Đề tài Các phƣơng pháp giải các bài toán đại số tổ hợp

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp. MỤC LỤC Trang Lời nói đầu. 3. Chương I. Khái niệ m mở đầu A. Cơ sở lí thuyết B. Phƣơng pháp giải toán Vấn đề 1: Dùng Qui tắc nhân Vấn đề 2: Dùng Qui tắc cộng. 4 4 4 4 4. Chương II. Chỉnh hợp – Hoán vị A. Cơ sở lí thuyết B. Phƣơng pháp giải toán Vấn đề 1: Nhận diện bản chất của vấn đề là chỉnh hợp khi yếu tố thứ tự là cốt lõi Vấn đề 2: Xếp dặt n phần tử của một hoán vị Vấn đề 3: Chứng minh một tính chất liên quan đến A rn và Pn. 6 6 7 7 9 10. Chương III. Tổ hợp – Nhị thức Newton A. Cơ sở lí thuyết B. Phƣơng pháp giải toán Vấn đề 1: Nhận diện bản chất vấn đề là tổ hợp khi yếu tố thứ tự không quan hệ Vấn đề 2: Sử đụng quy tắc tƣơng ứng Các sai lầm thƣờng gặp khi giải toán đại số tổ hợp Vấn đề 3: Chứng minh một hệ thức bằng cách nêu ý nghĩa tổ hợp của vấn đề Vấn đề 4: Chứng minh một hệ thức các Cnk. 16 16 17 17 22 25 26 28. Vấn đề 5: Chứng minh một hệ thức bậc hai của Cnk. 30. Vấn đề 6: Phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa C Vấn đề 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Vấn đề 8: Tìm hệ số của một luỹ thừa trong một biểu thức khai triển Vấn đề 9: Tính tổng các Cnk. 32 34 36 39. Vấn đề 10: Tính các tổng Cnk bằng phƣơng pháp đạo hàm và tích phân. 41. k n. Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn. 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp. LỜI NÓI ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là môn khoa học có nhiều lợi thế để phát triển trí tuệ cho học sinh. Trong quá trình giảng dạy môn toán, việc đƣa ra những phƣơng pháp giải cho từng dạng toán giúp cho việc giải các bài toán đó trở nên dễ dàng và ngắn gọn hơn. Từ đó tạo sự hứng thú và say mê cho học sinh khi học tập môn toán. Trong chƣơng trình toán ở trƣờng THPT, đại số tổ hợp là một nội dung khó đối với học sinh. Các bài toán dễ sai khi xét thiếu tình huống, xét tình huống bị trùng lặp hau không thấy đƣợc đây là bài toán chỉnh hợp hay tổ hợp … Tuy nhiên, các bài toán dạng này thƣờng gắn liền với thực tiễn và rất thực tế, nên thƣờng gây đƣợc sự hứng thú trong học tập cho học sinh. Chính vì vậy, việc hƣớng dẫn và đƣa ra phƣơng pháp giải cho các bài toán đại số tổ hợp là hết sức cần thiết. Nó đòi hỏi ngƣời giáo viên phải không ngừng nâng cao trình độ và khả năng sƣ phạm của mình. Vì những lí do này tôi đã chọn đề tài về các phƣơng pháp giải các bài toán đại số tổ hợp cho sáng kiến kinh nghiệm của mình. Tôi mong rằng với sáng kiến này sẽ là một tài liệu thiết thực cho giáo viên và học sinh khi học về đại số tổ hợp, góp phần giúp các em đạt kết quả cao trong các kì thi Tú tài và tuyển sinh vào các trƣờng Cao đẳng hay Đại học. 2. Mục đích, nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu: Phát hiện và hệ thống hóa những phƣơng pháp để giải các bài toán đại số tổ hợp ở trƣờng THPT. 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm hiểu và đƣa ra các phƣơng pháp giải các nội dung chính của phần đại số tổ hợp. 2.3 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 11 và 12 khi học về phần đại số tổ hợp, cách tính đạo hàm và tích phân của hàm số (tùy mức độ nhận thức của học sinh). 3. Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lý luận: SGK và các tài liệu tham khảo liên quan đến đại số tổ hợp. 4. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm: Mở đầu Chƣơng I: Khái niệm mở đầu. Chƣơng II: Chỉnh hợp – hoán vị. Chƣơng III: Tổ hợp – Nhị thức Newton Kết luận sáng kiến kinh nghiệm. Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn. 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp. Chương I. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT I. BỘ SẮP THỨ TỰ GỒM n PHẦN TỬ Một dãy số hữu hạn gồm n phần tử viết dƣới dạng (a1 , a2 ,…, ak ,…, an ) gọi là một bộ sắp thứ tự gồm n phần tử hay gọi tắt là bộ n sắp thứ tự II. QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM. 1. Qui tắc nhân của phép đếm Giả sử một hành động H gồm nhiều giai đoạn liên tiếp A, B, C,…Nếu ta có m cách khác nhau để thực hiện giai đoạn A, một khi đã thực hiện xong A ta có n cách thực hiện giai đoạn B, một khi đã thực hiện xong B ta có p cách thực hiện giai đoạn C …thì ta có tất cả m n p... cách chọn để thƣc hiện hành động H.. 2. Qui tắc cộng của phép đếm Nếu r tập hợp A1 , A2 ,… Ar đôi một rời nhau lần lƣợt có số phần tử là n1 , n2 ,… nr thì phần hợp của các tập hợp này có số phần tử là n1 + n2 +… + nr .. B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1:. Dùng Qui tắc nhân. Để tính số cách