Đề thi khảo sát chất lượng các môn thi tốt nghiệp thpt quốc gia lần 2 năm học 2015 - 2016 môn: Toán – lớp 12 (thời gian làm bài: 180 phút, không kể giao đề)

<span class='text_page_counter'>(1)</span>www.MATHVN.com. Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498. Gmail: CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC . Dạng 1: Tính tích phân dạng I   f  cos x  .sin x dx đặt t  cos x  dt   sin dx . Bài tập giải mẫu:  2. 2. Bài 1: (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I   sin x cos x 1  cos x  dx 0. Giải: Cách 1: Ta có:  2. 2.  2.  2. 0. 0. I   sin x cos x 1  cos x  dx   sin x cos x 1  2cos x  cos 2 x  dx    cos x  2cos 2 x  cos 3 x  .sin xdx 0. Đặt t  cos x  dt   sin xdx x  0 t  1  Đổi cận    t  0  x  2 Khi đó 0 1  t 2 2t 3 t 4  1 17 I     t  2t 2  t 3  dt    t  2t 2  t 3  dt       3 4  0 12 2 1 0 Cách 2:.  2. 2.  2.  2. 0. 0. I   sin x cos x 1  cos x  dx   sin x cos x 1  2 cos x  cos 2 x  dx     cos x  2 cos 2 x  cos3 x  .d  cos x  0.  cos 2 x 2 cos 3 x cos 4     3 4  2.  x 17  2   0 12. Cách 3: sin xdx   dt Đặt t  1  cos x   … bạn đọc tự giải (cách này là dễ nhất) cos x  t  1 Cách 4: du   sin xdx u  cos x  3 Đặt   2 2 1  cos x   d v  sin x 1  cos x dx   1  cos x d 1  co s x       v     3 Khi đó. www.MATHVN.com. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498. www.MATHVN.com. . Gmail: .  1 12 2 12 3 3 3 I   cos x. 1  cos x  2   sin x 1  cos x  dx    1  cos x  d 1  cos x  3 30 3 30 0  2 1 17 4   1  cos x  2  3 12 12 0  2. Bài 2: Tính tích phân sau I    3. dx sin x. Giải: Cách 1: Nhân cả tử và mẫu cho sin x ta được  2. I. dx.  2.  sin x  .  3.  3.  2. sin xdx sin xdx  2 sin x  1  cos 2 x 3. Đặt t  cos x  dt   sin xdx   t  0  x  2  Đổi cận   1 x   t  2  3 Khi đó 0. 1 2. 1 2. 1 2. 1 2.  dt dt 1  1 1  1 dt 1 dt     dt       2 2 2 1  t 1  t 2 t  1 2 0 t 1 1  t   1 1 t 0 0 0. I 2. 1 1 1    ln t  1  ln t  1  2  ln 3 2 2 0 Cách 2: x 1 x  2dt 1 Đặt t  tan  dt   tan 2  1 dx  dx  2  dx  2 2 2  t 1 sin x. 1 2tdt 1 .  dt 2t 1  t 2 t 1 t2.    x  3  t  3 Đổi cận   3  x  t  1   2. www.MATHVN.com. 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> www.MATHVN.com. Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  2. 1 dx  Khi đó I    sin x 3. 1. 1  t dt   ln t  3 3. 1. Gmail: 3 1  ln 3. 3   ln 3 2 3. Cách 3: x   d  tan  dx dx dx x 2 1 2 I  dx      ln tan  ln 3 x x x x x 2  2 2  sin x    2 sin cos 2 tan cos tan 3 3 3 2 2 2 2 3 2 3 Cách 4: I.  2.  2.  2.  2. dx.  sin x  .  3. .  3.  2.  2.  2.  2. 3. 3. sin xdx sin xdx 1 1  cos x   1  cos x     d  cos x  2 2 2  1  cos x 1  cos x  sin x  1  cos x.  2.  2.  2. 3. 3. 3. 1  1 1 1 1 1 1   d 1  cos x    d 1  cos x    d  cos x      2   1  cos x 1  cos x  2  1  cos x 2  1  cos x.   1 1 1   ln 1  cos x 2  ln 1  cos x 2  ln 3  2  2 2 3 3 Cách 5: u  sin x du  cos xdx  Đặt  …. Bạn đọc tự giải nhé dx   v   cot x dv  sin 2 x  2. Bài 2: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   0. sin 2 x  sin x 1  3cos x. dx. Giải: Cách 1: Ta có: sin 2 x  sin x  sin x  2 cos x  1 . Đặt t  1  3cos x ta được dt . 