Giới thiệu các đề thi về hệ phương trình Từ năm 2000 đến năm 2012

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Tư liệu:. Giới thiệu các đề thi về hệ phương trình Từ năm 2000 đến năm 2012 Các đề thi ĐH năm 2000. Bµi 1: §HSP Hµ Néi KA: Giải hệ phương trình :.  y  xy 2  6x 2  2 2 2 1  x y  5x. 1  2. Gi¶i : Tõ (2) suy ra x ≠ 0 , chia c¸c vÕ cho x2 : y  1   y y2 x  x  y  6   6  x 2 x    Û  2  1  y2  5  1  y   2 y  5   x 2  x x   v2  5  v2  5 u   uv  6  y 1  u  2 §Æt u  ; v   y ta ®­îc hÖ :  2  2  2 x x  v  2u  5  v  5 .v  6  v3  5v  12  0   2. (*) Û (v-3)(v2+3v+4) = 0 Û v=3; u = 2 1  x  y  3  1  1  1  2  x ; x   1 .y  2  y  2  y  1  x. 1 . VËy hÖ cã nghiÖm lµ (1;2) hoÆc  ;1 2 . Bµi 2: §HSP Hµ Néi K B,D: Giải hệ phương trình :. 2 2  x  y  xy  7  4 4 2 2  x  y  x y  21. Giải : Đây là hệ đói xứng loại 1 , Biến đổi về dạng :  x  y 2  xy  7  x  y 2  xy  7     2 2 2 2 2 2 2 2 2  x  y   x y  21   x  y   2xy   x y  21   x  y 2  7  xy  x  y  3  x  y   7  xy     xy  2  xy  2 2 2 2  7  xy   x y  21   x; y   1; 2  ,  2;1 ,  1; 2  ,  2; 1 2. Bµi 3 : §HSP tp HCM-K A,B. Lop12.net.  *.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Giải hệ phương trình :.  x 2  2xy  3y 2  9  2 2 2x  2xy  y  2. 1  2. HD: Tõ (1) vµ (2) ta cã : 2(x2+2xy+3y2=9(2x2+2xy+y2) Û16x2+14xy+3y2=0 (3) 1 x   y 2 x x Dễ thấy x=0 không thoả mãn hệ, do đó (3) Û 16    14    3  0   3 x y y y  8  x 1 Với    y  2x . Thế vào (2) ta có x2=1Û x  1 .Từ đó hệ có hai nghiệm là : y 2 2. (1;-2), (-1;2) Víi. 3 17 x 3 8 9    y   x. ThÕ vµo (2) ta cã x2=   Từ đó hệ có hai 17 y 8 3 17.  3 17 8 17   3 17 8 17  ; ;  ;    17 17 17 17      3 17 8 17   3 17 8 17  §S : hÖ cã 4 nghiÖm lµ (1;-2), (-1;2),  ; ;  ;    17 17 17 17    . nghiÖm lµ . Bµi 4 : §HGTVT Hµ Néi Giải hệ phương trình :.  xy  x  y  11  2 2  x y  xy  30. HD : Đây là hệ đối xứng loại 1 . §S: HÖ cã 4 nghiÖm lµ : 1;5  ,  5;1 ,  2;3 ,  3; 2  Bµi 5 : §HTCKT Hµ Néi.  x log8 y  y log8 x  4 1 Giải hệ phương trình :  log 4 x  log 4 y  1  2  x x Gi¶i : Tõ (2) : log 4  1   4  x  4y . Thay vµo (1) : y y.  4y . log8 y.  y log8 4y  4  4log8 y.y log8 y  y log8 4 y log8 y  4. L­u ý : 4 2 3. log8 y. 2. 2log8 y. 2y .y log8 y  4  y . 2. 2  log8 y 3. 2 log 2 y 3. 2. y. 2 log 2 2 3. 2 3.  y ; vµ y. log8 4. y. 2 log 2 2 3. 2 3.  y thì phương trình trên là :. log8 2 2 2  log8 y  log y 2   log8 y  3 3 log8 y. 2 1  log8 y  3 3log8 y. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Đặt t  log8 y thì phương trình thành : 2t 1 log8 y  1  y     8. log8 y  1   3 y  2. +3t2=1Û. 3t2.  t  1 +2t – 1 = 0Û  1 t   3. 1 1 Từ đó hệ có hai nghiệm là  8; 2  ,  ;  2 8 . . Bµi 6 : §HM§C Hµ Néi x  y  a  1 Giải và biện luận theo tham số a hệ phương trình :  a x  y  xy 2. 2 .4. 2. 1  2. HD : Tõ (2) : 22 x  y  xy   21a  2  x  y  xy   1  a 2 Tõ (1) : y =1-x-a 2. y  1  x  a.  y  1  x  a   2 2 2x  2y 1  x   1  a 2x  2 1  x  a 1  x   1  a. HÖ trë thµnh : . 1  x  a  2 2 2x  2 1  a  x  1  a   0.  *.  '  1  a   2 1  a    1  a   0 2. 2. 2. Với a=1 thì phương trình (*) có nghiệm là x=0  y=0. Vậy hệ có một nghiệm là (0;0) Với a≠ 0 thì phương trình (*) vô nghiệm  hệ vô nghiệm Bµi 7: §H ngo¹i ng÷ 2x 2  y 2  z 2 Giải hệ phương trình :   xyz  64 Với điều kiện ba số log y x, log z y, log x z theo thứ tự đó tạo thành một cấp số nhân. Gi¶i : Tõ gi¶ thiÕt ta cã : log y x.log x z  log 2z y  log y z  log 2z y  log 3z y  1  log z y  1  y  z 2x 2  2y 2. HÖ trë thµnh : . 2  xy  64. xyz4. Bµi 8: §H An ninh K-A Tìm tất cả các giá trị a để hệ phương trình :  x 2  2xy  3y 2  8  2 2 4 3 2 2x  4xy  5y  a  4a  4a  12  105. Cã nghiÖm . Giải : Đểgọn ta đặt vế trái của phươngtrình (2) bằng m. Lop12.net. 1  2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> XÐt hÖ :.  x 2  2xy  3y 2  8  2 2 2x  4xy  5y  m. 1 Các phương trình của hệ có vế trái đẳng cấp bậc hai  2. đối với x và y..  x 2 1  2t  3t 2   8  3 Từ (1) suy ra x≠ 0, ta đặt y=tx , dẫn tới hệ :  2 2  x  2  4t  5t   m  4  1 Tõ (3) suy ra 1-2t-3t2> 0  1  t  3. Chia tõng vÕ cña (3) cho (4) ta cã : 1  2t  3t 2 8   ...   2m  40  t 2  2  m  16  t  16  m  0 * 2 2  4t  5t m 1 Vậy phương trình (*) phải có nghiệm thoả mãn 1  t  3. Gọi f(t) là vế trái của phương trình (*) Ta xét hai trường hợp : 1 1 Trường hợp 1: có một nghiệm thoả mãn : 1  t  Û f  1 .f     0  3. 3. DÔ kiÓm nghiÖm thÊy ®iÒu kiÖn nµy kh«ng tho¶ m·n Trường hợp2: có cả hai nghiệm thoả mãn : 1  t . 1 3.  '  0   3m  40  .f (1)  0    3m  40  f   1   0  ...  m  3  105     3  S 1 1    2 3  m  3  a 4  4a 3  4a 2  12  105  3  105.  a 4  4a 3  4a 2  9  0   a  1 a  3  a 2  2a  3  0   a  1   a  3. Bµi 9: §HCSND-KA.  x  xy  y  m  2 1 Cho hệ phương trình :  2 2  x y  xy  m  1.  2. 1. Gi¶I hÖ víi m = -3 2. Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  x  y   xy  m  2. Giải : Hệ đã cho  .  