xảy ra của một hành động phức tạp ta phân tích hành động đó thành các gia i đoạn đơn giản và áp dụng qui tắc nhân của phép đếm.. Ví dụ 1. Trong vòng đấu loại của một cuộc thi cờ vua có 2n ngƣời tham dự. Mỗi ngƣời chơi đúng một bàn với ngƣời khác. Chứng minh rằng có 1.3.5…(2n -1) cách sắp đặt. GIẢ I. Xét n đấu thủ (cầm quân trắng chẳng hạn) • Với ngƣời chơi thứ nhất, có 2n – 1 cách chọn đấu thủ của anh. Còn lại 2n – 2 ngƣời chƣa đấu, nên • Với ngƣời chơi thứ hai, có 2n – 3 cách chọn đấu thủ của anh. Còn lại 2n – 4 ngƣời chƣa đấu • Với ngƣời chơi thứ ba, có 2n – 5 cách chọn đấu thủ của anh ……………….. • Với ngƣời thứ n chỉ có 1 cách chọn đối thủ duy nhất còn lại Vậy có 1.3.5… (2n – 1 ) cách sắp đặt cuộc thi.. Vấn đề 2:. Dùng Qui tắc cộng. Nếu công việc thứ nhất có thể thực hiện theo m cách , công việc thứ hai có thể thực hiẹn theo n cách và hai công việc này không thể đồng thời thực hiện thỉ có m + n cách để thực hiện một trong hai công việc.. Ví dụ 1. Nếu thƣ viện có 85 quyển sách Toán và 63 quyển sách Lí thì một học sinh có 85 + 63 = 148 cách để mƣợn một quyển Toán hoặc Lí từ thƣ viện. Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn. 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp. Ví dụ 2. Trong 2006 năm qua có bao nhiêu năm không phải là năm Tuất ? GIẢ I. Lấy năm Tuất 2006 làm mốc thời gian (t = 0) rồi ngƣợc dòng thời gian trở về quá khứ thì khi 2006 số năm là bội của 12 là năm Tuất . Ta có tất cả = 167 năm Tuất 12 Còn lại 2006 – 167 = 1839 năm không phải là năm Tuất. BÀI TẬP 1.1 Có bao nhiêu số chẵn , lớn hơn 5000 , gồm 4 chữ số khác nhau . HD : Chữ số hàng ngàn 5 và chữ số hàng đơn vị là chẵn. + Có 3.5.8.7 = 840 số chẵn bắt đầu bằng chữ số lẻ. + Có 2.4.8.7 = 448 số chẵn bắt đầu bằng chữ số chẵn. Vậy tổng cộng có 1288 số. 1.2 Giả sử p1 , p 2 ,..., p n là các số nguyên tố khác nhau. Hỏi có bao nhiêu ƣớc số của số. q. p1k1 . p2k2 ... pnkn .. ĐS : (k 1. + 1) (k2 + 1 )… (kn + 1) .. 1.3 Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập đƣợc bao nhiêu: a) Số tự nhiên gồm có ba chữ số khác nhau; b) Số tự nhiên gồm có hai chữ số khác nhau; c) Số tự nhiên. ĐS: a) 6 số; b) 6số; c) 15 số. 1.4 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 2 chữ số khác nhau đƣợc thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hướng dẫn: Gọi số cần tìm có dạng ab . Xét các trƣờng hợp của b ta có 13 số. 1. 5 Có tất cả bao nhiêu số có thể thành lập từ các chữ số 2,4,6,8 nếu a) Số đó nằm từ 200 đến 600 b) Số đó gồm 3 chữ số c) Số đó gồm 3 chữ số khác nhau. ĐS : a) 32 b) 64 c) 24. 1.6 Có bao nhiêu số khác nhau nhỏ hơn 2.10 ĐS. 8. chia hết cho 3 có thể viết bởi các chữ số 0, 1, 2.. : 4373.. Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn. 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp. Chương II. CHỈNH HỢP - HOÁN VỊ a. CƠ SỞ LÍ THUYẾT I. KHÁI NIỆM VỀ GIAI THỪA 1. Định nghĩa : Với n , n 1 Tích của n số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n đƣợc gọi là n - giai thừa. Ký hiệu: n! n! 1.2...n * Quy ƣớc: 0! = 1 và 1! = 1. 2. Tính chất * n! (n 1)!.n. *. n! (k 1)(k 2)...n (n k ) k!. *. n! (n k 1)(n k 2)...n (n k )!. II. CHỈNH HỢP. 1. Định nghĩa Cho một tập A có n phần tử. Một chỉnh hợp n chập r (r tự gồm r phần tử khác nhau lấy ra từ n phần tử đã cho.. n) của n phần tử là một bô sắp thứ. 2. Tính chất Hai chỉnh hợp n chập r của n phần tử là khác nhau nếu - Hoặc chúng có ít nhất một phần tử khác nhau - Hoặc chúng gồm r phần tử nhƣ nhau nhƣng sắp xếp theo thứ tự khác nhau. 3. Số chỉnh hợp chập r của n phần tử là A rn = n(n – 1)(n – 2) ... (n – r + 1). n! (n k )!. bằng tích của r số nguyên dƣơng liên tiếp III. HOÁN VỊ. 1. Định nghĩa Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách xếp đặt thứ tự n phần tử đó (nghĩa là một chỉnh hợp n chập n ).. 2. Số cách hoán vị n phần tử là Pn = n! (nghĩa là bằng tích của n số dƣơng đầu tiên ). Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn. 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp. B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1:. Nhận diện bản chất của vấn đề là chỉnh hợp khi yếu tố thứ tự là cốt lõi. Ví dụ 1. Cho một đa giác lồi có 15 cạnh. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 với điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của đa giác? GIẢ I. Đa giác lồi có 15 cạnh nên có 15 đỉnh, hai đỉnh thì luôn phân biệt nhau và cứ 3 đỉnh thì không thẳng hàng. Do đó ta lấy 2 điểm tuỳ ý trong 15 điểm thì số vectơ lập đƣợc là một chỉnh 15! hợp chập 2 của 15 phần tử. Vậy số vectơ là: A152 15.14 210 (vectơ) (15 2)!. Ví dụ 2. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số với ba chữ số khác 0 cho trƣớc. GIẢ I. Mỗi số có r chữ số là một chỉnh hợp chập r của 3 số đã cho (r số , A 32 số với 2 chữ số , A. 3 3. 3). Vậy có A 13 số với 1 chữ. số với 3 chữ số . Tổng cộng có. A 13 + A 32 + A 33 = 3 + 3.2 + 3.2.1 = 15 số .. Ví dụ 3. Trong một trƣờng đại học, ngoài các môn học bắt buộc, có 3 môn tự chọn, sinh viên phải chọn ra 2 trong 3 môn đó, một môn chính và một môn phụ. Hỏi có mấy cách chọn? GIẢ I. Số cách chọn là chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử.Vậy có : A 32 = 3.2 = 6 cách chon.. Ví dụ 4. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập đƣợc bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau. GIẢ I. - Ta sẽ chọn đƣợc một số nhƣ vậy bằng cách chọn một trong 3 chữ số chẵn 0, 2, 4 làm chữ số hàng đơn vị rổi ghép với một chỉnh hợp chập 4 của 5 chữ số chƣa dùng đến có 3.A 54 số nhƣ vậy. - Nhƣng ta phải loại các số bắt đầu bằng 0, số nhƣ vậy đƣợc lập bằng cách chọn một trong hai số chẵn 2, 4 làm đơn vị rồi ghép thêm một chỉnh hợp chập 3 của 4 số khác 0 chƣa dùng đến, và cuối cùng đặt số 0 trƣớc 4 số đó có 2.A 34 số nhƣ vậy. - Vậy có 3.A 54 – 2.A 34 = 5.4.32 .2 – 4.3.22 = 312 số.. Ví dụ 5. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đƣợc bao nhiêu số, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5, GIẢI. - Ta sẽ đƣợc một số nhƣ vậy bằng cách lấy một chỉnh hợp chập 4 của 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 6 rồi thêm chữ số 5 vào một vị trí bất kì Có 5A 64 số nhƣ vậy. - Nhƣng ta phải loại các số bắt đầu bằng 0, một số nhƣ vậy đƣợc thành lập bằng cách lấy một chỉnh hợp chập 3 của 5 chữ số 1, 2, 3, 4,6 rổi xen chữ số 5 vào một vị trí bất kì và cuối cùng đặt chữ số 0 trƣớc 4 chữ số đó Có 4A 35 số nhƣ vậy. - Vậy ta có 5A 64 – 4A 35 = 6.52 .4.3 – 5.42 .3 = 1560 số. Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn. 7 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp BÀI TẬP 2.1 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập đƣợc bao nhiêu số có 4 chữ số trong đó a) Có một chữ số 1. b) Có chữ số 1 và các chữ số dều khác nhau. HD & ĐS :. a) Có cả thảy 4.73 = 1372 số trong đó có 3.72 = 147 số bắt đầu bằng 0. Còn lại 1372 – 147 = 1225 số. b) Có tất cả 4A = 840 số trong đó có 3A = 90 số bắt đầu bằng 0. Còn lại 840 – 90 = 750 số.. 2.2 Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau. 4 HD & ĐS : A 10 – A 39 = 4536. 2.3 Từ sáu chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9 a) Có bao nhiêu gồm 3 chữ số khác nhau có thể tạo ra ? b) Trong đó có bao nhiêu số nhỏ hơn 400 ? c) Có bao nhiêu số chẵn ? d) Có bao nhiêu số lẻ ? e) Có bao nhiêu số là bội số của 5 ? ĐS : a) A 36 = 120 b) 2A 52 = 40 c) 2A 52 = 40 d) 120 – 40 = 80. e) 1A 52 = 20. 2.4 Tìm tất cả các số nguyên dƣơng có 3 chữ số khác nhau a) Có bao nhiêu số lớn hơn 700 ? b) Có bao niêu số lẻ ? c) Có bao nhiêu số chẵn ? d) Có bao nhiêu xố chia hết cho 5 ? ĐS : a) 3.8.9 = 216 b) 8.8.5 = 320 c) 9.8.1 + 8.8.4 = 256 d) 9.8.1 + 8.8.1 = 136. 2.5 Xét các biển số xe là dãy gồm 2 chữ cái đứng đầu và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái đƣợc lấy từ 26 chữ cái A, B, …, Z. Các chữ số đƣợc lấy từ 0, 1, …, 9. a) Có bao nhiêu biển số trong đó có ít nhất 1 chữ cái khác chữ O và các chữ số đôi một khác nhau b) Có bao nhiêu biển số có 2 chữ cái khác nhau đòng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó khác nhau. ĐS a) 3 420 000 biển số b) 487 500 biển số. 2.6 Có bao nhiêu số dƣơng bé hơn 1000 mà mỗi số đều có các chữ số đôi một khác nhau. ĐS : 738 số. 2.7 Từ X = {0, 1, 3, 5, 7} có thể lập đƣợc bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 ĐS : 54 số. 2.8 Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đƣợc bao nhiêu số chẵn mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau. ĐS : 1260 số.. Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn. 8 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp. Vấn đề 2:. Xếp dặt n phần tử của một hoán vị. Ví dụ 1. Từ 3 chữ số 1, 2, 3 có thể tạo dƣợc bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau ? GIẢ I. Mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau tạo ra từ 1, 2, 3 là một hoán vị của 3 phần tử. Vậy có : P3 = 3! = 6 số. (các số đó là : 123, 132, 213, 231, 312, 321 ). Ví dụ 2. Ngƣời ta cần soạn một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi, chia thành 5 chủ đề, mỗi chủ đề gồm 10 câu hỏi. Cần sắp xếp thứ tự 50 câu hỏi sao cho các câu cùng một chủ đề đứng gần nhau, chủ đề 1 đứng đầu và chủ đề 2, 3 không đứng kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp? GIẢ I. Chủ đề 2, 3 đứng tuỳ ý : trƣớc tiên, sắp theo chủ đề, đây là hoán vị của 4 chủ đề 2, 3, 4, 5, có 4! cách . Tiếp theo sắp các câu trong từng chủ đề, mỗ i chủ đề có 10! cách. Vậy có : 4!5.10! = 120.10! cách. Chủ đề 2, 3 đứng kề nhau : Xem chủ đề 2 và 3 là một phần tử, ta có hoán vị của 3 phần tử (2,3), 4, 5 hay (3, 2), 4.5 có : 2.3! cách. Tiếp theo sắp các câu trong từng chủ đề, có : 5.10! cách. Nên có : 2.3!.5.10! = 60.10! cách. Vậy số cách sắp theo yêu cầu là : 120.10! – 60.10! = 60.10! = 217 728 000 cách.. Ví dụ 3. Có 5 bi đỏ và 5 bi trắng có kính thƣớc khác nhau đôi một. Có bao nhiêu cách sắp các bi này thành một hàng sao cho hai bi cùng mầu không đƣợc nằm kề nhau. GIẢ I. Xét một hộp đựng bi có 10 ô trống thẳng hàng, mỗi ô đƣợc đánh số từ 1 đến 10. - Lấy 5 bi đỏ vào vị trí ô mang số chẵn 2, 4, 6, 8, 10 ta có5! cách. Sau đó lấy 5 bi trắng bỏ vào 5 vị trí còn lại ta cũng có 5! cách. Vậy trƣờng hợp này có 5!.5! cách - Lập luận tƣơng tự lấy 5 bi đỏ bỏ vào các ô mang số lẻ, lấy 5 bi trắng bỏ vào ô số chẵn ta cũng có 5!.5! cách. Vậy số cách thoả mãn yêu cầu bài toán là : 2.5!.5! = 28 800 cách.. Ví dụ 4. a) Có bao nhiêu cách xếp n đại biểu ngồi quanh một bàn tròn. b) Một thiếu nữ có n vỏ sò khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xâu chúng thành một chuỗi. c) Có bao nhiêu đa giác nhận n điểm phân biệt làm đỉnh. GIẢ I. a) Vị trí tƣơng đối giữa các đại biểu hoàn toàn không đổi nếu ta hoán vị vòng họ theo một chiều nhất định (nghĩa là trong hoán vị vòng không có phần tử nào là phần tử cuối cùng, hoặc n! phần tử đầu tiên). Vậy số cách sắp xếp là = ( n – 1)!. n Ta có định lí : ''Số hoán vị vòng của n phần tử là Pn – 1 = ( n – 1)! ''. Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn. 9 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp b) Với cách xâu nhất định, khi ta lật xâu chuỗi sang bề khác (lật ngửa) ta lại đƣợc một cách n 1! 1 hoán vị khác mỗi cách xâu ứng với hai hoán vị vòng và có tất cả Pn - 1 = cách xâu. 2 2 c) Ta có thể hoán vị vòng các đỉnh theo cả hai chiều theo cả 2n cách khác nhau mà đa giác n 1! vẫn không thay đổi số đa giác là . 2 BÀI TẬP 2.9 Có bao nhiếu số gồm đủ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 HD : Có 6! số trong đó 5! số bắt đầu bằng số 0. Vậy có 6! – 5! = 720 số. 2.10 Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh đứng thành hàng ngang để chụp ảnh lƣu niệm, biết rằng trong đó có 3 em không đứng xa nhau. HD : Coi 3 bạn không đứng xa nhau lập thành một nhóm thì có 5! cách xếp đặt. Với mỗi cách trên thì có 3! cách xếp nữa nếu hoán vị 3 bạn đó. Vậy có 5!.3! = 720 2.11 Trong phòng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Ngƣời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu a) Các học sinh ngồi tuỳ ý. b) Các học sinh nam ngồi một bàn, học sinh nữ ngồi một bàn. ĐS : a) 10! = 3 626 800 cách. b) 2!.5!.5! = 28 800 cách. 2.12 Từ X = {1, 2, 3, 4,5, 6} thiết lập các chữ số khác nhau. Hỏi trong các số lập đƣợc có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạch nhau ĐS : 480 số. 2.13 Xét các số gồm chín chữ số trong đó có 5 số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số mà a) Năm chữ số một xếp kề nhau. b) Các chữ số đƣợc xếp tuỳ ý. ĐS : a) 120 số b) 3024 sô. 2.14 Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập đƣợc bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng một lần. ĐS : 720 số.. Vấn đề 3:. Chứng minh một tính chất liên quan đến A. r n. và Pn. Ví dụ 1. Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đƣợc lập từ 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8. GIẢ I. Gọi n = a1 a 2 a3 a 4 a5. Số các số n là A. 5 6. =. 6! = 720 số. 1!. Xét các chữ số hàng dơn vị, mỗi chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8 xuất hiện. 720 = 120 lần. 6. Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là : 120(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8) = 120.28 = 3360. Tƣơng tự, tổng các chữ số hàng chục là: 3360.10 tổng các chữ số hàng trăm là: 3360.102 Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn. 10 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp tổng các chữ số hàng ngàn là: 3360.103 tổng các chữ số hàng vạn là: 3360.104 . Do đó S = 3360(1 + 10 + 102 + 103 + 104 ) = 3360.11111 = 37 332 960.. Ví dụ 2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau. Tính tổng các số trên. GIẢ I. Gọi n = a1 a 2 a3 a 4 a5 và X = {5, 6, 7, 8, 9} Số các số n chọn từ X là 5! = 120. Xét các chữ số hàng đơn vị, do số lần xuất hiện của 5 