3sin x. 2 1  3cos x t 1 2t  1 cos x   2 cos x  1  3 3 x  0 t  2  Đổi cận    t  1  x  2 Khi đó 2. dx . sin x 1  3cos x. dx  . 2dt ; 3. 2. www.MATHVN.com. 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> www.MATHVN.com. Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498. Gmail: 2  4t 2 2  2  2 34  4 I     dt   t 3  t   9 9 9  1 27  27 1 Cách 2: Đặt t  1  3cos x … bạn đọc tự giải Cách 3: u  2 cos x  1 du  2 sin x   Đặt  d 1  3cos x    2 sin x dx   dv  v   3 1  3cos x 1  3cos x 3 1  3cos x  Khi đó. . .  2 42 2 42 I    2 cos x  1 1  3cos x 2   sin x 1  3cos xdx    1  3cos xd 1  3cos x  3 30 3 90 0 2 8   3 27. 1  3cos x . 3.  34 2 27 0. Cách 4: Phân tích. 2 1 1  3cos x   1 2 cos x  1 1 3 3 d 1  3cos x   dx   . d 1  3cos x    . 3 1  3cos x 3 1  3cos x 1  3cos x 2 1   1  3cos xd 1  3cos x   d 1  3cos x  9 9 1  3cos x … Đến đây thì quá dễ rùi, bạn đọc tự làm nhé Chú ý: Nếu ta đặt t  cos x thì tích phân ban đầu trở thành tích phân hàm hữu tỷ lại phải đặt lần nữa mất công nên ta lựa chọn cách nào là phù hợp nhất   a. sin 2 x  b sin x a.sin 2 x  bcosx Tổng quát:  dx hoặc  dx ta đặt c  d cos x  t . c  d cos x c  d s inx   sin 2 x  sin x.  2. sin 2 x.cos x dx 1  cos x 0. Bài 3: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I   Giải: Cách 1:  2.  2. sin 2 x.cos x sin x.cos 2 x dx  2  dx 1  cos x 1  cos x 0 0. Ta có I  . dt   sin xdx Đặt t  1  cos x   cos x  t  1. www.MATHVN.com. 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> www.MATHVN.com. Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498.   t  1 x  Đổi cận  2  t  2  x  0 Khi đó 2 1 2  t  1  t2 1  I  2  dt  2   t  2   dt  2   2t  ln t t 2 2 1 Cách 2:  2.  2. Gmail: 2 t   2 ln 2  1 1.  2. 1  cos 2 x   1 sin 2 x.cos x sin x.cos x  d cos x I dx  2  dx  2     1  cos x 1  cos x 1  cos x 0 0 0 2.  2.    1 cos 2 x    2  1  cos x   ln 1  cos x  2  2ln 2  1  d  cos x    sin x  1  cos x 2    0 0 Chú ý: d  cos x   d 1  cos x  và ta có thể đặt t  cos x . Tổng quát: I   . a sin 2 x.cos x dx ta đặt t  b  c.cos x hoặc t  cos x b  c.cos x  2. 4sin 3 x dx 1  cos x 0. Bài 4: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau I   Giải:. 4 sin 3 x 1  cos x  4 sin 3 x 1  cos x  4sin 3 x Ta có    4 sin x  4 sin x cos x  4 sin x  2 sin 2 x 1  cos x 1  cos x 1  cos x  sin 2 x Cách 1:  2. 3. 4sin x Khi đó I  I   dx  1  cos x 0.  2.  0  4sin x  2sin 2 x  dx   cos 2 x  4cos x  2  2 0. Cách 2:  2 0. I.  2 0. 3. 4sin x dx   1  cos x.  2.  2.   2  4sin x  4sin x cos x dx  4  sin xdx  4  cos xd  cos x   4cos x 2  2cos x 2  2 0 0 0 0. Cách 3:  2.  2. 4 1  cos 2 x  sin x 4sin x I dx   dx 1  cos x 1  cos x 0 0 3.  dt  sin xdx Đặt t  1  cos x   cos x  t  1. www.MATHVN.com. 