  u  2     v  1   xy  1 2.  x  1  x  1  x  1 ;  ;    y  1  y  1  y  1. x  y  0. 2§K : . 2 2 x  y  1. Trong hệ đã cho vai trò của x và y là như nhau. Do đó diều kiện cần để hệ có nghiÖm duy nhÊt lµ x=y.  2x 2  1  k ThÕ x=y vµo hÖ ta ®­îc:  2 2x  x  1. . . 2x  1  1. k  0  x  1. Nh­ng víi k=0 th× hÖ cã ba nghiÖm. VËy k=0 kh«ng lµ kÕt qu¶ cÇn t×m ĐS : Không tồn tại k thoả mãn yêu cầu đề bài Bài 31 : Xác định tham số a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất:  x  12  y  a  2  y  1  x  a. Gi¶i : Gi¶ sö hÖ cã nghiÖm lµ  x 0 , y0  th× do vai trß cña x, y nh­ nhau ,nªn.  y0 , x 0  cũng là nghiệm của phương trình . Vì vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhÊt lµ x=y. Thay y=x vào phương trình đầu ta có :  x  1  x  a  x 2  x  1  a  0 2. Phương trình này có nghiệm duy nhất    1  4 1  a   0  a . Lop12.net. 3 4.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 3 2  3 2   x  1  y  4  x  1  y  4  3 Điều kiện đủ: khi a  thì hệ trở thành :  3 2  x  12   y  12  y  x 4  y  1  x    4 3 2   x  1  y  4   x  y  x  y  3  0  3 3 2 2   1  x  1  y   x  1  y  HoÆc  HoÆc  4xy 4  v« nghiÖm 2  x  y  x  y  3  0. §S : a . 3 4. Bµi 32 : Häc viÖn ng©n hµng-Ph©n viÖn ng©n hµng tp HCM  x 2  2xy  3y 2  9 Giải hệ phương trình:  2 2. 2x  13xy  15y  0. HD: đây là hệ có vế trái đẳng cấp bậc 2 đối với x và y  5 1 .  5. 1 . §S: hÖ cã 4 nghiÖm lµ  3; 2  ,  ;  ,  3; 2  ,  ;   2 2  2 2 Bµi 33 : Häc viÖn chÝnh trÞ Quèc gia HCM-Ph©n viÖn b¸o chÝ vµ tuyªn truyÒn 1  2 2x  y  1  y Giải hệ phương trình:  2y 2  x  1  2   x. x  0 y  0. Gi¶i: §K : . 2x 2  y . 1 1  2 y.  2 y y. 2y 2  x . 1 1  2 x.  2 x x. Víi x>0, y>0 ta cã :. Lop12.net. x  1  y  1.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Trừ từng vế hai phương trình ta có: 2x 2  2y 2  y . 1  1 1 1   x    2x 2  x   2y 2  y  * y  x x y. XÐt hµm sè : f  t   2t 2  t  f '  t   4t  1 . 1 t.  t  1. 1  0  f(t) là hàm đồng biến phương trình (*) Û x=y t2. Thay y=x vào phương trình (1) ta có : 2x3-x2-1=0Û (x-1)(2x2+x+1)=0 Suy ra hÖ cã nghiÖm duy nhÊt lµ (1;1) Bµi 34: §H §µ N½ng –Khèi A log x  6x  4y   2 Giải hệ phương trình:  log y  6y  4x   2. Gi¶i: §K: x>0; x≠1; y>0, y≠1  6x  4y  x 2 6x  4y  x  6x  4y  x 2 6x  4y  x 2  x  y Hệ đã cho     x  y    2 2  2 6x  4y  x 2 6y  4x  y 2  x  y   x  y  y  2  x      y  2  x 2. HÖ ®Çu cho nghiÖm x=y=10 HÖ sau v« nghiÖm ĐS: Hệ đã cho có nghiệm (10;10) Bµi 35 : §H HuÕ- Khèi A, B, V log 2  x  y   log a  x  y   1 1 Cho hệ phương trình :  2 2.  2.  x  y  a. Với a là số dương , khác 1. Xác định a để hệ phương tình trên có nghiệm duy nhất và giải hệ trong trường hợp đó. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>

×