xy  x  y   m  1. . §Æt u=x+y; v=xy th× hÖ trë thµnh:. u  v  m  2  u.v  m  1. Víi m=-3 th× hÖ trë thµnh : v  1  u  1  v u  v  1 u  1  v u  2   2     v  2 u.v  2 v  v  2  0  v  1  v   2   u  1  y   x  2  x  y  2  x  1    x   x  2   1  y  1  xy  1. Víi u=-2; v=1 ta cã hÖ : .   x  1   x  y  1  y  1  x y  2 Víi u=1; v=-2 ta cã hÖ :    x  2  xy  2  x 1  x   2    y  1. VËy hÖ cã ba nghiÖm lµ  1; 1 ,  1; 2  ,  2; 1  x  xy  y  m  2 1 Xét hệ phương trình  2 2  x y  xy  m  1.  2. Phương trình (2)Û(x+y+xy)-(x2y+xy2)=(m+2)-(m+1) Û x  y  1  xy  1. Û(x+y-1)(1-xy) =0 Û .  x  y   xy  m  2 A   x  y  1 Hệ đã cho tương dương với hai hệ:  x  y   xy  m  2  B   xy  1 x  y  1 XÐt hÖ (A) : HÖ (A) Û  . Đây là hệ đối xứng loại 1, vì thế để hệ có  xy  m  1. nghiÖm duy nhÊt th× ph¶i cã x=y. 1  x   2x  1  2  Víi x=y th× hÖ trë thµnh  2  x  m  1 m   3  4. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> x  y  m  1  xy  1. XÐt hÖ (B) : HÖ (B) Û . x  1  2x  m  1  m  1 Víi x=y th× hÖ trë thµnh :  2    x  1 x  1   m  3. Thử lại ta thấy hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=1;m= . 3 4. Bài 10 : ĐH Thương Mại  x  ay  a  o. Cho hệ phương trình ; . 2 2 x  y  x  0. 1.Tìm các giá trị của a để hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt 2.Gọi  x1 ; y1  ,  x 2 ; y 2  là các nghiệm của hệ đã cho, hãy chứng minh:.  x 2  x1    y2  y1  2. 2.  1.. DÊu b»ng x¶y ra khi nµo? Giải : Ta giải hệ này bằng phương pháp hình học  x  a(y  1)  0  HÖ ®­îc viÕt l¹i lµ :  1 2 2 1  x    y  2 4 . 1.  2. Phương trình (1) biểu thị một đường thẳng  quay quanh một điểm A(0;1) cố định. 1 1 Phương trình (2) biểu thị một đường tròn (C) tâm I  ;0  , bán kính R= . 2 2 . . HÖ cã hai nghiÖm Û  c¾t ®­êng trßn (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt Û Û d  I,    R . 1 a 2. . 4 1  3a 2  4a  0  0  a  3 2. 1 a 4 2. Víi 0<a< th×      C   M, N vµ 3 2. . MN  2R=1.  x 2  x1    y2  y1  2. Bµi 11 :§H Thuû Lîi. 3x   x.log 2 3  log 2 y  y  log 2 2 GiảI hệ phương trình :   x.log 12  log x  y  log 2y 3 3 3  3. Lop12.net. 2.  1  ®pcm.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  x y 3x log 2 (3 .y)  log 2 (2 . 2 ) GiảI : TXĐ : x>0; y>0. Khi đó ta có :  log (12 x.x)  log (3y. 2y ) 3  3 3 3  x 3 y y x 3 .y  2 x.2  2 x.2  3 .y 1  Û  12 x.x  2 y.3y 12 x.x  2 .3y.y  2    3 3. Chia tõng vÕ cña (1) cho (2) ta ®­îc : 3 2 y 3 3x . x  . y  6 y  36 x  6 y  62x  y  2x  3 2 12 2 3 3 Thay (3) vµo (1) ta ®­îc : x.22x  3x.2x  4x 1  3x 1  x  1  0  x  1 2. y=2. VËy nghiÖm cña hÖ lµ (1;2) Bµi 12 : §H N«ng NghiÖp 1-KA. 1  2.  x 5  y2  7. GiảI hệ phương trình : .  