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498. www.MATHVN.com. Gmail:   t  1 x  Đổi cận  2  t  2  x  0 2 1 4 1   t  1  2 2  Khi đó I     dt    4t  8  dt   2t 2  8t   2 1 t 2 1 Chú ý: Có thể đặt t  cos x Cách 4:  dt dx   x 2t  Đặt t  tan  sin x  2 1 t2   1  t2 cos x   1 t2  Chú ý: Nếu ta phân tích theo hướng sau 4sin 3 x 4sin x (1  cos x )(1  cos x )   4sin x  2sin 2 x … lại có mấy cách khác, bạn đọc tự làm và khám 1  cos x 1  cos x phá nhé!  2. 4 cos3 x Tương tự I   dx  2 1  sin x 0  12. Bài 5: Tính tích phân sau I .  tan 4 xdx 0. Giải: Cách 1:  12. Ta có:.  12. sin 4 x.  tan 4 xdx   cos 4 x dx 0. 0. Đặt t  cos 4 x  dt  4sin 4 xdx  sin 4 xdx  . dt 4. x  0 t  1   Đổi cận    1  x  12 t  2  12.  12. 1 2. 1 1 sin 4 x 1 dt 1 dt 1 1 Khi đó I   tan 4 xdx   dx       ln t 1  ln 2. cos 4 x 41 t 41 t 4 4 0 0 2 2 Cách 2:. www.MATHVN.com. 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> www.MATHVN.com. Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  12. I.  12.  tan 4 xdx   0. 0. Gmail: .  sin 4 x 1 12 d  cos 4 x  1 1 dx      ln cos 4 x 12  ln 2 cos 4 x 4 0 cos 4 x 4 4 0  2. cos 3 x dx  1  sin x. Bài 6: Tính tích phân sau I   4. Giải:  2. 3.  2.  2. 2. 1  sin x  cos xdx  2. cos x cos x dx   cos xdx    1  sin x  1  sin x  1  sin x. I 4. 4.  2.  1  sin x  cos xdx.  4. 4. Đến đây ta đặt t  1  sin x Hoặc.  1 1 3 2 2   I    cos x  cos x sin x dx   cos xdx   sin 2 xdx   sin x  sin 2 x  2  2 4 4     4 4 4 4  2.  2.  2. Bài tập tự giải có hướng dẫn:  2. 3sin x  4 cos x  3 dx   ln 3 2 2 6 0 3sin x  4 cos x. Bài 1: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân: I   HD:  2. . 2 sin x cos x Tách làm hai tích phân I  3 dx  4 dx kết hợp với công thức 2 2  2 2 3sin x  4cos x 3sin x  4 cos x 0 0. sin 2 x  cos2 x  1 ta sẽ được kết quả  2. 3cos x  4sin x dx 2 2 0 3sin x  4 cos x. Cách khác: Sử dụng tích phân liên kết là J  .  3. Bài 2: (DBĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   sin 2 x.tan xdx  ln 2  0. 3 8. HD: Ta có sin 2 x. tan x  1  cos 2 x . sin x và đặt t  cos x cos x  2. sin 3 x dx  1  3ln 2 1  cos x 0. Bài 3: (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I   HD:. www.MATHVN.com. 7 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> www.MATHVN.com. Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  2. . Gmail: . 2 2 sin x 4 cos 2 x  1  dx và đặt t  1  cos x sin 3 x 3sin x  4sin 3 x Ta có I   dx   dx   1  cos x 1  cos x 1  cos x 0 0 0.  2. sin 3 x  dx   1 2 2 0 1  cos x. Bài 4: (ĐHQGHN – A 1997) Tính tích phân sau I   HD:. sin 3 x 1  cos2 x Ta có  sin x và đặt t  cos x 1  cos2 x 1  cos 2 x  2. Bài 5: Tính tích phân sau I  . sin x. x 0 sin x  2 cos x.cos 2 2. dx  ln 2. 2. HD: Ta có sin 2 x  2 cos x.cos 2. x  sin 2 x  cos x 1  cos x   1  cos x và đặt t  1  cos x 2  2. cos 2 x  dx   1 1  cos x 2 0. Bài 6: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân: I    6. sin 3 x  sin 3 3 x 1 1 dx    ln 2 1  cos 3 x 6 3 0. Bài 7: Tính tích phân: I  . HD: Phân tích sin 3x  sin 3 3x  sin 3x 1  sin 2 3 x   sin 3x.cos 3x và đặt t  1  cos 3 x  2. Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau: I   ecos x sin 2 xdx  2 0. HD: Sử dụng công thức nhân đôi sin 2 x  2 sin x cos x và đặt t  cos x  4. 1. Bài 9: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau: I    tan x  esin x cos x dx  ln 2  e. 2. 1. 0. HD: Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản  2. Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau: I    esin x  cos x  cos xdx  e  0.  1 4. HD: Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản  2. Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân sau: I   0. sin 2 x dx 4  cos 2 x. www.MATHVN.com. 8 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> www.MATHVN.com. Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  3. Bài 12: Tính tích phân sau: I  . 2sin 2 x  sin x 6 cos x  2. 0. Gmail: dx. HD: Đặt t  6 cos x  2 hoặc t  6 cos x  2  4.  4. 1  cos 2 x  sin x  4sin x Bài 13: (HVKTQS – 1996) Tính tích phân sau: I   dx  4  dx 4 1  cos 4 x 0 1  cos x 0 HD: Đặt t  cos x  2. cos x. Bài 14: Tính tích phân sau: I  . 1  cos 2 x. 0. dx . 3.  4. HD: Phân tích 1  cos 2 x  2  sin 2 x từ đó đặt t  sin x  2. sin 4 x 3 dx  2  6 ln 2 4 0 1  cos x. Bài 15: Tính tích phân sau I   HD: Phân tích. sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x  và đặt t  3  cos 2 x hoặc t  cos 2 x 2 1  cos 2 x 1  cos x 1 2 b. Dạng 2: Tính tích phân dạng I .  f sin x .cos xdx. đặt u  sin x  du  cos xdx. a. Để tính tích phân dạng. . a.sin 2 x  b.sin x c  d .cos x. dx ta đổi biến bằng cách đặt t  c  d .cos x. Bài tập giải mẫu:  4. 1  2sin 2 x Bài 1: (ĐH – B 2003) Tính tích phân sau I   dx 1  sin 2 x 0 Giải: Cách 1:  4. Ta có I . 2. 1  2sin x.  4. cos 2 x.  1  sin 2 x dx   1  sin 2 x dx 0. 0. Đặt 1  sin 2 x  t  cos 2 xdx . dt 2. www.MATHVN.com. 9 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> www.MATHVN.com. Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498. Gmail:   t  2 x  Đổi cận  4  t  1  x  0 2 2 1 1 dt 1 Khi đó I    ln t  ln 2 1 2 21 t 2 Hoặc đặt sin 2x  t Cách 2:  4.  4. . '  cos 2x 1 1  sin 2 x  1 4 d (1  sin 2 x ) 1 1 I dx   dx    ln 1  sin2 x  4  ln 2 1  sin 2 x 2 0 1  sin 2 x  2 0 1  sin 2 x 2 2 0 0 Cách 3: 2 Biến đối 1 – 2 sin 2 x   cos x  sin x  cos x – sin x  và 1  sin 2 x   cos x  sin x .  4.  4.  4.  d  cos x  sin x  1  2sin x cos x  sin x 1 I dx   dx    ln cos x  sin x 4  ln 2 1  sin 2 x cos x  sin x cos x  sin x 2 0 0 0 0 Hoặc đặt t  sin x  cos x 2.  3. Bài 2: Tính tích phân sau I 2 .  0. cos x 2  cos 2 x. dx. Giải: Đặt t  sin x  dt  cos xdx t  0 x  0   Đổi cận    3 x  t   3  2  3. Khi đó I 2 .  0. cos x 2  cos 2 x. 3 2. dx .  0. dt 3  2t. 2. . 1 2. 3 2.  0. dt 3 2 t 2. 3 3 cos u  dt   sin udu 2 2   t  0 u    2 Đổi cận  3  t  u    2  4 Khi đó Đặt t . www.MATHVN.com. 10 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> www.MATHVN.com. Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498. I. 1 2. 3 2. dt. . 3 2 t 2. 0. . 3 sin udu 2.  2. 1.  2  4. 3 1  cos 2 u   2. .  2.  4. 1. Gmail: 1.  du  2. 2.  4. . u.  4 2.  4. Chú ý:. 3 cos u thì bài toán sẽ nhanh hơn 2. Ta có thể dùng một bước đặt là sin x  Bài 3: Tính tích phân sau I  . cos 3 x dx sin x. Giải: 3. cos 3 x 4 cos x  3cos x I dx   dx   sin x sin x.  4 cos. 2. x  3. sin x.  2. .cos xdx   0. 4 1  sin 2 x   3 sin x. .d  sin x  . 1  1 2     4 sin x  d  sin x   4. sin x  ln  sin x   C sin x  2  Hoặc đặt t  sin x  2. 2. Bài 4: Tính tích phân sau I   esin x sin 2 xdx 0. Giải: Đặt t  sin 2 x  dt  sin 2 xdx x  0 t  0  Đổi cận    t  1  x  2  2. 1 sin 2 x. Khi đó I   e. sin 2 xdx   et dt  et. 0.  2. Hoặc I   e 0. 0. sin 2 x.  2. sin 2 x. sin 2 xdx   e. 1  e  1. 0 sin 2 x. d  sin x   e 2. 0.  2  e 1 0. Bài tập tự giải và có hướng dẫn  2. Bài 1: (Bộ đề 96) Tính tích phân sau I   0. cos x 2  cos 2 x. dx. HD: Ta có 2  cos 2 x  3  2sin 2 x và đặt t  sin x Bài 2: (CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006) Tính tích phân sau. www.MATHVN.com. 11 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  2. 3. I   sin 2 x 1  sin 2 x  dx  0. www.MATHVN.com. Gmail: 15 4. HD: 3. 3. Ta có sin 2 x 1  sin 2 x   2sin x 1  sin 2 x  cos x và đặt t  sin x  4. x  Bài 3: Tính tích phân sau I   1  tan x.tan  sin xdx 2 0 HD: x x x 2sin cos sin x 2 2. 2 .sin x  sin x .sin 2 x  1  cos x .sin x và đặt t  cos x Ta có tan x. tan .sin x  x 2 cos x cos x 2 cos x cos 2 2  1 Đs: I  1    ln 2 2 4 2  2. Bài 4: (ĐHĐN – 1998) Tính tích phân sau I   0. cos x 1  cos 2 x. dx .  4. HD: Phân tích 1  cos2 x  1  1  sin 2 x  2  sin 2 x và đặt t  2  sin 2 x hoặc t  2  sin 2 x  2. Bài 5: (ĐHBKHN – 1998) Tính tích phân: I   cos 2 x  sin 4 x  cos 4 x  .dx  0 0. HD: 1 Phân tích sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x và đặt t  sin 2 x 2  2. Bài 6: (TN – KHP 2005) Tính tích phân sau: I   0. sin 2 x 4 dx  ln 2 3 4  cos x  2. sin x cos 3 x dx 2 0 1  cos x. Bài 7: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau: I  .  6. Bài 8: (CĐSP HCM – 1997) Tính tích phân sau: I   0.  2. Bài 9: (CĐHQ – 1999) Tính tích phân sau I   0. cos xdx 10  ln 2 9 6  5sin x  sin x. cos x 7  cos 2 x. dx .  6 2.  2. cos xdx 2 0 11  7sin x  cos x. Bài 10: (CĐHQ HCM – 1999) Tính tích phân sau I  . www.MATHVN.com. 12 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> www.MATHVN.com. Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  2. Bài 9: Tính tích phân I   6 1  cos3 x .sin x.cos 5 xdx  0. Gmail: 12 91. HD: t  6 1  cos3 x  cos3 x  1  t 6 . Hoặc t  1  cos3 x b. Dạng 3: Tính tích phân dạng I   a.  sin 2 x  sin 2 x  du  sin 2 xdx f   2  sin 2 xdx đặt u   2   cos x  du  sin 2 xdx   cos x . Bài tập giải mẫu:  2. sin 2 x dx 2 0 1  cos x. Bài 1: Tính tích phân sau I  . Giải: Đặt t  1  cos2 x  dt   sin 2 xdx  sin 2 xdx   dt x  0 t  2  Đổi cận    t  1  x  2  2. 