loại chữ số bằng nhau nên mỗi chữ số 120 xuất hiện = 24 lần. 5 Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là : 24(5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 24.35 = 840. Tƣơng tự, tổng các chữ số hàng chục là: 840.10 tổng các chữ số hàng trăm là: 840.102 tổng các chữ số hàng ngàn là: 840.103 tổng các chữ số hàng vạn là: 840.104 . Do đó S = 840(1 + 10 + 102 + 103 + 104 ) = 840.11111 = 9 333 240.. Ví dụ 3. Chứng minh rằng tích P = (n + 1)(n + 2) …(2n) chia hết cho tích P = 1.3.5…(2n –1). Tính thƣơng số. GIẢ I. Ta có (n!) P = (2n)! = [1.3.5…(2n – 1)][2.4…(2n)] P = P .2n .n! = 2n . P'. Ví dụ 4. GiảI bất phƣơng trình : A 3x + 5A 2x. 21x. GIẢ I. Điều kiện x. N và x. 3.. A 3x + 5A 2x 21x x! x! +5 x 3! x 2!. 21x. x(x -1)(x – 2) + 5x(x – 1) (x -1)(x – 2) + 5(x – 1) x2 + 2x – 24 –6 Do x. N và x. x. 21x 21. (do x. 3). 0. 4. 3 nên x = 3, x = 4 là nghiệm.. Ví dụ 5. Chứng minh rằng với n. N và n. 1 A22. 2 thì. 1 A32. Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn. 1 An2. n 1 . n. 11 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp GIẢ I. Ta có :. 1 A21. 1 2. 1 A32. 1! 2!. 1 3.2. 1 1 2 3. 1 A42. 2! 4!. 1 4.3. 1 1 3 4. n 2 ! n!. 1 An2. 1. 1 . n 1 n. Cộng vế theo vế n – 1 đẳng thức trên ta đƣợc :. 1 A22. 1 A32. Ví dụ 6. Giải phƣơng trình :. x!. 1 A42. 1 An2. x 1! x 1!. 1 6. 1 2. 1 2. 1 1 1 n n. với x. n 1 . n. N*. GIẢ I. x!. x 1! x 1!. 1 6. 6 x!. x 1!. 6 x x 1!. x 1! x 1!. 6 x 1! x 1 6 x 1. x 1!. x 1 x x 1!. x x 1. x2 5x 6 0. x 2 x 3. Vậy nghiện của phƣơng trình là : x = 2 và x = 3. P 15 Ví dụ 7. Giải bất phƣơng trình : n 1 ( ) Pn .Pn 2 Pn 2 GIẢ I. Điều kiện : n. N và n. n 4! n! n 2 !. 2. Ta có :. 15 n 1!. n 4 n 3 n 2! n n 1!n 2! n 4 n 3 15 n n 2 8n 12 0 Do điều kiện n. N và n. 15 n 1! n 2 7n 12 15n 2 n 6. 2 nên n. {3, 4, 5}.. Ví dụ 8. Giải phƣơng trình P x .A 2x + 72 = 6(A 2x + P x ). Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn. 12 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp GIẢ I. Điều kiện x. N và x. Ta có : P x .A. 2 x. 2. + 72 = 6(A. 2 x. x! + 72 = 6 x 2!. x!. + P x) x! x 2!. 2x!. x!x(x – 2) + 72 = 6[x(x – 1) + 2x!] (x2 – x – 12)x! = 6(x2 – x – 12) (x2 – x – 12)(x! – 6) = 0 x2. x 12 0. x! 6. x x. 4. x. 3. x x. 0. 3 : loại. 4 3. Ví dụ 9. Gọi Pn là số hoán vị của n phần tử. Chứng minh : a) Pn – Pn-1 = (n – 1)Pn-1 . b) 1 + P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n – 1)Pn-1 = Pn . GIẢ I. a) Ta có : Pn -Pn-1 = n! – ( n– 1)! = n( n – 1)! – (n – 1)! = (n – 1).(n – 1)! = (n – 1).Pn-1 . c) Từ kết quả trên, ta có : P2. Vậy :. P1. (2 1) P1. P3 P2. (3 1) P2. P4. P3. (4 1) P3. Pn. Pn 1. (n 1) Pn 1.. Pn – P1 =P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n-1)Pn-1 Pn = 1 + P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n-1)Pn-1.. Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn. 13 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp. 4 Ví dụ 10. Tìm các số âm trong dãy số x 1, x 2, …, xn với x n = An. Pn. với Pn là số hoán vị của n phần tử. 4 2. 143 4 Pn. GIẢ I. Điều kiện n. N \ {0}. n 4! 143 n! Ta có x n = n 2 ! 4n ! Vậy x n < 0. n 4 n 3 n!. n 4 n 3. 4n 2. 143 4. 28n 95. 143 4n !. 0 ( do n! 0 ). 19 20. 0. 5 2. n. Do n = 1, 2, 3, … nên n = 1, n = 2. Vậy 2 số cần tìm là x 1 = x1 =. 5.4 143 1 4. 63 4. 6.5 143 143 15 2 4.2 8. Ví dụ 11. Chứng minh với mọi n. 23 . 8 n. n 1 . 2. N : n! GIẢ I. Theo bất đẳng thức Cauchy : 1+2+3+…+n. n. 1.2.....n. Mà 1, 2, 3, …, n là một cấp số cộng nên 1+2+3+…+n n n 1 Do đó : 2. n. n. n!. n 1 2. n. n!. n n 1 . 2. n 1 2. n. n !.. BÀI TẬP 2.15 Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau.Tính tổng của chúng. ĐS : Có 648 số. Tổng của các số đó là 355 680. 2.16 Tính tổng S của tất cả các hoán vị của số 123456 và phân tích S thành thừa số nguyên tố. ĐS : Tổng các hoán vị là 777 777 = 23 .33 .5.72 .11.13.37. 2.17 Tính các tổng Anr m . a) S = Anr Anr 1 1 1 1 b) S’ = 3 . 3 An An 1 An3 m HD : a) S = [ 1.2 …r + 2.3 …(r +1) + … + ( n + m – r + 1)( n + m – r + 2) … (n + m)] Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn. 14 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp – [ 1.2 …r + 2.3 …(r +1) + … + ( n – r )( n – r + 1) … (n – 1)] 1 = Anr 1m 1 Anr 1 . r 1 1 1 1 1 1 b) 3 . Tƣơng tự cho các 3 An 2n n 1 2 n 2 An k Cộng lại ta đƣợc : 1 1 1 1 1 S’ = . 2 n m n m 1 n 1 n 2 2.18 Chứng minh rằng : Ank 2.19 Chứng minh : Ann k2. Ann k1. Ank 1 kAnk 11. k 2 Ann k .. 2.20 Tìm số nguyên dƣơng n thoả mãn hệ thức a) An3 20n b) An5 18 An4 2 c) An2 10 n. d) A. An1 9 n. A. 3 9 An8.. 