x  2  y  5  7. GiảI : TXĐ : x≥2; y≥2. Lúc đó hệ đã choÛ x  y  3  2    x  y  3  2.  x  5 y  2   49  3  x  2  y  5  49  4 . Đây là hệ đối xứng loại 2. Trừ từng vế hai phương trình,ta được :.  x  5 y  2    x  2  y  5. Û…Û x=y Thay kÕt qu¶ nµy vµo (3) : 2x  3  2.  x  5  x  2   49   x  5  x  2   23  x.  2  x  23  2 2  x  11 x  3x  10  23  x    . VËy hÖ cã nghiÖm lµ : x=11 Bài 13 : ĐH Dân lâp Phương Đông –KA 2x 2  3xy  y 2  12 GiảI hệ phương trình :  2 2  x  xy  3y  11. 1  2. GiảI : Đây là hệ phương trình có vế tráI đẳng cấp bậc hai đối với hai ẩn.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  x 2  2  3t  t 2   12 t  2 12 11 §Æt y=tx th× :  2   2  2 2 t  3t  2 3t  t  1  t  0, 2  x 1  t  3t   11.  x  5 x  2  ới t=2 thì y=2x và phương trình (1) trở thành :12x2=12Ûx=±1 Y=±2 Với t=0,2 thì y=0,2x và phương trình (1) trở thành : x 2  . VËy hÖ cã 4nghiÖm  1; 2  ,  5 . 50 2 2  x  5 y 11 11 11. 2 2  ;  11 11 . Bµi 14:§H Thuû S¶n §ît 2  x 1  y 1  3 Cho hệ phương trình : .  x y  1  y x  1  y  1  x  1  m. A. 1. GiảI hệ phương trình với m=6 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm.  x 1  y 1  3. Gi¶I : .  x  1 y  1   y  1 x  1  m §Æt u  x  1; v= y  1; u  0; v  0 , th× hÖ trë thµnh:. u  v  3 u  v  3 u  v  3     2 m 2 u v  v u  m uv  u  v   m uv  3 .  3  4.  B.  u  1 x  0   u  v  3   v  2 y  3 1. với m=6 ta có hệ phương trình :     u  2 x  3 uv  2     v  1   y  0. VËy víi m=6 th× hÖ cã hai nghiÖm lµ :  0;3 ,  3;0  2. Tìm m để hệ có nghiệm: Do u  0; v  0 th× tõ (4) suy ra m>0 Hệ (A) có nghiệm Û Hệ (B) có nghiệm dương Tõ (3) : v=3-u. Thay vÇo (4) : u.  3  u  . m m  u 2  3u   0 (*) 3 3. Bài toán dẫn đến : Tìm m sao cho phương trình (*) có nghiệm thoả mãn : 0  u  3.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Gäi f  u   u 2  3u . m 3. Ta xÐt hai kh¶ n¨ng: a) Phương trinh(*) có một nghiệm thoả mãnđiều kiện 0  u  3 Û Û f  0  .f  3  0 . m m . 0m0 3 3. b) Phương trinh(*) có hai nghiệm thoả mãnđiều kiện 0  u  3 Û. Û. 4m    9  3  0  1.f  0   m  0  27 3 0m  4 1.f  3  m  0  3  b 3 0    3 2a 2 . VËy víi : 0  m . 27 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm 4. Bµi 15 : §H D©n LËp H¶i Phßng-K B,D 7 1 1  x  y  xy  2 Giải hệ phương trình :  3 x  y  xy  2. 1  2. Giải:Do đk:x≠ 0: y≠ 0.phương trình (2) Û 1 1 1 7 3  1  u.v  x . y  2  xy  2  2    2    1 1 3 u  v  3    1  1  3   x y 2 2  x y 2.  3  4. x  1 u  1    1 y  2  v  2. Lop12.net. 1 1 3    Hệđã cho y x 2 1 x. Víi u  ; v=. 