1 2 2 sin 2 x dt dt dx     ln t  ln 2. 2   t 1 t 1 0 1  cos x 2. Khi đó I   Hoặc  2.  2.  d 1  cos 2 x  sin 2 x 2 I dx      ln 1  cos x 2  ln 2 2 2 1  cos x 1  cos x 0 0 0  4. sin 4 x dx 2 0 1  cos x. Bài 2: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I   Giải:  4. Ta có:.  4. sin 4 x.  1  cos 0. 2. x. dx   0. 2sin 2 x cos 2 x dx 1  cos 2 x. 2. Đặt t  1  cos x  dt  2sin x cos xdx   sin 2 xdx và cos 2 x  t  1  cos 2 x  2 cos 2 x  1  2  t  1  1  2t  3 x  0 t  2   Đổi cận    3  x  4 t  2 Khi đó. www.MATHVN.com. 13 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> www.MATHVN.com. Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 3 2. I. 2  2t  3 dt. 2. t. Gmail: 3 2. 2 2 6 6 4      4  dt    4  dt   4t  6 ln t  3  2  6 ln t t 3 3 2 2 2. Cách khác:  4.  4.  4.  4. 2 1  cos x   3 sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x 2cos x  1 2 I dx  dx   2 d 1  cos x   2 d 1  cos 2 x    2  2  2  2 1  cos x 1  cos x 0 1  cos x 0 0 1  cos x 0  4.  4. 2. 2.  4  8 sin xd  sin x   6   4sin x  6ln 1  cos x 4  2  6ln 2 3 1  cos x 0 0 0 sin 4 x 2sin 2 x.cos 2 x sin 2 x.cos 2 x Hoặc phân tích  4 và đặt t  3  cos 2 x 2 1  cos 2 x 3  cos 2 x 1  cos x 1 2 d 1  cos 2 x . . 2.  2. . 2. 3. Bài 3: Tính tích phân sau I   sin 2 x 1  sin 2 x  dx 0. Giải: Đặt t  1  sin 2 x  dt  2sin x cos xdx  sin 2 xdx x  0 t  1  Đổi cận    t  2  x  2  2. 2. t4 2 1 15 Khi đó I   sin 2 x 1  sin x  dx   t dt   4  41 4 4 0 1 Cách khác: 3. 2.  2. 3. I   sin 2 x 1  sin x  dx  2. 0. 3.  2. 1  sin x   2. 3.  1  sin x  d 1  sin x  2. 2. 0.  2. Bài 4: (ĐH – A 2006) Tính tích phân sau: I   0. 4. sin 2 x 2. 4. 2.  15 2 4 0. dx. cos x  4sin x. HD: Cách 1: Phương pháp phân tích kết hợp biến đổi số  2. I. .  2. sin 2 x 2. 2. dx  . sin 2 x 2. dx. 1  sin x  4sin x 1  3sin x 0 dt Đặt t  1  3sin 2 x   sin 2 xdx 3 0. www.MATHVN.com. 14 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498. www.MATHVN.com. Gmail:   t  4 x  Đổi cận  2  t  1  x  0 4 4 1 4 2 1 dt 1  2 2 Khi đó I     t dt  t  31 t 31 3 1 3 Hoặc đặt t  1  3sin 2 x Chú ý: Không cần biến đổi mà có thể đặt luôn t  cos 2 x  4 sin 2 x hoặc t  cos 2 x  4sin 2 x Cách 2:  2. I.  2. sin 2 x. . 2. dx . 2. 1  sin x  4 sin x  2 2 2  1  3sin x 2  3 3 0 Cách 3: 0. .  0. . 12 dx   1  3sin 2 x 30 1  3sin 2 x sin 2 x. . . . 1 2. . d 1  3sin 2 x. . .  2. Ta có I .  2. sin 2 x. . dx  . sin 2 x. 1  cos 2 x 1  cos 2 x 5  3cos 2 x 0 0 4 2 2 2 5  3cos 2 x 5  3cos 2 x Và đặt t  hoặc t  2 2  2. Tổng quát: Để tính I =. sin x cos xdx. . 2. a cos2 x  b 2 sin 2 x. 0. Ta đặt: u =. 2. dx. với a, b  0. 2. a cos x  b 2 sin 2 x  2. Bài 5: Tính tích phân sau I   0. sin x cos xdx 4cos 2 x  9sin 2 x. HD : Đặt u = 4 cos 2 x  9 sin 2 x  u2 = 4cos 2 x  9 sin 2 x  udu  5sin x cos xdx Khi đó 3. I .  2. 1 udu 1 .  u 5 u 5. 