2.21 Gọi Pn là số cách hoán vị n vật khác nhau. a) Tìm hệ thức giữa Pn và Pn– 1 b) Tính P1 và suy ra biểu thức của Pn c) Chứng minh định lí : "Số song ánh giữa hai tập X, Y cùng có n phần tử là Pn = n!". HD : a) Pn = n Pn– 1 ( Có n cách xen một phần tử thứ n vào n – 1 phần tử đã xếp thứ tự sẵn) b) P1 = 1, Pn = n!. 2.22 Đặt. Sn. P1 2 P2 3P3. Tn P1 P2 P3 Tính Sn + Tn , Sn HD : Sn + Tn = 2 P1 3P2 4 P3. nPn Pn n 1 Pn. Pn Pn 1 = P2 P3 = Tn + Pn– 1 – P1 Sn Pn 1 P1 n 1 ! 1 . 2.23 Có thể lập đƣợc bao nhiêu số lớn hơn 2000 với các số 0, 1, 2, 3, 4 mà không số nào lặp lại. HD : Xét 2 trƣờng hợp – Các số có 4 chữ số : Có 3 cách chọn chữ số hàng ngàn. Sau đó có A43 cách chọn phần còn lại có 3. A43 72 số – Các số có 5 chữ số : Có 5! số trong đó có 4! số bắt đầu bằng 0 phải loại ra số – Tổng cộng có 72 + 96 = 168 số. Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn. có 5! 4! 96. 15 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp. Chƣơng III. TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT I. TỔ HỢP. 1. Định nghĩa Cho n phần tử khác nhau. Một tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con chứa k phần tử.. 2. Số tổ hợp n chập k là : n n 1 n 2 n k 1 1.2.3...k. Cnk. n! k! n k !. 3. Tính chất a) Cnk. Cnn. b) Cn0. Cnn 1, Cn1. k n. c) C. d) Cnk e) Cn0. k. Cnn 1. n. C C (Hệ thức Pascal) n k 1 k1 Cn k Cn1 Cn2 ... Cnn 2n k n 1. k 1 n 1. II. NHỊ THỨC NEWTON 1. Công thức : a b. n. n. Cnk a n k b k. Cn0a nb0 Cn1a n 1b1 ... Cnna 0b n. (n = 0, 1, 2, …). k 1. k Các hệ số Cn của các lũy thừa a b với n lần lƣợt là 0, 1, 2, … đƣợc sắp thành từng hàng của tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal : n. 1 1 1 1 1 1 . . . Số hạng thứ k+1 là Cnk an k bk .. 2. Hệ Quả : 1 x. n. 1 2. 1. 3. 3. 4 + 6. 1 4. 5 10 10 . . . . . .. Cn0 Cn1 x Cn2 x 2 .... 1 5 .. 1 .. .. .. .. n. 1 Cnn x n. Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn. 16 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp. B.PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1:. Nhận diện bản chất của vấn đề là tổ hợp khi yếu tố thứ tự không quan hệ. Ví dụ 1. Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, học sinh cần chọn trả lời 8 câu. a) Hỏi có mấy cách chọn tùy ý ? b) Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc? c) Hỏi có mấy cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu sau? GIẢ I. a) Chọn tùy ý 8 trong 10 câu đầu là tổ hợp chập 8 của 10 phần tử, có : 10! 10.9 C108 45 cách. 8! 10 8 ! 2 b) Vì có 3 câu bắt buộc nên phải chọn thêm 5 câu trong 7 câu còn lại đây là tổ hợp chập 5 của 7 phần tử, có : 7! 7.6 C75 21 cách. 5! 7 5 ! 2 c) Chọn 4 trong 5 câu đầu, có C54 cách. Tiếp theo, Chọn 4 trong 5 câu sau, có C54 cách.Vậy theo quy tắc nhân có : 2. 5! C .C 25 cách. 4!.1! Từ 7 nam và 4 nữ ƣu tú, có bao nhieu cách thành lập một ban cán sự 6 ngƣời trong 4 5. Ví dụ 2.. 4 5. đó: a) Có đúng 2 nữ. b) Có ít nhất 2 nữ. c) Bạn A và bạn B không thể rời nhau d) Bạn X và bạn Y không thể làm việc chung với nhau. GIẢ I. a) Có C42 cách chọn 2 nữ sinh trong số 4 ngƣời, Có C74 cách chọn 4 trong 7 nam sinh. C42 .C74. 6.35 210 cách chọn ban cán sự.. b) Có C42 .C74 cách chọn 2 nữ 4 nam, Có C43.C73 cách chọn 3 nữ 3 nam. Có C44 .C72 cách chọ n 4 nữ 2 nam C42 .C74 C43.C73 C44 .C72 6.35 4.35 1.21 371 cách lập một ban cán sự có it nhất 2 nữ. c) Có C94 cách chọn ban cán sự chứa cả A và B. Có C96 cách chọn ban cán sự không chứa cả A và B. Có C94 C96 126 84 210 cách chọn ban cán sự nếu A và B không chịu rời nhau. d) Trong C116 cách lập ban cán sự có C94 cách nhận cả X và Y Còn lại C116 C94. 462 126 336 cách lập ban cán sự không đồng thời chứa X và Y. Ví dụ 3. Một đoàn tầu có 3 toa chở khách : toa I, II, III. Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị đi tầu. Biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi : a) Có bao nhiêu cách sắp 4 hành khách lên 3 toa. b) Có bao nhiêu cách sắp 4 hành khách lên tầu để có 1 toa trong đó có 3 trong 4 vị khách. Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn. 17 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp GIẢ I. a) Mỗi khách có 3 cách lên toa I hoặc II hoặc III. Vậy số cách sắp 4 khách lên 3 toa là: 3.3.3.3 = 81 cách. 4! 4 cách. 3! Số cách sắp 1 khách còn lại lên toa II hoặc III là : 2 cách. Vậy nếu 3 khách ở toa I thì có : 4.2 = 8 cách. Lập luận tƣơng tự nếu 3 khách ở toa II hoặc III cũng là 8 cách. Vậy số cách thoả mãn yêu cầu bài toán là : 8 + 8 + 8 = 24 cách. b) Số cách sắp 3 khách lên toa I là : C43. Ví dụ 4. Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó. 