1 y.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> . 1. u x  2 hoÆc  2    v  1. y  1. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là : 1; 2  ,  2;1 Bµi 16 : §HQG Hµ Néi K-B 2x 2  3x  y 2  2 Giải hệ phương trình :  2 2 2y  3y  x  2. 1  2. Giải:Đây là hệ đối xứng loại 2. Trừ từng vế hai phương trình ta được: y  x 2  x 2  y 2   3  x  y     x 2  y 2    x  y  x  y  1  0    y    x  1  2x 2  3x  y 2  2   y  x Hệ đã cho   2 2  2x  3x  y  2   y    x  1 . a  b. Gi¶i hÖ (a) ta ®­îc hai nghiÖm lµ 1;1 ,  2; 2   5  21 7  21  ; , 2   2. Gi¶i hÖ (b) ta ®­îc hai nghiÖm lµ .  5  21 7  21  ;   2   2.  5  21 7  21  ; , 2   2. ĐS: Hệ đã cho có 4 nghiệm là : 1;1 ,  2; 2  , . Các đề thi năm 2001 Bµi 17: §HSP Hµ Néi –Khèi B, M, T  x 3  y3  8 GiảI hệ phươngtrình : .  x  y  2xy  2. 1  2. GiảI : Đây là hệ đói xứng loại 1.. Lop12.net.  5  21 7  21  ;   2   2.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>  x  y   x  y 2  3xy   8 u.  u 2  3v   8    Hệ đã cho   Û u  2v  2  x  y   2xy  2.  3  4. Víi u=x+y; v=xy 2u  2u  u  2 v  v  2 Û   2 v  0 2u 3  3u 2  6u  16  0  u  2   2u 2  7u  8   0   x  0  x  y  2 y  2   x  2  xy  0    y  0. Bµi 18:§HSP Vinh Khèi D, M, T  x 5  y5  1. Giải hệ phương trình : . 9 9 4 4  x  y  x  y. 1  2. Gi¶I : (2) Û x 4 1  x 5   y 4 1  y5   0 (*) (1)  1  y5  x 5  1  x 5  y5 Thay vµo (*) ta ®­îc :. x4.y5+y4.x5=0 . x  0  x  y  x y  0   y  0  y   x. Víi x=0 th× y=1; Víi y=0 th× x=1 Víi y=-x th× x5+y5=0 (lo¹i) VËy hÖ cã hai nghiÖm lµ  0;1 , 1;0  Bµi 19 :§H Thuû Lîi  2x  y  Giải hệ phương trình :  2y  x  . 3 x2 3 y2. 1  2. Lop12.net. 4. 4.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Giải : Đây là hệ đối xứng loại hai đối với hai ẩn. 2x 3  x 2 y  3 Hệ đã cho   3 2 2y  y x  3. 2x 3  x 2 y  3  3 3 2  x  y   xy  x  y   0. XÐt (4)   x  y   2x  2y  3xy   0  x  y v× 2. 2.  3  4. (2x2+2y2+3xy= 2. 2  3  7 2  x  y   y   0) 4  16  . Thay y=x vµo (3) ta ®­îc : x=y=1 Bµi20: §H N«ng NghiÖp 1-KA  x  y 2 y  2 1 Giải hệ phương trình :  3 3  x  y  19  2 .  t  1 y  2 Giải : Đặt x = ty , thì hệ đã cho   3 3  t  1 y  19 2. 3.  t  12 y  2    t 3  1 19   2 2 t  1   .  3  4. 1 7   t  7  y  3 18 , x= 3 18 Gi¶I (4)  2  t 2  t  1  19  t  1  2t 2  17t  21  0    3  t  2  y  2, x=3.  7. 1 . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là  3 ; 3  ,  3; 2   18 18  Bµi 21: §H Th¸i Nguyªn – Khèi A, B, T  x 3  1  2y Giải hệ phương trình :  3  y  1  2x. HD: Đây là hệ đối xứng loại hai đối với x, y.  1  5 1  5   1  5 1  5  ; ; ,   2   2 2   2. ĐS : hệ đã cho có ba nghiệm là : 1;1 ,  Bài 22 : ĐH Luật -ĐH Dược Hà Nội .. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Xác định các giá trị của tham số a để hệ phương trình sau đây có nghiệm (x,y) víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè b:  a  1 x 5  y5  1  bx 4 2 e   a  1 by  a. Giải : Vì hệ có nghiệm với mọi b, nên hệ có nghiệm với một giá trị nào đó của b;  a  1 x 5  y5  1  a  1 chẳng hạn với b=0.Lúc đó hệ trở thành :  2 1  a. 5 y  1  y  1 *Víi a=1 hÖ trë thµnh :  bx . HÖ nµy kh«ng cã nghiÖm víi mäi   bx 4 e  2by  1 e  1  2b 1 b,ch¼ng h¹n víi 1-2b<0  b  . VËy a=1 bÞ lo¹i. 2. 2x 5  y5  1 2x 5  y5  1 *Víi a=-1 hÖ trë thµnh :  bx  . bx  0 e  1. Râ rµng víi mäi b, hÖ cã nghiÖm x=0, y=1. VËy a=-1 chÊp nhËn ®­îc. Bài 23 : ĐH Ngoại Thương khối A  x 3  3x  y3  3y Giải hệ phương trình :  6 6  x  y  1. Gi¶i :. x  y  0  6 6  x  y   x 2  y 2  xy  3  0 1 x  y  1  Hệ đã cho   6 6  2    x 2  y2  xy  3  x  y  1   x 6  y 6  1  1 2. HÖ (A) cho nghiÖm x=y=  6. XÐt hÖ (B) :Tõ :x6+y6=1 x  1; y  1;  x 2  1; y 2  1; xy  1. Lop12.net. A  B.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>  x 2  y 2  xy  1. HÖ (B)  . 6 6  x  y  1.  v« nghiÖm.  1. 1  . 1. 1 . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là  6 , 6  ;   6 ,  6  2 2  2 2  Bài 24 : ĐH Thương Mại. 1  x 3 .y3  19x 3. Giải hệ phương trình : . 2 2  y  xy  6x. Giải : Dễ thấy điều kiện cần là x≠0. Hệ đã cho  3  1 y1   1 1  3  y x1  , y1  2  3   3   y   19  x 3  y  19  u  1  u  3uv  19  xx  x 3         2  v  6 x   1 , y  3 uv  6  y  y  6  y  1  y   6 2 2    2  x  x 2  x x . 1 x. y x. ( víi u   y; v= ) Bµi 25 : Häc viÖn QHQT-Khèi D x  y  4 Giải hệ phương trình :  2 2. 3 3 (x  y )  x  y   280. 1  2. Gi¶i : §Æt u=x+y; v=xy L­u ý : x 2  y 2   x  y   2xy  u 2  2v vµ x 3  y3   x  y   x 2  y 2  xy   u(u 2  3v) 2.  u  4  v  3 u  4 u  4 Hệ đã cho   2  2   u  4 2 (4  2v).4 4  3v  280 3v  40v  93  0        v  31   3. x  1 x  3 hoÆc  y  3 y  1. *Víi u=4;v=3 ta ®­îc . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> *Víi  u=4; v=. 31 ta ®­îc 4xy>(x+y)2 v« lý 3. §S : hÖ cã hai nghiÖm lµ (1,3) ; (3,1) Bµi 26: §H Hµng H¶i  x 2  xy  y 2  19  x  y 2 Giải hệ phương trình :  2 2  x  xy  y  7  x  y . Gi¶i : L­u ý x 2  xy  y 2   x  y   3xy  u 2  3v ; x 2  xy  y 2   x  y   xy  u 2  v 2. 