3 2. . 1 5 . Bài 6: (ĐHTCKTHN - 95) Tính tích phân sau I . 2.  0. sin x.cos x b2 cos 2 x  c 2 sin 2 x. dx. HD:. www.MATHVN.com. 15 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> www.MATHVN.com. Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 . 1 Nếu b 2  c 2  b  c thì I  2b 2. 2. 1.  sin 2 xdx  2 b. Gmail: ;. 0. 2. 2. 2. 2. Nếu b  c  b  c thì đặt t  b cos x  c sin. 2. c x . Khi đó dt . 2.  b 2  sin x.cos x.dx. b 2 cos 2 x  c 2 sin 2 x. 1 bc. và tính được I .  2. sin x cos x. Bài 7: Tính tích phân sau I  . a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x. 0. dx. Giải: Cách 1:  2.  2. sin x cos x. Ta có I  . sin x cos x. dx  . a 2 cos 2 x  b 2 sin 2 x. 0.  2. a 2 1  sin 2 x   b 2 sin 2 x. 0. dx   0. sin x cos x.  b2  a2  sin 2 x  a 2. dx. 2tdt  2  b 2  a 2  sin x cos xdx  Đặt t   b 2  a 2  sin 2 x  a 2  t 2   b 2  a 2  sin 2 x  a 2   tdt sin x cos xdx  2 b  a2    x  t  b Đổi cận  2   x  0 t  a b. b ba tdt 1 1  2 .t  2  2 2 2 b a ab a b a a t b  a . Khi đó I  . 2. Cách 2: Đặt t  a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x  dt  2( b 2  a 2 ) sin x cos xdx. x  0  t  a2  Đổi cận   2 x   t  b  2 Nếu a  b  2. Khi đó I   0. sin x.cos x a 2 .sin x  b 2 .cos x. dx . b2. 1 2 b2  a 2. . a2. dt. 1  2 t 2 t b a. b2.  a2. ab 2. b a. 2. . 1 ab. Nếu a  b  2. Khi đó I   0.  2. sin x.cos x 2. 2. 2. 2. a .sin x  b .cos x.  2.  2. sin x.cos xdx 1 1 1  sin 2 xdx   cos 2 x   a 2a 0 4a 2a 0 0. dx  . Bài tập tự giải có hướng dẫn:. www.MATHVN.com. 16 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> www.MATHVN.com. Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498. Gmail:  4. sin 4 x 4 dx  ln 2 6 3 0 sin x  cos x. Bài 1: (ĐHNT – 2001) Tính tích phân sau I  . 6. HD:. sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x 3  và đặt t  sin 2 x hoặc t  1  sin 2 2 x 6 3 4 sin x  cos x 1  sin 2 2 x 4   14 1 1 3 2 4  3 2  Hoặc I   d  1  sin 2 x    ln 1  sin 2 x 4  ln 2 3 30 4 3 4 3  1  sin 2 2 x  0 4 Phân tích. 6.  4. Bài 2: Tính tích phân sau: I   0. e tan x dx cos 2 x. HD: Đặt t  tan x 3 8. Bài 3: (Đề 104) Tính tích phân sau: I .  sin.  8 3 8. Cách 2: Phân tích I  4   8. Cách 3: Đặt t  tan. 2. dx  x cos 2 x. 3 8. . 1.   cos  8. 2. x. . 1  dx  4 sin 2 x . dx sin 2 2 x. x 2 . Dạng 4: Tính tích phân dạng I   f  tan x  . 1 1 dx đặt u  tan x  du  dx  1  tan 2 x  dx 2 cos x cos 2 x. . . . Hoặc: I   f  tan x  1  tan 2 x dx đặt u  tan x  du  . 1 dx cos 2 x. Bài tập giải mẫu:  4. dx 1  tan x 0. Bài 1: Tính tích phân sau I   Giải: Đặt t  tan x  dt . 1 dt dt dx  1  tan 2 x  dx  dx   2 2 cos x 1  tan x 1  t 2. www.MATHVN.com. 17 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> www.MATHVN.com. Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498. Gmail: x  0 t  0  Đổi cận    t  1  x  4 1  dt 1 t 1  1 1 dt 1 1 tdt 1 1 dt   Khi đó I     dt       2 2 1  t  2 1  t 2   2 01 t 2 0 t2  1 2 0 t2 1 0 1  t  1  t  0         1. J1. J2. J3. 