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu đó có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau, sao cho mỗi đề phải có 3 loại (khó, trung bình, dễ) và số câu dễ không ít hơn 2? GIẢ I. Số đề thi gồm 2 câu dễ 2 câu trung bình và 1 câu khó : 15! 10! C152 .C102 .5 5 23625. 2!.13! 2!.8! Số đề thi gồm 2 câu dễ 1 câu trung bình và 2 câu khó : 15! 5! C152 .10.C52 10 10500. 3!.12! 2!.3! Số đề thi gồm 3 câu dễ 1 câu trung bình và 1 câu khó : 15! C153 .10.5 50 22750. 3!.112! Vì các cách chọn đôi một khác nhau, nên số đề kiểm tra là : 23625 + 10500 + 22750 = 56 875.. Ví dụ 5. Một đội văn nghệ có 10 ngƣời trong đó có 6 nữ và 4 nam . Có bao nhiêu cách chia đôi văn nghệ : a) Thành 2 nhóm có số ngƣời bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau. b) Có bao nhiêu cách chọn 5 ngƣời trong đó không quá 1 nam. GIẢ I. a) Do mỗi nhóm có số ngƣời bằng nhau nên mỗi nhóm phai có 5 ngƣời. Do số nữ bằng nhau nên mỗi nhóm phải có 2 nữ. Vậy mỗi nhóm phải có 3 nữ 2 nam. 6! 4! 120. Số cách chọn là : C63.C42 .5 3!.3! 2!.2! b) Số cách chọn 5 ngƣời toàn nữ là : C65 6 6! 4 60 Số cách chọn 5 nữ và 1 nam là : C64 4!2! Vậy số cách chọn 5 ngƣời trong đó không quá 1 nam là : 6 + 60 = 66.. Ví dụ 6. Có 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 ngƣời, đều có 2 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá GIẢ I. Vì mỗi tổ đều có học sinh giỏi nên số học sinh giỏi mỗi tổ là 1 hoặc 2 Vì mỗi tổ đều có ít nhất 2 học sinh khá nên số học sinh khá mỗi tổ là 2 hoặc 3 Do đó nếu xem số học sinh giỏi, khá, trung bình mỗi tổ là toạ độ một véctơ 3 chiều ta có 4 trƣờng hợp đối với tổ 1 là (1, 2, 5), (1, 3, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 3). Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn. 18 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp Tƣơng ứng 4 trƣờng hợp đó đối với tổ 2 là (2, 3, 3), (2, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 2, 5). Ta tháy 2 trƣờng hợp bị trùng.Vậy chỉ có 2 trƣờng hợp là : Trường hợp 1 : Số cách chọn một tổ nào đó có 1 giỏi, 2 khá, 5 trung bình là : 3.C52 .C85 Vậy tổ còn lại có 2 giỏi, 3 khá, 3 trung bình thoả mãn yêu cầu bài toán. Trường hợp 2 : Số cách chọn một tổ nào đó có 1 giỏi, 3 khá, 4 trung bình là : 3.C53.C84 Vậy tổ còn lại có 2 giỏi, 2 khá, 4 trung bình thoả mãn yêu cầu bài toán. Do đó số cách chia học sinh thành 2 tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là : 5! 8! 5! 8! 3.C52 .C85 3.C53.C84 3 3780. 2!3! 5!3! 3!2! 4!4!. Ví dụ 7. Có 9 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng có kích thƣớc đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách chỏn ra : a) 6 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi đỏ b) 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ. GIẢ I. a) số cách chọn 2 bi đỏ : C52 số cách chọn 4 bi xanh hay vàng : C134 Vậy số cách chọn 6 bi có đúng 2 bi đỏ :. C52 .C133. 5! 13! 7150. 2!3! 4!9!. b) Số cách chọn 1 bi xanh, 1 bi đỏ, 4 bi vàng : 9.5.1 = 45. Số cách chọn 2 bi xanh, 2 bi đỏ, 2 bi vàng : 9! 5! 4! C92 .C52 .C42 2160. 2!7! 2!3! 2!2! Số cách chọn 3 bi xanh và 3 bi đỏ: 9! 5! C93.C53 840. 3!6! 3!2! Vậy số cách chọn 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ : 45 + 2160 + 840 = 3045.. Ví dụ 8. Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Ngƣời ta chọn 4 bi từ hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 mầu. GIẢ I. Số cách chọn 4 bi bất kì trong 15 bi trên là : C154 1365 Số cách chọn 2 bi đỏ, 1 bi trắng, 1 bi vàng là : C42 .5.6 Số cách chọn 1 bi đỏ, 2 bi trắng, 1 bi vàng là : 4.C52 .6 Số cách chọn 1 bi đỏ, 1 bi trắng, 2 bi vàng là : 4.5.C62 Vậy số cách chọn bi đủ 3 mầu là : 4! 5! 6! 30.C42 24.C52 20C62 30 24 20 180 240 300 720 2!2! 2!3! 2!4! Do đó số cách chọn bi không đủ 3 mầu là :1365 – 720 = 645. Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn. 19 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp BÀI TẬP 3.1 Một tổ có 12 học sinh. Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 4 học sinh cho môi đề kiểm tra. Hỏi có mấy cách chọn? ĐS : Có C124 C84 34 650 cách. 3.2 Một học sinh phải trả lời 10 trong 13 câu hỏi kiểm tra : a) Có bao nhiêu cách chọn? b) Có bao nhiêu cách nếu 2 câu đầu là bắt buộc? c) Có bao nhiêu cách nếu phải trả lời 1 trong hai câu đầu? d) Có bao nhiêu cách nếu phải trả lời đúng 3 trong 5 câu đầu? e) Có bao nhiêu cách nếu phải trả lời ít nhất 3 trong 5 câu đầu? 10 ĐS : a) C13 b) C118 165 c) 2.C119 110 286 e) C53.C87 C54 .C86 C55.C85. d) C53.C87. 80. 276 .. 