2. u 2  3v  19u 2 18u 2  3v (Víi u=x-y; v=xy) th× hÖ trë thµnh:  2 Û  2 u  v  7u.  u  0  6u  v v  0  2   u  1 7u  7u  0    v  6 2. x  y  0 xy0  xy  0. *Víi u=0; v=0 ta cã : . x  3  x  y  1  y  2 *Víi u=1; v=6 ta cã :     x  2  xy  6    y  3. Vậy hệ đãcho có 3 nghiệm là (0,0); (3,2); (-2,-3) Bµi 27: §H An Ninh-Khèi D  x  y  1  2xy. Giải hệ phương trình : . 2 2 x  y  1. Lop12.net. u  7u   v.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>  u  1  v  0 u  2v  1 u  2v  1 Giải : Đặt u=x+y; v=xy thì hệ đã cho   2  2   u  2 u  2v  1 u  u  2  0    v  3   2. x  0 x  1 ; hoÆc  y  1 y  0. Víi u=1;v=0 th× ta cã  Víi u=-2; v=. 3 3 2 thì ta có  x  y   4xy  4  4.  2  0  phương trình vô nghiệm 2 2. ĐS: Hệ đã cho có hai nghiệm là (0,1); (1,0) Bµi 28 : Häc viÖn Qu©n y.  xy xy 2. Giải hệ phương trình : . 2 2 2 2  x  y  x  y  4. 1  2. Gi¶i : Tõ (1) suy ra x  y  x  y  x  y  0. . xy xy. . x 2  y2  x 2  y2.   Với đk này thì hệ đã cho Û Û   . Bµi 29 : §H D©n LËp §«ng §«  x  9  y  7  4 1 Giải hệ phương trình :   y  9  x  7  4.  2. Giải : Đây là hệ đối xứng loại 2. Cách 1 : sử dụng phương pháp đánh giá §k:.  x  7  x  9  y  7  x  9  16  4    y  7  y  9  x  7  y  9  16  4. Lop12.net. . 2. 4. . 2. 5   x 2  y 2  x  2 x  2   2 2  x  y  6  x y  6  16 .

<span class='text_page_counter'>(17)</span> x  7 y  7. Suy ra hÖ cã nghiÖm duy nhÊt : . Cách 2 : sử dụng phương pháp hàm TX§:x,y  7; )  x 9  y7  4 Hệ đã cho Û .  x  9  x  7  y  9  y  7.  3  4. Xét phương trình (4): XÐt hµm sè f  t   t  9  t  7 víi TX§ : t   7; ) f ' t  . t 7  t 9  0  f  t  nghÞch biÕn trªn TX§ 2 t  9. t  7. Suy ra phương trình (4)Û f  t1   f  t 2   t1  t 2  x  y Thay y=x vào phương trình (3) : nghiÖm duy nhÊt lµ x = 7. x  9  x  7  4 . Giải phương trình này ta được. §S : HÖ cã mét nghiÖm lµ (7;7) Bµi 30: §H Hång §øc –Khèi A  x 2  y 2  1  k  x  y  1  1 Cho hệ phương trình :   x  y  xy  1. 1. Gi¶I hÖ víi k= 0 2. Tìm tất cả các giá trị của k để hệ có nghiệm duy nhất. Gi¶i : 1..  x 2  y2  1  1. Víi k=0 th× ta cã hÖ : .  x  y  xy  1. Lop12.net. §K : x 2  y 2  1.

<span class='text_page_counter'>(18)</span>   x  y 2  2xy  1  1  x  y 2  2  xy  1 u 2  2  v  1     x  y  xy  1  x  y  xy  1 u  v  1. 1  2. ( víi u=x+y; v=xy)  u  0 x  y  0   u  2u  v  1   xy  1  Từ đó dễ dàng giải ra    x  y  2 u  v  1  u  2     v  1   xy  1 2.  x  1  x  1  x  1 ;  ;    y  1  y  1  y  1. x  y  0. 2§K : . 2 2 x  y  1. Trong hệ đã cho vai trò của x và y là như nhau. Do đó diều kiện cần để hệ có nghiÖm duy nhÊt lµ x=y.  2x 2  1  k ThÕ x=y vµo hÖ ta ®­îc:  2 2x  x  1. . . 