1. Tính: J1 . 1 ln 2 1 dt 1  ln t  1   2 0 t 1 2 0 2. 2 1 1 1 ln 2 1 tdt 1 d  t  1 1 Tính: J 2   2   2  ln t 2  1  2 0 t 1 4 0 t 1 4 0 4.  4. 1. Tính: J 3  Vậy I . 1 dt 1    du  (với t  tan u )  2 2 0 t 1 2 0 8. ln 2 ln 2   ln 2     2 4 8 8 4. Cách 2:. 1 cos x 1  cos x  sin x    cos x  sin x    . 1  tan x sin x  cos x 2 sin x  cos x    14 1 4 d  sin x  cos x  1  1 Khi đó I   dx     x  ln sin x  cos x  4   ln 2 20 2 0 sin x  cos x 2 8 4 0 Phân tích. Hoặc: Sử dụng đồng nhất thức cos x  A  cos x  sin x   B  cos x  sin x  đồng nhất hai vế tìm A và B  4. Bài 2: Tính tích phân I . sin 2 x.  cos x  tan 4.   4. 2. x  2 tan x  5 . dx. Giải:  4. Phân tích I .  4. 2. sin x.  cos x  tan 4. 2.   4. Đặt t  tan x  dt . x  2 tan x  5 . dx .   tan. tan 2 x 2.   4. x  2 tan x  5  .cos 2 x. dx. 1 dx cos 2 x.    x  4 t  1 Đổi cận   t  1 x     4 Khi đó. www.MATHVN.com. 18 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498. Gmail:  2t  2  t2 dt 1 t 2  2t  5 dt  1 dt  1 t 2  2t  5dt  31  t  12  4 1. I. www.MATHVN.com. 1. .  t  ln t 2  2t  5 1. Tính I1 . 1. 1.  1  3 I. 1. 1.  2  5 ln 2  3I1. dt.   t  1. 2. 1. 4. Đặt t  1  2 tan u  dt  2  tan 2 u  1 du. 0 1 0 1  Khi đó I1   du  du  u    2 2  2  8  4  tan u  1   4 4 4 3 Vậy I  2  5 ln 2  8 0. 2  tan 2 u  1.  4. 1 dx 4 cos x 0. Bài 3: Tính tích phân sau I   Giải: Cách 1:  4.  4. 1 1 1 dx   . dx 4 2 2 cos x cos x cos x 0 0 1 Đặt t  tan x  dt  dx cos 2 x x  0 t  0  Đổi cận    t  1  x  4 Ta có I  .  4. Khi đó I   0. 1  t3  1 4 1 2 dx  1  t dt  0    t  3  0  3. cos 4 x. Cách 2:  4.  4. 1 1 I dx   1  tan 2 x  dx  4 cos 2 x 0 cos x 0.  4.   tan 3 x  4 0 1  tan x  d  tan x    tan x  x  4  3 0 2. Cách 3:. 1 sin 2 x  cos 2 x sin 2 x 1 tan 2 x 1      4 4 4 2 2 cos x cos x cos x cos x cos x cos2 x … đến đây thì quá dễ rùi phải không Cách 4: Phân tích. www.MATHVN.com. 19 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> www.MATHVN.com. Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498. Gmail: 1  u  cos 2 x Đặt  … Mời bạn đọc tự làm, dễ thôi mà dv  1 dx  cos 2 x Hoặc : Đặt t  tan x  4. Bài 4: Tính tích phân sau I   tan 6 xdx 0. Giải: Cách 1: Đặt t  tan x  dt   tan 2 x  1 dx  dx . dt 1 t2. x  0 t  0  Đổi cận    t  1  x  4 Khi đó  4.  1. 1. 6. 1. 4 t 5 t 3  t dt 1  13   I   tan 6 xdx   2   t4  t2  1 2 dt     t    du    15 4 t 1 5 3 0 0 0 0 t 1 0 Cách 2: Phân tích tan 6 x   tan 6 x  tan 4 x    tan 4 x  tan 2 x    tan 2 x  1  1  tan 4 x  tan 2 x  1  tan 2 x  tan 2 x  1   tan 2 x  1  1   tan 4 x  tan 2 x  1. 1 1 cos 2 x. Khi đó  4. .  4  tan 5 x tan 3 x  1 13  4 2 I    tan x  tan x  1 dx   dx     tan x  x  4   2 3 cos x  5  0 15 4 0 0  4. Bài 5: Tính tích phân sau I   tan 3 xdx 0. Giải: t  tan x  dt  1  tan 2 x  dx  1  t 2  dt  dx . dt t 1 2. x  0 t  0  Đổi cận    t  1  x  4 Khi đó. www.MATHVN.com. 20 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>