3.3 Có 12 học sinh ƣu tú. Cần chọn ra 4 học sinh để đi dự đại hội học sinh ƣu tú toàn quốc. Có mấy cách chọn : a) Tùy ý? b) Sao cho 2 học sinh A và B không cùng đi? c) Sao cho 2 học sinh A và B cùng đi hoặc cùng không đi? ĐS : a) 495 cách b) 450 cách c) 225 cách. 3.4 Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Muốn lập 1 đoàn công tác có 3 ngƣời gồm cả nam lẫn nữ, cần có cả nhà toán học lẫn vật lí. Có bao nhiêu cách chọn. ĐS : 90 cách 3.5 Có 5 tem thƣ khác nhau và 6 bì thƣ cũng khác nhau. Ngƣời ta muốn chọn ra 3 tem thƣ, 3 bì thƣ và dán 3 tem thƣ đó lên 3 bì thƣ đã chọn. Mỗi bì thƣ chỉ có một tem thƣ. Hỏi có bao nhiêu cách làm nhƣ vậy. ĐS : 1200 cách. 3.6 Một bộ bài 52 lá ; có 4 loại : cơ, rô, chuồn, bích mỗi loại 13 lá. Muốn lấy ra 8 lá trong đó phải có đúng 1 lá cơ, đúng 3 lá rô và không quá 2 lá bích. Hỏi có bao cách? ĐS : 39 102 206 cách. 3.7 Cho tập con gồm 10 phần tử khác nhau. Tìm số tập con khác rỗng chứa 1 số chẵn các phần tử. ĐS : 511. 3.8 Một hộp có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5, 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4. a) Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu cùng mầu. 3 quả cầu cùng số. b) Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu khác mầu, 3 quả cầu khác mầu và khác số. ĐS : a) Có 34 cách lấy 3 quả cầu cùng mầu ; Có 4 cách lấy 3 quả cầu cùng số b) Có 120 cách lấy 3 quả cầu khác mầu ; Có 64 cách lấy 3 quả cầu khác mầu và khác số. 3.9 Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào một hộc có 7 ô trống. a) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau. b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp cạnh nhau. ĐS :a) 840 cách b) 48 cách. 3.10 Một tập thể có 14 ngƣời gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình. Ngƣời ta muốn chọn ra một tổ công tác gồm 6 ngƣời. Tìm số cách chọn trong mõi trƣờng hợp sau :’ a) Trong tổ phải có mặt cả nam lẫn nữ. b) Trong tổ phải có một tổ trƣởng ,5 tổ viên , hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ ĐS : a) 2974 cách b) 15 048 cách. Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 20 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 3.11 Số 210 có bao nhieu ƣớc số. ĐS : 16 số. 3.12 Một trăm số đƣợc đánh số 1, 2, …, 100 đƣợc bán cho 100 ngƣời. Có 4 giải thƣởng trong đó có một giải độc đắc a) Có bao nhiêu cách tặng giải? b) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 trúng giải độc đắc. c) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 là một trong các giải trúng . d) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 không trúng giải . e) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 và 19 đều trúng giải. f) Nếu các vé số 19, 47 và 73 đều trúng giải. g) Nếu các vé số 19, 47,73 và 97 đều trúng giải. h) Nếu các vé số 19, 47,73 và 97 đều không trúng giải. i) Nếu giải độc đắc rơi vao một trong các vé số 19, 47,73 và 97. j) Nếu các vé số 19, 47 trúng giải còn các vé số 73 và 97 không trúng giải. ĐS : a) 94 109 400 b) 941 094 c) 3 764 376 d) 90 345 024 e) 114 072 f) 2384 g) 24 h) 79 727 040 i) 3 764 376 j0 109 440. 3.13 Bảng chữ cái có 26 kí tự trong đó có 5 nguyên âm a) Có bao nhiêu chữ gồm 5 kí tự trong đó có 3 phụ âm khác nhau và 2 nguyên âm khác nhau? ĐS : 1 596 000 b) Trong đó có bao nhiêu chữ chƣá b? ĐS: 228 000 c) Trong đó có bao nhiêu chữ chƣá b và c? ĐS: 22 800 d) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu bằng b và chứa c? ĐS: 4560 e) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu bằng b và kết thúc bằng c? ĐS: 1140 f) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu bằng b và chứa a? ĐS: 18 240 g) Trong đó có bao nhiêu chữ chƣá a, b, c? ĐS: 9120 3.14 Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. a) Có bao nhiêu tập con của A chứa 1 mà không chứa 2. b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau mà không bắt đầu bởi 123 lập từ A ĐS : a) 64 b) 3348 số. 3.15 Có 4 ngƣời Việt, 4 ngƣời Thái, 4 ngƣời Trung Quốc và 4 ngƣời Triều Tiên. Cần chọn 6 ngƣời đi dự hội nghị. Hỏi có mấy cách chọn sao cho : a) Mỗi nƣớc đều có đại biểu? b) Không có nƣớc nào có hơn 2 đại biểu? ĐS : a) 4480 cách b) 4320 cách. 3.16 a) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chƣ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ b) Có bao nhiêu số gồm 6 chƣ số khác nhau đôi một trong đó có dúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn ĐS : a) 42 000 số b) 64 800 số. 3.17 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chƣ số biết rằng chũ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt không quá một lần. ĐS : 11 340 số.. Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn. 21 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>