2x  1  1. k  0  x  1. Nh­ng víi k=0 th× hÖ cã ba nghiÖm. VËy k=0 kh«ng lµ kÕt qu¶ cÇn t×m ĐS : Không tồn tại k thoả mãn yêu cầu đề bài Bài 31 : Xác định tham số a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất:  x  12  y  a  2  y  1  x  a. Gi¶i : Gi¶ sö hÖ cã nghiÖm lµ  x 0 , y0  th× do vai trß cña x, y nh­ nhau ,nªn.  y0 , x 0  cũng là nghiệm của phương trình . Vì vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhÊt lµ x=y. Thay y=x vào phương trình đầu ta có :  x  1  x  a  x 2  x  1  a  0 2. Phương trình này có nghiệm duy nhất    1  4 1  a   0  a . Lop12.net. 3 4.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 3 2  3 2   x  1  y  4  x  1  y  4  3 Điều kiện đủ: khi a  thì hệ trở thành :  3 2  x  12   y  12  y  x 4  y  1  x    4 3 2   x  1  y  4   x  y  x  y  3  0  3 3 2 2   1  x  1  y   x  1  y  HoÆc  HoÆc  4xy 4  v« nghiÖm 2  x  y  x  y  3  0. §S : a . 3 4. Bµi 32 : Häc viÖn ng©n hµng-Ph©n viÖn ng©n hµng tp HCM  x 2  2xy  3y 2  9 Giải hệ phương trình:  2 2. 2x  13xy  15y  0. HD: đây là hệ có vế trái đẳng cấp bậc 2 đối với x và y  5 1 .  5. 1 . §S: hÖ cã 4 nghiÖm lµ  3; 2  ,  ;  ,  3; 2  ,  ;   2 2  2 2 Bµi 33 : Häc viÖn chÝnh trÞ Quèc gia HCM-Ph©n viÖn b¸o chÝ vµ tuyªn truyÒn 1  2 2x  y  1  y Giải hệ phương trình:  2y 2  x  1  2   x. x  0 y  0. Gi¶i: §K : . 2x 2  y . 1 1  2 y.  2 y y. 2y 2  x . 1 1  2 x.  2 x x. Víi x>0, y>0 ta cã :. Lop12.net. x  1  y  1.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Trừ từng vế hai phương trình ta có: 2x 2  2y 2  y . 1  1 1 1   x    2x 2  x   2y 2  y  * y  x x y. XÐt hµm sè : f  t   2t 2  t  f '  t   4t  1 . 1 t.  t  1. 1  0  f(t) là hàm đồng biến phương trình (*) Û x=y t2. Thay y=x vào phương trình (1) ta có : 2x3-x2-1=0Û (x-1)(2x2+x+1)=0 Suy ra hÖ cã nghiÖm duy nhÊt lµ (1;1) Bµi 34: §H §µ N½ng –Khèi A log x  6x  4y   2 Giải hệ phương trình:  log y  6y  4x   2. Gi¶i: §K: x>0; x≠1; y>0, y≠1  6x  4y  x 2 6x  4y  x  6x  4y  x 2 6x  4y  x 2  x  y Hệ đã cho     x  y    2 2  2 6x  4y  x 2 6y  4x  y 2  x  y   x  y  y  2  x      y  2  x 2. HÖ ®Çu cho nghiÖm x=y=10 HÖ sau v« nghiÖm ĐS: Hệ đã cho có nghiệm (10;10) Bµi 35 : §H HuÕ- Khèi A, B, V log 2  x  y   log a  x  y   1 1 Cho hệ phương trình :  2 2.  2.  x  y  a. Với a là số dương , khác 1. Xác định a để hệ phương tình trên có nghiệm duy nhất và giải hệ trong trường hợp đó. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>